MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN

1 Giới hạn dãy số
1.1 Dãy số
Định nghĩa 1.1. Dãy số (thực) là một hàm số xác định trên tập con của tập số tự nhiên
Với
⊂
¥M
, thay cho ký hiệu
:u → ¡M
( )
n u na
ta thường dùng ký hiệu
( ) ,{ } ,( )
n n n n n n
u u u
∈ ∈M M
hay
{ }
n n
u
Định nghĩa 1.2. Cho dãy
( )
n n
u
∈¥

•
Dãy
( )
n

n
u
được gọi là
dãy (đơn điệu) giảm nghiêm ngặt nếu
1n n
u u n
+
> ∀ ∈¥
Nhận xét.
•
Nếu
( ) ,( )
n n
x yZ Z
thì
( )
n n
x y+ Z
•
Nếu
( ) ,( )
n n
x y] ]
thì
( )
n n
x y+ ]
•
Nếu
( )

Định nghĩa 1.3. Cho dãy số
( )
n n
x
∈¥
.
•
Dãy
( )
n
x
được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại hằng số
M
sao cho
n
x M n≤ ∀
•
Dãy
( )
n
x
được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại hằng số
m
sao cho
n
x m n≥ ∀
•
Dãy
( )
n

>
cho trước tùy ý, tìm
được chỉ số
0
n
sao cho với mọi
0
n n≥
đều có
| |
n
u
α ε
− <
Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng
1.
lim
n
c c
→∞
=
2.
1
lim 0
n
n
→∞
=
3.
1

0 0
( : )
n
n n n a x∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ >¥
Định lí 1.4. (Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức) Cho
lim
n
n
x
→∞
= l
và
a ∈¡
. Khi đó
•
Nếu
0 0
( : )
n
n n n x a∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≥¥
thì
a≥l
•
Nếu
0 0
( : )
n
n n n x a∃ ∈ ∀ ≥ ⇒ ≤¥
thì
a≤l

( ),( )
n n
x y
và
lim ;lim
n n
n n
x a y b
→∞ →∞
= =
. Khi đó
•
Dãy
( )
n
x−
hội tụ và
lim( )
n
n
x a
→∞
− = −
•
Dãy
(| |)
n
x
hội tụ và
lim | | | |

Dãy
( )
n
kx
hội tụ và
lim( )
n
n
kx ka
→∞
=
•
Dãy
( · )
n n
x y
hội tụ và
lim( · )
n n
n
x y ab
→∞
=
•
Với
0b ≠
thì dãy
1
n
y

n
n
x
a
y b
→∞
 
 ÷
=
 
Ví dụ 1.2. Tìm các giới hạn sau
•

2
2
3 2
lim
3 2
n
n n
n n
→∞
− +
+ −
•

2
3 2
2 3 1
lim

(2 3)
n
k
n
n
k
k
k
=
→+∞
=
+
+
∑
∑
1.3 Dấu hiệu hội tụ của dãy số
1.3.1 Tiêu chuẩn Weiersstrass
Định lí 1.7. Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ
Cụ thể, một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên thì hội tụ, một dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.
Ví dụ 1.3. Cho các dãy số
( ),( )
n n
x y
được xác định như sau
1 1 1 1
0, 0, , , 1.
2
n n
n n n n
x y

lim ,lim
n n
x y
và từ giả thiết chuyển qua giới hạn ta được
lim lim
n n
x y=
.
(ii) Nếu
a b
≤
tương tự như trường hợp (i).
Ví dụ 1.4. Cho dãy số
( )
n
x
được xác định như sau
1 2 2 1
1, 2, , 1
n n n
x x x x x n
+ +
= = = + ∀ ≥
.
Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải. Dễ thấy bằng quy nạp ta chỉ ra được
( )
n
x
là dãy số tăng và bị chặn trên bởi 4. Do đó theo định lý 1.7 ta

2, 2 , 1, 2,
n n
x x x n
+
= = + = …
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ
và tìm
lim
n
n
x
→∞
.
Bài tập 1.6. Cho dãy số thỏa mãn điều kiện
( )
1
1
0 1, 1
4
n n n
x x x
+
< < − >
.
Chứng minh dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.7. (Định lý Cantor) Cho hai dãy số thực
( ),( )
n n
a b
thỏa mãn các điều kiện sau:

I
và
lim lim
n n
a b c= =
.
Bài tập 1.8. (VMO 2005). Cho dãy số thực
( ), 1,2,3
n
x n =
được xác định bởi:
1
x a=
và
3 2
1
3 7 5
n n n n
x x x x
+
= − +
với
1,2,3, n =
trong đó
a
là một số thực thuộc đoạn
4
0,
3
 

x
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
.
Bài tập 1.10. Cho số thực
a
. Cho dãy số
( ),
n
x n∈¥
, được xác định bởi:
0
x a=
và
1
sin
n n n
x x x
+
= +
với mọi
n∈¥
.
Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
và tính giới hạn đó.

0,1q ∈
là hằng số cho trước. Với
c ∈¡
cho trước và xác định dãy
( ), 0,1, 2,3
n
x n =
như sau:
0 1
, ( ), 0,1,2,
n n
x c x f x n
+
= = =
. Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x
hội tụ và giới hạn của dãy số là nghiệm của phương
trình
( )f x x=
.
Lời giải Trước hết ta chứng minh dãy
( )
n
x
là một dãy Cauchy. Thật vậy, với
, ,m n n m∈ >¥
ta có:
( )

x x−
bị chặn với mọi
n
. Kết hợp với (1) ta thu được với mọi
0
ε
>
tồn tại
N ∈¥
sao cho
với mọi
,m n N≥
thì
n m
x x
ε
− <
. Nên dãy
( )
n
x
là một dãy Cauchy suy ra nó hội tụ.
Từ điều kiện của hàm
f
dễ dàng chứng minh được
f
liên tục và do đó từ đẳng thức
1
( )
n n

− <
. Xét dãy số xác định như sau:
0 1
, ( ), 0,1,
n n
x x f x n
+
∈ = =¡
Chứng minh rằng dãy
( )
n
x
hội
tụ.
Bài tập 1.13. Cho
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ( ))x f x x f x
ϕ ϕ
− ≤ −
, trong đó
:
ϕ
→¡ ¡
là hàm liên tục
và bị chặn dưới. Lấy
0
x ∈¡
và lập dãy
1

( )
n
x
hội tụ và giới hạn của
dãy là nghiệm duy nhất của phương trình
( )f x x=
.
Bài tập 1.15. Cho
:f →¡ ¡
thỏa mãn điều kiện: có số
,0 1k k≤ <
sao cho
{ }
( ) ( ) max , ( ) , ( ) , .f x f y k x y f x x y f y x y− ≤ − − − ∀ ∈¡
Xét dãy số xác định như sau:
1 1
, ( ), 1
n n
x x f x n
+
∈ = ≥¡
. Chứng minh rằng dãy
( )
n
x
hội tụ và giới hạn của dãy là
nghiệm duy nhất của phương trình
( )f x x=
.
1.3.3 Nguyên lý kẹp

2 *
1
1
1 , .
2
n n n
x x x n
+
= + − ∀ ∈¥
Chứng minh rằng dãy số đã cho hội tụ. Tìm
lim
n
n
x
→∞
Lời giải. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp bất đẳng thức sau:
1
2 , 3
2
n
n
x n− < ∀ ≥
. Thật vậy ta kiểm tra được ngay
bất đẳng thức đúng với
3n =
. Giả sử bất đẳng thức đúng với
3n ≥
, tức là
1
2

=
nên từ bất đẳng thức trên và nguyên lý kẹp ta có
lim 0
n
x =
.
Ví dụ 1.17. Cho dãy các hàm số
{ }
( )
n
P x
xác định như sau
2
0 1
( )
( ) 0, ( ) ( ) , 0;
2
n
n n
x P x
P x P x P x n x
+
−
= = + ∀ ≥ ∈¡
.
Tìm
lim ( )
n
n
P x

đồng biến trên
[0,1]
. theo giả thiết quy nạp
ta có
0 ( ) 1
n
P x x≤ ≤ ≤
với mọi
[0,1]x∈
(2)
nên
1
( ) ( ( )) ( )
n n
P x f P x f x x
+
= ≤ =
với mọi
[0,1]x∈
. Mặt khác, từ (2) ta có
2
1
( ) 0 ( ) ( ) 0
n n n
x P x P x P x
+
− ≥ ⇒ ≥ ≥
.
Vậy
1

x P x
x P x x P x
−
−
 
+
 
− = − −
 
 
 
1 1
0
1
( ) 1 ( ( ) 0)
2
2
( ) 1 1
2 2 2
1
2 2
2 2 2
.
1 1 1 1
n n
n n
n
n
x
x P x do P x

 ÷
 
+ + + +
 
 
 
 
Từ đó ta thu được bất đẳng thức
2
0 ( )
1
n
x P x
n
≤ − <
+
với mọi
[0,1]x n∈ ∀ ∈¥
.
Do
2
lim 0
1n
=
+
nên theo nguyên lý kẹp ta được
lim ( )
n
P x x=
, với mọi

( , )u v
là một
nghiệm nguyên dương khác
0 0
( , )u v
của (1). Ta có
0 0
,au bv n au bv n+ = + =
suy ra
0 0
( ) ( ) 0a u u b v v− + − =
do đó
tồn tại
k
nguyên dương sao cho
0 0
,u u kb v v ka= + = −
. Do v là số nguyên dương nên
0
0
1
1
v
v ka k
a
−
− ≥ ⇔ ≤
. (2)
Ta nhận thấy số nghiệm nguyên dương của phương trình (1) bằng số các số
k

u r u
ab nb na n ab nb na n
− − ≤ ≤ − − +
Từ đây áp dụng nguyên lý kẹp ta có ngay
1
lim
n
n
r
n ab
→∞
=
.
Ví dụ 1.19. Tìm giới hạn của dãy số
( )
n
x
biết
1 2 1 3 1 1 ( 1) 1
n
x n n= + + + + − +L
Lời giải 1.
Xét hàm số
( ) 1 1 (1 )f x x x= + + + L
ta chứng minh
1
( ) 2( 1)
2
x
f x x

.
Lời giải 2. Với
1 1m n≤ ≤ −
, đặt
1 1 (1 ) 1 1 ( 1) 1
m
a m m n n= + + + + + − +L
ta có
2 2 2 2
1 1
2 2
1
1 ( 1) 2
( 1) ( ( 2))
m m m m
m m
a ma a m ma m m
a m m a m
+ +
+
= + − + = − −
−
⇔
⇔ − + = +
.
Suy ra
1 2
1
| |
| ( 1) | | 2 |

2
1 2 1 3 1 1 ( 2) 3n n+ + + + + =L
Suy ra
3
n
x ≤
(1)
Nhận xét. Cho
1
α
>
. Khi đó
1 · 1 0x x x
α α
+ ≤ + ∀ ≥
.
Áp dụng nhận xét trên với
, 2x n n
α
= = +
được
2
1 ( 2) 2· 1n n n n+ + ≤ + +
.
Từ đó
2
4
1 ( 1) 1 ( 2) 1 2·( 1)· 1 2· 1 ( 1) 1n n n n n n n n n+ − + + ≤ + + − + ≤ + + − +
.
Do đó, bằng quy nạp, thu được

n n
a a a a n
α
−
= + + + ∀ ≥
Chứng minh rằng
lim 0
n
a
n
=
.
Bài tập 1.21. Cho dãy số dương
( )
n
a
thỏa mãn điều kiện
3 *
1 1 2
, .
n n
a a a a n
+
≤ + + + ∀ ∈¥
Chứng minh rằng với mọi
1
2
α
>
ta luôn có

.
Bài tập 1.23. (Matxcơva 2000). Ký hiệu
n
x
là nghiệm của phương trình
1 1 1
0
1x x x n
+ + + =
− −
,
thuộc khoảng
(0,1)
1. Chứng minh dãy
( )
n
x
hội tụ;
2. Hãy tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.24. (VMO 2007) Cho số thực
2a >
và
10 10
( ) 1
n n
n
f x a x x x
+
= + + + +
1. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương

=
, ta thường xét hàm số
( )y f x=
và sử dụng một số
kết quả sau
Định lí 1.10. Cho dãy số
( )
n
x ⊂ ¡
xác định như sau:
1 1
, ( ), 1,2,
n n
x a x f x n
+
= = =
. Khi đó
1. Nếu
( )f x
là hàm số đồng biến thì dãy số
( )
n
x
đơn điệu.
2. Nếu
( )f x
là hàm số nghịch biến thì dãy số
( )
n
x

. Xét dãy số
( ), 1,2,
n
x n =
được xác định bởi
2
1 1
, 1 ln
1 ln
n
n
n
x
x a x
x
+
 
= = +
 ÷
+
 
với
1,2,3, n =
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải
Xét dãy số
( )
n
x
với

x
→+∞
=
.
(ii) Nếu
1a
>
. Ta chứng minh bằng quy nạp
1
n
x >
với mọi
*
n∈¥
. Giả sử với
n
sao cho
1
n
x >
. Ta nhận thấy
2
1
1 1 ln 0
n n n
x x x
+
> ⇔ − − >
. Dễ thấy hàm số
2

. Xét hàm số
2
( ) 1 ln
1 ln
x
g x x
x
 
= − −
 ÷
+
 
trên
[1; )+∞
.
Bằng cách khảo sát hàm số này ta chỉ ra được
( )g x
đồng biến trên
[1; )+∞
mà
(1) 0g =
, suy ra
( ) 0 1g x x> ∀ >
và
( ) 0 1g x x= ⇔ =
. Do đó nếu
1 1
n
x n> ∀ ≥
thì

   
.
Theo kết quả khảo sát của hàm
( )g x
ở trên thì
( ) 0 1g b b= ⇔ =
. Vậy
lim 1
n
n
x
→+∞
=
.
Ví dụ 1.26. Cho dãy số
( )
n
x
thỏa mãn điều kiện
1 1
2
2,9; 3 , 1,2,3,
1
n
n
n
x
x x n
x
+

u n< < + ∀ ∈¥
(1). Thật vậy
Với
1n =
thì bất đẳng thức trên luôn đúng. Giả sử bất đẳng thức trên đúng đến
n
, tức là
3
3 3
2
n
u< < +
. Ta
có
1
( )
n n
u f u
+
=
và
f
là nghịch biến trên
(1, )+∞
nên
1
3
( 3) 3
2
n

→+∞ →+∞
∃ = ∃ =
, trong đó
,a b
là nghiệm của hệ phương trình
( )
( )
a f b
b f a

=


=


.
(iii) Xét hàm số
( ) ( ( ))g x f f x x= −
, với
3
3 3
2
x< < +
, có
( ) ( ). ( ( )) 1g x f x f f x
′ ′ ′
= −
. Do
3

( )
n
x
hội tụ.
Ví dụ 1.27. (VMO 2008) Cho dãy số
( )
n
x
xác định như sau
1 2
2
0, 2
1
2 , 1,2,
2
n
x
n
x x
x n
−
+
= =



= + =


Chứng minh rằng dãy

2 2 2
x
f x x
−
 
′
= < ∀ ∈
 ÷
 
và với mọi
1 3
;
2 2
x
 
∈
 ÷
 
thì
3
1 1
2 ; (0;1)
4 2
x−
 
∈ ⊂
 ÷
 
. Do đó
ln 2

n n
n n
x x
n n n n
x x
n n
x x u x x
u u x x
− −
− −
− −
− − −
− −
− −
− = − < −
= − < − LL
Từ đó
2 2 1 2 1
| | | | 0 ( )
n
n n
x x u x x n
−
− < − → → +∞
.
Từ đó, theo định lý Cauchy, dãy $(x_n)$ hội tụ về
α
là nghiệm của phương trình
1
2

−
 
= + ∈
 ÷
 
. Ta có
1 1 3
( ) 2 ·ln 0 ;
2 2 2
x
f x x
−
 
′
= < ∀ ∈
 ÷
 
. Do đó hàm
1 3
( ), ;
2 2
y f x x
 
= ∈
 ÷
 
là hàm giảm. Vậy, mỗi dãy
( ) ( )
2 2 1
,

γ α
δ β

=

=


=


=

Giải hệ thu được
1
α β γ δ
= = = =
. Vậy
lim 1
n
n
x
→+∞
=
.
Lời giải 3. Bằng quy nạp, dễ dàng chứng minh được
1 3
2
2 2
n

 
∈
 ÷
 
thì
3
1 1
2 ; (0;1)
4 2
x−
 
∈ ⊂
 ÷
 
. Do đó
ln 2
| ( ) | 1
2
f x u
′
< = <
.
Mặt khác, theo định lý Lagrange thì với mọi
1 3
2 2
x y< ≤ <
đều tồn tại
( ; )t x y∈
sao cho
2 2 ( )( )

+
(đều cho bởi hệ thức truy hồi
2
( )
n n
x f x
+
=
hội tụ. Bằng việc giải phương trình
giới hạn, thu được
lim 1
n
n
x
→+∞
=
.
Bài tập tương tự
Bài tập 1.28. Cho dãy số
( )
n
x
xác định như sau
0 1
2
1, , 0
1
n
n
n

a
x x n
x
+
>


 

+ =
 ÷

 

Khảo sát sự hội tụ của dãy.
Bài tập 1.30. Khảo sát sự hội tụ của dãy
0 1
1
( ) : 1, , 0
2
n n
n
x x x n
x
+
= = ≥
+
.
Bài tập 1.31. Khảo sát sự hội tụ của dãy
0 1

n n
n
x x x n
x
+
= = − ≥
.
Bài tập 1.34. Khảo sát sự hội tụ của dãy
2
0 1
3
( ) : 0, , 0
2( 1)
n
n n
n
x
x x x n
x
+
+
> = ≥
+
.
Bài tập 1.35. Khảo sát sự hội tụ của dãy
3
0 1
( ) : , 7 6, 0
n n n
x x x x n

∈ − = + − + ≥
. Bài tập 1.39. Khảo sát sự
hội tụ của dãy
0 1 1 0
( ) : 0, , 0
n n n n
x x x x x x n
+ −
> = + + ≥L
.
Bài tập 1.40. Khảo sát sự hội tụ của dãy
1 1
( ) : 2, 2 1
n n n
x x x x n
+
= = ∀ ≥
.
Bài tập 1.41. Khảo sát sự hội tụ của dãy
2
3
0 1 2 1
( ) : 1, , , 0
n n n n
x x x a x x x n
+ +
= = = ≥
.
Bài tập 1.42. Cho dãy số
( )

( ), 1,2,3
n
x n =
được xác định bởi
1
x a=
và
3 2
1
3 7 5
n n n n
x x x x
+
= − +
với mọi
1,2,3, n =
, trong đó
a
là một số thực thuộc đoạn
4
0,
3
 
 
 
.
Chứng minh rằng dãy số
( )
n
x

( , )a b
, xét dãy số
( ),
n
x n∈¥
, được xác định bởi
0
x a=
và
1
.sin
n n n
x x b x
+
= +
với mọi
n∈¥
.
(1) Cho
1b =
. Chứng minh rằng với mọi số thực
a
, dãy
( )
n
x
có giới hạn hữu hạn khi
n → +∞
. Hãy tính giới hạn
đó theo

để với mọi giá trị ban đầu
( )
0
0;x c∈
dãy
( )
n
x
được xác định với mọi giá trị
n
và tồn
tại giới hạn hữu hạn
lim
n
x
khi
n → +∞
.
Bài tập 1.47. (VMO 1998B). Cho số thực
a
. Xét dãy số
( ), 1,2,3,
n
x n =
được xác định bởi
( )
2
1 1
2
3

n
dần tới dương vô cực và tìm giới hạn đó.
Bài tập 1.49. (VMO 1994A). Cho số thực
a
. Xét dãy số
( ), 0,1, 2,
n
x n =
được xác định bởi
0 1 1
2
4
, arccos .arcsin
2
n n n
x a x x x
π
π
− −
 
= = +
 ÷
 
với mọi n=1, 2, 3,
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn khi
n
dần tới dương vô cực và tìm giới hạn đó.
1.5. Định lý trung bình Cesaro và dãy số dạng
1
a

có giới hạn hữu hạn là
a
thì dãy số các trung bình
1 2

n
x x x
n
+ + +
 
 ÷
 
cũng có giới
hạn là
a
.
Chứng minh.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
0a =
. Với mọi
0
ε
>
tồn tại
*
N ∈¥
sao cho với mọi
n N≥
thì
2

≤ + < + < ∀ ≥
.
Ví dụ 1.50. Nếu
( )
1
lim
n n
n
x x a
+
→∞
− =
thì
lim .
n
n
x
a
n
→∞
=
Lời giải. Đặt
1n n n
u x x
−
= −
. Khi đó dễ thấy dãy
( )
n
u

lim
n
n
n
a a a a
→∞
=
.
Lời giải. Ta có
lim ln ln
n
n
a a
→∞
=
. Áp dụng Định lý Cesaro, ta có:
1
ln ln
lim ln
n
n
a a
a
n
→∞
+ +
=
hay
1 2
lim

=
.
Lời giải. Đặt
1
, 2
n
n
n
a
b n
a
+
= ≥
. Dễ thấy dãy
( )
n
b
thỏa mãn ví dụ 1.50 nên
1 2
lim
n
n
n
b b b a
→∞
=
hay
lim
n
n

1 1
1, sin
n n
x x x
+
= =
. Chứng minh rằng
lim 1.
n
n
nx
→∞
=
Bài tập 1.55. (TST VN 1993). Dãy số
{ }
n
x
xác định bởi
1 1
1
1,
n n
n
x x x
x
+
= = +
. Hãy tìm tất cả các số
α
để dãy số

n
x
xác định bởi
1 1
3
1
1, 1
n n
n
x x x n
x
+
= = + ∀ ≥
. Chứng minh rằng tồn tại
,a b
sao cho
lim 1
n
b
n
x
an
→∞
=
.
2 Bài toán dãy số qua các kì thi IMO
2.1 IMO 2009
Bài 2.1.1 (IMO 2009) . Giả sử
1 2 3
, , , s s s

s k s k s k
s s s
+ + +
đều là cấp số cộng. Chứng minh
rằng
1 2 3
, , , s s s
cũng là một cấp số cộng.
Chứng minh.
Gọi
D
và
E
lần lượt là công sai của các cấp số cộng
1 2 3
, , ,
s s s
s s s
và
1 2 3
, , ,
s k s k s k
s s s
+ + +
. Đặt
1
s
A s D= −
và
1

+
+ − < ≤
từ đó ta thu được
1 ( 1) ,A nD k B nE A n D+ + − < + ≤ + +
điều này tương đương với
0 1 ( ) ,k B A n E D kD< − + − + − ≤
nếu
D
khác
E
thì cho
n → ∞
ta thấy mâu thuẫn với bất đẳng thức trên nên
D E=
và do đó
0 1 .k B A kD
≤ − + − ≤
(1)
Đặt
{ }
1
min : 1,2,
n n
m s s n
+
= − =
. Khi đó
1 1 1 1
( ) ( )
s k s s k s

, , , s s s
là một
dãy tăng ngặt ta có
n k n
s s k
+
= +
. Mặt khác do
1

n n n k n
s s s s k
+ +
< < < = +
nên
1
1
n n
s s
+
= +
và do đó
1 2 3
, , , s s s
là
một cấp số cộng với công sai bằng 1.
(b)
B A kD− <
.
Chọn số nguyên dương

(4)
Từ các bất đẳng thức (2), (3) và (4) ta thu được các đẳng thức sau:
B A km− =
và
( )kD m B A= −
.
Giả sử tồn tại số nguyên dương
n
sao cho
1n n
s s m
+
> +
. Khi đó
1
1
( 1) ( )
n n
n n s s
m m m s s s s
+
+
+ ≤ − ≤ −
2
( )
( ( 1) ) ( )
m B A
A n D A nD D m
k
−

s s s
s s s
+ + +
đều là cấp số nhân. Chứng minh rằng
1 2 3
, , , s s s
cũng là một cấp số nhân.
Bài 2.1.4. (Mở rộng của bài toán 2.1.3) Cho
k
là một số nguyên dương. Giả sử
1 2 3
, , , s s s
là một dãy tăng
nghặt các số nguyên dương sao cho các dãy con
1 2 3
, , ,
s s s
s s s
và
1 2 3
, , ,
s k s k s k
s s s
+ + +
đều là cấp số nhân. Chứng minh
rằng
1 2 3
, , , s s s
cũng là một cấp số nhân.
IMO 2010

Chứng minh.
Từ điều kiện bài toán và với mỗi
n
a
(
n s>
) ta có đẳng thức sau
1 2
n j j
a a a= +
với
1 2 1 2
, ,j j n j j n< + =
nếu
1
j s>
thì ta có thể viết được
1
j
a
giống như
n
a
. Cuối cùng, ta có thể viết được đẳng thức dưới đây
1 2
,
k
n i i i
a a a a= + + +
(1)

Ta sẽ chứng minh với mọi
n
thì
0
n
b ≥
, và dãy
{ }
n
b
thỏa mãn các tính chất giống như dãy
{ }
n
b
.
Thật vậy nếu
n s≤
thì ta có ngay
0
n
b ≥
theo cách xác định của
m
. Bây giờ ta xét nếu
n s>
và sử dụng phương
pháp quy nạp cùng với đánh giá sau
1 1 1 1
max ( ) max ( )
n k n k k n k

n
, vì vậy
n
a mn=
, và trường hợp này là tầm thường.
Nếu tồn tại
1 1k n
≤ ≤ −
sao cho
n
b
khác 0, ta xác định
{ }
1
max , min :1 , 0 .
i i i
i s
M b b i s b
ε
≤ ≤
= = ≤ ≤ >
Khi đó với
n s>
ta đạt được
1 1
max ( ) ,
n k n k l n l n l
k n
b b b b b b
− − −

Ta chứng minh tập này chỉ có hữu hạn phần tử. Thật vậy, với mọi
x T∈
, biểu diễn được
1 2
1
(1 , , )
k
i i i k
x b b b i i s= + + + ≤ ≤
. Khi đó chỉ có tối đa
M
ε
số
j
i
b
khác 0 (vì nếu ngược lại thì
.
M
x M
ε
ε
> =
điều
này vô lý). Vì vậy
x
chỉ có thể biểu thành tổng của
k
số
j

n N l> +
.
Từ bài toán này ta có thể xây dựng được một số dạng bài tập sau và điều kiện dãy số dương là không cần
thiết.
Bài 2.2.2
Cho
1 2 3
, , , a a a
là một dãy số thực. Giả sử với số nguyên dương
s
cho trước, ta có
{ }
min :1 1
n k n k
a a a k n
−
= + ≤ ≤ −
với mọi
n s>
. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương
l
và
N
, với
l s≤
và thỏa mãn
n l n l
a a a
−
= +

với mọi
n N≥
.
Chứng minh.
Đặt
ln
n n
b a=
thì dãy
1 2 3
, , , b b b
là một dãy số thực và với cách chứng minh tương tự như bài 2.2.1 ta sẽ
thu được kết quả bài toán trên.