Thống kê trong Sinh học
Chương 2
MÔ HÌNH HOÁ QUY LUẬT CẤU TRÚC TẦN SỐ
2.1. Ý nghĩa của việc mô hình hoá quy luật cấu trúc tần số
- Khái niệm: Biểu thức toán học và dạng đồ thị của nó dùng để mô phỏng
cho quy luật phân bố của đại lượng quan sát được gọi là phân bố lý thuyết.
- Việc mô hình hoá các quy luật cấu trúc tần số trong thực tiễn và nghiên cứu
nông lâm nghiệp có ý nghĩa to lớn. Một mặt nó cho biết các quy luật phân bố vốn
tồn tại khách quan trong tổng thể, mặt khác các quy luật phân bố này có thể biểu thị
một cách gần đúng bằng các biểu thức toán học cho phép xác định tần suất hoặc tần
số tương ứng với mỗi tổ của đại lượng điều tra nào đó.
Ví dụ: Quy luật phân bố số cây theo đường kính (n/D
1.3
) quy luật phân bố số
cây theo chiều cao vút ngọn (n/H
vn
) được xem là những quy luật phân bố quan
trọng nhất của quy luật kết cấu lâm phần, biết được quy luật phân bố này, có thể dễ
dàng xác định được số cây tương ứng từng cỡ đường kính hay cỡ chiều cao, làm cơ
sở xây dựng các loại biểu chuyên dùng phục vụ mục tiêu kinh doanh rừng, biểu thể
tích, biểu thương phẩm, biểu sản lượng…
Ngoài ra, việc nghiên cứu các quy luật phân bố còn tạo tiền đề để đề xuất các
giải pháp kỹ thuật lâm sinh hợp lý, chẳng hạn: cần thiết phải điều chỉnh mật độ lâm
phần ứng với từng giai đoạn tuổi lâm phần để điều tiết không gian dinh dưỡng
thông qua biện pháp tỉa thưa (đối với rừng sản xuất) trên cơ sở nghiên cứu quy luật
phân bố số cây theo mặt phẳng nằm ngang (n/D
1.3
), hay điều tiết cấu trúc theo mặt
phẳng đứng tạo những lâm phần nhiều tầng tán, đa tác dụng (đối với rừng phòng
hộ) trên cơ sở nghiên cứu quy luật phân bố số cây theo mặt phẳng đứng (n/H
vn

ta sử dụng tiêu chuẩn χ
2
, đây là tiêu chuẩn thống
kê đơn giản, được sử dụng rộng rãi, có thể dùng cho phân bố liên tục hoặc đứt
quãng.
B ước 2: Người ta đã chứng minh được rằng, nếu giả thuyết H
0
đúng và dung lượng
mẫu đủ lớn để sao cho tần số lý thuyết ở các tổ lớn hơn hoặc bằng 5 thì đại lượng
ngẫu nhiên:
∑
=
−
=
l
i
lt
tnlt
n
f
ff
1
2
2
)(
χ
(2.1)
có phân bố χ
2
với k=l-r-1 bậc tự do.

Trị số χ
2
0.05(k)
tra bảng trong phụ biểu số 5 ứng với mức ý nghĩa α và bậc tự
do k.
2.3. Một số phân bố lý thuyết thường gặp trong lâm nghiệp
2.3.1. Phân bố chuẩn
2.3.1.1. Khái niệm
Là phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu X là biến ngẫu nhiên
liên tục có phân bố chuẩn thì hàm mật độ xác suất có dạng:
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
2
Thống kê trong Sinh học
( )
( )
)2.2(
2
exp
2.
1
2
2






−−
×=

eu
−
×=
π
ϕ
2.3.1.2. Cách tính xác suất theo phân bố chuẩn tiêu chuẩn
Trong thực tế, người ta thường tính xác suất để biến ngẫu nhiên X lấy giá trị
có độ chênh lệch so với kỳ vọng không quá t lần b lớn hơn và nhỏ hơn. Xác suất
này được tính toán như sau:
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
3
a
1
a
2
a
3
P
x
(X
)
X
y
Thống kê trong Sinh học
( )
( )
)4.2(
2.
1


t
b
abta
b
ax
u
+=
−+
=
−
=
−=
−−
=
−
=
.
.
2
2
1
1
( )
)5.2(
2
1

2
2
∫

0
.
ϕ
(2.7)
Hàm Φ(t) gọi là hàm số tích phân luôn luôn dương và bằng 0,5 khi t=+∞.
Người ta đã lập sẵn phụ biểu để tính hàm Φ(t) và 2Φ(t) khi t có những giá trị khác
nhau (Phụ biểu số 2).
Ví dụ: t = 1,96 thì Φ(t) = 0,4750; 2Φ(t) = 0,95
t = 2,58 thì Φ(t) = 0,4959; 2Φ(t) = 0,99
t = 3,29 thì Φ(t) = 0,4995; 2Φ(t) = 0,999
Các giá trị U
1
và U
2
tính được có thể âm hoặc dương, nhng do tính chất đối
xứng của hàm ϕ
x
(u) nên mặc dù trị số U
1
hoặc U
2
có thể âm hoặc dương nhưng vẫn
có thể dựa vào trị số dương của t để tính toán, khi đó đặc |U| = t. Có thể xảy ra 3
trường hợp sau:
* Trường hợp I: Cả U
1
và U
2
đều âm, nhng U
1

* Trường hợp II: U
1
âm và U
2
dương:
P(x
1
≤ X ≤ x
2
) =
Φ
(t
1
) +
Φ
(t
2
) (2.9)
* Trường hợp III: U
1
và U
2
đều dương và U
2
> U
1
:
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
4
Thống kê trong Sinh học

về luật phân bố theo tiêu chuẩn phù hợp χ
2
.
H
0
: F
x
(x)= F
0
(x)
Tính đại lượng:
∑
=
−
=
l
i
l
lt
n
f
ff
1
2
2
)(
χ
(2.1)
có phân bố χ
2

tổng thể (x≈µ), sai tiêu chuẩn mẫu cho sai tiêu chuẩn tổng thể (S≈σ).
- Bước 3: Tính xác suất để X lấy giá trị trong các tổ:
Tổ thứ nhất: x
1
=-∞ và x
2
=6.75cm.
( )
( ) ( ) ( )
0087.038.275.6
4913.038.238.2
68.0
37.875.6
5.0)(
68.0
37.8
2
2
1
1
=Φ−∞Φ=≤≤∞−
=Φ→−=
−
=
−
=
=∞Φ→−∞=
−∞−
=
−

=
−
=
=Φ→−=
−
=
−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ ba: x
1
=7.25 và x
2
=7.75 cm.
( )
( )
( ) ( ) ( )
1391.091.065.175.725.7
3186.091.091.0
68.0
37.875.7
4505.065.165.1
68.0
37.825.7

1391.091.065.175.725.7
3186.091.091.0
68.0
37.875.7
4505.065.165.1
68.0
37.825.7
2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→−=
−
=
−
=
=Φ→−=
−
=
−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ t: x

−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ năm: x
1
=8.25 và x
2
=8.75 cm.
( )
( )
( ) ( ) ( )
2837.056.018.075.825.8
2123.056.056.0
68.0
37.875.8
0714.018.018.0
68.0
37.825.8
2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→=

37.875.8
2
2
1
1
=Φ−Φ=≤≤
=Φ→=
−
=
−
=
=Φ→=
−
=
−
=
xP
b
ax
u
b
ax
u
Tổ thứ bảy: x
1
=9.25 và x
2
=9.75 cm.
( )
( )

Tổ thứ tám: x
1
=9.75 và x
2
=Ơ cm.
( )
( )
( ) ( ) ( )
0217.002.275.9
5.0
68.0
37.8
4783.002.202.2
68.0
37.875.9
2
2
1
1
=∞Φ−Φ=∞≤≤
=∞Φ→∞=
−∞
=
−
=
=Φ→=
−
=
−
=

Vũ Văn Nam ĐH Vinh
7
Thống kê trong Sinh học
và kiểm tra giả thuyết về luật phân bố
Xi f
t
P
i
f
l
f
l
gộp (f
t
-f
l
)
2
/f
l
-Ơ-6.75
6.75-7.25
7.25-7.75
7.75-8.25
8.25-8.75
8.75-9.25
9.25-9.75
9.75-Ơ
1
2

ồ 50 1.0072 50.35
χ
n
2
=1.529
Phân bố chuẩn có 2 tham số cần ước lượng là µ và σ
2
, vì vậy bậc tự do: k=l-
r-1=4-2-1=1 suy ra: χ
n
2
(k=1)
=3.84.
χ
n
2
=1.529<χ
n
2
(k=1)
=3.84 nên giả thuyết H
0
về phân bố lý thuyết là phân bố chuẩn
biểu thị phân bố sản phẩm theo bề dày tạm thời được chấp nhận ở mức α=0.05.
- Bước 6: Vẽ biểu đồ phân bố số sản phẩm theo bề dày sản phẩm thực
nghiệm và lý thuyết.
Hình 2.3: Biểu đồ phân bố số sản phẩm theo bề dày
2.3.2. Phân bố giảm (Phân bố mũ)
2.3.2.1. Khái niệm
Phân bố giảm là phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật

.e
-
β
x
(2.12)
Trong đó α và β là hai tham số của hàm Meyer. Để xác định α và β phải
logarit hoá 2 vế phương trình (2.12):
lny = ln
α
-
β
.x
Đặt:
b
a
yy
=−
=
=
β
α
ln
ˆ
ln
Nhận được phương trình hồi quy tuyến tính 1 lớp:
)13.2(
ˆ
bxay
−=
Vũ Văn Nam ĐH Vinh

k
sao
cho tổng bình phương các hiệu sai từ các trị số quan sát của biến Y đến trị số lý
luận của phương trình hồi quy là bé nhất, tức là:
( ) ( )
28.5min
ˆ
1
2
=−=
∑
=
n
i
iy
yyQ
Muốn vậy, đạo hàm bậc nhất của tổng biến động Q
y
theo các tham số a
0
,a
1
,
a
2
, a
k
phải bằng 0. Nghĩa là:
0=
∂

∂
∂
∑
i
i
i
y
a
bxay
a
Q
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
10
X
Y
bxay
+=
ˆ
Thống kê trong Sinh học
Rút ra hệ phương trình sau:





+=
+=
∑∑ ∑
∑∑
2

xaxaxaay
a
Q
∂
−−−−−∂
=
∂
∂
∑
2
22110

Lấy đạo hàm riêng theo các tham số và cho bằng 0 rút ra hệ phương trình
sau:









+++=
+++=
++++=
∑ ∑ ∑ ∑∑
∑ ∑ ∑ ∑ ∑
∑∑∑∑
2

Q
Q
b =
và
)14.2(xbya
−=
Trong đó:
)15.2(
.
.
m
yx
yxQ
xy
∑∑
∑
−=
)16.2(
)(
2
2
∑
∑
−=
m
x
xQ
x
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
11

β
(2.19)
Ví dụ 2.2:
Nắn phân bố số cây theo đường kính (n/D
1.3
) của ô tiêu chuẩn 2000m
2
trạng
thái rừng IIIA
1
theo tài liệu ở bảng 2.2 dưới đây:
Bảng 2.2: Nắn phân bố số cây theo đường kính (n/D
1.3
) trạng thái rừng IIIA
1
A B C D E F G
1 D
1.3
(x) f
t
ln(y) x
2
x.y f
lt
(f
t
-f
l
)
2

140 74
15.37676
3248
277.0105 72.73328
χ
n
2
=5.84
Từ bảng 2.2 tính được:
m
yx
yxQ
xy
∑∑
∑
−=
.
.
= tổng tích cột A và C – (tổng(A)*tổng(C)/Count(A))=-30.524
0.448
7
140
3248
)(
2
2
2
=−=−=
∑
∑

3.5593
α=35.1419
Vì: -β=b =>
068135.0
=
β
Phương trình chính tắc hàm Meyer biểu thị quy luật phân bố số cây theo
đường kính lập được là:
Để kiểm tra mức độ phù hợp giữa phân bố lý thuyết là hàm Meyer với phân
bố thực nghiệm số cây theo đường kính thực nghiệm có thể dùng tiêu chuẩn phù
hợp χ
n
2
(công thức 2.1), kết quả kiểm tra cho thấy:
∑
=
−
=
l
i
l
lt
n
f
ff
1
2
2
)(
χ

0.068135x
0
5
10
15
20
25
4 8 12 16 20 24 28 32
ft
fl
Thống kê trong Sinh học
phù hợp với mục tiêu kinh doanh. Ngoài ra, nếu kết hợp với việc nghiên cứu quan
hệ giữa đường kính và chiều cao cây rừng còn có thể xác định được tổng thể tích
(trữ lượng) của từng cỡ kính theo mục tiêu kinh doanh.
2.3.3. Phân bố khoảng cách
2.3.3.1. Khái niệm
Phân bố khoảng cách là phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên đứt quãng,
hàm toán học có dạng:
F(x)= (2.20)
Trong đó:
n
f
0
=
γ
với f
0
là tần số quan sát tổ thứ nhất.
Phân bố khoảng cách thường có 1 đỉnh và sau đó giảm dần khi x tăng. Trong
điều kiện rừng chưa bị tác động nhiều thì đỉnh của phân bố ứng với cỡ đường kính

1.3
) trạng thái rừng IIIA
1
tại Tùng Di-Cát Bà, theo tài liệu điều tra sau:
Bảng 2.3: Nắn phân bố n/D
1.3
theo phân bố khoảng cách
D
1.3
f
t
X
i
f
t
X
i
P
x
f
t
(f
t
-f
l
)
2
/f
l
7

0.00168
1.1555
0.05608
0.04549
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
14
γ
với x=0
(1-α)(1-γ)α
X-1
với x≥1
Thống kê trong Sinh học
17
19
21
23
25
27
9
9
3
1
3
1
5
6
7
8
9
10

i
−
=
Với: d
i
là trị số giữa cỡ đường kính thứ i
d
l
là trị số giữa cỡ đường kính tổ thứ nhất
k là cự ly tổ (k=2)
Các tham số α và γ được xác định theo công thức (2.22) và (2.23) như sau:
684.0
323
9121
1
)(
1
157.0
121
19
0
0
=
−
−=
−
−=
===
∑
ii

(x) với F
0
(x) là hàm phân
bố khoảng cách.
Kết quả kiểm tra cho thấy:
χ
n
2
=3.0326
χ
05
2
(k=3)
=5.99
Vì χ
n
2
<χ
05
2
(k=3)
nên giả thuyết H
0
tạm thời được chấp nhận, nghĩa là phân bố
số cây theo đường kính lâm phần hỗn giao khác tuổi tuân theo luật phân bố khoảng
cách.
Phân bố số cây theo đường kính lâm phần
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
15
0

độ lệch của phân bố.
Nếu: α=1 thì phân bố có dạng giảm.
α=3 thì phân bố có dạng đối xứng.
α<3 thì phân bố có dạng lệch trái.
α>3 thì phân bố có dạng lệch phải.
Tham số λ đặc trưng cho độ nhọn của đường cong phân bố. Tham số λ được
ước lượng từ công thức:
)25.2(
).(
∑
−
=
α
λ
axf
n
il
Trong đó a là trị số quan sát bé nhất, x
i
là trị giữa tổ.
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
16
Thống kê trong Sinh học
2.3.4.2. Nắn phân bố thực nghiệm theo hàm Weibull
Để nắn phân bố thực nghiệm theo hàm Weibull, trước hết người làm công
tác thống kê phải căn cứ vào liệt số phân bố của một nhân tố điều tra nào đó để ước
lượng tham số α cho phù hợp. Theo kinh nghiệm tham số α được chọn sao cho kết
quả tính trị số χ
n
2

t
(x
i
-a)
3
U e
-u
P
i
f
l
(f
t
-f
l
)
2
/f
l
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)
7
9
11
13
15
17
19
21
2
7

2
189
1750
6517
8019
7986
8788
3375
0.014
0.112
0.377
0.895
1.747
3.020
4.795
7.157
0.9861
0.8941
0.6855
0.4085
0.1740
0.0487
0.0082
0.0008
0.0139
0.0920
0.2090
0.2770
0.2340
0.1250

Cột (6)=cột (2) nhân với cột (5), tổng cột (6) là
∑
=
−
n
i
it
axf
1
3
).(
và bằng 36626,
từ đây có thể tính được tham số λ theo công thức (2.25):
001747.0
36626
64
).(
==
−
=
∑
α
λ
axf
n
il
Cột (7) là trị số u, với u=λ.(x
t
-a)
α

.
.
Tổ thứ m:
mm
uu
eeP
−−
−=
−1
2
∑
=
≈
m
i
i
P
1
00.1
Cột (10) là tần số lý thuyết f
l
=n.P
i
.
Cột (11) kiêm tra giả thuyết về luật phân bố theo tiêu chuẩn phù hợp χ
2
, với
giả thuyết H
0
:

5
10
15
20
5 7 9 11 13 15 17 19 21
ft
fl
Thống kê trong Sinh học
Hình 2.7: Phân bố n/D
1.3
lâm phần mỡ trồng thuần loài đều tuổi.
Vũ Văn Nam ĐH Vinh
19