§1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
I> Lý thuyết .
1) Hệ trục tọa độ trong khơng gian: Một hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đơi một vng góc được gọi là hệ
trục tọa độ vng góc trong khơng gian.
2) Tọa độ của véc tơ:
.kz jy i x u z) y, (x,u z) y, (x, u ++=⇔⇔=
Tính chất: Cho các véc tơ
)z ,y ,(x u ),z ,y ,(x u
22221111
==
và số k tùy ý, ta có:
);z z ;y y ; x (x u u )2 ;z z ,y y , x x u u )1
21212121
0
21212121
0
±±±=±===⇔=
;z y x u )5 ;zz yy x x uu )4 );kz ;ky ;(kx uk )3
2
1
2
1
2
11
0
21212121
0
1111
0
++=++==
( )

, y
A
, z
A
), B(x
B
, y
B
, z
B
) thì
.)z - z( )y - (y ) x- (x AB )2 );z - z ,y - y , x- (x AB )1
2
AB
2
AB
2
AB
0
ABABAB
0
++==
5) Tích có hướng của hai véc tơ: Tích có hướng của hai véc tơ
)c' ,b' ,(a'v vàc) b, (a, u
là một véc tơ, ký
hiệu là
[ ]




2
1
S )5 0; w.v ,u
ABCD
0
ABC
0
===
∆
6) Phương trình mặt cầu tâm I(x
0
; y
0
; z
0
) bán kính R là: (x – x
0
)
2
+ (y – y
0
)
2
+ (z – z
0
)
2
= R
2
.

là góc giữa hai véc tơ
AB
&
AC
. Ta có cosA = cos
Ψ
= 2/3

⇒
Ψ
nhọn , vậy
Ψ
là góc giữa hai đ/t AB và AC .
Ví dụ 2 :Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1,0,1) , B(-1,1,2) , C(-1,1,0) vàD(2,-1,-2)
a)Chứng minh 4 điểm A,B,C,D là 4 đỉnh một tứ diện.
b) Tính đường cao DK của tam giác BCD.
c)Tính góc CBD và góc tạo bởi hai đường thẳng AB và CD.
d)Tính thể tích của tứ diện ABCD và tính đường cao AH của tứ diện ABCD.
Hướng dẫn giải :
a/Chứng minh các véctơ AB, AC, AD không đồng phẳng
Ta có :
02., ≠−=






ADACAB


Vậy : V
ABCD
= 1/3
Ta có AH =
13
13
3
=
S
V
ABCD
III>Bài Tập tự làm.
1. Cho ba véc tơ
5) 5; (-2; a 3),- 2; (2; b 3), 0; (-1; a ===
Tìm tọa độ của véc tơ
x
biết:
.c
3
2
b - a x d) ;c3 - b
3
1
- a5 x c) ;c
3
2
- b3 a
2
1
- x b) ;c2 - b a x )a

1
, y
1
, z
1
), C(x
3
, y
3
, z
3
), B’(x’
2
, y’
2
, z’
2
), D’(x’
4
, y’
4
,
z’
4
). Tìm tọa độ của các đỉnh còn lại.
7. CMR: A(1; -1; 1), B(1; 3; 1), C(4; 3; 1), D(4; -1; 1) là các đỉnh của một hình chữ nhật. Tính độ dài các
đường chéo, tọa độ tâm và góc giữa hai véc tơ
.BD vàAC
8. CMR: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5) là các đỉnh của một hình bình hành. Tính độ dài các đường
chéo và diện tích của hình bình hành đó.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.3 1;- 4;- w ,4 0; 4;- v ,1- 1; 2;- u )c ;1- 1; 2;- w ,3- 1; 3; v ,2- 1;- 0; u )b
======
15. Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ
c vàb ,a
trong mỗi trường hợp sau:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
;1 2; 1; c ,2 1;- 2; b ,4 3; 4; a )b ;3 2; 4; c ,2 1; 0; b ,1 1;- 1; a )a
======
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
;1 2; 2;- c ,1 1; 1; b ,2- 1; 3;- a )d ;1 0; 2; c ,3 1; 3; b ,5 2; 4; a )c
======
16. Cho ba điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 0; 1), C = (2; 1; 1).
a) CMR: ∃ ∆ABC; b) Tính chu vi và diện tích ∆ABC;
c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành;
d) Tính độ dài đường cao AH và các góc của ∆ABC.
e) Tính độ dài đường phân giác trong của góc B.
17. Cho bốn điểm A = (1; 0; 0), B = (0; 1; 0), C = (0; 0; 1), D = (-2; 1; -1).
a) ∃ tứ diện ABCD; b) Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối;
c) Tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
18. Hãy chứng minh các tính chất sau đây của tích có hướng của hai véc tơ:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
;bk ,a b ,ak b ,ka c) ;0 a ,a b) ;a ,b - b ,a a) ====
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
.b.a b.a b ,a f) ;c.b ,a c ,b.a e) ;b ,c a ,c b a ,c d)
2
222
−==+=+
19. Tứ diện ABCD có A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D thuộc trục Oy. Biết V

2
+ (z – c)
2
= R
2
(1)
Phương trình (1) gọi là phương trình mặt cầu
Đặc biệt khi I ≡ O (góc tọa độ)
Phương trình (1) trở thành :
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2

* Ngược lại phương trình dạng :
x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (2)
y
I(a;b;c)
z
(x;y;z)

α
))
Ta xét các trường hợp :
a) Nếu IH<R : thì giao của (
α
)
∩
(S) là một đưong tròn tâm H và có bk r =
22
− IHR
; xác đònh bởi
hệ pt :



=−+−+−
0=+++
2222
R)cz()by()ax(
DCzByAx
với đk : d(I, (
α
)) <R
b) Nếu IH = R thì (
α
)
∩
(S)=
φ
*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:

:
(1) và
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:(S)
222
=−+−+−
(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª
( ) ( ) ( )
2
Rczbyax:R)S(I,
222
=−+−+−
(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp( α )
222

)(

 A,B,C ∈ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2).
 I(a,b,c)∈ (α): thế a,b,c vào pt (α).
 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d.
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A.
Tiếp diện (
α
) của mc(S) tại A : (
α
) qua A,
→
= IA n vtpt

3 .Bài t ập áp dụng.
Ví dụ1 : Lập pt mặt cầu tâm I(-2,1,1) và tiếp xúc với mp (
α
) có phương trình : x+2y-2z+5=0
Giải :Bán kính R của mặt cầu : R =
1=
2−+2+1
5+12−12+2−
222
)(
)()()(

Phương trình mặt cầu cần tìm : (x + 2)
2
+ (y - 1)
2
+ (z - 1)
2

0
IM
= (1;2;2). Phương trình tiếp diện : x+2y+2z-10=0
c/ d(I;(
α
) =1<R=3 ⇒ (
α
) cắt (S) phương trình đường tròn giao tuyến



9=2++1−+3−
0=8−2−+2
222
)z()y()x(
zyx

* Đường thẳng
∆
∋
I,
∆
⊥
α
có pt tham số ;






22
− IHR
= 2
2
Ví d ụ 3: Lập pt mặt cầu tâm I(2;3;-1) và cắt đt (d)là giao tuyến của hai mp : 5x–4y+3z+20=0 và 3x –
4y + z –8 = 0 tại hai điểm A và B sao cho AB=16
Giải: Gọi H làhình chiếu vuông góc của I/AB → H là trung điểm AB
Từ đó R
2
= IA
2
= IH
2
+ AH
2
= IH
2
+
4
2
AB
Gọi (P) là mp qua I & vuông góc với (d) (nhận vtcp của (d) là
a
=(2,1,-2) làm 1 vtpt) có phương trình :
2x+y-2z-9=0 . Ta có H là giao điểm của d và (P) ⇒ H (-3,-7,-11) ⇒ IH =15 suy ra R
2
=289.
Vậy phương trình mặt cầu lập là :(x-2)
2
+ (y - 3)

Bi 3.
1.Vit phng trỡnh mt cu (S) tõm I bỏn kớnh R cho trong cỏc trng hp sau:
a) I(1; 0; -1), 2R = 8; b) 2R = AB vi A(-1; 2; 1), B(0; 2; 3);
c) I O v tip xỳc vi S
1
(I
1
, r). Vi I
1
(3; -2; 4), r = 1;
d) I(3; -2; 4) v i qua A(7; 2; 1); e) I(2; -1; 3) v tip xỳc mp(Oxy);
f) I(2; -1; 3) v tip xỳc mp(Oxz); g) I(2; -1; 3) v tip xỳc mp(Oyz).
2. Phng trỡnh no sau õy l phng trỡnh ca mt cu m ta phi tỡm I v R.
a) x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 6y - 8z + 1 = 0; b) x
2
+ y
2
+ z
2
+ 10x + 4y + 2z + 30 = 0;
c) x
2
+ y
2

5. a) Tỡm tp hp tõm cỏc mt cu i qua im A(a; b; c) cho trc v cú bỏn kớnh R khụng i.
b) Cho 4 im A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Tỡm tp hp cỏc im M trong khụng
gian sao cho
4. MD MC MB MA =+++
c) Cho 3 im A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Tỡm tp hp cỏc im M trong khụng gian sao cho
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
= MO
2
(O l gc ta ).
Bài 4 : Cho họ mặt cong (S
m
) có phơng trình:
( )
04624:
2222
=++++ mmzmymxzyxS
m

a) Tìm điều kiện của m để (S
m
) là một họ mặt cầu .
b) CMR tâm của (S
m
) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định.
Bài 5 : Cho họ mặt cong (S

m
) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m thay đổi.
c) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A và B. Đờng thẳng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,cắt (C) tại T, S , đờng
thẳng qua A , T cắt đờng thẳng qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi .
Bài 7 : Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4.
b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1).
c) Đi qua điểm A(1;3;0) ,B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x.
d) Hai đầu đờng kính là A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bài 8. Tỡm tõm v bỏn kớnh ca cỏc ng trũn sau:
.
0 1 z 2y 2x
0 24 6z -4y 12x - z y x
a) ;
0 1 2z -2y x
0 10 2z -2y 6x - z y x
a)
222222



=+++
=++++



=++
=++++

⊥ α
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp
α
:
a


b

là cặp vtcp của α
⇔
a

,
b

cùng // α
3 Quan hệ giữa vtpt
n

và cặp vtcp
a

,
b

:
n

= [

1
c
z
b
y
a
x
=++
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
7. Vò trí tương đối của hai mp (α
1
) và (α
2
) :
°
222111
C:B:AC:B:Acắt
≠⇔βα
°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D

212121
=++⇔⊥
CCBBAA
βα
9.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
α
) : Ax + By + Cz + D = 0

222
ooo
CBA
D Cz By Ax
++
+++
=
)d(M,
α
10.Góc gi ữa hai mặt phẳng:
21
21
.
.
nn
nn

d (hoặc AB)
°
) (AB
n
→
⊥
=
d
a vtpt nên (d) Vì
Mqua

α
α
//
Dạng 4: Mp
α
qua M và // (
β
): Ax + By + Cz + D = 0
°
βα
βα
α
n n vtpt nên // Vì
M qua

=
Dạng 5: Mp(
α
) chứa (d) và song song (d

■ Mp (α) qua M,N nên
α
aMN =
■ Mp (α) ⊥ mp (β) nên
αβ
bn =
°
],[
β
α
n nvtpt
N) (hayM qua

→
=
MN
Dạng 7 Mp(
α
) chứa (d) và đi qua M
■ Mp(
α
) chứa d nên
α
aa
d
=
■ Mp(
α
) đi qua
)(dM ∈

n
1
(2,1,-1) làm VTPT.Do đó mp(
α
) có PT
là:2(x-1) + y+2 –(z-3) = 0 hay 2x+y-z+3= 0
Ví d ụ 2.Viết PT mặt phẳng trung trực của đoạn AB với A(1,3,-2) và B(1,2,1)
Giải : HD: Mp trung trực của AB qua trung điểm của AB và nhận
AB
làm véc tơ pháp tuyến
Ví d ụ 3.Viết PT mp(
α
) đi qua các hình chiếu của điểmM(2,-2,1) lên các trục tọa độ
Giải:Hình chiếu của M trên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là
M
1
(2,0,0) ,M
2
(0,-2,0), M
3
(0,0,1) . Vậy PT mp cần tìm là :
1
122
=+
−
+
zyx
Ví d ụ 4 : Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau :
a. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vuông góc với Oy
b. Đi qua điểm M=(1,3,-2) và vuông góc với đường thẳng MN với M=(0,2,-3) ; N=(1,-4,1)

→
] =(-18,-9,-39) làm vectơ pháp
tuyến . Vậy phương trình mp là : 6x +3y +13z –39 = 0
Ví dụ7 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm P=(3,1,-1) , Q=(2,-1,4) và vuông góc với mặt
phẳng 2x-y+3z –1=0 .
Giải :Ta có
→
n
=(2,-1,3) ;
PQ
→
=(-1,-2,5) làm cặp vectơ chỉ phương . Nên có vectơ pháp tuyến là
→
n
=(-1,13,5) và đi qua P nên có phương trình là : -x+13y +5z –5=0
Bài tập về nhà.
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n
r
biÕt
a,
( ) ( )
M 3;1;1 , n 1;1;2= −
r
b,
( ) ( )
M 2;7;0 , n 3;0;1− =
r
c,
( ) ( )

 ÷  ÷
   
Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
( )
α
®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng
( )
β
biÕt:
a,
( ) ( ) ( )
M 2;1;5 , Oxyβ =
b,
( ) ( )
M 1;1;0 , :x 2y z 10 0− β − + − =
c,
( ) ( )
M 1; 2;1 , : 2x y 3 0− β − + =
d,
( ) ( )
M 3;6; 5 , : x z 1 0− β − + − =
Bµi 4 LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ
(2;1;2); (3;2; 1)a b −
r r
.
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ:
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y. b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ:
a) Cïng ph¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph¬ng víi trơc 0y.

a) (P) đi qua điểm A(-1;3;-2) và nhận
);4,3,2(n
làm VTPT.
b) (P) đi qua điểm M(-1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0.
Bài 10: Lập PTTQ của các mặt phẳng đi qua I(2;6;-3) và song song với các mặt phẳng toạ độ.
Bài11: (ĐHL-99):Trong không gian 0xyz cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0, (Q): y-z-1=0.
Viết phơng trình mặt phẳng (R) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng (P), (Q).
Bài 12. Vit phng trỡnh cỏc mt phng () trong mi trng hp sau:
a) i qua M(-1; 3; 2) v () Oy; b) i qua M(1; 3; 2) v () // mp(Oxz);
c) i qua M(1; -2; -3) v vuụng gúc vi ng thng AB vi A(5; -4; 1), B(2; 0; 3)
d) i qua M(0; 4; -1) v vuụng gúc vi mp(): 2x y + 3z + 5 = 0.
Bài 13. Cho A(2; 0; 7), B(-2; 1; 4), C(1; -1; 2). Vit phng trỡnh mp(ABC).
Bài 14. Vit phng trỡnh mt phng () i qua hai im P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) v vuụng gúc vi mp():
2x y + 3z 1 = 0.
Bài15. Cho im A(2; 3; -4). Hóy vit phng trỡnh mt phng i qua cỏc hỡnh chiu ca im A trờn cỏc
trc ta .
Bài16. Vit phng trỡnh mt phng () i qua im M
0
(2; -1; 2), song song vi trc Oy v vuụng gúc vi
mt phng (): 2x y + 3x + 4 = 0.
Bài 17. Cho hai t d v d ln lt cú PTTS l
= +


=


= +

x 7 3t

Bài 22.Cho hai t d v d ln lt cú PTTS l
= +


=


= +

x 5 2t
d : y 1 3t
z 13 2t
= +


=


=

x 7 3t '
;d ' y 1 2t '
z 8
Vit PT mp tip xỳc vi mt cu (S) : x
2
+y
2
+z
2
-10x+2y+26z+170=0 v song song vi hai ng thng

2
= 3. Tìm a, b, c để d(O, (ABC)) lớn nhất.
Bµi 27Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, chiều cao AA’ = b, M là
trung điểm của CC’. Bằng phương pháp tọa độ, hãy:
a) Tính thể tích tứ diện BDA’M; b) Tìm tỷ số
b
a
để mp(A’BD) ⊥ mp(MBD).
Bµi 28 Viết PT mp đi qua điểm M(1;2:4) và cắt các trục tọa độ 0x,0y,0z lần lượt tại các điểm A,B,C sao
cho OA=OB=OC ≠0. ( Chia làm 4 trường hợp cùng dấu và khác dấu)
Bµi 29. Cho 4 điểm A(3; 5; -1), B(7; 5; 3), C(9; -1; 5), D(5; 3; -3). CMR: ABCD là một tứ diện và lập
phương trình mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện đó.
Bµi 30. Viết PT mp đi qua điểm M(1;1:1) và cắt các tia 0x,0y,0z lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho thể
tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.(x+y+z-3=0)
Bµi 31. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a à chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm
của SC. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABI).
Bµi 32 Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’,
BC, DD’.
a) Tính góc (AC’, A’B); b) CMR: AC’ ⊥ mp(MNP); c) Tính V
AMNP
.
Bµi 33. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O; OA =
a; OB = b; OC = c. Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng mp(OBC); mp(OCA); mp(OAB)
với mp(ABC). Chứng minh rằng: cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1.

0
0
và phương trình chính tắc là
.
c
z z

b
y y

a
xx
000
−
=
−
=
−
2) Phương trình tổng quát của đường thẳng: Hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 có véc tơ
pháp tuyến
C) B; (A; n =
và (β): A’x + B’y + C’z + D’ = 0 có véc tơ pháp tuyến
)'C ;'B ;(A' ' n =
với A: B:
C ≠ A’: B’: C’ ⇒ (α) cắt (β) theo giao tuyến ∆ có phương trình tổng qt là



=+++
=+++

0 'u ,u
'd // d )2 0; MM ,u'u ,u d' d )1
0
'
00
0'
00
0





=
=
⇔==⇔≡
d cắt d’
[ ]
[ ]





≠
=
⇔
0 'u ,u
0 MM.'u ,u


==
5) Khoảng cách: Vẫn xét hai đường thẳng d, d’ và mp(α) có phương trình như trên. Ta có:
• Khoảng cách từ điểm M
1
đến đường thẳng d là
( )
[ ]
.
u
u ,MM
d ,Md
01
1
=
• Khoảng cách cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’ là
( )
[ ]
[ ]
.
'u ,u
MM.'u ,u
'd d,d
'
00
=
II>CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B




=⊥
A
d)(
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên
α
: d
/
=
α

∩

β
 Viết pt mpβ chứa (d) và vuông góc mpα

( )
( ) ( )







=⇒
=⇒⊥
=⇒⊃
∈
];[
)()(

d
a ,
d
a [ avtcp
qua
1 2
)(

=
A
d
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d
1
và d
2

:
+ Tìm
d
a
= [
a

d1
,
a

d2
]
+ Mp (α) chứa d

: d = (
α
1
)
∩
(
α
2
)
với mp (α
1
) chứa d
1
// ∆ ; mp (α
2
) chứa d
2
// ∆
Dạng 9: PT d qua A và
⊥
d
1
, cắt d
2
: d = AB
với mp (α) qua A, ⊥ d
1
; B = d
2
∩ (α)

.
2.H là hình chiếu của M(
1 1 1
( ; ; )M x y z
trên đường thẳng d :
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +


= +


= +

.
B1 :Tìm VTCP của d.
B2 : Lấy
0 0 0
( , ; )H x at y bt z ct+ + +
∈
d. ; Tính
MH
uuuur
.
B3 : H là hình chiếu của M lên d

M
H M
M
x x x
y y y
z z z

= −

= −


= −

b/ Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua đt(d) :
• Tìm toạ độ giao điểm H của đt(d) và mp(P) .
• A
/
đối xứng với A qua (d) ⇔ H là trung điểm của MM
/
nên :

/
/
/
2
2
2



= +

, d’:
2 1
2 2
2 3
' '
' '
' '
x x t a
y y t a
x z t a
= +


= +


= +

Ta có :
1 1 1 1
( ; ; )
:
d
qua M x y z
d
VTCP u


⇔

∉


uur uur
.
TH2 : : d
≡
d’
'
2
d d
u ku
M d

=

⇔

∈


uur uur
.
TH3: d cắt d’
'd d
u ku⇔ ≠
uur uur

x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a
+ = +


+ = +


+ = +

.
Cách CM hai đường cắt nhau và chéo nhau:
B1: Tìm VTCP của d và d’:
'
Nếu và không cùng phương
d d
u u
uur uur
.
B2: Xét hệ :
1 1 2 1
1 2 2 2
1 3 2 3
' '
' '
' '
x ta x t a
y ta y t a
z ta z t a

1 1 1
. 0
0
a n
Ax By Cz D

=

⇔

+ + + ≠


r r
Dạng 14 : CM sự vuông góc :
a/ Cm đt(d)
⊥
đt(d
/
) :
• đt(d) có VTCP
1 2 3
( , , )a a a a=
r
• đt(d
/
) có VTCP
1 2 3
( , , )b b b b=
r



∈
+−=
−=
+=
Rt
tz
ty
tx
(;
41
1
tham số)
Ví dụ 2 : Viết phương trình tham số,chính tắc,của đường thẳng d đi qua điểm A(2,0,-1) và có vectơ chỉ
phương
u
= (-1;3;5)
Giải : pttsố :





5+1−=
3=
−2=
tz
ty
tx

thay vào (2) ta được z=
1−
2
1
t
Phương trình tham số d :









1−
2
1
=
2+
2
3
−=
=
tz
ty
tx
(t ∈ R tham số)
Vectơ chỉ phương :
u

∆
zyx
:
đi qua M
o
(-2,1,-1);và có VTCP
u
=(1,2,-2)) có
0
MM
uuuuuur
=(4,2,2)
=> d(M,
∆
)=
3
210

Ví dụ 5:Tính khoảng cách giữa hai đt chéo nhau ∆:
3
z
3
2y
3
2x
:';
0
1z
1
1y

2 2 2
1 0 0 1 1 1
( 1) (3) (1)
3 3 3 3 3 3
2
( , ') 2
2
1 0 0 1 1 1
3 3 3 3 3 3
d
− −
− + +
− −
∆ ∆ = = =
− −
+ +
− −
IV.BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn
(3;2;3)a
r
lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tun cđa mỈt ph¼ng
( ): -3 2 -6 0 P x y z+ =
vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
Bài 3: Viết phơng trình của đờng thẳng đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đờng thẳng (d) có phơng
trình:
( )

tx
d
và
(P): x+y+z+1=0.Tìm phơng trình của đờng thẳng (t) đi qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P) và vuông
góc với đờng thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). Viết phơng trình tham số của đờng
thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó.
Bài6: Lập phơng trình tham số, chính tắc của đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2;1;3) và vuông góc với mặt
phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
a)
( ): 2 3 -4 0P x y z+ + =
b)
( )
: 2 3 1 0P x y z+ + =
.
Bài 7 : (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) có phơng trình cho bởi :
( )

34
24
37
:
1




12
29
1
:
a) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bà i8 : Cho hai ng thng d:
2
1
1
1
1
2
=


=
zyx
v d:




c.Gi

l giao tuyn ca (P) v (Q).Chng minh rng d v

vuụng gúc v chộo nhau.
d.Tỡm giao im A, B ca d ln lt vi (P) v (Q).Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh AB.
Bài 10 : Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz mp(

): x + 2y + z + 1 = 0 v ng thng d:



=++
=
03
022
zy
yx
a.Tớnh gúc gia d v (

).
b.Vit phng trỡnh hỡnh chiu d ca d trờn mp(

).
c.Tỡm ta giao im ca d v d.
Bài 11 : Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz cho hai ng thng
d:




0742
zyx
zyx
ng thi tip xỳc vi (

): x + 2y - 2z - 2 = 0 v
)(

: x + 2y - 2z + 4 = 0.
Bài 13 : Trong khụng gian vi h trc ta Oxyz cho hai ng thng
d:



=+
=
022
032
zy
zx
d:



=+
=+
0104
0238
zy
yx

R t,
2
3
1
:





+=
=
+=
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
( )
R t,
1
9
412
:





+=

1
1
2
1
1
2
:
1

=

=
zyx
d

( ) ( )
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d




=
+=
b) i qua im M(-2; 3; 1) v song song vi .thng
;
1
2 z

4-
1 y

2
2 -x
:(d)
+
=

=
c) i qua im M(2; -3; 3) v song song vi .thng
.
0 4 - 5z y -2x
0 3 z -y x
:)d(



=+
=++
d) i qua M(2; -3; 3) v v.gúc vi 2 .thng:
.
0 1 - z y x


=+++
=+



=++
=+



=+
=++
Bài 21. Vit phng trỡnh hỡnh chiu vuụng gúc ln lt trờn cỏc mt phng ta ca mi ng thng
sau:
.
0 1 - z -2y 2x
0 3 2z -y -x
:)d( ;
1-
3 - z

3
2 y

2
1 -x
:)d(
21


=
+
Bµi 23.Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(3; -2; 1) và vuông góc với một trong hai đường thẳng
.
0 9 - z y x
0 10 z -2y -3x
:)d( ;
0 7 - 2z 2y -3x
0 5 z -3y x
:)d(
21



=+−
=+



=+
=−+
Bµi 24.Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng d và d’ sau đây:
;
1
2 z

2-
1 y

3

z

2-
2 -y

2
1 -x
:(d) b)
−
=
+
===
;
12
z

9
2y

6-
7 -x
:)'(d ,
8-
1 z

6-
y

4
2 -x

−
=
+
Bµi 26.Tìm giao điểm của đ.thẳng: x = 2t, y = 1 - t, z = 5 + 2t và mp: x + y + z - 10 = 0.
Bµi 27. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa đường thẳng



=+
=−++
0 2 - 5z y -2x
0 4 z y x
:)d(
và song song với
đường thẳng (d’): x = 2 – t, y = 1 + 2t, z = 5 + 2t.
Bµi 28. Viết p.trình của đ.thẳng ∆ song song với đ.thẳng (d): x = 3t, y = 1 – t, z = 5 + t và cắt hai đường
thẳng
.
0 1 z -y - x2
0 3 4z y x
:)d( ,
3
2 z

4
2 y

1
1 -x
:)(d

t 1 x
:(d)





=
+=
−=





=
=
−=
Bµi 31.Cho hai đường thẳng
.
2 -
z

5
2 y

1
2 -x
:)'(d ,
1

1 z

2
1 y

1
2 x
:(d)
+
=
−
=
+
Bµi 35 Tính khoảng cách từ các điểm M(-2; 3; -1), N(1; -4; 1), P(-1; 5; 1) đến đường thẳng
.
0 2 2z 3y x
0 1 - 2z -y x
:(d)



=+++
=+
Bµi 36. Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
;
3t - 5 z
t 2 - y
3t 2 x
:)'(d và
2t - 1 z



=
+=
−=





=
=
+=
Bµi 37. Bằng phương pháp tọa độ, hãy tính khoảng cách giữa đường chéo của một hình lập phương cạnh a
và đường chéo của một mặt bên (nếu chúng không cắt nhau).
Bµi 38. Tìm góc tạo bởi đường thẳng

1
2 z

1
1 y

2
3 x
:)(
−
=
−
=

=+−−
=+−
Bµi 41.Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp (α), với
{
0; 10 - 2z -y -2x :)( 2t, - 2 z 3t, 1 - y 3t, 1 x :(d) a) =α=−=+=
; 0 3 z -y x - :)( ,
2-
3 z

1-
1 -y

4
2 x
:(d) b) =++α
−
==
−
; 0 4 - 2z y -3x :)( ;
0 2 z 2y x
0 1 - 3z y 2x
:(d) c) =+α



=+−−
=++
Bµi 42. Viết pt đường thẳng (∆) đi qua M(0; 1; 1), vuông góc với đ.thẳng (d) và cắt đ.thẳng (d’), biết
.
0 z x

.
1- z
1 y



=
=
Bµi 45.Lập phương trình đường thẳng (∆) vuông góc với mp(Oxz) và cắt cả hai đường thẳng (d): x = t, y =
- 4 + t, z = 3 – t và (d’): x = 1 – 2y, y = - 3 + t, z = 4 – 5t.
BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4).
1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đương thẳng AB.
2. Gọi M là điểm sao cho
MCMB 2−=
. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường
thẳng BC. (Đề thi tốt nghiệp 2006)
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm E(1; 2; 3) và mặt phẳng
)(
α
có phương trình x + 2y – 2z + 6 = 0.
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là góc tọa độ O và tiếp xúc mặt phẳng
)(
α
.
2. Viết phương trình tham số của đường thẳng (
∆
) đi qua điểm E và vuông góc mặt phẳng
)(
α

2. Viết phương trình tham số của đương thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao điểm của
d và (P). (Đề thi tốt nghiệp 2009)
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho M(2,-2,0) , N(-4;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình
6y+8z+1=0
1.Viết phương trình tham số của đường thằng d đi qua hai điềm M và N.
2.Lập phương trình mặt cầu (S) tâm M nhận mặt phẳng (P) là mặt phẳng tiếp diện.
Bài 7: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho A(1;1;2), B(0;-1;3), C(3;1;4)
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua ba điểm A,B,C
2 Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A và có đường kính bằng 4
Bài 8: Trong không gian Oxyz, cho điểm
( )
2; 1;0A −
và đường thẳng d:
1 2
1
2 3
x t
y t
z t
= +


= − −


= +

1. Viết phương trình mặt phẳng

3;2;0 , 0;2;1 , 1;1;2 , (3; 2; 2)A B C D− − −
.
1. Viết phương trình mặt phẳng
( )ABC
. Suy ra
DABC
là một tứ diện.
2. Viết phương trình mặt cầu
( )S
tâm
D
và tiếp xúc mặt phẳng
( )ABC
.
Bài 14: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;2;3)
1. Viết phương trình mặt phẳng (
α
) đi qua M và song song với mặt phẳng
2 3 4 0x y z− + − =
.
2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (
α
).
Bài 15: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm
( )
2; 1;0A −
và đường thẳng d:
1 2
1
2 3

(d) và mặt phẳng (Oxy).
Bài 18:
Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x + y + z – 9 = 0 và đường thẳng
∆ :
2 4
1
3
x t
y t
z t
= − +


= +


=

( t là tham số)
1. Tìm giao điểm I của ∆ và (α).
2. Viết phương trình đường thẳng d qua I và vng góc với (α).
Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2), N(3;1;5) và đường thẳng (d) có
phương trình
x 1 2t
y 3 t
z 6 t
= +


= − +



=
+=
+=
0 4 z -y x
0 z 3y x
:)(D' ;
4 z
2t 1 - y
t 3 x
:(d)
.
a) Xét vị trí tương đối giữa (d) và (d’);
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua (d’) và song song với (d);
c) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 1; 0) và vuông góc với (d)
d) Tính khoảng cách giữa (d) và (d’);
e) Viết phương trình đường vuông góc chung của (d) và (d’).
4. Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (α) lần lượt có phương trình:
0. 2 - z -5y 3x :)( ;
1
1 -x

3
9 -x

4
12 -x
:(d) =+α==
a) CMR: đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (α) và tìm giao điểm của chúng;

1
+ By
1
+ Cz
1
+ D)( Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
+ D) < 0.
6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
a) CMR: đường chéo A’C vuông góc với mặt phẳng (A’B’D’);
b) CMR: giao điểm của A’C và mp(AB’D’) là trọng tâm ∆AB’D’;
c) Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD);
d) Tìm góc giữa hai mặt phẳng (DA’C) và (ABB’A’).
7. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Các điểm M ∈ AD’, N ∈ BD sao cho AM = DN = k
( )
.2a k 0 <<
a) Tìm k để độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất;
b) CMR: MN luôn song song với mp(A’D’BC) khi k thay đổi;
c) Khi MN ngắn nhất, CMR: MN là đường vuông góc chung của AD’ và BD và MN // A’C.
8. Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình:
x
2
+ y
2
+ z
2

+
Tìm điểm I ∈ AB sao
cho IA + IB nhỏ nhất.
14. Trong không gian Oxyz, xét điểm S(2; 0; -1) và véc tơ
)1;0;1(u =
. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua S và
có véc tơ chỉ phương
u
.
a) CMR: tập hợp những điểm M ∈ mp(Oxy) mà góc giữa ∆ và đường thẳng SM bằng 60
0
là
hypebol (H). Tìm tọa độ các tiêu điểm của (H);
b) Gọi (α), (β) là các mặt phẳng đi qua S và chứa một trong hai đường tiệm cận của (H). CMR:
tích các khoảng cách từ một điểm thuộc (H) đến hai mặt phẳng (α), (β) là một đại lượng không đổi.
15. Cho hai điểm A(1; 0; 0), A’(-1; 0; 0), ∆ là đường thẳng đi qua A và song song với Oz, ∆’ là đường
thẳng đi qua A’ và song song với Oy.
a) Tìm tập hợp các điểm M ∈ mp(Oxy) cách đều ∆ và ∆’;
b) Tìm tập hợp các điểm M ∈ mp(Oyz) cách đều ∆ và ∆’
16. Hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = 1, AD = 2, AA’ = 3. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của
AB, B’C’, C’D’, D’D.
a) CMR: M, N, P, Q đồng phẳng và viết p.trình mặt phẳng (α) chứa chúng;
b) Xác định thiệt diện của hình hộp cắt bởi (α) và tính thể tích khối chóp đỉnh C với đáy là thết
diện đó;

24