Gv: LêViếtHòa T: 0905.48.48.08 Trng THPT Vinh Xuõn
CH 0 . GII HAN - LIấN TC
1. Tỡm cỏc gii hn sau:
a.
3
5
1
2 1
lim
2 1
x
x x
I
x x
-đ
- -
=
- -
b.
1
x
os
2
lim
1-
x
c
J
x
p
đ

Ơđ
ổ ử
-
ữ
ỗ
=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+
e.
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
M
x
đ
- +
=
-
f.
3
1
2 1 8

-
ù
= + < <
ớ
ù
ù
ù
ù
ù

ù
ù
ợ
.Tỡm A, B f(x) liờn tc trờn R.
b. Tỡm a hm s
( )
1
0
1
0
2
ax
e
khi x
x
f x
khi x
ỡ
-
ù

ù
ạ
ù
ù
=
ớ
ù
ù
=
ù
ù
ợ
liờn tc ti
0x =
.
&
CH 1. O HM
Bi 1. Chng t rng vi mi
x ẻ Ă
, hm s
( )
( )
ln 1F x x x= - +
cú o hm
( )
'
1
x
F x
x

2
5 6y x x= - +
; b.
1
os2
y
c x
=
; c.
( )
2
1
x
y x= +
.
Bi 5. Tớnh o hm cỏc hm s:
a.
1
ln
1
x
y
x
-
=
+
; b.
ln sin cosy x x x= + +
; c.
( )

y e e
-
= +
; b.
2
5 ln 8 cosy x x x= - +
; c.
2 3 sin 2
x
y xe x= +
; d.
os2c x
y e=
.
Bi 8. Tớnh f (0) bit:
a.
( )
2
sin
0
0 0
x
khi x
f x
x
khi x
ỡ
ù
ù
ạ

ï
ï
=
ï
î
.
Bài 9. Cho hàm số
( )
2
1
os
2
x
f x c x
-
=
a. Tính f ’(x) ; b. Giải pt
( )
( )
( )
1 'f x x f x= -
.
Bài 10. Cho hàm số
1
ln
1
y
x
=
+

p
.
b. Gpt
( )
'' 0f x =
.
Bài 14. Cho hàm số
( )
2
1
os
2
x
f x c x
-
=
. G pt
( )
( )
( )
1 ' 0f x x f x- - =
.
Bài 15. Cho hàm số
3 3
sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
+

Bài 19. Cho y = e
sinx
. Chứng minh: y’.cosx – y.sinx - y” = 0.
Bài 20. Cho y = e
cosx
. Chứng minh: y’.sinx – y.cosx + y” = 0.
Bài 21. Chứng minh rằng hai hàm số
sin
ax
y e bx=
.
cos
ax
y e bx=
(a, b là hai hằng số) cùng thoả mãn hệ
thức
( )
2 2
'' 2 ' 0y ay a b y− + + =
.
Bài 22. Cho hàm số:
2
2 xxy −=
.Chứng tỏ: y
3
y” + 1=0.
Bài 23. Cho hàm số
(
)
3

3
2 2
y x x= - +
có đồ thị (C).Viết pt các tt của (C) đi qua điểm
3
0;
2
A
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
Đáp số:
3
2
y =
;
3
2 2.
2
y x= ± +
Bài 3. Cho hàm số
3 2
1
x
y

÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
b. Song song với đường thẳng
8 1y x= - +

c. Vuông góc với đường thẳng
4 8 0x y- + =
d. qua điểm B(-2; 0).
Bài 5. Cho hàm số
( )
3 1
2
x
y
x
+
=
-
có đồ thị (C).Viết pt các tiếp tuyến của (C) qua gốc toạ độ.
Đáp số:
6 3 3
2
y x
æ ö
- ±

. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
Đáp số:
1
3
m = ±
Bài 8. Cho hàm số
( )
4 3 2
1y x x m x x m= + + - - -
có đồ thị
( )
m
C
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục
hoành. Đáp số:
1
2 0,
4
m m m= - = =
.
&
CHỦ ĐỀ 3. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

y
x
+
=
-
; b.
2
1
1
x x
y
x
- +
=
-
; c.
2
2
1
x
y
x x
-
=
+ +
; c.
2 1 5y x x= - - -
.
Bài 3. Xác định m để hàm số
2 10mx m

;1- ¥
Bài 6. Tìm m để hàm số
2 1
2
3 1
2
m
y x x m
+ -
= - - +
nghịch biến trên khoảng
( )
;0- ¥
Bài 7. Xác định m để hàm số
3 2
1
2 2
3
y x x mx= - + +
đồng biến
a.Trên khoảng
( )
;- ¥ + ¥
; b.Trên khoảng
( )
;1- ¥
.
&
CHỦ ĐỀ 4. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số (nếu có):

(1).
a. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số (1).
b. Viết pt đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1).
Bài 3. CMR với mọi giá trị của tham số m, hàm số
( )
2 2
1x m
y
x m
- -
=
-
luôn có cực đại và cực tiểu.
Bài 4. Xác định m để hàm số
( )
3 2 2
1
1 1
3
y x mx m m x= - + - - + -
đạt cực tiểu tại
1x =
.
Bài 5. Xác định m để hàm số
2
1x mx
y
x m
+ +
=

y
x
- +
=
-
trên khoảng
( )
1;+ ¥
Bài 2.
2
4 5y x x= - + +

Bài 3.
2
5 6y x x= - +
trên đoạn [-5 ;5].
Trang 4 fms1382612844.doc
Gv: LêViếtHòa T: 0905.48.48.08 Trng THPT Vinh Xuõn
Bi 4.
2 os2 4 siny c x x= +
trờn on
0;
2
p
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
Bi 5.
2

ỗ
ữ
ố ứ
trờn
on
[ ]
0;
p
Bi 8.
5 3
5 2y x x= - +
trờn on [-2 ;0]
Bi 9.
3 1
3
x
y
x
-
=
-
khi
0 2xÊ Ê
[QG HN-D-
97]
Bi 10.
2
2
1
1

;
Bi 13.
3
4
os sin sin
2 3
y c x x x
p
ổ ử
ữ
ỗ
= - + -
ữ
ỗ
ữ
ố ứ
trờn
on
[ ]
0;
p
;
Bi 14.
1 1
sin sin 2 sin 3
2 3
y x x x= - +
trờn on
[ ]
0;

ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
[NN
HN - 99];
Bi 21.
2
sin
2
x
y x= -
trờn on
;
2 2
p p
ộ ự
-
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ

[KTQDHN-00];
Bi 22.
2
9
4 siny x x
x
p
= + +
trờn khong

sin 2 os 3
x x
y
x c x
-
=
+ +
;
Bi 27.
2 sin
1
2 os
x
y
c x
= +
+
[GT - 97].
2
2 cos cos 1
cos 1
x x
y
x
+ +
=
+
[Kin Trỳc HN -
98]
6 6

4 cos 3 3 sin 7 siny x x x= + +

[SP Quy Nhn -97]
&
Trang 5 fms1382612844.doc
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0 9 0 5 . 4 8 . 4 8 .08 Trường THPT Vinh Xuân
CHỦ ĐỀ 6. KSHS VÀ CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN
A. KS SBT và vẽ đồ thị (C) của các hàm số.
I. Hàm số bậc ba
Bài 1. (PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt)
a.
3
3 2y x x= - -
b.
3 2
4 4y x x x= - - -
c.
3 2
3 5y x x= - +
d.
3 2
2 3 2y x x= - + -
e.
( ) ( )
2
1 2 1y x x= + -
f.
3 2
3 1y x x= + +
g.

3 2
9y x x x= - - -
; b.
3
4y x x= +
; c.
3 2
3 4 2y x x x= - + - +
.
II. Hàm số trùng phương:
Bài 1. (PT y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt)
a.
4 2
2 3y x x= - +
; b.
( )
2 2
2y x x= -
; c.
4 2
1 1 1
4 2 2
y x x= - -
;
d.
4 2
8 1y x x= - + -
; e.
4 2
2 1y x x= - -

2 2
x
y
x
-
=
+
; b.
1 2
2 4
x
y
x
-
=
-
; c.
1
x
y
x
=
-
; d.
2x
y
x
-
=
.

3
2
y
x
=
-
.
B. KS SBT và vẽ đồ thị (C) của các hàm số và các bài toán có liên quan.
I. Hàm số bậc ba
Bài 1. Cho hàm số
3 2
3 3y x x= - - +
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
3 0x x m+ + =
(1) (m là tham số) .
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M thuộc (C) có tung độ bằng 3.
Bài 2. Cho hàm số
3 2
6 9 1y x x x= - + -
có đồ thị (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Dùng đồ thị (C), hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3 2
6 9 0x x x m- + - + =
(1) (m là tham số).
c. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M thuộc (C) có tung độ bằng -1.
Bài 3. Cho hàm số

: có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm (kép)
4
3
x =
;
iii.
32
0
27
m
−
< <
: có 2 nghiệm dương và 1 nghiệm âm;
iv.
0m
=
: có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm (kép)
4
3
x =
;
v.
1m >
: có 1 nghiệm dương .
Bài 4. Cho hàm số
3 2
5 7 3y x x x= − − −
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:

3
y x x x
1. Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 7. Cho hàm số y= x
4
- 4x
3
+ 4x
2
1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C)của hàm số đó.
2. Xác định tham số m, sao cho phương trình (ẩn x) sau có 4 nghiệm phân biệt x
4
- 4x
3
+ 4x
2
= m
2
-2m.
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi ( C) y = 0,x = 0, x = 1 quay một
vòng quanh trục Ox
Bài 8. Cho hàm số
23
3
1
xxy −=
, (C)
1. Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(3;0).

)
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)của hàm số ứng với m vừa tìm được ở câu trên.
3. Từ gốc toạ độ có thể kẻ đến (C) bao nhiêu tiếp tuyến , chỉ ra các phương trình tiếp tuyến và toạ độ
tiếp điểm.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và một tiếp tuyến nằm ngang của (C)
Bài 11. Cho hàm số y = (m+3)x
3
-3(m+3)x
2
-(6m+1)x+m+1 (C
m
)
1. Chứng minh rằng (C
m
) đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng.
2. Khảo sát và vẽ đồ thị (C
1
) khi m=1.
Bài 12. Cho hàm số f(x) = x
3
– 2x
2
–(m-1)x +m (với m là tham số). Tìm m để
x
xf
1
)( ≥
, với
2
≥∀

a. Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O, A, B.
b. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn AB.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và (d) khi m=1
Bài 16. Cho hàm số
2)12(
3
1
23
+−−+−= mxmmxxy
, (C
m
)
1. Tìm các điểm cố định mà (C
m
) luôn đi qua.
2. Khảo sát và vẽ (C)khi m=2.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C)và đi qua
)
3
4
;
9
4
(A
.
4. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C), y = 0, x = 0, x = 1 quay quanh Ox.
Bài 17. Cho hàm số y=x
3
+3x
2

4. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), y = 0, x = 0, x = 1 quay quanh trục
Ox.
Bài 19. Cho hàm số
3
1
)2(3)1(
3
1
23
+−+−−= xmxmmxy
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
3. Với giá trị nào của m, hàm số đã cho luôn luôn đồng biến.
Bài 20. Cho hàm số
3 2
3 2y x x= − +
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2 2
2 2
1
a
x x
x
− − =
−
(1).

4 2
2 1 2 1y x a x a= − + + − −
có đồ thị (C
a
). Tìm a để (C
a
) cắt Ox tại 4
điểm có hoành độ lập thành 1 cấp số cộng.
HD-ĐS:
4a =
: dãy số -3, -1, 1, 3 là cấp số cộng;
4
9
a
−
=
: dãy số -1,
1
3
−
,
1
3
, 1 là cấp số cộng.
Trang 8 fms1382612844.doc
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08 Trường THPT Vinh Xuân
Bài 2. Cho hàm số
( )
4 2
1 4 2y a x ax= + − +

4 3
4 8 0x x x a− + + =
(1).
Bài 5. Tìm a để phương trình:
2 2
2 10 8 5x x x x a− + − = − +
có 4 nghiệm phân biệt.
HD-ĐS:
43
4
4
a< <

Bài 6. Cho hàm số
( )
( )
4 2 2
9 10 1y mx m x= + − +
1/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
1m =
.
2/ Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
Bài 7. Cho hàm số y = - x
4
+ 2mx
2
- 2m + 1 (C
m
).
1. Chứng minh rằng (C

Bài 9. Cho hàm số y = (x+1)
2
(x-1)
2
.
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox.
3. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: (x
2
-1)
2
-2m+1=0.
4. Tìm b để Parabol y=2x
2
+b tiếp xúc với (C)
Bài 10. Cho hàm số y=x
4
+2(m-2)x
2
+m
2
-5m+5 , (C
m
)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = 1.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại các điểm có hoành độ là nghiệm của pt y’’ =0.
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
d. Tìm m để (C) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
III. Hàm số
( )

2 sin
x
t
x
+
=
+
có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn
[ ]
0;
π
ĐS:
1
1
2
t≤ <
.
Bài 3. Cho hàm số
2
4
mx
y
x m
−
=
+ −
(H
m
)
1. Định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

2. Khảo sát và vẽ (C) ứng với a,b tìm được.
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) và đi qua A(-3; 0).
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận ngang và 2 đường thẳng x = 0, x = 2.
Bài 6. Cho hàm số
= −
−
2
2
2
y
x
, gọi đồ thị của hàm số là (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Từ (C) vẽ đồ thị của hàm số
( )
−
=
−
2 3
2
x
y
x
(1). Dựa vào đồ thị của hàm số (1), hãy biện luận
theo k số nghiệm của phương trình
( )
−
=
−
2

Bài 1. Cho hàm số
2
1
y x
x
= +
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ (1; -1).
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( )
2
sin 1 sin 2 0x m x m− + + + =
(1)
với
;
2 2
x
π π
 
∈ −
÷

 
.
Trang 10 fms1382612844.doc
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08 Trường THPT Vinh Xuân
HD-ĐS:
b.

c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( )
2
cos 3 cos 3 2 0x m x m+ − + − =

(1)
với
[ ]
0;x
π
∈
.
d. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( )
2
sin 3 sin 3 2 0x m x m+ − + − =

(2)
với
[ ]
0;x
π
∈
.
HD-ĐS:
b.
3 3y x= − −
;
3 11y x= − −
.

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Từ đồ thị (C), hãy vẽ đồ thị của hàm số
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
.
c. Tìm m để phương trình
2
1
2
1
x x
m
x
− +
= −
−
(1) có 2 nghiệm phân biệt.
d. Tìm m để phương trình
( )
( )
( )
2
2 2

( )
2
sin sin 1 sin 1x x m x− + = −

(1)
với
[ ]
0;2x
π
∈
.
HD-ĐS:
1m
= −
: có 3 nghiệm
1
0x =
,
2
x
π
=
,
3
2x
π
=
.
1m < −
: có đúng 4 nghiệm.

Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0 9 0 5 . 4 8 . 4 8 .08 Trường THPT Vinh Xuân
Bài 6. Cho hàm số
2
2 3
1
x x
y
x
− +
=
−
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:
2
2 3
1
x x
a
x
− +
=
−
(1).
Bài 7. Cho hàm số
2
2 9
2
x x
y

+ −
=
+
có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( )
4 2
1 3 2 0t m t m+ − − − =
(1).
HD-ĐS: b. i.
3
2
m
−
<
: vô nghiệm;
ii.
3
2
m
−
=
: có 1 nghiệm
0t
=
;
iii.
3
2

=
2
5 6 3
2 8
x x
b.
π
 
−
 ÷
 
=
sin 2
4
3 1
x
c.
− +
 
=
 ÷
 
2 cos
3 4
4 3
x
d.
−
=
1 4

32 0,25.128
x x
x x
h.
( ) ( )
− +
− +
+ = −
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
i.
− −
=
4 2 1
7 49
x x
j.
( )
−
− + +
=
2
2
2 3
36 6
x x
x x

− +
≤
2
2 7
3 8
x
c.
− +
 
<
 ÷
 
2
7
1
1
3
x x
d.
( )
− + +
≤
2
2 6
0,236 1
x x
e.
−
+
 

0,25 8
x
i.
−
− ≥
2
2 5
9 3 0
x x
j.
2
1
2
1
3
3
x x
x x
− −
−
 
≥
 ÷
 
Bài 3. Giải các pt sau:
a.
( )
= −
2 2
log log 1 3x x

h.
( ) ( )
2 2
log 5 log 6 1x x x− − − =
i.
( )
+ =
4 2
log log 4 5x x
j.
( ) ( )
− − − =
2 1
2
log 3 log 1 3x x
k.
3 9
1
log log 9 2
2
x
x x
 
+ + =
 ÷
 
l.
( ) ( )
+ = − +
2 1

− > − +
2 2
2 log 1 log 5 1x x
d.
( )
( )
+ < + +
2
0,5 0,5
log 4 11 log 6 8x x x
e.
( ) ( )
+ > +
3 9
log 2 log 2x x
f.
− <
3
log 2 1x
;
−
≤
−
1
2
3 5
log 0
1
x
x

x
x
−
 
<
 ÷
−
 
;
−
 
 ÷
 
<
3
2
log
5 1
x
x
i.
− +
<
2
0,5
4 6
log 0
x x
x
j.

x x
d.
+
− − =
1
4 2 3 0
x x
e.
3
2 1
2 3
x
x
− =
−
f.
1
4 2 6 0
x x+
− − =
g.
2 3
1
2
5 15
5
x
x
−
−

x x-
+ - =
m.
( )
25 12.2 6,25. 0,16 0
x
x x
− − =
n.
− + =6.4 13.6 6.9 0
x x x
o.
+ =8 18 2.27
x x x
p.
− + −
− =
2 2
2
2 2 3
x x x x
q.
( ) ( )
− + + =2 3 2 3 4
x x
Trang 13 fms1382612844.doc
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0 9 0 5 . 4 8 . 4 8 .08 Trường THPT Vinh Xuân
r.
( ) ( )
tan tan

2 3
2 2
log log 2 0x x− + =
x.
( )
( ) ( )
3
2
3 3
7log 1 1
3
log 1 log 1
x
x x
+ −
=
+ + +
y.
+ + − =
2 2
3 3
log log 1 5 0x x
Bài 2. Giải các bpt sau
a.
− + <9 5.3 6 0
x x
b.
1
1
3.9 5

5 12.5 4
x
x x
e.
2 1
1
1 1
3 12
3 3
x x
+
   
+ >
 ÷  ÷
   
f.
− ≤
2
ln 2ln 0x x
g.
( )
2
2 2
2
0,5
log log 7
2 log
2 log
x x
x

8.3 3.2 24 6
x x x
+ = +
4.
2 2
2
2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
[D.06]
5.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
[A.06]
6.
( ) ( )
2 1 2 1 2 2 0
x x
− + + − =
[B.07]
7.
3 1 2
2 7.2 7.2 2 0
x x x+
− + − =
[D.07tk]
8.
( )
25 2 3 .5 2 7 0

3 5 6 2
x x
x+ = +
;
13. a.
2
3 .5 1
x x
=
b.
1
5 .8 500
x
x
x
−
=
14.
=



+ =


2 2
. 1
l g l g 2
x y
o x o y

=

 +
17.
1
2 2 2
x y
x y+ =



− =


Bài 2. Giải các pt, bpt, hpt sau:
1.
5 3 5 9
log log log 3. log 225x x+ =
2.
( ) ( )
+ + = − + +
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4x x x
3.
( ) ( )
2 2
log log
2

+ +
 
7.
( )
2 2
1
log 4 15.2 27 2 log 0
4.2 3
x x
x
+ + + =
−
8.
( )
( )
4 2
2 1
1 1
log 1 log 2
log 4 2
x
x x
+
− + = + +
9.
2
2 1
log 1 2
x
x

)
( )
(
)
+ + + + + =
+ +
2 2
log 9 12 4 log 21 23 6 4
3 7 2 3
x x x x
x x
Bài 4. Giải các pt, bpt, hpt sau:
1.
2
log
2
3 1
2 3
log log 2 1 3
2
1
1
3
x
x
 
 
 
 ÷
+ − +

3 4
x x
x x
+ − +
>
− −
4.
( )
2 2 2
2 1 4
2
log log 5 log 3x x x+ > −
A.07]
5.
( )
2
4 2
log 8 log log 2 0
x
x x+ ≥
[A.07tk]
6.
( )
2
1 2
2
1 1
log 2 3 1 log 1
2 2
x x x− + + − ≥

1
log 2 2log 2 log log
2
x y x y+ − = +
với điều kiện
0, 0x y> >
và
2 2
4 12x y xy+ =
Bài 4. Chứng minh rằng: nếu
2 2 2
a b c= +
, a, b, c>0,
1a c± ≠
thì
( ) ( ) ( ) ( )
log log 2log .log
a c a c a c a c
b b b b
+ − + −
+ =
.
Bài 5. Cho
( )
4 3
6
x
f x x e
−
= +

2
3
2f x x
x
= −
và
( )
1 4F
=
b.
( )
( )
3 2
2
3 3 7
1
x x x
f x
x
+ + −
=
+
và
( )
0 8F
=
c.
( )
cos5 os3f x x x
=

f.
( )
2
sin cos
2 2
x x
f x
 
= +
 ÷
 
và
2 2
F
π π
 
=
 ÷
 
Vấn đề 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số:
Bài 1. Tính các tích phân sau:
Trang 15 fms1382612844.doc
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0 9 0 5 . 4 8 . 4 8 .08 Trường THPT Vinh Xuân
a.
2
2
0
cos sinx xdx
π
∫

0
1x x dx
−
∫
; f.
1
0
1x xdx
−
∫
; g.
2
1
1
1 ln
e
dx
x x
−
∫
h.
3
2
4
1
cos t
dx
x gx
π
π

4
3
2
4
4
x
dx
x
−
∫
; m.
2 2
2
2
1
2
dx
x x
−
∫
n.
2
2 2
0
4x x dx−
∫
o.
2
2
0

π
=
+
∫
và
( )
4
0
ln 1J tgx dx
π
= +
∫
.
Bài 3. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [- a ; a] (
0a
>
). Chứng minh rằng:
a. Nếu f là hàm số lẻ trên thì
( )
0
a
a
f x dx
−
=
∫
;
b. Nếu f là hàm số chẵn trên thì
( ) ( )
0

∫
,
1
2
1
1K x dx
−
= −
∫
và
1
2
1
2
1
cos .ln
1
x
L x dx
x
−
+
=
−
∫
.
Vấn đề 3: Bất đẳng thức tích phân:
Bài 1. Chứng minh rằng:
a.
1

π
π π
≤ ≤
+
∫
d.
2
2
0
1 6
1 sin
2 2 4
xdx
π
π π
≤ + ≤
∫
e.
3
4
3 cot 1
12 3
gx
dx
x
π
π
≤ ≤
∫
f.

0
2 1 cosx xdx
π
+
∫
d.
2
0
cos sinx x xdx
π
∫
e.
( )
2
1
1 ln
e
x x xdx
− +
∫
f.
2
2
1
1
ln 1x dx
x
 
+
 ÷

π
−
∫
j.
( )
1
2
0
1
x
x x e dx
+ +
∫
k.
( )
2
2
0
2 1 cosx xdx
π
−
∫
l.
2
0
sin cosx x xdx
π
∫
m.
( )

Bài 1. Tính các tích phân sau:
a.
3
2
4
sin
x
dx
x
π
π
∫
b.
2
4
0
sin xdx
π
∫
c.
2
0
sinx xdx
π
∫
d.
3
3
2
0

dx
x +
∫
h.
Vấn đề 6: Tính tích phân bằng cách dùng tích phân từng phần xuất hiện lại tích phân ban đầu:
Bài 1. a.
3
2
2
1x dx
−
∫
; b.
sin 2
x
e xdx
−
∫
; c.
( )
cos ln x dx
∫
; d.
2 2
0
cos
x
e xdx
π
∫

=
.
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a.
2
2
x
y =
,
0x
=
,
2y
=
,
4y
=
.
b.
2
2y x
=
,
y x
=
,
0y
=
,
3y

= − −
.
e.
2
4y x= −
,
2
2y x x= −
. f.
3 2
4 6y x x x= − + +
,
0y
=
.
g.
3
y x
=
,
2
y x
= −
. h.
2
y x=
,
2
x y
= −

. l.
2
8
4
y
x
=
+
,
2
4x y
=
.
m.
2
x ay=
2
y ax=
(
0a
>
).
n.
2
1y x
= −
,
5y x
= +
.

,
2
4 2
x
y
=
.
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
a.
2
5 0y x+ − =
,
3 0x y
+ − =
; b.
2
2 1y x
= +
,
1y x
= −
.
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
Trang 17 fms1382612844.doc
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0 9 0 5 . 4 8 . 4 8 .08 Trường THPT Vinh Xuân
a.
2
y x=
,
2

-2x, y = 0, x = -1, x = 2.
a. Tính diện tích của (H).
b. Tìm thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi (H) quay quanh Ox.
Bài 9. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x.e
x
, x =
0, x = 1 quay quanh trục Ox.
&
CHỦ ĐỀ 9 . SỐ PHỨC
Bài 1. Tính: a.
( ) ( )
2 2
3 2 3 2A i i= + + −
; b.
( ) ( )
( )
3
2
3 2 4 2B i i i i= + − − + +
.
Bài 2. Tính: a.
( ) ( )
3 4
1 4 2 3
i
A
i i
−
=
− +

2 3
1 2
2
i i
z
i
+
=
− +
; c.
5 4
4 3
3 6
i
z i
i
+
= − +
+
.
Bài 4. Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết
a.
( ) ( ) ( )
2 20
1 1 1 1z i i i= + − + − + + −
; b.
( ) ( ) ( )
2 2009
1 1 1 1z i i i= + + + + + + +
.

−
; c.
3
4 9 0z z− − =
; d.
2
2 3 7 0z z− + =
.
Bài 8. Giải các pt: a.
2
4 5 0x x− + − =
; b.
4 2
6 0t t− − =
; c.
4 2
6 5 0z z+ + =
; d.
3 2
5 15 18 0x x x− + − =
.
Bài 9. Cho
, ,a b c ∈¡
,
0a
≠
,
1 2
,z z
là hai nghiệm của phương trình

9 4 10z y xi= − −
và
2 11
2
8 20z y i= +
là liên hợp của nhau.
Bài 13. Tìm số phức z, biết: a.
2
z z=
; b.
3
z z=
; c.
3 4z z i+ = +
.
Bài 14. Tìm số phức z, biết:
2
1
z i z
z i z
 − =


− = −


Bài 15. Giải hệ phương trình:
3 2 3
2 1
x iy i

2z i− =
; b.
3 1z − ≤
; c.
2z i z+ = +
; d.
2 4z< ≤
; e.
1z i− >
.
Bài 18. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
a. .z
2
là số ảo; b.
3z =
và phần thực của z bằng 3; c.
1
1
1
z
z
+
=
−
.
Bài 19. Trên mặt phẳng toạ độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện:
a. .
2 2z z+ < −
; b.
2 1 2 3z i≤ − + <

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 8. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Góc giữa cạnh bên của hình
lăng trụ và mặt đáy bằng 30
0
. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ thuộc đáy trên xuống mặt phẳng đáy
dưới trùng với trung điểm H của cạnh BC.
a.Tính thể tích của hình lăng trụ .
b.Tính diện tích mặt mặt bên BCC’B’.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt
phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 30
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông
góc với đáy. Góc giữa SC và (SAB) bằng 30
0
.
a.Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
b.Xác định tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 11. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm,
BC = 5cm. Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao
3R
. A và B là hai điểm trên hai đường tròn đáy
sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 30
0
.
a.Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ .
b.Tính thể tích khối trụ tương ứng.
c.Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ.
Bài 13. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại đỉnh B, cạnh bên AA’ vuông

,
= 3AC a
mặt bên SBC là
tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 21. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc và
6A B A C A D cm= = =
.
a. Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD ;
b. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD;
c. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc
ACD quanh cạnh AD;
d. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD.
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
= =SA SB a
, mp(SAB) vuông góc
với mp(ABCD). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABD.
Bài 23. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
=' 2AA a
và đường thẳng
AA’ tạo với mp(ABC) một góc bằng 60
0
. Tính thể tích khối tứ diện ACA’B’ theo a.
&
CHỦ ĐỀ 11. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. Hệ toạ độ trong không gian
Bài 1. Trong Oxyz, cho 4 điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(-2;1;-1).
1/ Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ sau:
, , , , 2 3 4AB BC CD CD u AB CD DA= − −
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
.

Bài 5. Trong kg Oxyz, cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;0;1 , 2;1;1A B C
. Tính các góc của ∆ABC .
Bài 6. Trong kg Oxyz, cho 4 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
− −1; 1;1 , 1;3;1 , 4;3;1 , 4; 1;1A B C D
.
a. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D là các đỉnh của một hình chữ nhật
b. Tính độ dài các đường chéo, xác định toạ độ của tâm hình chữ nhật đó.
c. Tính côsin của góc giữa hai vectơ
uuur
AC
và
uuur
BD
.
Bài 7. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
( ) ( ) ( ) ( )
1;1;2 , 1;0;1 , 1;1;0 , ' 2; 1; 2A B D A
− − − −
a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
b/ Tính diện tích toàn phần của hình hộp.
c/ Tính thể tích V của hình hộp.
d/ Tính độ dài đườngcao của hình hộp kẻ từ A’.
Bài 8. Trong kg Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, biết
( ) ( )
( ) ( )
, , , , , ,
1 1 1 3 3 3 2 2 2 4 4 4

2; 1;1n = −
r
.
b/ Viết pt mp(β) qua M và véc-tơ pháp tuyến của mp(β) vuông góc với 2 véc-tơ
( )
= −
uur
1
1;0; 2u
và
( )
= − −
uur
2
1; 3;4u
.
Bài 2. Trong Oxyz, cho A(3;2;1), B(−1;0;2), C(1;−3;1).
a/ Viết pt mp(ABC).
b/ Viết pt mặt trung trực của đoạn AB.
c/ Viết pt mp qua A và vuông góc với BC.
d/ Viết pt mp qua B và vuông góc với Oz.
e/ Gọi A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là hình chiếu của A trên các trục Ox, Oy,Oz. Viết pt mp(P) qua A
1
, A

3 4 6 0x y z− + + =
Bài 7. Trong Oxyz, cho A(1; -1;-2), B(3; 1; 1) và (α): x – 2y + 3z -5 = 0. Viết pt mặt phẳng (β) qua A, B
và (β) ⊥(α).
Bài 8. Trong Oxyz, cho (α):
3 2 4 0x y z− + + =
, (β):
3 4 6 0x y z− + + =
. Lập pt mp(γ) qua giao tuyến
của (α), (β) và qua A(2;1;−1).
Bài 9. Trong Oxyz, cho (α):
4 0x y z+ − + =
, (β):
3 2 1 0x y z− + − =
. Lập pt mp(δ) qua giao tuyến
của (α), (β) đồng thời vuông góc với mp(γ):
2 3 1 0x y z− + − =
.
Bài 10. Lập pt mp đi qua gốc tọa độ và vuông góc với 2 mp:(α):
7 0x y z− + − =
,
(β):
3 2 12 5 0x y z+ − + =
Bài 11. Trong Oxyz, cho A(1; -1; 1), B(-2; 1; 3), C(4; -5; -2) và D(-1; 1; -2).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC.
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c. Viết phương trình mặt phẳng (β) qua B và song song với (α): 3x – 2y + z +7 = 0.
d. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua AC và song song với BD.
e. Tính S
∆ABC
.

g
đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
( )
a
.
c. Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.
Bài 14. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A(1; 2; -4), B(1; -3; 1), C(2; 2; 3) và có tâm nằm trên
mp(Oxy).
Bài 15. Viết phương trình mặt cầu đi qua 2 điểm A(3; -1; 2), B(1; 1; -2) và có tâm thuộc trục Oz.
Bài 16. Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A(1; 1; 1), B(1; 2; 1), C(1; 1; 2), D(2; 2; 1).
Bài 17. Cho mặt mặt phẳng
( )
: 3 2 6 14 0x y z
a
- + + =
và mặt cầu
( )
( )
2
2 2 2
: 2 2 0S x y z x y z+ + - + + - =
. Chứng minh rằng
( )
a
cắt (S) theo một đường tròn
(C). Xác định tâm và bán kính của (C).
Bài 18. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A (3; 0; 1), B (2; 1; -1), C (0; -7; 0) và D (2; -1; 3).
a. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với CD
b. CMr bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
c. Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Ox và song song với CD.

( )
g
đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng
( )
a
.
c. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với
( )
a
.
d. Tìm các giao điểm A, B, C của
( )
a
với các trục Ox, Oy, Oz. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
III. Phương trình đường thẳng
Bài 1. Lập pt tham số của đường thẳng (đt) ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a/ ∆ qua 2 điểm A(2;−3;5) và B(1;−2;3).
b/ ∆ qua điểm A(1;−1;3) và ssong với BC, biết B(1;2;0), C(−1;1;2).
c/ ∆ qua điểm A(−1;0;2) và ∆ vuông với mp(α):
7 0x y z− + − =

Bài 2. Tìm ptct của ∆ biết ∆ có ptts là:
1
2
x t
y t
z
=



16
x t
d y t
z t
− − −
= =
5 2 3
' :
2 1 6
x y z
d
. CMr: d cắt d’.Viết ptmp chứa d và d’.
Bài 7. Cho
= +


= −


= −

5 2
: 1
5
x t
d y t
z t
và
= +



= − +


= −

1 '
' : 2 '
3 '
x t
d y t
z t
.
a. CMr: d và d’ chéo nhau.
b. Lập pt mp qua O và song song với d và d’.
Bài 9. Lập pt mp(α) chứa đt ∆:
=


−

= +


=


4
3
7

= =
và cắt d
2
:
= −


= +


= +

1
1
2
x
y t
z t

Bài 13. Viết ptct đt qua M(1;5;0) và cắt cả 2 đt d
1
:
=


= −


= − +


= +


= +


= +

12 4
9 3
1
x t
y t
z t
và mp(P):
+ − − =3 5 2 0x y z
.
a. Tìm toạ độ giao điểm của d và (P)
b. Viết ptmp (P’) qua M(1; 2; -1) và vuông góc với d. Tính khoảng cách từ M đến d.
c. Viết pt hình chiếu d’ của d lên mp(P).
d. Tính góc giữa d và (P).
e. Cho điểm B(1; 0; -1), hãy tìm tọa độ điểm B’ sao cho (P) là mp trung trực của đoạn thẳng BB’.
f. Viết ptđt ∆ nằm trong (P) vuông góc và cắt d.
Bài 15. Cho d:
=


= − +



1 1 2
x y z− +
= =
.
a/ Hãy xét vị trí tương đối của d
1
, d
2
.
b/ Tìm tọa độ giao điểm I của d
1
, d
2
.
c/ Lập pttq của mp chứa d
1
, d
2
.
Bài 17. Cho 2 đường thẳng d
1
:
2 3 4
2 3 5
x y z− − +
= =
−
và d
2
:

, n:
3
3 2
2
x u
y u
z
= −


= +


= −


a/ Tình khoảng cách giữa 2 đt m, n.
b/ Viết pt đường vuông góc chung của 2 đt m, n.
Bài 19. Cho 2 đt d:
2
1
2
x t
y t
z t
= +


= −


:
7 3 9
1 2 1
x y z− − −
= =
−
; d
3
:
1 3 2
3 2 1
x y z+ + −
= =
− −
. Lập pt đt d
cắt d
1
, d
2
và ssong với d
3
.
Bài 21. Hãy viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm M(0,1,1) vuông góc với đường thẳng
11
2
3
1 zyx
=
+
=

d y t
z t
= +


= +


= −

và mặt cầu (S) có phương trình: x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y + 2z - 6 = 0.
1. Chứng minh d và d’ chéo nhau.
2. Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng d.
Trang 24 fms1382612844.doc
Gv: Lª–ViÕt–Hßa T:Đ 0905.48.48.08 Trường THPT Vinh Xuân
3. Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’. Tìm toạ độ các chân đường vuông góc
chung ấy.
4. Tính khoảng cách từ điểm M(1,2,3) đến đường thẳng d’.
5. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm N(-1,0,1).
Bài 23. Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng
1
9
2
3

và d
2
.
Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu: x
2
+ y
2
+ z
2
- 10x + 2y + 26z - 113 = 0 và song song với
2 đường thẳng
2
13
3
1
2
5
:
1
+
=
−
−
=
+ zyx
d
,
2
7 1 8
:

y t
z t
= − +


∆ =


= +

a. Chứng minh rằng:
)(∆
,
)'(∆
chéo nhau.
b. Tính khoảng cách giữa
)(∆
,
)'(∆
c. Viết phương trình đường vuông góc chung giữa
)(∆
,
)'(∆
Bài 25. Thiết lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng d:
41
1
1
13 zyx
=
+

tọa độ của tiếp điểm của (P) và (S).
Bài 28. Trong không gian cho Oxyz, cho 2 đường thẳng:
1
3
: 2 2
x
d y t
z t
=


= −


=

,
2
1 2 '
: 2 '
1 2 '
x t
d y t
z t
= −


= +



vuông góc
d
1
.
3. Tìm giao điểm của d
2
và
)(
α
, d
1
và
)(
β
. Suy ra phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc
với d
1
, d
2
.
Bài 29. Cho mặt phẳng
)(
α
: 6x+3y+2z-6=0
1. Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A(1,1,2) lên mặt phẳng
)(
α
2. Tìm toạ độ điểm đối xứng A’ của A qua
)(
α

Trang 25 fms1382612844.doc