


=
≥
ax
x
2
0
CHỦ ĐỀ 1
CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI
VẤN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
a. Căn bậc hai của một số a > 0 là một x sao cho x
2
= a
VD : CBH của 4 là 2 và -2
b. Căn bậc hai số học của một số a không âm là một x, ký hiệu
là
a
sao cho
Vậy ta có : x =
a
⇔

VD :
5;24 == 25
Như vậy, khi biết căn bậc số học của một số, ta dể dàng xác đònh được các căn bậc hai
của nó. Chẳng hạn, căn bậc hai số học của 25 là 5 suy ra 25 có hai căn bậc hai là 5 và -5
• Chú ý :
Với hai số a và b không âm, ta có : a < b ⇔

f)
7,045,0 <
g)
1,001,0 <
h) Nếu 0 < a < 1 thì
aa <
i) Nếu a > 1 thì
aa >
1



=
≥
ax
x
2
0
3. Tìm căn bậc số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng :
121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400; 0,01; 0,04; 0,49; 0,64; 0,25; 0,81.
4. So sánh :
a) 2 và
3
11) −+ 3 và 1 e) 2 và 2 d) 47 và 7 c) 41 và 6 b
5. Tìm x không âm, biết :
422053) <<−==== 2x f) x e) x d) x c) x b) x a
VẤN ĐỀ 2. CĂN THỨC BẬC HAI
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
a) Cho A là một biểu thức đại số, khi đó
A

23)
)1,0()
−+
684
222
(-5)2 h)(-5) g) 3-4- f) (-2)5
(-0,4)0,4 d) (-1,3)- c) (-0,3) b)
e
a
3. Xác đònh tính Đúng (Đ), sai (S) :
Khẳng đònh Đ S
a)
( )
3131
2
−=−
b)
( )
1221
2
−=−
c)
11 ±=
d)
xx −=−
2
)(
e)
-2 a với ≥+=+ 2)2(
2

64
2
<−+
≥+<−
32
2
35
352)
aa
aaaa
6. Phân tích thành nhân tử :
a) x
2
– 3 b) x
2
– 6 c)
332
2
++ xx
d) x
2
- 2
55 +x
Khẳng đònh Đ S
a) Mọi số dương đều có hai giá trò căn bậc hai đối nhau
b) Mọi số thực a đều có một giá trò căn bậc hai số học
c) Với mọi a ∈ R,
aa =
2
d) Với mọi a ∈ R,

a
2. Tính :
42
3.)7.(64.09,0)
80.45)
24
2 h)12,1.360 g) 2 f)
2,5.14,4 d) 90.6,4 c) 75.48 b)
−e
a
3
3. Rút gọn các biểu thức sau :
0 a với a)-(3 h) 0 a với 5a g)
0 a với 13a f) 0 a với
3
2a
e)
b a với
b-a
1
d) 1 a với a)-27.48(1 c)
3 a với a b) 0a với
2
2
4
>−>−
>>
>−>
≥−<
2

==−+
=++
)44(9)
))
22
2
bbab
a
6. Tính :
0,5
12,5
d)
23
2300
c)
144
25
b)
169
9
)a
7. Rút gọn các biểu thức sau :
( )
( )
-2)(x 8-4x h)3)(x
2)-(x
g)
0)y1;y(x,
y
1-x

2
2
3
1
)3(
1
12
112
1
128
20
3
7
63
)
232
2
4
2
66
6
3
3
x
xx
x
x
x
x
yy

4
5,0
42
d)
0) z 0; x (với <>=
224
3
2
10.01,0
10
y
x
zy
x
z
4
9. Hãy chọn đáp án đúng
Cho biểu thức :
1)(a <
−
−
=
2
2
)1(
36
48
1
a
a

oOo
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
0) (B
≥=
BABA .
2
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
0) B 0;A ( BA
0) B 0;(A
≥≤−=
≥≥=
BA
BABA
.

2
2
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

0) AB ; 0(B
≥≠=
B
AB
B
A
4. Trục căn thức ở mẫu
a. Trường hợp mẫu có dạng một tích
0) C 0;(B >≠=
CB

6 và
2
1
d)
5
1
và
3
1
c) 53 và 7 b) 12 và 33 615051)a
4. Khử mẫu của các biểu thức sau :
b
a
a
b
36
9
;;;;
600
1
3
b
a
;
b
a
ab
50
3


5
;
10
5
3
3

6. Rút gọn các biểu thức sau :
( ) ( )
( )
( )
3
1
15
11
33
75248
4
3
3
4
12
3
4
)
32:6.)2(35327523818)
80
4
1
5349

x
x
x
x
P
−
+
+
+
+
−
+
=
4
52
2
2
2
1
a) Rút gọn P nếu x ≥ 0; x ≠ 4
b) Tìm x để P = 2
9. Cho biểu thức :









a) Rút gọn Q với a > 0; a ≠ 4 và a ≠ 1
b) Tìm giá trò của a để Q dương.
10. Cho biểu thức :
222222
:1
baa
b
ba
a
ba
a
R
−−








−
+−
−
=
với a > b > 0
a) Rút gọn R
b) Xácđònh giá trò của R khi a = 3b
6
0) b0; b0; a (

a
b
b
a
aba
11. Cho biểu thức :
1 x và 0 x với ≠≥








−
+
+








++
−
−
+









−
+
+
+
=
xxx
x
x
x
x
x
C
1
3
13
:
9
9
3
a) Rút gọn C
b) Tìm x sao cho C < -1
13. Chứng minh các đẳng thức sau :








−
+








−
+
+
−
=
−
−
+
−
−
−
+
≠≥−=






−
−
+
−
−
−=








−
−
ba
ba
ab
ba
bbaa
f
ba
b
ab

+
−
−
−+
=
4
2
a) Tìm điều kiện để A có nghóa
b) Khi A có nghóa, chứng minh rằng giá trò của A không phụ thuộc vào a
7
CHỦ ĐỀ 2
HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
 Hàm số bậc nhất có dạng tổng quát là : y = ax + b (a ≠ 0) (*)
 Hàm số (*) đồng biến khi a > 0
 Hàm số (*) nghòch biến khi a < 0
 Đồ thò của hàm số (*) là đường thẳng có hệ số góc là a.
 Cho hai đường thẳng :
(d
1
) : y = a
1
x + b
1
(d
2
) : y = a
2
x + b
2

=
=
21
21
bb
aa
II. LUYỆN TẬP
1. Cho hàm số : y =
x
4
3
. Tính
f(-5); f(-4); f(-1); f(0); f(
)
2
1
f(1); f(2) f(4) f(a) f(a+1)
2. Trong các hàm số dưới nay, hàm nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác đònh các hệ số a, b và
xét tính đồng biến hay nghòch biến của nó
a) y = 3 – 0,5x b) y = -1,5x c) y = 5 – 2x
2
d) y =
1)12( +− x
e) y =
)2(3 −x
f) y +
32 −= x
3. Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x + 5
a) Tìm m để hàm số là hàm đồng biến
b) Tìm m để hàm số là hàm nghòch biến

a) Tìm b
b) vẽ đồ thò ứng với b tìm được ở câu a
8. Cho đường thẳng y = (1 – 4m)x + m – 2 (d)
a) Tìm m để (d) đi qua gốc tọa độ
b) Tìm m để (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng
2
3
c) Tìm m để (d) cắt trục hoàng tại điểm có hoành độ bằng
2
1
9. Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠ 2) (d)
Tìm các giá trò của m và n trong mỗi trường hợp sau :
a) (d) đi qua hai điểm A(-1; 2); B(3; -4)
b) (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 -
2
và cắt trục hoành
tại điểm có hoành độ bằng 2 +
2
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng -2y + x – 3 = 0
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0
10. Với giá trò nào của m thì đồ thò hai hàm số y = 2x + 3 + m và y = 3x + 5 – m cắt
nhau tại một điểm nằm trên trục tung
11. Tìm giá trò của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song
nhau
12. Xác đònh k và m để hai đường thẳng sau nay trung nhau :
y = kx + (m – 2) ; y = (5 – k)x + (4 – m)
13. a) Vẽ đồ thò hai hàm số sau trên cùng mặt phẳng tọa độ :
y = 0,5x + 2; y = 5 – 2x
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B và giao điểm

''' c
c
b
b
a
a
==
Hệ (*) vô nghiệm nếu :
''' c
c
b
b
a
a
≠=
Hệ (*) có nghiệm duy nhất nếu :
'' b
b
a
a
≠
Để giải hệ phương trình ta có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số (xem
trong sách Toán 9 tập 2).
II. LUYỆN TẬP.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau :



=
=

15y3x
b)
232y5x
5y-3x
)a
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau :





=−
=+



=
=+





=+−
−=−



=+
=

f)
-813y12x
57y-8x
)
414y9x
14,2y3,3x
d)
0,521y15x
89y-10x
c)
-243y-4x
167y4x
b)
3111y10x
-711y-2x
)
yx
yx
yx
yx
e
a
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau :








++=+



+=+
+=+
8
311
8
51
yx
1
e)
35
94
9
7
x
15
d)
5
111
5
411
)
2xy-2)-x)(y(y1)x)(y-(y
2xy1)y)(x-(x1) -y)(x (x
b)
3) 1)(2y -(6x 6) -1)(3y (4x
1) -7)(y (2x5)3)(2y-(x

13)2(5
)
22
Bài 6. Tìm giá trò của a và b để hai đường thẳng :
(d
1
) : (3a – 1)x + 2by = 56
(d
2
) :
3)23(
2
1
=+− ybax
Cắt nhau tại điểm M(2; -5)
Bài 7. Tìm a và b
a) để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3) và B






−1;
2
3
b) Để đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6 và đi qua giao điểm của hai đường
thẳng (d
1
) : 2x + 5y = 17; (d




−=
=
0y
1x
D)
1y
-1x
C)
2
1
y
0x
B)
1
1
)
y
x
A
Bài 9. Với giá trò nào của m thì hệ sau vô nghiệm :



=+
=−+
3
0132

Nghòch biến khi x < 0
Đồng biến khi x > 0
x -∞ 0 -∞
y
0
Đồ thò :
Đồng biến khi x < 0
Nghòch biến khi x < 0
x -∞ 0 -∞
y 0

Đồ thò
II. LUYỆN TẬP
1. Vẽ đồ thò của các hàm số sau :
a) y = x
2
b) y = -x
2
c) y =
2
2
1
x−
d) y =
2
2
1
x
e) y =
2

2
a) Vẽ đồ thò hàm số
b) Các điểm sau đây có thuộc đồ thò hay không : A(3; 0,9), B(-5; 2,5), C(-
10; 1)
5. Cho hàm số y = ax
2
. Xác đònh hệ số a trong các trường hợp sau :
a) Đồ thò của nó đi qua điểm A(3; 12)
b) Đồ thò của nó đi qua điểm B(-2; 3)
c) Vẽ đồ thò hàm số ứng với hệ số a tìm được ở câu a.
6. Cho hàm số y = 0,2x
2
a) Biết rằng điểm A(-2; b) thuộc đồ thò, hãy tính b. Điểm A’(2; b) có
thuộc đồ thò không ? vì sao ?
b) Biết điểm C(c; 6) thuộc đồ thò, hãy tính c. Điểm C’(c; -6) có thuộc
đồ thò không ? vì sao ?
7. Cho hai hàm số : y = 2x
2
và y = x
a) Vẽ đồ thò hai hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thò.
8. Cho hàm số y = ax
2
.
a) Xác đònh hệ số a biết rằng đồ thò của nó cắt đường thẳng y = -2x +
3 tại điểm A có hoành độ bằng 1
b) Vẽ đồ thò của hàm số y = -2x + 3 và của hàm số y = ax
2
với giá trò
của a vừa tìm được trong câu a) trên cùng mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thò tìm tọa

• TH1 : ∆ < 0
 Phương trình (*) vô nghiệm
• TH2 : ∆ = 0
 Phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
b
2
−
• TH3 : ∆ > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
Trong trường hợp hệ số b chia hết cho 2, thì ta sử dụng cộng thức nghiệm thu gọn :
Tính b’ =
2
b

∆’ = b’
2
– ac
• TH1 : ∆’ < 0
Phương trình vô nghiệm
• TH2 : ∆’ = 0
Phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=

xx
a
b
xx
=
−=+
21
21
.
14
a
b
x
a
b
x
''
;
''
21
∆−−
=
∆+−
=
a
b
x
a
b
x

2
– 0,192 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a) (x – 3)
2
= 4 b)
03
2
1
2
=−






− x
c)
( )
0822
2
=−−x
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a) 2x
2
– 5x + 1 = 0 b) 4x
2
+ 4x + 1 = 0 c) 5x
2

d) 9x
2
+ 6x + 1 = 0 e) 3x
2
– 2x – 5 = 0 f) 5x
2
+ 2x – 16 = 0
g)
0
3
16
2
3
1
2
=−+ xx
h)
023
2
1
2
=+− xx
i) 7x
2
– 9x + 2 = 0
Bài 5. Giải các phương trình sau :
5.1) 3x
2
– 2x = x
2

– 3x + 4)(x
2
– 3x + 2) = 3
Bài 6 . Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trò của m để phương trình có nghiệm kép.
a) mx
2
– 2(m – 1)x + 2 = 0 b) 3x
2
+ (m + 1)x + 4 = 0
Bài 7. Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trò của m để phương trình có nghiệm :
a) mx
2
+ (2m – 1)x + m + 2 = 0 b) 2x
2
– (4m + 3)x + 2m
2
– 1 = 0
Bài 8. Với giá trò nào của m thì :
a) Phương trình 2x
2
– m
2
x + 18m = 0 có một nghiệm x = -3
b) Phương trình mx
2
– x – 5m
2
= 0 có một nghiệm x = -2
Bài 9. Với giá trò nào của m thì các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
a) x

d) 1,9 và 5,1 e) 4 và 1 -
2
Bài 14. Cho phương trình x
2
– 6x + m = 0. Tình giá trò của m, biết rằng phương trình có hai
nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn điều kiện x
1
– x
2
= 4
Bài 15. Cho phương trình 2x
2
+ mx – 5 = 0
a) Tìm giá trò của m để phương trình có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm kia.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 16. Cho phương trình mx
2
– 4x + 1 = 0. Tìm m để phương trình :
a) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
b) Có hai nghiệm trái dấu.
Bài 17. Giải các phương trình sau :
a) (x + 2)
2
– 3x – 5 = (1 – x)(1 + x) b) (x – 1)
3
+ 2x = x

2
+ 1 = 0
e)
0
6
1
2
1
3
1
24
=+− xx
f)
02)32(3
24
=−−− xx
g) 2x
4
+ 7x
2
+ 3 = 0 h) 3x
4
– 5x
2
– 2 = 0
Bài 19 . Giải các phương trình sau :
1
1
1
x

16
1
3067x
e)
)4)(2(
88
42
2
)
3
1
)2)(3(
53x
c) 3
1
30
3-x
16
b) 1
1
8
1-x
12
)
234
2
2
2
3
23

+
=
+
−
−
−
=
+−
+−
=
−
+=
+
−
xx
x
j
xx
x
x
x
h
x
x
xxxx
xx
f
xx
xx
x

= 6(x
2
+ 3x + 2)
e (2x
2
+ 3)
2
– 10x
3
– 15x = 0 f) x
3
– 5x
2
– x + 5 = 0
Bài 21. Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
Bài 22. Chứng minh rằng phương trình x
2
– (m
2
+ 1)x – (2m
2
+ 3) = 0 có nghiệm với mọi m
16
CHỦ ĐỀ 6
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

lâu hơn thời gian ngược dòng 1 giờ và vận tốc của canô lúc ngược dòng chậm hơn
lúc xuôi dòng 6km/h. Tìm vận tốc canô lúc ngược dòng
III. LOẠI 3 . Toán có nội dung hình học
Bài 1. Tính kích thước của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 120m, diện tích bằng
875m
2
Bài 2. Một sân hình tam giác có diện tích 180m
2
. Tính cạnh của tam giác biết ràng nếu
tăng nó lên 4m và giảm chiều cao tương ứng 1m thì diện tích không đổi.
Bài 3. Một hình chữ nhật có chu vi 100m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều
17
dài 10m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m
2
. Tính chiều rộng của hình
chữ nhật lúc đầu.
Bài 4. Một tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền 13m. Tính mỗi cạnh góc vuông.
Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng
2
3
chiều rộng và có diện tích bằng
1536m
2
. Tính chu vi của khu vường đó.
Bài 6. Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích 60m
2
. Nếu chiều dài miếng đất giảm di
2m và chiều rộng miếng đất tăng thêm 2m thì miếng đất hình chữ nhật đó trở
thành hình vuông. Tính kích thước các cạnh của miếng đất ban đầu.
Bài 7. Một tam giác vuông có tổng hai cạnh góc vuông là 11 cm. Tính độ dài các cạnh