Th viện SKKN của Quang Hiệu />Trờng THCS Thái Thịnh
Tổ khoa học tự nhiên
Chuyên đề :
Cách giải bài toán tìm cực trị
Của tam thức bậc hai
Môn Toán
Lớp 8
----------------
Năm 2005 - 2006
phần I : đặt vấn đề
I. cơ sở lý thuyết.
Môn toán nói chung và môn Đại số lớp 8 nói riêng có nhiều dạng
bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất)
là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn
nhất, dài nhất ... Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi
tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế.
Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và
có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Nó giúp học sinh rèn luyện
nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả
cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí
tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học
sinh khá giỏi.
Toán cực trị đợc đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy
giáo viên rất khó khăn trong việc su tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt
ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm đ ợc phơng pháp, t
duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ?
Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo
viên thờng xuyên giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8
chúng tôi (nhóm Toán trờng THCS Thái Thịnh) mạnh dạn đa chuyên đề
Phơng pháp tìm cc trị của tam thức bậc hai vào dạy cho
học sinh lớp 8.

+ Tồn tại x
0
sao cho f(x
0
) = m (2)
2. Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x)
GTLN của hàm f là m = min f(x)
3. Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định
nghĩa tơng tự.
4. Các bớc tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thờng, để tìm GTLN
hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bớc nh sau :
- Bớc 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng :
f(x) M hoặc f(x) m với M, m là các hằng số.
- Bớc 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
- Bớc 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu.
5. Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1) thì cha thể nói gì về cực trị của
một biểu thức.
Chẳng hạn, xét biểu thức
(x 1)
2
+ (x 3)
2
.
Mặc dù ta có A 0, nhng cha thể kết luận đợc minA, vì không tồn tại giá trị
nào của x để A = 0.
II. Các kiến thức thờng dùng.
1. x
2
0 x Dấu = xảy ra


giản hoá kiến thức chúng tôi thống nhất chọn phơng pháp nhóm so sánh để tìm
cực trị của tam thức bậc hai. Dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng
và đa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau :
p = A
2
+ k k,
p = -B
2
+ l l,
p = A
2
+ B
2
+ m m,
p = A.B
2
+ n n với A 0,
p = A.B k.l với A k > 0, B l > 0.
Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số.
Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số,
chẳng hạn : M N, a > 1 a
M
a
N
;
M N, 0 < a < 1 a
M
a
N
;

+ (x
2
1)
4
+ (x
3
1)
6
.
Giải :
1/ Vì x
4
, x
2
0 nên suy ra A 0 + 0 3 A -3. Dấu = xảy ra x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
Cách khác :
Ta có A = x
2
(x
2
+ 4) 3 3. Dấu = xảy ra x
2
(x
2
+ 4) = 0 x = 0
Vậy minA = -3 khi x = 0
2/ Ta có B = (x
2
+ x + 1)

3
4
3
2
1
x
2
+






+
, dấu = xảy ra khi x =
2
1

.
Nên minB =
16
9
x =
2
1

.
3/ Dễ thấy C 0. Dấu = xảy ra khi (x 1)
2

Vậy max B = 7 x = 1
IV. Một số bài tập áp dụng.