Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
52

PHẦN II. HÀM SỐ - ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Chương 3.
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ MỘT BIẾN
3.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN:
3.1.1. Ánh xạ:
Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x  X, được cho tương ứng duy nhất một y 
Y theo một qui tắc f thì f được gọi là một ánh xạ từ X vào Y và được ký hiệu một
trong các dạng sau:

)x(fyx
YX:f



f: XY
)x(fyx



)x(fx 

a) Nếu với mọi x
1
, x
2
 X, x
1

Xx

: Giá trị lớn nhất
Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
53

)x(fminm
Xx

: Giá trị nhỏ nhất
Nếu f(x) cho bởi một công thức mà không nói gì thêm thì miền xác định là tập
hợp tất cả giá trị x  để f(x) có nghĩa.
Ví dụ: 1xy
2
 có miền xác định là x
2
– 1  0 <=> x  -1, x  1
3.1.3. Đồ thị của hàm số :
Đồ thị của hàm số f với miền xác định X là tập C = {(x,f(x): x  X} và ta đồng
nhất nó với quỹ tích các điểm có toạ độ (x,f(x)) (x  X) trên mặt phẳng toạ độ
Descartes Oxy.
3.1.4. Các phép toán trên hàm số :
Giả sử các hàm số f, g có cùng miền xác định X, ta có:
(f + g) = f(x) + g(x), x  X
(f - g) = f(x) - g(x), x  X
(fg)(x) = f(x)g(x), x  X
f/g = f(x)/g(x), x  X: g(x)  0
af = af(x), x  X, a 
Ví dụ: Cho 3 hàm số f(x) = 2x

hợp của f và g. Ký hiệu là f
o
g.
Ví dụ: Dựa vào ví dụ trên ta có g
o
f, h
o
g.
1x2fg
2o

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
541xgh
o


3.1.6. Hàm số ngược:
Cho hàm số f(x) có miền xác định X. Nếu f: XY là một song ánh (phép tương
ứng 1 – 1) thì f
-1
: YX được gọi là hàm số ngược của f.
Đồ thị của f và f
-1
đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x.
Ví dụ: Hàm số
3

2
=> f(x
1
) > f(x
2
)
Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu.
Chú ý:
- Một hàm số đã cho có thể không đơn điều trên miền xác định X của nó, nhưng
lại đơn điệu trên các tập D  X.
- Nếu hàm số f có miền xác định là một khoảng M và f đơn điệu trên N thì f có
hàm số ngược f
-1
: N = f(M)M và ta có
f tăng (giảm) trên M  f
-1
tăng (giảm) trên N.
Ví dụ: y = x
2
là hàm số không tăng, không giảm.
y = x
2
, x  [0,2] là hàm số tăng.
3.1.8. Hàm số bị chặn :
f gọi bị chặn trên nếu M: f(x)  M, x
f gọi bị chặn dưới nếu m: f(x)  m, x
f gọi bị chặn nếu M: |f(x)|  M, x
Ví dụ : Hàm số y = cosx bị chặn trên vì
1xcos 


f(x)

Đây là hàm số tuần hoàn vì f(x) = f(x+T) với T là hữu tỉ hoặc vô tỉ. Nhưng
không tìm được T > 0 nhỏ nhất để f(x) = f(x+T) với mọi x  .
3.1.10. Hàm số chẵn và hàm số lẻ.
Cho hàm số f có miền xác định X, với x  X, -x  X :
a) f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x),  x  X
Nếu f là hàm số chẵn thì đồ thị (C) đối xứng qua Oy:
(x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (x,f(x))  (C)
b) f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x),  x  X
Nếu f là hàm số lẻ thì (C) đối xứng qua gốc toạ độ:
(x,f(x))  (C)  (-x,f(-x)) = (-x,-f(x))  (C)
Ví dụ: y = x
2
là hàm số chẵn.
y = x
3
là hàm số lẻ.
3.1.11. Các hàm số sơ cấp cơ bản:
1. Hàm số hằng số:
y = c , c là hằng số.
Hàm hằng số có miền xác định , tập giá trị {c}.

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
56

2. Hàm số luỹ thừa:
y = x


, a > 0, a ≠ 1
Số a gọi là cơ số của hàm số mũ. Hàm số mũ xác định với mọi x dương.
- Hàm số mũ tăng khi a > 1.
- Hàm số mũ giảm khi a < 1.
Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ.

4. Hàm số logarit: y = log
a
x, a > 0, a ≠ 1
Số a được gọi là cơ số của logarit. Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0.
- Hàm số logarit là hàm số ngược của hàm số mũ. y = log
a
x <=> x = a
y

- Hàm số log
a
x tăng khi a > 1
- Hàm số log
a
x giảm khi a < 1
Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị.

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
58

 Một số tính chất của log
a
x:

a
log
log
log 
5. Hàm số lượng giác:
 Hàm y = sinx
Hàm số y = sinx có miền xác định và có miền giá trị [-1,1].
Hàm sinx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ 2

 Hàm y = cosx
Hàm số y = cosx có miền xác định và có miền giá trị [-1,1].
Hàm cosx là hàm số chẵn, tuần hoàn với chu kỳ 2

Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
59

 Hàm y = tgx
Hàm số y = tgx có miền xác định  x ≠ (/2+k), k  và có miền giá trị là .
Hàm số tgx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  và tăng trong từng khoảng xác
định (/2+k, /2+(k+1)), k 

 Hàm y = cotgx
Hàm số y = cotgx có miền xác định  x ≠ k, k  và có miền giá trị là .
Hàm số cotgx là hàm số lẻ, tuần hoàn với chu kỳ  và giảm trong từng khoảng
xác định (k, (k+1)), k  Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
62

3.1.12. Hàm số sơ cấp:
Các hàm số nhận được bằng cách thực hiện một số hữu hạn các phép toán tổng,
hiệu, tích thương, phép lấy hàm hợp trên các hàm số sơ cấp cơ bản được gọi chung là
hàm số sơ cấp.
Ví dụ:











2x
1xsine2
lgy
2
2x
là hàm số sơ cấp.

0
  > 0 đủ nhỏ: 0 < x-x
0
 < 
 x được gọi là lân cận của +  M > 0 đủ lớn: x > M
 x được gọi là lân cận của -  N < 0 đủ nhỏ: x < N
Lận cận một phía:
 x thuộc lân cận bên phải của x
0
và x > x
0
 x
0
< x < x
0
+ 
 x thuộc lân cận bên trái của x
0
và x < x
0
 x
0
-  < x < x
0

3.2.1.2. Giới hạn hữu hạn hàm số: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng mở
chứa x
0
(riêng tại x
0





Ví dụ: Tính 6
3
x
9x
lim
2
3x





Giải :
Giả sử L = 6, ta có:
 > 0,



3x6
3x
9x
2
. Đặt  =  > 0.
Vậy,  > 0,  =  > 0: 0 < x - 1 <   



0
< x < x
0
+   f(x) – L < . L
đượi gọi là giới hạn bên phải của f(x).
Ký hiệu :
L)x(flim
0
xx


,
L)x(flim
00
xx,xx



b) Giới hạn bên trái: Với  > 0,  > 0: x
0
-  < x < x
0
 f(x) – L < . L
đượi gọi là giới hạn bên trái của f(x).
Ký hiệu: L)x(flim
0
xx


,



Chương 3. Hàm số và giới hạn hàm số một biến
Toán Kinh tế – ThS.Nguyễn Ngọc Lam
64

1xlim)x(flim
2
1x
1x




Định lý: L)x(flim
0
xx


 L)x(flim)x(flim
00
xxxx




3.1.2. Định nghĩa giới hạn vô hạn của hàm số:
a)



nếu
 > 0, N < 0 có trị tuyệt đối đủ lớn: x < N  f(x) - L < 
Ví dụ: chứng minh



ax
1
lim
ax

Giải:
Giả sử L = +, ta có:
M > 0,
A
1
ax M
ax
1


. Đặt  = 1/M > 0.
Vậy, M
ax
1
a-x ,0
M
1
,0M 


 0
x
1
(đpcm)
3.1.3. Các định lý của giới hạn hàm số:
Định lý: Trong cùng một quá trình, nếu lim f(x) = A và lim g(x) = B với A, B
 , thì
 lim(f(x)  g(x)) = A  B
 lim(f(x).g(x)) = AB
 lim(f(x)/g(x)) = A/B (B ≠ 0)
 limf(x)
g(x)
= A
B
(A > 0)
 limC = C
 lim(Cf(x)) = CA
Ghi chú:
Trong trường hợp A, B không thoả mãn điều kiện của định lý, ta cũng có thể
xác định các giới hạn nói trên, ngoại trừ các trường hợp sau đây, gọi là dạng vô định,
ta cần phải khử nó.
 - , 0., 0/0, /, 1
0
, 1

, 0
0
, 
0












Định lý: Giả sử g(x)  f(x)  h(x) đối với mọi x thuộc lân cận của x
0
. Nếu
L)x(hlim)x(glim
00
xxxx



thì L)x(flim
0
xx



Định lý: Trong một quá trình, nếu lim u(x) = L và f là hàm sơ cấp xác định
trong lân cận của L, thì lim f(u(x)) = f(L) = f(lim u(x))
Ví dụ: Tìm giới hạn



coslim
3
23
x
3
23
x

























ex1lim
x/1
0x



4) aln
x
1a
lim
x
0x




5) 1
x
)x1ln(
lim
0x




6) Hàm số luỹ thừa:
0x lim ;x lim : 0
0x
x

x
x
x
x
a lim ;0a lim : 1a0
8) Hàm số logarit:









xlog lim ;xlog lim : 1a
a
0x
a
x








67

Ví dụ:
a)



x)arccotg(ln lim
0x

b)
3
2
3x
sin2x
lim
0x



c)
1e])xsin1[( lim)xsin1( lim
1
x
xsin
xsin
1
0x
x/1
0x

)1ln(x
)2sin(x
lim
2
2
0x
24
23
0x
24
23
0x







x
x
x
x
x
x

3.1.6. So sánh vô cùng lớn (VCL):
Hàm số F(x) gọi là một vô cùng lớn trong một quá trình nếu limF(x) = 
Trong cùng quá trình, nếu f(x) là VCB thì 1/f(x) là VCL và ngược lại.
Cho F(x), G(x) là hai VCL trong một quá trình, giả sử tồn tại:

3
3
x
23
53
x





3.2. HÀM SỐ LIÊN TỤC
3.2.1. Khái niệm liên tục :
Định nghĩa: Cho hàm số f xác định trong khoảng (a,b), x
0
 (a,b). Hàm f được
gọi là liên tục tại x
0
nếu
)x(f)x(flim
0
xx
0



Nếu chỉ có )x(f)x(flim
0
xx
0

- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x  x
0

Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x
0
= 0
a)






0 x khi1x
0 xkhi1x2
)x(f
21)1x(lim)x(flim1)1x2(lim)x(flim
2
0x0x0x0x



=> f không liên tục tại x = 0
b)
x
xcos
)x(f  => f không liên tục tại x = 0 vì tại đây hàm số không xác định.

0
) thì f(u(x)) liên tục
tại x
0
.
Định lý: Nếu f liên tục trên đoạn [a,b]:
 f bị chặn trên đoạn [a,b], nghĩa là M sao cho |f(x)|  M, x  [a,b]
 f có giá trị lớn nhất và bé nhất trên đoạn [a,b].
 Nếu f(a)f(b) < 0 thì x
0
 (a,b): f(x
0
) = 0.
3.3. BÀI TẬP:
1. Tìm miền xác định của hàm số:
1)
x
x
y



2
2
2)
2
3
1
lg
2









0 xkhi1
0 xkhi0
0 xkhi1
xsgn
Vẽ đồ thị và chứng minh xsgnxx 
5. Tìm f(f(x)), g(g(x)), f(g(x)), g(f(x)) nếu:
1) f(x) = x
2
, g(x) = 2
x
2)






0 xkhix
0 xkhi0

7. Xét tính chẵn lẻ của hàm số :
1) f(x) = 3x – x
3
2)
3
2
3
2
)x1()x1()x(f  3) f(x) = a
x
+ a
-x
(a>0)
4)
x
1
x1
ln)x(f


 5) )x1xln()x(f
2

8. Tìm các giới hạn sau:
1)
5
x
2
1xx
lim

2
x
4x
lim
2
2x



5)
x
1x1
lim
0x


6)
1x
1x
lim
3
1x




7)


1x1xlim

10)
1x
x
1x2
3x2
lim










11)
1x
1x
2
2
x
1x
1x
lim






)x(f
2

3)
2
x
1
e)x(f 
, nếu x0 và f(0)=0 4)






2x1 khix2
1x0 khix2
)x(f

10. Xét tính liên tục của hàm số:
1)








0x1

0xxa
0xe
)x(f
x
hãy chọn a sao cho f(x) liên tục.
12. So sánh vô cùng bé khi x →0 của g(x) = x với các vô cùng bé sau:
1)
3
tgxf 
2)
3
2
xsinf  3) 3x9f 
4)
xcos1f


5)
xarctg

13. Chứng minh các VCB tương đương khi x →0:
1) x
2
1
~
x1
1
1

 2)