Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
I - chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
A. Một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai đoạn thẳng bằng nhau.
1. Hai đoạn thẳng có cùng số đo.
2. Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba.
3. Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu, trung bình nhân, của hai đoạn thẳng
bằng nhau đôi một.
4. Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ tính chất của tam giác cân, tam giác
đều, tam giác vuông, v.v
5. Hai cạnh tơng ứng của 2 tam giác bằng nhau.
6. Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, định nghĩa trung tuyến của tam giác,
định nghĩa trung trực của đoạn thẳng, định nghĩa phân giác của một góc.
7. Tính chất của một hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, hình
thang cân
8. Tính chất đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất cạnh đối diện với góc
30
0
trong tam giác vuông.
9. Tính chất giao điểm ba đờng phân giác trong tam giác, tính chất giao điểm ba
đờng trung trực trong tam giác.
10. Định lí đờng trung bình của tam giác, đờng trung bình của hình thang.
11. Các tính chất của dây cung, cung bằng nhau của đờng tròn.
12. Tính chất các tỉ số bằng nhau.
13. Một số định lí nh Talét, Pitago
14. Tính chất hai đoạn thẳng song song chắn giữa hai đờng thẳng song song.
15. Các tính chất của phép tịnh tiến, phép đối xứng, phép quay.
B. Một số ví dụ
Bài toán 1:
Cho tam giác ABC có AP là phân giác. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa đỉnh A,
vẽ tai Px sao cho góc CPx bằng góc BAC tia này cắt AC ở E. Chứng minh rằng PB =

Vẽ PH AB và PHAC PH = PK
BAC + BPE = 180
0
BAC = CPE(gt) BPE = HPK
BAC + HPK = 180
0

BHP = EPK BPH = EPK (g.c.g) PB = PE.
Bài toán 2:
Cho (O) và đờng thẳng xy ở ngoài (O) . Kẻ OAxy. Qua A kẻ 1 cát tuyến cắt (O)
tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt xy lần lợt tại D và . Chứng minh rằng A là trung
điểm của đoạn thẳng DE.
GT
xy ở ngoài (O)
OAxy
OBBD tại B
OCEC tại C
KL AE = AD
1. Phân tích tìm tòi cách giải
Năm học 2007 - 2008
2
B
P
C
K
A
H
E
C
0

AE = AD
A là trung điểm của DE.
2. Lời giải (tóm tắt)
Tứ giác COAE nội tiếp COE = CAE ( cùng chắn cung CE)
Tứ giác ABOD nội tiếp DOB = CAE ( hai góc cùng bù với BAD)
COE = DOB OCE = ODA OE = OD
OAE = OAD AE = AD
Bài toán 3:
Cho đờng thẳng xy cắt đờng tròn (O) tại hai điểm M và N. Kẻ OA vuông góc với
xy. Qua A kẻ 1 cát tuyến cắt (O) tại B và C . Tiếp tại B và C lần lợt cắt xy tại D và
E . So sánh độ dài hai đoạn thẳng AE và AD.
Gợi ý: Vận dụng phơng pháp giải bài toán 3 ta chứng minh đợc AE = AD.
II - chứng minh hai góc bằng nhau
a. một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai góc bằng nhau.
1. Sử dụng hai góc có cùng số đo.
2. Sử dụng góc thứ ba làm trung gian ( hai góc cùng bằng một góc ), hai góc cùng
phụ với một góc, hai góc cùng bù với một góc.
3. Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của hai góc tơng ứng bằng nhau.
4. Sử dụng định nghĩa phân giác của một góc.
5. Hai góc đối đỉnh.
Năm học 2007 - 2008
3
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
6. Sử dụng tính chất hai đờng thẳng song song (đồng vị, so le, ).
7. Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tơng ứng song song hoặc vuông góc.
8. Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau.
9. Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung.
10. Hai góc đáy của một tam giác cân.
11. Các góc của một tam giác đều.

P
D
B
M
C
EN
O
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK.
GT
DA = DM
CDAD tại D
BAAD tại A
CBCD tại C
P cung AC
KL AP là phân giác
của BAK
1. Phân tích, tìm cách giải
* Cách 1:
- Muốn chứng minh AP là tia phân giác của góc BAK ta chứng minh BAP = KAP.
- Muốn chứng minh BAP = KAP ta chứng minh cung AP = cung PQ.
- Muốn chứng minh cung AP = cung PQ ta chứng minh DPAQ tại K.
+ DPAQ tại K vì AKD chắn nửa đờng tròn đờng kính AD.
Ta có lời giải tóm tắt:
AKD = 90
0

(góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn, đờng kính AD).
Vậy DPAQ tại K nên cung AP bằng cung PQ.

Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
PNA = PKA vì có AP là cạnh huyền chung và NPA = KPA.
Do đó ta có NAP = KAP.
* Cách 3:
Ta đi chứng minh cho 2 góc NAP và KAP cùng bằng 2 góc bằng nhau.
Nối A với P cắt đờng tròn đờng kính AD tại T. Nối D với T, ta dễ dàng nhận ra :
D
1
= D
2
. Vì DAP là tam giác cân ở D mà DT vuông góc với đáy AP. Đồng thời ta lại
có KAP = D
1
= D
2
.
Ta chỉ cần chứng minh D
1
= D
2
= NAP đpcm.
Ta có lời giải tóm tắt nh sau:
Ta có: ADP cân ở D mà DTAP D
1
= D
2
.
Mà D
1

0
ta có chứng minh đợc OAH = OAB - C
không ?
Năm học 2007 - 2008
6
B
C
O
H
A
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Thiết lập bài toán tơng tự ta đợc bài toán sau:
Bài toán 4:
Cho tam giác ABC có A < 90
0
, có AB < AC nội tiếp đờng tròn tâm O. Vẽ đờng
cao AH và bán kính OA.
Chứng minh rằng OAH = B - C.
GT
BAC < 90
0
A, B, C (O)
AHBC
KL
OAH = B - C.
Phân tích, tìm cách giải
Cách 1:
Theo gt ta có B > C, ta tạo ra trên hình vẽ B - C bằng cách lấy B làm đỉnh và BC
làm cạnh, vẽ góc CBx bằng góc C. Ta chỉ cần chứng minh ABx = OAH.

E
y
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Vì ABy = ABE = ACB
A là điểm chính giữa
của cung BE OABE.
Từ đó ta dễ dàng chứng minh đợc EBC = OAH.
Cách 3:
Cách 4:
Ta có thể vẽ thêm đờng phụ.
Chẳng hạn vẽ đờng kính AA,
rồi nối B với A. Ta đợc
tam giác ABA vuông tại B.
Ta có: OAH = 90
0
- ( A
1
+ A)
Mà 90
0
- A
1
= B
vì AHB là tam giác vuông và A = C ( 2 góc nội tiếp cùng chắn một cung AB)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bạn đọc tự trình bày lời giải
Cách 5:
Tiếp tuyến tại A và đờng thẳng BC cắt nhau tại N. Tam giác ABN có:
ABC = B là góc ngoài của tam giác.

.
O
C
HB
A
N
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Do đó: ABC = B = NAB + ANB = C + OAH.
Bài toán đã có cánh giải. Bạn đọc tự giải
III- chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau
a. một số gợi ý để đi đến chứng minh hai đờng thẳng song song với nhau.
1. Xét vị trí các cặp góc tạo bởi 2 đờng thăng định chứng minh song song với một
đờng thẳng thứ ba ( ở các vị trí đồng vị, so le, ).
2. Sử dụng các tính chất của hình bình hành.
3. Hai đờng thẳng cùng song song hoặc cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba.
4. Sử dụng tính chất đờng trung bình của một tam giác, một hình thang, hình bình
hành.
5. Sử dụng định nghĩa hai đờng thẳng song song.
6. Sử dụng kết quả các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ để suy ra các đờng thẳng tơng
ứng song song. ( Định lí Talét ).
7. Sử dụng tính chất đờng thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh bên hoặc trung
điểm hai đờng chéo của hình thang.
B. Một số bài toán minh hoạ
Bài toán 1:
Cho hình thang cân ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB. Theo thứ tự từ A và B vẽ
các đờng thẳng song song với BC và AD cắt hai đờng chéo BD và AC tại E và F.
Chứng minh rằng tứ giác DEFC là hình thang cân.
GT
AB//CD

OE
và
OC
OF
với những dữ kiện giả thiết đã có. Từ gt ta
có:
OC
OA
OB
OE
=
( vì AE//BC) (1)
OA
OF
OD
OB
=
(vì BF//AD) (2)
* Muốn chứng minh EDC = FCD, ta dễ dàng nhận ra từ điều kiện giả thiết đã cho
ABCD là hình thang cân có hai góc ở đáy bằng nhau đpcm.
Nhận xét: Nếu ta thay đổi một số dữ kiện đề bài (giả thiết) ta có một số bài toán
tơng tự nh sau:
Bài toán 1.1: Cho hình thang ABCD, có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB. Theo thứ tự từ
A và B vẽ các đờng thẳng song song với BC và AD cắt hai đờng chéo BD và AC tại E
và F. Tứ giác DEFC là hình gì?(Việc giải bài toán này tơng tự bài toán . Ta chứng
minh đợc tứ giác DEFC là hình thang.
Bài toán 1.2: Cho tứ giác ABCD lồi, theo thứ tự từ A và B vẽ các đờng thẳng song
song với BC và AD cắt hai đờng chéo BD và AC tại E và F. Tứ giác DEFC là hình
gì?
Bài toán 2:

P
M
M
B
A
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
KL PQ//BC
1. Phân tích, tìm tòi cách giải.
Có nhiều cách để chứng minh PQ//BC, sau đây chỉ là một cách trong nhiều cách
đó.
Muốn chứng minh PQ//BC ta phải chứng minh đợc
QM
QM
PM
PC
=
.
Mà
AM
AC
PM
PC
=
(AP là tia phân giác CAM)
AM
AC
QM
QB
=

=
PQ//BC đpcm.
Nhận xét:
Giả sử ta lấy thêm điểm MAy ta dễ dàng chứng minh đợc PQ//BC, PQ//PQ.
Do đó ta có bài toán nh sau:
Bài toán 2.1:
Bài toán 3.
Năm học 2007 - 2008
11
Gọi Am là tia phân giác của góc xAy. Vẽ tai phân giác AnAm tại A. Trên tia
Ax và tia đối của tia Ax lần lợt lấy 2 điểm C và B sao cho AC = AB. Lấy điểm
M,M bất kỳ trên tia Ay. Nối NC và MB lần lợt cắt Am và An tại P và Q. Nối MC,
MB lần lợt cắt Am,An tại PQ. Tứ giác PQQP là hình gì?
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Cho tam giác ABN cân tại A. Trên cạnh AN lấy điểm E, trên AN kéo dài lấy điểm
C sao cho EC = AN. Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của BC và AE. Chứng
minh PQ song song với đờng phân giác trong của góc BAN.
GT
AB = AN
EC = AN
BAI = NAI
QA = QE ; PB = PC
KL
PQ//AI
1. Phân tích tìm tòi lời giải.
Muốn chứng minh PQ//AI ta chứng
minh tứ giiác AQPI là hình bình hành.
Muốn chứng minh cho tứ giác AQPI
là hình bình hành cũng có nhièu cách khác nhau, chẳng hạn nh ta tìm cách chứng

I
Q
N
B
P
C
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
GT
AB = AN
EC = AN
BAI = NAI
QA = QE ; PB = PC
KL
PQ//AI
1. Phân tích, tìm tòi lời giải.
Vì (O) và (O) tiếp xúc ngoài với nhau tại E nên tồn tại một tiếp tuyến chung của
(O) và (O) đi qua E, ta gọi tiếp tuyến này là MEN.
Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thang ta phải chứng minh AB // CD. Có
nhiều cách để chứng minh AB // CD, chẳng hạn ta chứng minh cho một cặp góc tạo
bởi AB, CD và AC là cặp góc so le trong và bằng nhau để suy ra AB // CD.
Muốn chứng minh AB // CD ta đi chứng minh BAE = DAE.
Ta thấy ngay: ABE = BEN (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cung
cùng chắn một cung).
DCE = DEM (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và một dây cung cùng chắn một
cung).
Mà BEN = DEM (hai góc đối đỉnh) .
Do đó ta dễ dàng suy ra đpcm.
2. Lời giải.
Qua E kẻ tiếp tuyến chung của (O) và (O).

AB // CD
A, B, E (O)
C, D, E (O)
KL
(O) tiếp xúc ngoài với (O)
Lời giải ( tóm tắt):
Vẽ EN là tiếp tuyến của (O) và EM là tiếp tuyến của (O).
BAE = BEN ( góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và 1 dây cùng chắn BC )
DCE = DEM ( góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến và 1 dây cùng chắn DE )
Nhng BAE DCE ( vì AB // CD) BEN = DEM. Mà B, E, D thẳng hàng M, E,
N thẳng hàng.
M, E, N thẳng hàng mà OEN = 90
0
, OEM = 90
0
O, E, D thẳng hàng.
Vậy (O) tiếp xúc ngoài với (O) (đpcm).
IV - chứng minh đờng thẳng vuông góc với nhau
a. một số gợi ý dùng để chứng minh hai đờng vuông góc với nhau
1. Tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bbù.
2. Hai đờng thẳng cắt nhau tạo thành một góc 90
0
.
3. Dựa vào tính chất tổng các góc trong một tam giác bằng 180
0
, đi chứng minh
cho hai góc phụ nhau suy ra góc thứ ba bbằng 90
0
.
4. Đờng thẳng vuông góc với một trong hai đờng thẳng song song thì vuông góc

V - Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
A. Một số gợi ý để đi đến chứng minh ba điểm thẳng hàng
1. Sử dụng hai góc kề bù có ba điểm cùng nằm trên hai cạnh là hai tia đối nhau.
ta có BAx + xAC = 180
0

B, A, C thẳng hàng
2. Ba điểm cùng thuộc một tai hoặc thuộc một đờng thẳng.
3. Trong ba điểm nối hai trong 3 điểm có một đoạn thửng bằng tổng hai đoạn
thẳng kia.
AC = AB + BC
4. Hai đờng thẳng đi qua hai trong 3 điểm ấy cùng song song với đờng thẳng thứ
ba.
Năm học 2007 - 2008
15
b
2
= ab'
c
2
= ac'
x
AB C
A

B

C

Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -

Nếu
E, G, F thẳng hàng , K G N
B. Một số bài toán minh hoạ:
Năm học 2007 - 2008
16
A
.
B
.
.
C
.
.
.
KN
KG
KD
KF
KB
KE
==
F
B
E
D
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
VI - Chứng minh các đờng thẳng đồng quy, các đờng tròn đồng
quy.
A. Một số gợi ý để chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy, các đờng tròn

cố định, từ đó suy ra tất cả các điểm đó đều nằm trên một đờng tròn.
7. Sử dụng định lý: Tổng hai cạnh đối của một tứ giác bằng nhau thì tứ giác đó
ngoại tiếp một đờng tròn.
8. Trờng hợp chứng minh đa giác ngoại tiếp một đờng tròn ta phải chứng minh các
đờng phân giác trong của đa giác đó đồng quy tại một điểm.
9. Dựa vào định nghĩa: Phải chứng minh đợc các cạnh của đa giác tiếp xúc với một
đờng tròn.
VIII- Chứng minh các hệ thức trong hình học
A. Một số vấn đề lu ý khi chứng minh các hệ thứ.
1. Tính chất các đoạn thẳng tỷ lệ:
D'C'
B'A'
AC
AB
=

AB.CD= AB.CD
D'C'
D'C'B'A'
CD
CDAB =
=
=
D'C'CD
B'A'AB
D'C"
B'A'
CD
AB
=

m
m'
d
d'
h
h'
===
( với h, d, m và h, d m là đờng cao tơng ứng của hai tam giác
đồng dạng).
6. Vận dụng hệ thức lợng trong tam giác vuông

ABC
b
2
= ab ; c
2
ac A
a
2
= b
2
+ c
2

bc = ah
h
2
= bc
222
h

AB là đờng kính
AxAB tại A
AyAB tại B
OMCD tại M
KL
a) AA.BB = AB
2

b)
)BB'(AA'
2
1
CD +=
Năm học 2007 - 2008
19
c
c b
b
h
M
0
x
B
D
A
C
A
y
B
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -

). Từ đó ta chứng minh đợc câu a.
b) Muốn chứng minh
)BB'(AA'
2
1
CD +=
ta phải chứng minh đợc MC =
2
1
BB và MD
=
2
1
BB.
Muốn chứng minh MC =
2
1
BB ta phải chứng minh
CM = CA = CA.
Muốn chứng minh MD =
2
1
BB ta phải chứng minh
DM = DB = DB. Nhng CM = CA và DM = DB (theo gt). ta chỉ còn phải chứng minh
CM = CA và DM = DB.
Muốn chứng minh CM = CA ta phải chứng minh A
1
= M
1


(đối đỉnh)
M
2
= A
1
(cùng chắn cung MB)
Mà A
1
= A
1
(chứng minh trên) A
1
= M
1
CAM cân tại C
CM = CA. Vậy CM = CA = CA CM =
2
1
AA.
Chứng minh tơng tự MD =
2
1
BB.
Năm học 2007 - 2008
20
Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Vậy CM + MD =
2
1

B C
Dựa vào tính chất 3 đờng trung tuyến trong tam giác ta thấy ngay:
1
1
1
1
1
1
CC
GC
BB
GB
AA
GA
==
=
3
1
đpcm.
Lời giải tóm tắt
1
1
1
1
1
1
CC
GC
BB
GB

Bài toán 3.
Gọi AA là đờng cao của tam giác ABC (có 3 góc nhọn) nội tiếp đờng tròn đờng
kính CE = 2R. Chứng minh rằng:
AB.AC = CE.AA
Phân tích tìm cách giải.

Phân tích, tìm tòi cách giải
Muốn chứng minh AB.CA = CE.AA ta chứng minh
AC
AA'
CE
AB
=
Năm học 2007 - 2008
21
A
1
G
GT
C
1
A = C
1
B
B
1
A = B
1
C
A

Hình học 9 GV: Nguyễn hùng sơn -
ĐT: 0982.470.268
Muốn chứng minh
AC
AA'
CE
AB
=
ta chứng minh
ABA ~ CEA ( vì EAC = 90
0
(chắn 1/2 đờng tròn)
Muốn chứng minh ABA ~ CEA ta phải chứng minh AEC = ABA.
Nhng EAC = ABC ( cùng chắn cung AC) đpcm.
Lời giải tóm tắt
EAC = 90
0
(chắn 1/2 đờng tròn)
AEC = ABA (chắn cung AC)
ABA ~ CEA
AB.CA = CE.AA đpcm
Bài toán 4: Cho hình vẽ
Hãy tự đặt ra đề toán
để chứng minh:
a) Chứng minh rằng
ABE ~ ACD ; ABC ~ AED.
b) Từ đó chứng minh AB.CD + BC.AD = AC.BD
Năm học 2007 - 2008
22
B