con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo đợc treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo đợc giữ chuyển
động đầu dới theo vật nặng có khối lợng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25
N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng hớng xuống một đoạn
2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.

(cm/s) theo phơng thẳng đứng hớng lên.
Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dơng hớng xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
kl = mg
l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m
+ =
===
5105
1,0
25
m
k
(Rad/s)

5

)
sin (5t +
6
5

) =
2
1

l
l
0
0(VTCB)
)
x
- l



5t +
6
5

=
6
7

t =

1
2
2
1

=+ mvkx
(J)
Ta có phơng trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1

=+
k(2,6.10
-2
-
025,0)
4
2
=
k

0,026

(cm)
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lợt
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
đợc gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lợng m = 120g nh hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò xo
tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng ngang.
Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dơng từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x
1
+ x
2
với x
1
; x
2
là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc
nén).
+ Lực đàn hồi ở 2 lò xo bằng nhau lên
x
1
=

kkk
111
21
=+
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx
''
mx
''
= - k.x hay x
''
= - x
2
với
2
=
)(
.
21
21
kkm
kk
m
k
+
=
Vật dao động điều hoà theo phơng trình
x = Asin (t + )
Vậy vật dao động điều hoà
* Phơng trình dao động
=

x = 10sin (10t +
2

) (cm)
2. Ta coi con lắc đợc gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
Lực phục hồi cực đại F
max
= +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lợng m = 250 (g) theo phơng thẳng đứng kéo quả cầu xuống dới VTCB 3
cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4
2
cm/s theo phơng thẳng đứng lên trên. Bỏ
qua ma sát (g = 10m/s
2
;

2
= 10).
1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính F
max
mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Lời giải
1. Chọn trục 0x thẳng đứng hớng xuống gốc 0 tại
VTCB
+ Khi vật ở VTCB lò xo không bị biến dạng.
+ Khi vật ở li độ x thì x là độ biến dạng của mỗi lò xo.
+ Lực đàn hồi ở hai lò xo bằng nhau (VT 2 lò xo cùng độ

0
+ x) = F (2)
Từ (1) (2) F = -2kx
Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx
''
x
''
=
x
m
k2

x = Asin (t + ) Vậy vật DĐĐH
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
k
0
F
k
0
F
P
+
m
O

v = - 0,4
2
m/s = - 40
2
(cm/s)

0
=
05,0
50
10.25,0
==
K
mg
m = 5 (cm)
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
F
đhmax
=

K (A + l
0
) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lợng m = 100g chiều dài không đáng kể đợc nối
vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L
1
, L
2
có độ cứng k
1
= 60N/m, k
2
= 40
N/m. Ngời ta kéo vật đến vị trí sao cho L
1
bị dãn một đoạn

B
A

01
F

02
F
0
+
x
G
x
Khi đó vật để L
1
dãn l = 2cm ; L
2
khi nén k
dãn thì l chính là độ biến dạng tổng cộng của vật ở
VTCB.
l = l
1
+ l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201
=+=+++


- (k
1
+ k
2
) x = mx''
x'' =
2
21
.

=
+
x
m
kk
với 2 =
m
kk
21
+

Vậy x = Asin (t + ) (cm) vật DĐĐH
b) =

10
1,0
4060
21
=
+

2
= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x
0
= Asin = A
v
0
= Acos = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10t +
2

) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22
==




(s)
Năng lợng
E =
72,0)012.(,100.
2
1
2
1
22

2
lên A, B lần lợt là

21
, FF
F
1
= 60.0,04 = 2,4 (N)
F
2
= 40.0,24 = 0,6 (N) (

21
, FF
cùng chiều dơng)
Các em có thể sử dụng phơng pháp rời trục toạ độ để giải
Bài 6: Cho hai cơ hệ đợc bố trí nh các
hình vẽ a,b lò xo có độ cứng k = 20N/m. Vật
nặng có khối lợng m, m = 100g; bỏ qua ma
sát khối lợng của r
2
và lò xo dây treo k dãn.
Khối lợng k đáng kể.
1. Tính độ dãn lò xo trong mỗi hình khi vật
ở VTCB.
2. Nâng vật lên cho lò xo không biến dạng
rồi thả nhẹ, chứng tỏ vật dđđh. Tính chu kì và biên độ dao động của vật.
Lời giải
1) Hình a
+ Chọn chiều dơng ox hớng xuống, gốc 0 tại VTCB

x

0
T

0
T
O

P

0
F
0 (VB)
+
x

0
T
* Hình b
Chọn chiều dơng hớng xuống, O là VTCB
Chiếu lên Ox -T
0
+ mg = 0
-kl + 2T
0
= 0
T
0
= mg = 1 (N)

mg - T = F
2T - k(l +
2
x
) = 0
F = mg -
2
1
kl -
x
k
4
F =
x
k
4

Hay
x
k
4

= mx
''
x =
x
m
k
4


Giá trị lớn nhất của gia tốc (a
max
=
2
A)
Nếu m
1
rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trờng g
Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
a
max
< g
2
A < g A<
2
g

+ =
m
k

2
=
125
4,0
50
=
A <

cm.
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
Một dđđh có thể coi là hình chiếu của chuyển
động tròn đều của 1 chất điểm nh hình vẽ. Khoảng thời
gian vật đi từ x = 4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng thời
gian vật chuyển động tròn đều theo cung M
1
M
2
M
k
o
v
m
0
M
1
+
2
4
M
2



t =




2 - Theo câu 1, M có li độ x
0
= a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất
+ Ngay sau va chạm, hệ (M + m
0
) có vận tốc v
ĐLBT động lợng: (M + m
0
) v = m
0
.v
o
(1)
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4
2
cm và tần số góc

'
=
05,02,0
50
0
+
=
+ mM
k
= 10
2
(Rad/s)
Lại có v =

cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lợng riêng
D = 10
3
(kg/m
3
) Kéo vật khỏi VTCB theo phơng thẳng đứng xuống dới 1 đoạn
4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
2. CM vật dđđh, tính T
3. Tính cơ năng E
Lời giải
1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox nh hình vẽ
A0
F
dh0
F
0
+x
P
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có
chiều cao h
0
, lò xo bị dãn 1 đoạn l
0

Phơng trình lực : mg- F
0A
- kl
0

2
h
luôn có
A
F
tác dụng vào vật khi nó dao động
dhA
FFPF
++=

F
= mg - S(h
0
+ x) Dg - k(l
0
+ x)
= mg - Sh
0
Dg- kl
0
- SDgx - kx
F = - (SDg + k)x
Theo định luật 2 N: F = ma = mx
''
mx
''
= - (SDg + k)x x
''
=
2

2
1
2
1
22'
==Ak
(J)
Bài 10: Gắn một vật có khối lợng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =
80 N/m. Một đầu của lò xo đợc chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc
theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt
phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s
2
).
1. Tìm chiều dài quãng đờng mà vật đi đợc cho tới lúc dùng.
2. CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.
3. Tính thời gian dao động của vật.
Lời giải
1 - Chiều dài quãng đờng đo đợc khi có ma sát, vật dao động tắt dần cho đến lúc dừng lại
ở đây cơ năng E =
== SFKA
ms
.
2
1
2
à.mg.S
S =
m
mgM
KA

1
KA
2
2
= àmg (A
1
+ A
2
) A
1
- A
2
=
k
mg.2
à
Sau 1/2 chu kì nữa vật đến vị trí biên có biên độ lớn A
3
thì A
2
- A
3
=
k
mg.2
à
Vậy A =
k
mg.4
à

2
, tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi đó,
con lắc có chiều dài l
1
+ l
2
, chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều dài
l
1
- l
2
có chu kì dao động 0,9 (s). Tính T
1
, T
2
, l
1
, l
2
.
Lời giải
+ Con lắc chiều dài l
1
có chu kì T
1
=
g
l

2
2
2

(2)
+ Con lắc chiều dài l
1
+ l
2
có chu kì T
3
= 2.
g
ll
21
+
l
1
+ l
2
=
81,0
4
10.)8,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'

=

=

(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l
1
= 0,51 (m) = 51cm
l
2
= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T
1
= 2
42,1
10
51,0
=
(s) Suy ra T
2
= 2
1,1
10
3,0
=
(s)
Bài 12:
Một con lắc có chiều dài l, vật nặng khối lợng m, kéo con lắc ra khỏi
VTCB một góc
0

0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos)
Với h
0
= l(1 - cos) h = l(1 - cos)
v
2
= 2gl (cos - cos
0
) Vậy độ lớn vt : | v | =
)cos(cosgl2
0

Vì cos = 1- 2sin
2

2

khi << cos =
2
1
2


Tơng tự cos
0

maTPF =+=
Chiều lên phơng dây treo
F
th
= -mg.cos +T = m
aht
Ta có T = mgcos + m.
l
v
2
= m (gcos +
l
v
2
)
Vậy v
2
= 2gl (
2
-
2
) ta đợc T = mg (3cos - 2 cos
0
) = mg (
2
0
-
2
3







(N)
I

h
0
- h
+ Lực căng dây cực tiểu khi =
0
, vật ở VT biên
T
min
= mg (1 -
2
1

2
0
) Thay số T
min
= 0,1.10
99,0
150
6
2
1

+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác
Bằng động năng của con lắc ở VTCB
2
0
2
mv
2
1
mghmv
2
1
=+
v
2
= v
2
0
- 2gh
v
2
= v
2
0
- 2gl(1 - cos)
| v | =
)cos1(gl2v
2
0

Khi góc << thì 1 - cos = 2sin

* Lực căng dây
I

h
l
T
l
0
v
P
l
amTPF =+=
= mgcos + T = m
aht
T = mgcos + m
l
v
2
= m(gcos +
l
v
2
)
Thay v
2
ở trên
T = mg
2cos3
gl
v

0
+
+ Lực căng dây cực đại khi = 0, con lắc ở VTCB
T
max
= mg +
l
mv
2
0
+ Lực căng dây cực tiểu khi =
0
(con lắc ở VTCB)
v
0
=
0
gl

2
0
=
gl
v
2
0
T
min
= mg
)

= 0,1 . 10
)
1.10.2
1
1(
2

= 0,95 (N)
Bài 14:
Một đồng hồ qủa lắc chạy đúng giờ ở Hà Nội. Đồng hồ sẽ chạy nhanh
chậm thế nào khi đa nó vào TPHCM. Biết gia tốc rơi tự do ở Hà Nội và
TPHCM lần lợt là 9,7926 m/s
2
9,7867 m/s
2
. Bỏ qua sự ảnh hởng của nhiệt độ.
Để đồng hồ chỉ đúng giờ tại TPHCM thì phải đ/chỉnh độ cài con lắc nh thế
nào?
Lời giải
+ Chu kì của con lắc đồng hồ tại Hà Nội là
T
1
= 2
1
g
l
.
= 2 (s)
+ Chu kì dao động của con lắc đồng hồ tại TPHCM là
T

26
T
TT
1
21
=

(s)
+ Để đồng hồ tại TPHCM cũng chỉ đúng giờ thì chiều dài con lắc phải dài là:
T
'
2
= 2
2
'
g
l
.
= 2 (s)
VT T
1
= T
'
2

2
'
g
l
=

4
T.g

Thay số
l = 0,0006.
0006,0
4
4x7926,9
2
=

(m) = 0,6 mm
Bài 15:
Một con lắc đơn gồm sợi dây có chiều dài l = 1(m) và quả cầu nhỏ khối
lợng m = 100 (g), đợc treo tại nơi có gia tốc trọng trờng g = 9,8 (m/s
2
).
1.Tính chu kỳ dao động nhỏ của con lắc.
2. Cho quả cầu mang điện tích dơng q = 2,5.10
-4
tạo ra đờng trờng đều có
cờng độ E = 1000 (v/m).
Hãy xác định phơng của dây treo con lắc khi CB và chu kì dao động nhỏ
của con lắc trong các trờng hợp.
a) Véctơ
E
hớng thẳng xuống dới
b) Véctơ
E
có phơng nằm ngang.

'
P
và chu kì dao động nhỏ đợc tính theo công thức:
T
'
= 2
'
g
1
.
a)
E
thẳng đứng xuống dới
+ g> 0 nên
d
F
cùng hớng với
E
, tức là thẳng đứng
xuống.
Vậy khi CB, dây trheo vẫn có phơng thẳng đứng.
Ta có: P
'
= P + F
đ
mg
'
= mg + qE



8,9
1
34
+
= 1,8 (s)
b) Trờng hợp E nằm ngang
+)
d
E
có phơng với
P
Khi CB, dây treo lệch góc

so với phơng thẳng đứng, theo chiều của lực điện trờng.
tg

=
mg
qE
P
F
d
=
tg

=
255,0
8,9.1,0
10.10.5,2
34


= 2
=

cosT
g
cosl
.
0
T
'
= T
0
97,114cos2cos
0
=

(s)
Bài 16:
Một con lắc đơn dao động với biên độ nhỏ, chu kì là T
0
, tại nơi g =
10m/s
2
. Treo con lắc ở trần 1 chiếc xe rồi cho xe chuyển động nhanh dần đều
+

T
d
F

a
nên ngợc chiều với
0
v
Vậy lực
q
F
làm cho dây treo lệnh 1 góc về phía ngợc với chiều chuyển động của xe.
tg =
g
a
mg
ma
P
F
at
==
<< tg

do đó
a

g = 10.
9.
180

~ 1,57 (m/s
2
)
b) Thiết lập hệ thức giữa T


F
'
P
P
0
a
T = 2
'
g
l
.
Lại có T
0
= 2
g
l
.

=

== cos
g
cosg
g
g
T
T
'
0

= mgh
0
= mgl(1 - cos)
1 - cos = sin
2
2
2
0



E
0
=
2
0
mgl
2
1

+ Sau nửa chu kì đầu tiên vật đến VT biên có li giác cực đại là
1
, cơ năng của con lắc là:
E
1
=
2
0
mgl
2

E
1
- E
2
=
mgl
2
1
(
2
1
-
2
2
)
Sau mỗi chu kì 1 cơ năng giảm E
E = (E
0
- E
1
) + (E
1
- E
2
) =
mgl
2
1
(
2

c
~ 7S
0
R
c
~4
0
kF
c
mgl
0
. = 4
0
lF
c
=
mg
F4
c
= const
Vậy sau mỗi chu kì, biên độ giảm 1 lợng không đổi (đpcm).
2. Công suất của động cơ duy trì dao động con lắc
+ CHu kì dao động của con lắc
T = 2
10
1
.2
g
l
. =

180
.10.5,0.
2
1

=

(J)
+ Công suất của động cơ là
2.100
10.08,2
T.N
E
t
E
12
===
= 1,04.10
-5
W
Bài 18:
Tại một nơi nang bằng mực nớc biển, ở nhiệt độ 10
0
C, một đồng hồ quả lắc
trong một ngày đêm chạy nhanh 6,48 (s) coi con lắc đồng hồ nh 1 con lắc đơn
thanh treo con lắc có hệ số nở dài = 2.10
-5
K
-1
1. Tại VT nói trên ở thời gian nào thì đồng hồ chạy đúng giờ.

10
+


2
1
t1
t1
T
T
11

+
+
+
=
(t
1
- t
x
)
(VT t
1
<< 1; t
1
<< 1)
+ Theo biên độ: đồng hồ chạy nhanh T
1
<T t
1

Hai nguyên nhân đó bù trừ lẫn nhau -> đồng hồ chạy đúng ở độ cao h:
g
h
=
2
)
hR
R
(g
+
Kí hiệu: T
h
: Chu kì ở độ cao h
t
h
: t
0
ở độ cao h
Độ biến thiên chu kì t
h
theo độ cao khi chiều dài con lắc không đổi (nếu coi t = t
h
)
R
h
g
g
T
T
h

h
T)tt(
2
T
h
=+
h =
2
R).tt(
h

Thay số ta đợc h = 0,736 km = 736 m
Bài 19:
Một quả cầu A có kích thớc nhỏ, khối lợng m = 500g, treo bằng 1 sợi dây
mảnh, không dãn, chiều dài l = 1m. ở VTCB không quả cầu cách mặt đất nằm
ngang một khoảng 0,8m. Đa quả cầu ra khỏi VTCB sao cho sợi dây lập với ph-
ơng thẳng đứng 1 góc
0
= 60
0
rồi buông cho nó chuyển động không vận tốc ban
đầu. Bỏ qua lực cản môi trờng (g = 10m/s
2
).
1. Tính lực căng T khi A ở VTCB.
2. Nếu đi qua 0 thì dây đứt thì mô tả chuyển động của quả cầu và phơng
trình quỹ đạo chuyển động của nó sau đó.
3. Xác định vận tốc của quả cầu khi chạm đất và có vị trí chạm đất.
Lời giải
1. Lực căng dây

0
| =
10
m/s
T = m [g + 2g (1 - cos
0
)] = mg (3 - 2 cos
0
)
Thay số: T = 0,5.10.(3 - 2cos60
0
) = 10N
2. Chuyển động của quả cầu sau khi dây đứt
+ Khi đến VTCB, vận tốc quả cầu là
0
v
có phơng nắm ngang.
+ Nếu tại VT0 dây bị đứt thì chuyên động của m sau khi dây đứt là chuyên động ném
ngang.
+ Chọn hệ trục oxy nh hình vẽ ta đợc: quả cầu chuyên dộng theo
phơng 0x : chuyển động thẳng đều: x = v
0
t =
t10
(1)
phơng oy: chuyển động thẳng nhanh dần đều, vận tốc đầu = 0
y =
2
1
gt

v
2
m - v
2
0
= 2gH
|V
M
| =
1,5268,0.10.210 =+
(m/s)
Bài 20:
l
0
v
G
m
A

0
H
y
M
x