Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
phần I
con lắc lò xo
Bài 1: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên của lò xo được giữ
chuyển động đầu dưới theo vật nặng có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng
k = 25 N/m. Kéo vật rời khỏi VTCB theo phương thẳng đứng hướng xuống một
đoạn 2cm, truyền cho nó vận tốc
310
.
π
(cm/s) theo phương thẳng đứng
hướng lên. Chọn góc tg là lúc thả vật, gốc toạ độ là VTCB, c dương hướng
xuống.
a. Viết PTDĐ.
b. Xác định thời điểm vật đi qua vị trí mà lò xo giãn 2 cm lần thứ nhất.
Lời giải
a) Tại VTCBO
k∆l = mg
⇒ ∆l =
0,04
25
0,1.10
k
mg
==
(m
+ ω =
π===
5105
1,0
25

∆l
l
0
0(VTCB)
)
x
- ∆l
•
•
•
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Vậy lúc đó x = -2 (cm)
Ta có: -2 = 4sin (5πt +
6
5
π
)
⇔ sin (5πt +
6
5
π
) =
2
1
−
5πt +
6
5
π
=

3
10.25
2
2
1
2
2
1
−
=+ mvkx
(J)
Ta có phương trình:
322
25.10).0,4.(0,25
2
1
)
k
4
k(0,026
2
1
−
=+−
⇔ k(2,6.10
-2
-
025,0)
4
2

4
3
t25sin(2
π
+
(cm)
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng lần lượt
là k
1
= 30 (N/m) và K
2
= 30 (N/m)
được gắn nối tiếp với nhau và
gắn vào vật M có khối lượng m = 120g như hình vẽ. Kéo M dọc theo trục lò
xo tới vị trí cách VTCB 10 cm rồi thả không vận tốc đầu trên mặt phẳng
ngang. Bỏ qua ma sát.
1. CM vật DĐĐH, viết PTDĐ
2. Tính lực phục hồi cực đại tác dụng vào vật
Lời giải
1. Chọn trục ox nằm ngang, chiều dương từ trái qua phải, gốc 0 tại VTCB của vật.
Khi vật ở VTCB, các lò xo không bị biến dạng.
Khi vật ở li độ x thì x = x
1
+ x
2
với x
1
; x
2
là độ biến dạng của 2 lò xo (cùng dãn hoặc

k
F
k
F
Mặt khác F = - kx ⇒
kkk
111
21
=+
L
1
L
2
M
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
áp dụng định luật 2 N: F = m.a = mx
''
→ mx
''
= - k.x hay x
''
= - ωx
2
với ω
2
=
)(
.
21
21

Ta có hệ 10 = Asinϕ ; sinϕ >0 ϕ =
2
π
0 = ωAcos ; cosϕ = 0 A = 10 (cm)
Vậy phương trình dao động là
x = 10sin (10πt +
2
π
) (cm)
2. Ta coi con lắc được gắn vào 1 lò xo có độ cứng K
Vậy lực phục hồi là F = - kx
→ Lực phục hồi cực đại F
max
= +kA = 120,10 = 1,2N
Bài 4: Dùng hai lò xo cùng chiều dài độ cứng k = 25N/m treo 1 quả cầu
khối lượng m = 250 (g) theo phương thẳng đứng kéo quả cầu xuống dưới
VTCB 3 cm rồi phóng với vận tốc đầu 0,4
2
cm/s theo phương thẳng đứng lên
trên. Bỏ qua ma sát (g = 10m/s
2
;
π
2
= 10).
1. Chứng minh vật dao động điều hoà, viết PTDĐ?
2. Tính F
max
mà hệ lò xo tác dụng lên vật?
Lời giải

→
P
+
→→
= FF2
dh
mg - 2k(∆l
0
+ x) = F (2)
Từ (1) (2) F = -2kx
Theo định luật II Niutơn : F = ma = mx
''
⇒ x
''
=
x
m
k2
−
→ x = Asin (ωt + ϕ) Vậy vật DĐĐH
+ PTDĐ: Tại t = 0 x = +3cm > 0
v = - 0,4
2
m/s = - 40
2
(cm/s)
Ta có hệ 3 = A sinϕ ; sinϕ > 0
- 40
2
= 10

F
P
+
m
O
•
→ ϕ 143,13
0
→
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
∆l
0
=
05,0
50
10.25,0
==
K
mg
m = 5 (cm)
Khi vật ở vị trí thấp nhất, lực đàn hồi đạt cực đại
F
đhmax
=

K (A + ∆l
0
) = 50(0,05 + 0,05) = 5 (N)
Bài 5: Một vật có khối lượng m = 100g chiều dài không đáng kể được nối
vào 2 giá chuyển động A, B qua 2 lò xo L

+ Khi vật ở VTCB lò xo L
1
dãn ∆l
1
lò xo L
2
dãn ∆l
2
Khi đó vật để L
1
dãn ∆l = 2cm ; L
2
khi nén k
dãn thì ∆l chính là độ biến dạng tổng cộng của vật
ở VTCB.
∆l = ∆l
1
+ ∆l
2
= 20 (cm) (1)
+ Tổng hợp lực bằng 0 :
00
02010201
=+→=+++
→→→→→→→
FFFFNP
Hay + K
1
∆l
1

Hay - k
1
(∆l
1
+ x) + k
2
(∆l
2
- x) = mx''
⇔ - (k
1
+ k
2
) x = mx''
⇒ x'' =
2
21
.
ω
−=
+
− x
m
kk
với ω2 =
m
kk
21
+
−

2
= 20 ∆l
1
= 8cm
60∆l
1
+ 400∆l
2
= 0 ∆l
2
= 12cm -> A = 12cm
t = 0 -> x
0
= Asin ϕ = A
v
0
= ωAcosϕ = 0
Vậy PTDĐ của vật x = 12 sin (10πt +
2
π
) (cm)
Chu kì dao động T =
2,0
10
22
==
π
π
ω
π

+
x
→
0
T
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Vì vậy, tại t =
2
π
vật ở biên độ x = - A
Tại vị trí này lò xo l
1
bị nén 1 đoạn A - ∆l
1
= 12 - 8 = 4 (cm)
Lò xo L
2
bị giãn một đoạn 2A = 24 (cm)
+ Lực tác dụng của lò xo L
1
và L
2
lên A, B lần lượt là
→→
21
,FF
F
1
= 60.0,04 = 2,4 (N)
F

Chiều lên ox -T
0
+ K∆l = 0
-T
0
+ mg = 0
⇒ T
0
= k∆l = mg = 0,1.10 = 1 ⇒ T
0
= 1N
∆l = 0,05 (m) = 5 (cm)
* Hình b
a
b
→
P
→
0
F
+
x
→
0
T
→
0
T
O
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:

m
k
→ x = Asin (ωt + ϕ) → vật dao động điều hoà
* Hình b: Khi vật ở VTCB lò xo dãn ∆l →
2
1
k∆l - mg = 0
Khi vật ở li độ x lò xo dãn ∆l +
2
x
mg - T = F
2T - k(∆l +
2
x
) = 0
→ F = mg -
2
1
k∆l -
x
k
4
→ F =
x
k
4
−
Hay
x
k

2
)
Lời giải
Khi m
1
không rời khỏi m thì hai vật cùng dao động với gia tốc a = ω
2
x
Giá trị lớn nhất của gia tốc (a
max
= ω
2
A)
Nếu m
1
rời khỏi m thì nó chuyển động với gia tốc trọng trường g
Vậy điều kiện để m
1
không rời khỏi m
a
max
< g ⇔ ω
2
A < g ⇒ A<
2
g
ω
+ ω =
m
k

o
v
, biết rằng sau khi va chạm
m
0
gắn chặt vào M và cùng dao động điều hoà với A
'
= 4
2
cm.
m
1
m
M
k
o
v
m
0
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Lời giải
1 - Tính vận tốc TB
Một dđđh có thể coi là hình chiếu của chuyển
động tròn đều của 1 chất điểm như hình vẽ. Khoảng
thời gian vật đi từ x = 4 đến x = 2 (cm) bằng khoảng
thời gian vật chuyển động tròn đều theo cung M
1
M
2
t =

t
S
=
2 - Theo câu 1, M có li độ x
0
= a = 4 cm thì lúc đó lò xo có chiều dài lớn nhất
+ Ngay sau va chạm, hệ (M + m
0
) có vận tốc v
ĐLBT động lượng: (M + m
0
) v = m
0
.v
o
(1)
+ Sau v/c hệ dđđh với biên độ A' = 4
2
cm và tần số góc
ω
'
=
05,02,0
50
0
+
=
+ mM
k
= 10

10cm tiết diện s = 50cm
2
được treo vào một lò xo có độ cứng k = 150N/m. Khi
cân bằng một một nửa vật bị nhúng chìm trong chất lỏng có khối lượng riêng
M
1
+ ω
2
4
M
2
α
•
•
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
D = 10
3
(kg/m
3
) Kéo vật khỏi VTCB theo phương thẳng đứng xuống dưới 1
đoạn 4cm rồi thả nhẹ cho vật dao động, bỏ qua mọi ma sát và lực cản.
1. XĐ độ biến dạng của lò xo khi vật cân bằng.
2. CM vật dđđh, tính T
3. Tính cơ năng E
Lời giải
1) Độ biến dạng của lò xo tại VTCB
+ Chọn trục ox như hình vẽ
ở VTCB phần vật bị nhúng chìm trong chất lỏng
có chiều cao h
0

+ Khi vật có li độ x thì lò xo dãn ∆l
0
+ x
Kéo vật xuống dưới VTCB 4cm rồi thả nhẹ để vật dao động
→ x
max
= 4(cm) <
2
h
→ luôn có
A
F
tác dụng vào vật khi nó dao động
dhA
FFPF
++=
→
F
= mg - S(h
0
+ x) Dg - k(∆l
0
+ x)
= mg - Sh
0
Dg- k∆l
0
- SDgx - kx
A0
F

=
−
ππ
ω
π
KSDg
m
= 0,28 (s)
3. Cơ năng E
Coi vật dao động vật được gắn vào lò xo có độ cứng k
'
= SDg+ K = 200 N/m
Biên độ dao động A = 0,04 (cm)
→ Cơ năng: E =
16,0)04,0.(200.
2
1
2
1
22'
==Ak
(J)
Bài 10: Gắn một vật có khối lượng m = 200g vào 1 lò xo có độ cứng k =
80 N/m. Một đầu của lò xo được chuyển động kéo m khỏi VTCB 10cm dọc
theo trục lò xo rồi thả nhẹ cho vật dao động. Biết hệ số ma sát giữa m và mặt
phẳng nang là M = 0,1 (g = 10m/s
2
).
1. Tìm chiều dài quãng đường mà vật đi được cho tới lúc dùng.
2. CMR độ giảm biên độ dao động sau mỗi chu kì là không đổi.

2
1
chu kì vật đến VT
biên độ lớn A
2
. Sự giảm biên độ là do công của lực ma sát trên đoạn đường A
1
+ A
2
2
1
KA
2
1
-
2
1
KA
2
2
= µmg (A
1
+ A
2
) → A
1
- A
2
=
k

Vậy thời gian dao động là t = n.T = 3,14 (s).
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
Phần II
con lắc đơn
Bài 11:
Hai con lắc đơn chiều dài l
1
, l
2
(l
1
>l
2
) và có chu kì dao động tương ứng
là T
1
; T
2
, tại nơi có gia tốc trọng trường g = 9,8m/s
2
. Biết rằng, cũng tại nơi
đó, con lắc có chiều dài l
1
+ l
2
, chu kì dao động 1,8s và con lắc đơn có chiều
dài l
1
- l
2

+ Co lắc chiều dài l
2
có chu kì T
2
=
g
l
.2
2
π
→ l
1
= g.
4
T
2
2
2
π
(2)
+ Con lắc chiều dài l
1
+ l
2
có chu kì T
3
= 2Π.
g
ll
21

−
→ l
1
- l
2
=
2025,0
4
10.)9,0(
4
g.)T(
2
2
2
2'
=
π
=
π
(m) = 20,25 cm (4)
Từ (3) (4) l
1
= 0,51 (m) = 51cm
l
2
= 0,3 (m) = 3cm
Thay vào (1) (2) T
1
= 2Π 42,1
10

con lắc tại VT li giác bất kì bằng thế năng của con
lắc tại VT biên.
mgh
0
= mgh +
2
1
(mv
2
)
→ v
2
= 2g (h
0
- h)
2
(v
2
= 2gl (1 - cos)
với h
0
= l(1 - cosα)
h = l(1 - cosα)
→ v
2
= 2gl (cosα - cosα
0
)
Vậy độ lớn vt : | v | =
)cos(cosgl2

22
0
α−α
+ Vận tốc cực đại khi α

= 0, vật ở VTCB 0
| v
max
| =
gl
0
α
+ áp dụng số:
| v
max
|= 6.
33,01.10.
180
=
π
(m/s) = 33cm/s
2 - Biểu thức lực căng dây ứng với li góc α
+ Định luật 2 N
maTPF =+=
Chiều lên phương dây treo
F
th
= -mg.cosα +T = m
aht
T = mgcosα + m.

2
0
+ 1)
Thay số
T
max
= 0,1 - 10
01,11
90
1
1
150
6
2
=+=








+


















π
−
(N)
Bài 13:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l treo vật nặng có khối lượng
m. Khi con lắc đơn đang ở VTCB, người ta truyền cho vật nặng vận tốc ban
đầu v
0
lực cản coi dao động của con lắc là dao động nhỏ. Lập bt tính vận tốc
của vật nặng và lực căng của dây treo theo li độ góc α.
Xét trường hợp để vận tốc và lực căng đạt cực đại và cực tiểu.
Lời giải
* Vận tốc tương ứng với li góc α
+ Định luật lt cơ năng: cơ năng của con lắc VT li giác α
Bằng động năng của con lắc ở VTCB
2
0
2
mv

α
| v | =
22
0
gl2v α−
I
α
h
l
T
l
0
v
P
l
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
+ Vận tốc cực đại khi α = 0 → | v
max
| = v
0
, vật ở VTCB
Thay số | v
max
| = 1m/s
+ Vận tốc cực tiểu khi α = α
0
v
0
= α
0







+ Khi α nhỏ: cosα = 1 -2sin
2
2
α

= 1 -
2
2
α
T = mg
)
2
3
1
gl
v
(
2
2
0
α−+
+ Lực căng dây cực đại khi α = 0, con lắc ở VTCB
T
max

.
2
3
1
gl
v
(
2
0
2
0
2
0
−=−+
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
áp dụng
T
max
= 0,1.10 +
)N(1,1
1
1.1,0
2
=
T
min
= 0,1 . 10
)
1.10.2
1

l
.π0003,1
7867,9
7926,9
g
g
T
T
2
1
2
1
≈==
→T
2
= 1,0003T
1
= 2,0006 (s)
+ Vì T
2
>T=1 nên tại TPHCM đồng hồ chạy chậm trong 1 ngày, khoảng thời gian chạy
chậm là:
∆t = 24.60.60.
26
T
TT
1

g
g
l
l
g
l
=⇒
Thay số:
→ l
'
= 1,0006 l
Tại TPHCM đề đồng hồ chỉ đúng giờ, cần tăng chiều dài dây lên một lượng là
∆l = l
'
- l = 0,0006l
VT l =
2
2
11
4
T.g
π
nên ∆l = 0,0006.
2
2
11
4
T.g
π
Thay số

= 2
8,9
1
.14,3.2
g
l
. ≈π
= 2 (s)
2 - Cho con lắc tích điện dao động trong đtrường đều
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
+ Các lực tác dụng vào con lắc:
gmP =
: Trọng lực
T: lực căng của dây
EqF
d
=
: lực điện trường
+ Coi con lắc dao động trong trường trọng lực hiệu dụng g
'
d
'
EPP +=
= m
'
g
Khi CB dây treo con lắc có phương của
'
P
và chu kì dao động nhỏ được tính theo công

qE
+ Chu kì dao động nhỏ của con lắc
T
'
= 2
m
qE
g
1
2
g
1
.
'
+
π=π
Thay số
T
'
= 2.3,14.
1,0
10.10.5,2
8,9
1
34 −−
+
= 1,8 (s)
β
β
β

≈
−
→
δ
~ 14
0
+ Chu kì dao động của con lắc
T
'
= 2
'
g
l
π
Từ hình vẽ:
P
'
=
g
cos
g
g
cos
P
'
⊗>
α
=→
α
Do đó: T

b) Cho con lắc dao động với biên độ nhỏ, hãy tính chu kì T của con lắc
theo T
0
.
Lời giải
+
δ
T
d
F
'
P
P
Nguyễn Hữu Nghĩa – THPT Lục Ngạn 4 –Bắc Giang ----------------- Website:
a) Giải thích hiện tượng:
Trong HQC gắn với xe (HQC không quán tính), vật nặng của con lắc đơn phải chịu 3
lực tác dụng.
+ Trọng lực
gmP =
+ Lực căng dây T
+ Lực quán tính
0
amF −=
Khi con lắc ở VTCB
0FTP
q
=++
q
F
ngược chiều với

)
b) Thiết lập hệ thức giữa T
0
và T
Do có thêm lực quán tính nên coi trọng lực hiệu dungc của con lắc là
'
qt
'
gmFPP =+=
(Coi con lắc dao động trong trường gia tốc ghd = g
'
)
Từ hình vẽ P
'
=
g
cos
g
g
cos
mg
cos
P
'
>
α
=⇒
α
=
α

g
T
T
'
0
Vậy T = T
0
αcos
Bài 17:
Một con lắc đơn gồm sợi sây có chiều dài l = 1m và vật nặng có khối
lượng m = 0,5kg. Lúc đầu kéo con lắc lệch khỏi VTCB 1 góc α
0
= 6
0
rồi thả
nhẹ cho dao động. Khi dao động con lắc chịu tác dụng của lực cản có độ lớn
coi như không đổi sau 100 dao động, li độ cực đại của con lắc là α = 3
0
coi chu
kỳ dao động của con lắc như khi không có lực cản.
1. CMR sau mỗi chu kì, li độ góc cực đại của dao động giảm 1 lượng
không đổi.
2. Để duy trì dao động của con lắc cần phải dùng một động cơ nhỏ có ma
sát tối thiểu là len. (g = 10m/s
2
, Π
2
= 10).
Lời giải
1. Chứng minh li giác cực đại sau mỗi chu kì giảm 1 lượng không đổi