Trần văn Đoàn
Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
A.Một số ph ơng pháp .
Ph ơng pháp 1 : Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là một luỹ thừa bậc
chẵn (là một biểu thức không âm) rồi tuỳ theo dấu đặt trớc số hạng đó là dơng (hay
âm) mà biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất).
Chẳng hạn:
A= (ax + b)
2
+ m

m Thì Min A = m khi và chỉ khi x = -
a
b
A = - (ax + b)
2
+ M

M Thì Max A = M khi và chỉ khi x = -
a
b
Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp tìm Tập giá trị của hàm số
Giả sử ta phải tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x).
- Tập hợp D gồm tất cả các giá trị của đối số x để f(x) xác định , đợc gọi là tập
xác định của hàm số f(x)
- Tập hợp tất cả các giá trị của f(x) khi x nhận mọi giá trị trong miền D đợc gọi
tập xác định của hàm số f(x)
- Giả sử trên tập xác định D , hàm số y = f(x) có tập giá trị là đoạn
[ m, M] tức là m




ab


4
2
S
Vậy ab đạt giá trị nhỏ nhất
4
2
S


a = b
Nếu hai số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi
hai số đó bằng nhau
*Hệ quả 2
1
Trần văn Đoàn
Nếu ab = P (Constant) thì a + b

2
P
. Vậy a + b đạt giá trị nhỏ nhất 2
P
khi
và chỉ khi a = b
Nếu hai số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi
hai số đó bằng nhau

+ 2x 1 + 6
= - ( x
2
+ 2x + 1) + 6
= - (x- 1)
2
+ 6

6
Vậy x
2
+ 2x + 5 đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 1
b) 2x
2
x + 3 = 2( x
2
-
2
1
x) + 3
= 2(x
2
-
2
1
x +
16
1
-
16

)
2
+
8
23



8
23
Vậy 2x
2
x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng
8
23
khi x =
4
1
c)
1
1
2
+
xx
=
4
3
4
1
1

3
)
2
1
(
2
+
x
)
ở đây ta áp dụng tính chất : Nếu phân số dơng có tử là hằng số thì phân số đạt giá trị
lớn nhất khi và chỉ khi mẫu đạt giá trị nhỏ nhất
Vậy
1
1
2
+
xx
đạt giá trị lớn nhất bằng
3
32
khi x =
2
1
2
Trần văn Đoàn
d) Với điều kiện x

1 thì
01


2
+ 4x + 1
C = 3y
2
+ x
2
+ 2xy + 2x + 6y 5 D =
23
5
2

x
Giải :
Biểu thức A và B có thể dùng cả hai phơng pháp 1 và 2
Giải câu B theo phơng pháp 2 nh sau:
Gọi B
0
là một giá trị nào đó thuộc tập giá trị.Khi đó tồm tại ít nhất một giá trị của x
sao cho : B
0
= - 3x
2
+ 4x + 1

phơng trình 3x
2
4x 1 + B
0
= 0 phải có nghiệm



3
7
Vậy : Max B =
3
7
khi x =
3
2
(là nghiệm kép của phơng trình)
Bài C Sử dụng phơng pháp 1
C = 3y
2
+ x
2
+ 2xy + 2x + 6y 5
= x
2
+ y
2
+ 2xy + 2x + 2y + 1 + 2y
2
+ 4y + 2 8
= (x + y + 1)
2
+ 2(y+1)
2
8

- 8

0
y
x

Bài D =
23
5
2

x
Do : - 3x
2
2

- 2 (dấu = xảy ra khi x = 0 )
3
Trần văn Đoàn
Nên D


2
5

. Vậy Min C = -
2
5
khi x = 0
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

1

1
2
2
++
+
xx
x
.Gọi y
0
là một giá trị nào đó thuộc tập giá trị của hàm số .Khi đó tồn
tại ít nhất một giá trị của x sao cho y
0
=
1
1
2
2
++
+
xx
x
hay
y
0
(x
2
+ x+ 1) = x
2
+ 1 hay (y
0


(y
0
2y
0
+ 2)(y
0
+ 2y
0
2)

0

( - y
0
+2)(3y
0
-2)

0


2
3
2
0

y
Suy ra


thì x = 1 với y
0
= 2 thì x = -1
vậy Min y =
3
2
khi x = 1 ; Max y = 2 khi x = -1
Bài 4: Cho biểu thức : P =
)5)(3(
8
xx
+
với 3 < x < 5
Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Giải:
4
Trần văn Đoàn
(Bài này giải bằng phơng pháp 3 nh sau)
Đặt E =
)5)(3( xx
+
Nhận xét : với -3 < x < 5 thì E > 0

P > 0
P đạt min

E đạt max

(x + 3)(5 x) đạt max.
Xét tổng (x + 3) + (5 x) = 8 (constant)

3
+
Do x > 0 suy ra
3
x
> 0 và
x
24
> 0
Xét tích
3
x
.
x
24
= 8 (constant)
Suy ra :
x
x 24
3
+
đạt min


3
x
=
x
24


2
và đạt đợc khi x = 6
2

Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y =
52
62
2
2
++
++
xx
xx

Giải
Bài này có nhiều cách giải .ở đây xin trình bầy theo phơng pháp 4
5