Phụ lục B
Hệ động lực hồi quy và hệ động
lực tuần hoàn
Q-1 Ma trận lũy linh
Ma trận lũy linh và ma trận tuần hoàn là các vấn đề đã được đề cập đến.
Trong chương này, chúng ta sẽ nghiên cứu, khai thác mặt ứng dụng của chúng;
chẳng hạn như nếu ma trận cộng đồng trong các hệ sinh học là ma trận luỹ
linh hay tuần hoàn thì dáng điệu của hệ khi thời gian ra vô cùng sẽ dễ dàng
nhận được nhờ tính chất đặc biệt của các ma trận này. Mặt khác, sử dụng
khai triển Jordan chúng ta có thể tìm được công thức nghiệm tường minh và
một một phép chứng minh mới về tính ổn định nghiệm của hệ động lực (cả
rời rạc và liên tục).
Định nghĩa Q.5. Ma trận vuông A được gọi là ma trận lũy linh nếu tồn tại
số nguyên dương p sao cho A
p
=0(ở đây 0 là ma trận không). Đa thức đặc
trưng của ma trận được định nghĩa bởi
χ
A
(λ) = det(λI −A).
Định lý Q.9. Cho A là một ma trận vuông cỡ n ×n trên trường bất kỳ. Thế
thì, A là ma trận lũy linh nếu và chỉ nếu
χ
A
(λ)=λ
n
.
539
540 Phụ lục B
Chứng minh. Nếu đa thức đặc trưng của ma trận A có dạng λ
n

n
||
1
n
.
Mà A là ma trận lũy linh nên tồn tại số nguyên dương p>1 sao cho A
p
=0.
Do vậy ρ(A)=0nên λ =0. Vậy đa thức đặc trưng của A phải có dạng λ
n
.
Kết hợp định lý này với định lý Caley - Hamilton ta có
Hệ quả Q.2. Nếu A là một ma trận lũy linh cỡ (n × n), thì ta có A
n
=0.
Nhận xét Q.4. Hệ quả này nói rằng nếu ta cần kiểm tra tính luỹ linh của
một ma trận n × n thì chỉ cần tính đến luỹ thừa thứ n của nó là đủ. Nếu tới
luỹ thừa n mà vẫn chưa nhận được ma trận 0 thì ma trận đó chắc chắn không
thể là ma trận luỹ linh được. Hơn nữa ta cần chú ý rằng tổng cũng như tích
của hai ma trận luỹ linh không nhất thiết phải là luỹ linh. Thật vậy xét hai ma
trận luỹ linh (2 × 2) sau đây
A =

01
00

và B =

00
10

nhận thấy rằng nếu hai ma trận luỹ linh A và B là tựa giao hoán với nhau
(AB = λ ·BA) thì rõ ràng cả tổng và tích của chúng là luỹ linh. Đảo lại ta có
hai mệnh đề quan trọng sau đây:
Mệnh đề Q.1. Nếu A, B và A + B là các ma trận lũy linh cỡ (2 ×2) thì ta
có AB = −BA. Từ đó, AB và BA là các ma trận lũy linh.
Chứng minh. Theo định lý Q.9 ta có A
2
= B
2
=(A+B)
2
=0.Vìvậy,AB +
BA =0,dođóAB = −BA. Từ đó suy ra, (AB)
2
= ABAB = −AABB =0,
do đó AB là ma trận lũy linh. Tương tự ta thu được BA là ma trận lũy linh.
Mệnh đề được chứng minh
Mệnh đề Q.2. Nếu A, B và AB,BA là các ma trận lũy linh cỡ (2 × 2) thì
A + B là ma trận lũy linh và ta cũng thu được AB = −BA.
Chứng minh. Ta có
(A + B)
2
= A
2
+ AB + BA + B
2
= AB + BA.
Từ đó,
(A + B)
4

0 −44

không là ma trận luỹ linh vì
(AB)
3
=

00 0
0 −32 16
0 −32 32

=0.
Ví dụ Q.23. Với A =

010
001
000

và B =

000
000
100

. Dễ kiểm tra
được AB, BA, A, B là các ma trận luỹ linh nhưng ma trận
A + B =

010
001

= I nên U là ma trận tuần hoàn. Đây là một phép quay quanh
gốc toạ độ với góc
2π
p
. Rõ ràng là sau p bước ta quay về vị trí ban đầu. Một
lớp các ví dụ hấp dẫn khác là các ma trận hoán vị. Những ma trận này dùng
để biểu diễn các nhóm đối xứng. Để cụ thể hơn những vấn đề này ta ký hiệu V
là không gian véc tơ n chiều trên trường số phức với cơ sở là {v
1
,v
2
, ···,v
n
}.
Kí hiệu S
n
là nhóm đối xứng với các phần tử là các hoán vị của tập hợp
{1, 2, ···,n}. Tương ứng với mỗi hoán vị σ ta thành lập ánh xạ tuyến tính P
σ
như sau P
σ
v
j
= v
σ(j)
với j =1, 2, ···,n. Ma trận của ánh xạ tuyến tính P
σ
trong cơ sở {v
1
,v

3
(1,3,2)
= I và đa thức đặc trưng của P
(1,2)
là
χP
(1,2)
=(λ
2
−1)(λ−1) còn đa thức đặc trưng của P
(1,3,2)
là χP
(1,3,2)
=(λ
3
−1).
Bây giờ ta sẽ nghiên cứu chi tiết đa thức đặc trưng của các ma trận tuần
hoàn.
Bổ đề Q.1. Nếu U
p
= U
q
= I, trong đó p và q là các số nguyên tố cùng nhau
thì U = I.
Chứng minh. Vì p và q là hai số nguyên tố cùng nhau, nên tồn tại các số
544 Phụ lục B
tự nhiên m và n sao cho pm = nq +1. Do đó,
U
mp
= U

p−2
+ ···+1).
Vậy đa thức đặc trưng của A chỉ có thể là một trong hai dạng trên. Ta đã
chứng minh xong.
Nhận xét Q.7. Điều kiện các giá trị riêng của A phải phân biệt là vô cùng
quan trọng không thể bỏ được. Ví dụ ma trận đơn vị I thoả mãn tất cả các điều
kiện khác của định lý này mà không có đa thức đặc trưng như hai dạng trên.
Hệ quả Q.3. Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 2 thì ít nhất một trong hai số
{cos(2π/p), sin(2π/p)} phải là số vô tỷ.
Chứng minh. Ta xét ma trận sau
U =

cos(2π/p) sin(2π/p)
−sin(2π/p) cos (2π/p)

.
Khi đó U
p
= I. Nếu cả hai số {cos(2π/p), sin(2π/p)} là số hữu tỷ, ta sử dụng
định lý 1.2 và nhận được p =2hoặc 3. Theo giả thiết của ta p là số nguyên
Q-2. Ma trận tuần hoàn
545
tố lớn hơn 2. Với p =3ta có ngay sin(2π/3) =
√
3/2 là số vô tỷ. Hệ quả được
chứng minh xong.
Bây giờ ta xét đa thức đặc trưng của các ma trận hoán vị. Trước hết nhận
xét rằng véc tơ v = v
1
+ v

. Không mất tính tổng quát, giả sử σ là vòng xích (1, 2, ···,p).
Khi đó {v
p+1
, ···,v
n
} là n − p véc tơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với
giá trị riêng 1. Bây giờ đặt ς = cos(2π/p)+i sin(2π/p) là căn bậc p của 1 và
u
j
= ς
jp
v
1
+ ς
j(p−1)
v
2
+ ···+ ς
j
v
p
với j =1, 2, ···,p. Khi đó
P
σ
u
j
= ς
jp
v
2

Bổ đề được chứng minh.
Định lý Q.11. Giả sử τ ∈ S
n
được biểu diễn dưới dạng tích của k vòng xích
rời nhau σ
1
,σ
2
, ···,σ
k
. Giả sử p
i
là độ dài của σ
i
(với i =1, 2, ···,k)và
546 Phụ lục B
q = n −(p
1
+ p
2
+ ···+ p
k
). Thế thì đa thức đặc trưng χ(λ) của ma trận hoán
vị P
τ
là
(λ
p
1
− 1)(λ

τ
tương ứng với giá trị riêng 1 là
v
p
1
+p
2
+1
, ···,v
n
. Bây giờ giả sử ς
1
= cos(2π/p
1
)+i sin(2π/p
1
) là nghiệm phức
thứ p
1
của 1(ς
p
1
=1)và giả sử ς
2
= cos(2π/p
2
)+i sin(2π/p
2
) là nghiệm phức
thứ p

−p
2
.
Định lý được chứng minh.
Tiếp theo ta ta nghiên cứu không gian véc tơ tuyến tính định chuẩn k chiều
V trên trường số phức C. Ma trận lũy đẳng là ma trận vuông U cỡ (k × k)
sao cho U − I là ma trận lũy linh. Rõ ràng, đa thức đặc trưng của ma trận
lũy đẳng U là (λ − 1)
k
. Vì vậy, bán kính phổ của ma trận lũy đẳng là 1.Đểý
rằng, chuẩn của các ma trận lũy linh có thể rất lớn, mặc dù bán kính phổ của
chúng là 0.
Ta định nghĩa
e
At
= I +
t
1!
A + ···+
t
n
n!
A
n
+ ···.
Rõ ràng, chuỗi này hội tụ với chuẩn của ma trận. Từ định nghĩa, dễ thấy
◦ (e
At
)


k−1
(k −1)!
N
k−1
là ma trận lũy đẳng.
Ta hãy xét các ví dụ sau,
◦ Nếu U =

01
10

thì e
Ut
=

cosh t sinh t
sinh t cosh t

(U
2
= I);
◦ Nếu U =

01
−10

thì e
Ut
=


(t)=α
1
e
λ
1
t
e
Nt
v
1
+ α
2
e
λ
2
t
e
Nt
v
2
+ ···+ α
k
e
λ
k
t
e
Nt
v
k

j
||=0,
và suy ra (4.2).
Chú ý rằng nghiệm của hệ

˙x(t)= y(t)
˙y(t)= 0
có dạng

x(t)= a + bt
y(t)= b
Ma trận A của hệ này là ma trận lũy linh và chỉ có một véc tơ riêng (độc lập
tuyến tính). Để ý rằng
e
At
= I + tA =

1 t
01

và ta luôn có nghiệm của hệ ˙u
(t)=Au(t) với t>0 là u(t)=e
At
u(0).
Tiếp theo, ta chứng minh tính ổn định nghiệm của hệ động lực rời rạc bằng
cách dùng khai triển Jordan nhân tính. Nhắc lại rằng tất cả các ma trận khả
nghịch A đều có thể biểu diễn (duy nhất) dưới dạng tích (giao hoán được) của
một ma trận nửa đơn S và một ma trận lũy đẳng U (khai triển Jordan nhân
tính). Giá trị riêng của S chính là giá trị riêng của A. Ta có định lý quen thuộc
sau mà phép chứng minh nó có thể thấy dễ dàng nhờ sử dụng khai triển này.

u
n
= α
1
λ
n
1
U
n
v
1
+ α
2
λ
n
2
U
n
v
2
+ ···+ α
k
λ
n
k
U
n
v
k
với n =0, 1, ··· (4.3)

k
v
k
.
Thay vào công thức u
n
= A
n
u
0
ta có ngay
u
n
= A
n
u
0
= U
n
S
n
(α
1
λ
1
+ α
2
λ
2
v

k
U
n
v
k
.
Nếu giá trị tuyệt đối của λ nhỏ hơn thì | λ
n
|=(1+a)
−1
tiến tới 0 rất
nhanh khi n tiến tới vô cùng. Còn chuẩn của ma trận luỹ đẳng
U
n
=(I + N)
n
=
k−1

r=0
n(n −1) ···(n −r +1)
r!
N
r
sẽ bị chặn trên bởi đa thức
p(n)=
k−1

r=0
|| N ||

=0.
Để ý rằng ma trận lũy linh
A =

01
00

.
có duy nhất một véc tơ riêng (độc lập tuyến tính)
v
1
=

1
0

nên nghiệm tổng quát của hệ u
n+1
= Au
n
với n =0, 1, 2, ···, không có dạng
(4.3) trong định lý trên. Hơn nữa, u
0
và u
1
không nhất thiết là 0 và u
n
=0
với tất cả n>1.
Tài liệu tham khảo

[17] Lê Hải Châu, Thi vô địch toán Quốc tế, Nhà xuất bản trẻ, 2001.
[18] Đoàn Quỳnh, Số phức với Hình học phẳng, Nhà xuất bản Giáo dục, 1998.
[19] Titu Andresscu, Complex Numbers from A to Z, Birkhauser, 2000.
[20] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Một số chuyên đề số học chọn lọc, Nhà xuất
bản Giáo dục, 2008
[21] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề hình học và các vấn đề liên quan,
Nhà xuất bản Giáo dục, 2008
[22] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn
Đăng Phất, Một số chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng. Nhà xuất
bản Giáo dục, 2008.
[23] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số và phân thức hữu tỉ , Nhà xuất bản
Giáo dục, 2007 (tái bản lần thứ hai).
TÀI LIỆU THAM KHẢO 553
[24] Đại số 10, Nhà xuất bản Giáo dục, 1969.
[25] Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục, 2009.
[26] Bl. Sendov, A. Andreev and Kjurkchiev, Numerical Solution of Polyno-
mial Equations (Part 2, Vol. VIII trong bộ sách Handbook of Numerical
Analysis, Eds., P. G. Ciarlet and Lions), Nhà xuất bản Elsevier Science,
1994.
[27] Chủ biên: P. C. Aleksandrov, A. I. Markusevich, A. Ia. Khinchin, Từ điển
toán sơ cấp, Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên bang Nga, Nhà xuất
bản sách kĩ thuật - lí thuyết, Moskva, 1951 (tiếng Nga), trang 356 - 379.
[28] Nguyễn Hữu Điển, Đa thức và ứng dụng. Nhà xuất bản Giáo dục, 2005.
[29] Ngô Việt Trung, Lý thuyết Galoa, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà
Nội, 2005.
[30] Tạ Duy Phượng, Phương trình bậc ba và các hệ thức trong tam giác, Nhà
xuất bản Giáo dục, 2004.
[31] Eric W. Weisstein, CRC Consise Encyclopedia of Mathemtics, CRC Press
LLC, USA, 1999.
[32] A. Sveshnikov, A. Tikhonov, The Theory of Function of a complex vari-