A/ đặt vấn đề
I/Lí do chọn đề tài:
Là giáo viên dạy toán trong các trờng THCS tôi nhận thấy phần đông các em học
sinh học yếu môn toán vì các lí do sau :
1/ Không thuộc kiến thức và không nắm vững kiến thức thức cơ bản.
2/Lí do quan trọng hơn là : Các em cha biết cách làm toán mà ta gọi đó là phơng
pháp , nhất là các phơng pháp đặc trng cho từng dạng , cho từng loại toán.
Muốn chứng minh một đẳng thức thì phải làm sao? Tìm GTLN , GTNN thì phải
làm thế nào ? Các em không nắm chắc.
Vì vậy làm thế nào để có thể giúp học sinh hiểu rõ bản chất của các loại toán , vận
dụng kiến thức vào để giải hay cụ thể hơn là phơng pháp giải từng loại toán nh thế nào .
Giải quyết đợc vấn đề đó không phải dễ khi mà phân phối chơng trình môn toán THCS
cha có một tiết nào cho giáo viên dạy một cách hệ thống các phơng pháp giải các loại
toán cụ thể mà chúng chỉ xuất hiện đơn lẻ.
Trong chơng trình toán THCS Các bài toán tìm GTLN , GTNN chiếm một vị trí rất
quan trọng . Các bài toán này rất phong phú , đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức , vận
dụng một cách hợp lý , khá độc đáo và nhỉều cách giải . Vì vậy các bài toán tìm GTLN;
GTNN gọi chung là (những bài toán cực trị) thờng xuyên xuất hiện trong các sách giáo
khoa , sách nâng cao của các khối lớp . "Những bài toán cực trị " theo tôi là dạng toán
rất hay nó giúp học sinh phát triển trí thông minh , sáng tạo, khả năng t duy toán học cao
.
Qua nghiên cứu kĩ nội dung kiến thức ,đọc nhiều tài liệu, nghiên cứu kĩ thực tế giảng
dạy của giáo viên, cách học tập của học sinh ,qua những năm giảng dạy ở trờng THCS
,tôi đã rút ra đợc vài kinh nghiệm , giúp bản thân giảng dạy tốt hơn cũng nh quá trình
học tập của học sinh dạt kết quả cao hơn.
II / Mục đích nghiên cứu : Trên cơ sở thực hiện đổi mới phơng pháp dạy học theo
hớng phát huy tính tích cực của học sinh trong học tập , không ngừng nâng cao chất lợng
dạy và học - Đặc biệt trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi . Bản thân tôi mạnh dạn hệ
thống kiến thức :
" Các bài toán cực trị và phơng pháp giải " để giúp học sinh trong nhà trờng ở nơi tôi
đang công tác đạt kết quả cao hơn trong quá trình học tập .

- Phát huy khả năng t duy sáng tạo trong khi giải, biết suy luận từ bài dễ đến bài khó
với cách giải hay hơn.
II/ Nội Dung Cơ Bản
1/ Khái niện về bài toán cực trị
Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái ''nhất ''trong mối quan hệ đã
biết . Đó là việc đi tìm GTLN(cực đại )hay GTNN ( cực tiểu )của một đại lợng và gọi
chung là " những bài toán cực trị " .
2/ Nội dung cụ thể gồm hai phần :
Phần 1 : Cực trị đại số .
Phần 2 : Cực trị hình học .
2
Phần 1: Cực Trị Đại Số
*/ Một số kiến thức cơ sở:
Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của biểu thức
A luôn lớn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng ) một hằng số k và tồn tại giá trị của biến để
A=k thì k đợc gọi là GTNN (GTLN) của biểu thức A ứng với giá trị của biến thuộc miền
xác định nói trên .Nh vậy để tìm GTNN của biểu thức ta cần :
- Chứng minh rẳng A

k

giá trị của biến và với k là hằng số .
- Chỉ ra dấu bằng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến .
Để tìm GTLN của A ta cần:
- Chứng minh rằng A

k

giá trị của biến với k là hằng số.
- Chỉ ra dấu bằng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến .

Suy ra A

0

x
Nhng không thể kết luận Min A = 0 vì không xảy ra đồng thời hai BĐT (1) và ( 2)
Ta có A = x
2
2x+1+x
2
- 6x+9 = 2.(x-2)
2
+2

2

x
Vậy Min A = 2 đạt đợc

x-2 = 0

x = 2
2/ Một biểu thức có thể có GTNN, GTLN hoặc chỉ có một trong hai giá trị trên.
Ví dụ: Xét biểu thức A = x
2
ta thấy x
2


0

-3
Giải: Ta thấy (x-3)
2

0

x

2.(x-3)
2

0

x


2.(x-3)
2
-3

- 3

x

Min A=-3

x+3 = 0 hay x=-3
Ví dụ2: Tìm GTNN của biểu thức : B = (x-1)
2
+(x-5)

2
+8

0

x


MinB = 8 đạt đợc

x-3=0 hay=3
Vậy Min B = 8

x=3
3
Chú ý: Khi giải bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm sau:
Ta có : (x-1)
2

0

x
(x-5)
2

0

x
Từ đó suy ra minB = 0 ; ở đây kết luận minB=0 là sai vì không xảy ra đồng thời hai bất
đẳng thức trên.


MaxC = -6 đạt đợc

x-3=0hay x=3
ví dụ4: Tìm GTNN của Đ = x-
2004x
Giải:
TXĐ: D =
{
x

R/ x

2004
}
Ta có: Đ = (x-2004)-
2004x
+2004
Đ = (
2004x
)
2
-
2004x
+
4
1
+
4
8015

)
2
+
4
8015

4
8015

x

D

MinD =
4
8015
Khi x =
4
8017

D
Chú ý: Khi tìm GTNN,GTLN của biểu thức có chứa căn thức ta phải chú ý tới miền xác
định của biểu thức.
Ví dụ 5: Tìm GTNN của biểu thức :
E = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
Giải: E = (x
2
+5x+4)(x
2
+5x+6)

x
2
+5x+5 = 0

x=
2
55 +
hoặc x=
2
55
Vậy MinE = -1 Khi x=
2
55 +
hoặc x=
2
55
Ví dụ 6: Tìm GTNN của biểu thức:
Ta có: F(x,y) = x
2
+2y
2
-2xy-4y+5
F(x,y) = x
2
-2xy+y
2
+y
2
-4y+4+1
F(x,y) = (x-y)





=
=
02
0
y
yx
hay x=y=2
Ví dụ 7: Tìm GTNN của biểu thức:
G = x
2
+ 2y
2
- 3z
2
- 2xy + 2xz-2x-2y- 8z+2010
4
Giải :
Ta có :G=(x-y+z-1)
2
+(y+z-2)
2
+(z-1)
2
+2004
Vì (x-y+z-1)
2


MinG = 2004






=
=+
=+
01
02
0
z
zy
zyx
hay x=y=z=1
Vậy min G =2004 khi x=y=z=1
Các bài toán áp dụng
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức :
A=2x
2
+3x+1
B=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
C=x
4
+2x
3
+1

bậc hai ax
2
+bx+c hoặc có thể đa về dạng tam thức bậc hai, hoặc đa về dạng bình phơng
đều có thể giải theo phơng pháp sử dụng tính chất luỹ thừa bậc hai
II / Ph ơng pháp tìm cực trị dựa theo tính chất trị tuyệt đối
1/ Lý thuyết áp dụng :

BA +
BA +

BABA
Đẳng thức xảy ra khi A.B

0
Ví dụ 1:Tìm GTNN của biểu thức
A=
31 + xx
Giải
Ta có :
31 + xx
=
xx + 31


xx + 31
= 2
Từ đó suy ra A
x 2
Vậy Min A=2


)11(2112 +++++ xxxx
5
Giải:
TXĐ: D=
{
1/ xRx
}
Ta có C=
122122 ++++++ xxxx
C =
1121121 +++++++ xxxx
C =
22
)11()11( ++++ xx
C=
211111111 =++++++++ xxxx
Vậy MinC=2 đạt đợc

(
11 ++x
)(1-
1+x
)
0
hay-1
0 x
Ví dụ 4:
Tìm GTLN của biểu thức:
D =
143 + aa

1
aa
a
Hay a
16

2/ Các bài tập ứng dụng:
Tìm GTNN của biểu thức :
E =
22
1664 xx ++
F =
2222
1997399419963992 +++ xxx
G =
)11(2)11(2
3333
++++++ xxxx
H=
4
1
44
22
+++ xxxx
III/ ph ơng pháp tìm cực trị dựa theo bất đẳng thức cauchy
1/ Lí thuyết áp dụng :
Bất đẳng thức cauchy:
Cho n số không âm a
1
,a

n
là hằng số

(a
1
,a
2
, ,a
n
)max


a
1
=a
2
= =a
n
b/ Nếu a
1
. a
2
a
n
là hằng số

(a
1
+a
2

+
+
x
x
=
3
25
3
3
9
3
259
+
+=
+

=
+
+
x
x
x
x
x
x
= -6+
3
)3(25
26
3


4. Tìm GTLN của biểu thức:
B=(3-x)(4-y)(2x+3)
Giải:
Ta có: B=(3-x)(4-y)(2x+3)=
2.
6
1
. (3-x).3(4-y)(2x+3y)=
6
1
(6-2x).(12-3y)(2x+3y)
Với 0

x

3;0

y

4 thì 6-2x

0; 12-3y

0;2x+3y

0
áp dụng hệ quả BĐT cauchy vơi ba số không âm ta có
(6-2x).(12-3y)(2x+3y)


a
+
y
b
=1
Tìm GTNN của biểu thức : C= x+y
Giải:
Ta có:
x
a
+
y
b
=1

C=(x+y)(
x
a
+
y
b
)
C=(a+b)(
x
ay
+
y
bx
) . áp dụng BĐT cauchy với 2số
x

ab


x,y>0

MinC= a+b+2
ab

x
ay
=
y
bx

b
a
y
x
=
Ví dụ 4: Cho a,b là 2 số dơng thoả mãn : 3a+5b=12 .
Tìm GTNN của biểu thức D = ab
Giải:
Vì a,b là 2 số dơng , Suy ra 3a, 5b là các số dơng. áp dụng BĐT cauchy ta có
12=3a+5b

2
ba 5.3

6
5

x
xx 44
2
++
với x>0
H=
1
2
x
x
với x>1
Bài 3: Cho 2 số dơng x,y thoả mãn x+y=xy .Tìm GTNN của biểu thức K=x+y
Bài 4: Cho x,y,z là các số thoả mãn xy+yz+zx=100 .
Tìm GTNN của biểu thức I=xyz
IV/ Ph ơng pháp tìm c c trị theo BĐT Bunhiacôpxki
1/ Lí thuýêt áp dụng:
BĐT Bunhiacôpxki : Cho n cặp số bất kỳ a
1
,a
2
, ,a
n
; b
1
,b
2
, ,b
n
ta có BĐT
(a

+ +b
n
2
)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
n
n
b
a
b
a
b
a
===
2
2
1
1
2/ Các ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho x,y thoả mãn x
2
+4y
2
=25.Tìm GTLN,GTNN của biểu thức
M= x+2y
Giải:
Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có
(x+2y)
2


=
=
4
25
2
25
y
x
MinM=- 5
2
khi







=
=
4
25
2
25
y
x
Ví dụ 2: Cho x,y là hai số thoả mãn x
2
+y
2

+ y
2
)=2


2-
2
x+y+2

2+
2
Suy ra N
2

2+
2

-
2222 ++ N
8
Vậy MaxN=
22 +
MinN= -
22 +
Ví dụ 3: Cho x,y,x là các số thực thoả mãn xy+yz+xz=4.
Tìm GTNN của biểu thức : P= x
4
+y
4
+z

(x
2
+y
2
+z
2
)
2


(1
2
+1
2
+1
2
)(x
4
+y
4
+z
4
) (2)
Từ (1) và (2) ta có: 3(x
4
+y
4
+z
4
)

yx +
)(
y
b
x
a
+
)=(
22
yx +
)(
))()(
22
y
b
x
a
+

y
b
y
x
a
x ( +
)
2
Suy ra: x+y

(

1
)+t(t-
4
1
)
2
1

Tìm GTLN của S = x+y+z+t
Giải :
Ap dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có :
( x+y +z + t)
2
< ( 1
2
+ 1
2
+ 1
2
)( x
2
+ y
2
+z
2
+ t
2
)
Hay
4

( x+ y +z +t )
2
-
4
1
( x+y+z+t ) <
2
1


S
2
- S -2 < 0


-1 < S < 2
Vậy Max S = 2 đạt đợc khi x = y = z = t =
2
1
3/ Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho x,y là hai số thoả mãn x + 2y = 3 . Tìm GTNN của E = x
2
+ 2y
2
9
Bài 2 : Tìm GTLN của biểu thức P =
zyx 542 ++
cho biết x, y, z là các biến số thoả
mãn x
2

x
1
với 0< x<1
Giải :
Ta có y =
x
xx
x
xx
xx
+
+

+
=+

1
1
2221
1
2
y= 3+
x
x
x
x
x
x
x
x

Ví dụ 2: Cho a > 0 , b > 0 tìm GTNN của biểu thức:
A =
x
bxax ))(( ++
với x > 0
Giải:
Ta có A=
x
ab
xba
x
bxabaxx
+++=
+++
2
=> A > a+b+2
x
ab
x +
A > a + b + 2
ab
=> Min A = a + b + 2
ab
đạt đợc x =
hay
x
ab
x=
ab
Ví dụ 3: Tìm GTNN của biểu thức

5
).2(
+
+
x
x
B > 2
45
Vậy Min B = 2
45
đạt đợc khi và chỉ khi x =
5
- 2
Các bài tập áp dụng:
Tìm GTNN của các biểu thức sau:
A =
x
xx 44
2
++
với x > 0
B =
1
2
x
x
với x > 1
C=
xx
x 5

xx
xx

Giải: TXĐ : D = R
=> y =
1
1
2
2
++
+
xx
xx
luôn luôn có nghiệm
x
2
y + xy + y = x
2
- x- 1 có nghiệm
x
2
( y - 1) + x ( y + 1) + ( y - 1) = 0 có nghiệm


= ( y + 1)
2
- 4 ( y - 1)
2
> 0
11

TXĐ : D = R
=> Phơng trình A=
1
1
2
2
+
++
x
xx
có nghiệm
Ax
2
+ A = x
2
+x + 1 có nghiệm
(A-1) x
2
+x + A -1 = 0 có nghiệm


= 1 - 4 ( A-1)+2 > 0
4 (A - 1)
2
< 1

2
1
1 A


xx
xx
C =
1
32
2
+

xx
x
12
o
Phần II: cực tri hình học
Một số kiến thức cơ sở:*
Trong quá trình giải các bài toán hình học ta thờng gặp các bài toán về tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lợng hình học nào đó. Các bài toán này thờng đợc
gọi là toán cực trị hình học nội dung của nó thờng đợc diễn đạt dới dạng sau:
Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của một đại lợng hình học nào đó ( độ dài đờng
thẳng, bán kính đờng tròn, chu vi, diện tích một hình nào đó ). Yêu cầu phải tìm các
giá trị h
1
,h
2
cố định thảo mãn BĐT.
h
1
< h< h
2
đồng thời chỉ rõ vị trí hình học của các đại lợng biến thiên đang xét để tại đó h đạt giá
trị nhỏ nhất h

d

( AB

d)
- A
,


d

(A
,


A ); B



d

( B


B)
=> AB < A

B




BC
M là chân đờng cao đi qua đỉnh A của tam giác ABC.
Ví dụ 2: Một hình thang có diện tích bằng 1 ( đvdt). Hỏi đờng chéo hình thang có độ
dài nhỏ nhất là bao nhiêu ?
Giải :
Giả sử hình thang ABCD có diện tích bằng 1 ( đvdt)
Đặt AC= d
1
;
BD= d
2.
.
Hạ AM,BN

CD, đặt MC = x, ND = y
thì x,y lần lợt là hình chiếu của d
1
d
2

xuống CD. Gải sử d
1
> d
2
=> x> y
Vậy ta có : 2x > x+y = NC + MD +2 MN
Dễ thấy tứ giác ABMN là hình chữ nhật
=> AB = MN
Do đó 2x > x+y = CD + AB

Tìm vị trí của điểm M để diện tích tứ giác ABCD là nhỏ nhất.
Giải : x
Ta có tứ giác ABCD là hình thang vuông
=> S
ABCD
=
2
AB BD)( +AC

Khi M thay đổi thì AB không đổi
14
y
D
D
/
B
C
C
A
D M N C
A
B
B
H
A
=> S
ABCD
nhỏ nhất

AC + BD nhỏ nhất

AC. Xác định M để DE nhỏ nhất.
Bài 2 : Cho

ABC. Tìm đờng thẳng đi qua đỉnh A sao cho tổng khoảng cách từ Bvà C
đến d là nhỏ nhất; lớn nhất.
II / Tìm cực trị dùng BĐT trong tam giác
1/ Kiến thức cơ sở :
+ Với 3 điểm A,B,C bất kỳ ta có AC+ BC > AB.
Đẳng thức xảy ra

C

AB
+ Trong tam giác ABC ta có góc BAC > góc ABC

BC < AC
2/ Các ví dụ áp dụng :
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đờng cao AH. Lấy điểm E thuộc AB điểm F
thuộc AC sao cho góc EHF bằng 90
0
. EF phải có vị trí nh thế nào thì độ dài EF nhỏ
nhất .
Giải :
Gọi I là trung điểm của EF
Xét trong

vuông EAF và EHF ta có :





AC
Vậy HE

AB, HF

AC thì EF nhỏ nhất .
Ví dụ 2 : cho đờng tròn tâm (O) và dây AB . Gọi C,D là hai điểm trên AB sao cho
AC = CD = DB . Các bán kính qua C và D cắt đờng tròn tại M và N
CMR /:Góc ở tâm AOB không bị chia thành ba góc bằng nhau và góc COD là góc
lớn nhất trong ba góc đó .
Giải :

AOB cân ở O vì OA = OB
nên góc OAB = góc OBA
=>

AOC =

BOD ( c.g.c)
Do đó góc AOC = góc BOD (1) A
Trên tia đối của tia CO lấy điểm E sao cho CO = CE E N
=> Tứ giác AODE là hình bình hành vì có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của
mỗi đờng nên AD = OE.
Vì D là điểm nằm trong đờng tròn tâm (O) nên OD < OA => AE < OA
Do đó trong

AEO ta có góc AOC < góc AEO mà góc AEO = góc COD ( hai góc
so le trong) => góc AOC < góc COD (2)
Từ (1 ) và (2) => góc AOC= góc BOD < góc COD .

B+BC > A
//
C ( BĐT trong tam giác)
=> A
/
B + BC + CA
/
> A
/
C+ CA
//
> A
/
A
//
không đổi.
Dấu đẳng thức xảy ra

A

B + BC + CA
/
= A
/
A
//
Khi đó B,C

[ ]
"'

III- Tìm cực trị dùng BĐT trong đờng tròn
1/ Kiến thức cơ sở:
a/ Cho đờng tròn tâm (0) đờng kính AB với dây CD bất kỳ thì ta có CD < AB
b/ Trong đờng tròn (0) AB, CD là hai dây cung I,K tơng ứng là hai trung điểm của hai
dây đó ta có:
AB > CD

OI < OK
2/ Các ví dụ:
Ví dụ1: A là điểm cố định trong đờng tròn (0,R) (A không trùng 0) và dây MN quay
quanh A. Xác định vị trí của dây cung MN để độ dài MN là lớn nhất? Nhỏ nhất ?
Giải: Kẻ OI MN (I MN)
O cố định => OA không đổi
Vì A MN => OI < OA
MN nhỏ nhất <=> OI lớn nhất
<=> Đẳng thức trên xảy ra nghĩa là: OI = OA => I trùng A
Vậy MN nhỏ nhất <=> MN

OA
MN lớn nhất

0 trùng I
Khi đó MN là đờng kính đi qua A.
Ví dụ 2: Hai đờng tròn tâm (0
1
) và ( 0
2
)
Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Một cát tuyến thay đổi đi qua A cắt đờng tròn
(0

góc DB =
2
1
Sđ cungg AmB
( góc nội tiếp chắn cung AmB)

mà cung AmB và cung AnB
là hai cung không đổi.
=> góc ACB và góc ADB không đổi
Vậy

BCD khi chuyển động sẽ luôn đồng dạng với chính nó. Do đó để chu vi của
tam giác BCD lớn nhất chỉ còn một cạnh chẳng hạn BC lớn nhất , khi đó dây BC sẽ là đ-
ờng kính của đờng tròn (0
1
)
Ta có góc CAB = 90
0
nên BD cũng là đờng kính của đờng tròn (0
2
) và CD

AB
tại A.
Vậy cát tuyến CD qua A và vuông góc với AB thì chu vi tam giác BCD lớn nhất.
IV/ Tìm cực trị dùng BĐT Đại số
1/ Kiến thức cơ sở:
+ BĐT Cauchy : Cho n số không âm, a
1
,a

; b
1
,b
2
,,b
n
ta có BĐT:
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+.+a
n
b
n
)
2
< ( a
2
1
+ a
2
2
+ +a
2
n

=> S
OHMK
= S
3
không đổi
S
AKM
= S
1
; S
MHB
= S
2
; S
ABC
= S
Đặt MA = a; MB = b
Ta có : S
3
= S - ( S
1
+ S
2
)
=>
S
S
S
S
213







+
=
ba
a
S
S
;
2
2
)(
ba
b
S
S
+
=
(tính chất tam giác đồng dạng)
=>
( ) ( )
22
22
22
2
1




+
+






+
=>
( )
( )
ab
ba
S
S
ba
ab
S
S
2
2
2
3
2
3
+

Ví dụ: Cho tam giác ABC có: BC = a ; AC = b; AB = c. Tìm điểm M nằm bên
trong tam giác ABC sao cho
z
c
y
b
x
a
++
có giá trị nhỏ nhất
Trong đó x,y,z theo thứ tự là khoảng cách từ điểm M đến cạnh BC, AC , AB
Giải:
Gọi diện tích của tam giác ABC là S . Ta có ax + by + cz = 2S không đổi
áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có.
( ax +by +cz)
2








++






z
c
y
b
x
a
++

S
cba
2
)(
2
++
Vậy
z
c
y
b
x
a
++
đạt giá trị nhỏ nhất


z
c
y
b
x

B
C N
M
M
Giải:
Gọi diện tích tam giác CMN là S :
Ta có: S =
2
1
( CM + CN ) r
Theo BĐT Cauchy ta có:
Theo BĐT Cauchy ta có:
2
1
( CM + CN ) >
CNCM .
>
S2
Do đó S >
S2
. r

S
2
> 2Sr
2

S > 2r
2


h
1
là chiều cao của

AMN thì
ta có : h
1
= h - 2R
giả sử S
1
= S

AMN
ta có:
=
S
S
1
22
2
1
2
1
2







ah
Do đó
2
1
1








=
p
a
S
S


p
a
S
S
=1
1
Gọi S
2,
S
3


++
p
cba
S
S
1
+
S
S
2
+
S
S
3
=1
Hay
S
SSS
321
++
=1
áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
1=
S
SSS
321
++
S
S

SSS ++



S
SSS
32
++
>
3
1
Từ đó tỷ số
S
SSS
32
++
đạt giá trị nhỏ nhất là
3
1
khi đó tam giác ABC là tam giác đều.
3/ Các bài tập áp dụng:
Bài1: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB. Ngời ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia
Ax , By vuông góc với AB.Trên tia Ax lấy I, tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K.
Hãy xác định vị trí của C sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất,
Biết AI.BK = AC.CB ; A,B,I cố định.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10cm, tam giác DEF vuông
cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D AB, E BC,F AC). Xác định vị trí của điểm D để
diện tích của tam giác DEF nhỏ nhất.
Bài3: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo AC và BD của tứ giác ABCD. Biết diện
tích của tam giác AOB và COD lần lợt bằng 4 và (đvdt). hãy tìm giá trị nhỏ nhất của

Sau khi áp dụng đề tài tại trờng THCS nơi công tác tôi thấy các em học sinh đã
hiểu tốt bản chát các loại toán tìm cực trị, vận dụng tốt phơng pháp hợp của từng dạng
vào giải toán. Biết cách suy luận từ bài toán dễ đến khó và có sự phát hiện các phơng
pháp giải hay hơn.
Tất nhiên một vấn đề mang tính chất khoa học nh đề tài này thì bài viết của tôi
không sao tránh đợc những thếu sót . Tôi rất mong nhận đợc hội đồng khoa học các cấp
xây dựng góp ý để đề tài đợc hoàn chỉnh hơn .
Thanh Hoá, ngày 02 tháng 02 năm 2008
Ngời viết
22
Trịnh quốc Trung