CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ
Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
f = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 2005
Bài giải:
Ta có f = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 2005
= (x
2
+ 3x + 1)
2
+ 2004
≥
2005
Dấu “ =” xảy ra
⇔
x
2
+ 3x + 1 = 0

⇔

3 5 3 5
2 2
x
− + − −
= ∨
Vậy minf = 2004.
Câu 2: Cho biểu thức: A = -a
2
– b
2
+ ab + 2a + 2b

a b a b
a a a b
b b
− = =
 
 
− = ⇔ = ⇔ = =
 
 
− = =
 
Vậy: A đạt giá trị lớn nhất là 4 khi a = b = 2.
MaxA = 4 khi a = b = 2
Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F = 3(x
2
+ y
2
+ z
2
+ t
2
) – 2(xy + yz + zt + tx) – (x + y +z + t) + 10
Bài giải:
Ta có:
F = 3(x
2
+ y
2
+ z

+ (x -
1
2
)
2
+ (y -
1
2
)
2
+ (z -
1
2
)
2
+
(t -
1
2
)
2
+ 9
Do đó ta có: f
≥
9
Dấu “=” xảy ra x = y = z = t =
1
2
Vậy minf = 9.
Câu 4: Cho x và y là hau biến số thực, a là hằng số.

;
4 4
a
x y
a a
+
= − = −
+ +
* Nếu a = -4, ta có: f = (x – 2y + 1)
2
+ (2x + ay + 5)
2
Đặt t – x – 2y +1, ta có: f = t
2
+ (2t + 3)
2
= 5t
2
+ 12t + 9 =
2
6 9 9
5
5 5 5
t f
 
+ + ⇒ ≥
 ÷
 
Dấu “=” xảy ra
6

2
+ ca)
2
+ (c
2
– ab)
2

≥
0
4 4 4 2 2 2 2 2 2
2( )a b c a b b c c a a b c abc
⇒ + + + + + ≥ + +
(1)
Ta lại có : (a
2
– bc)
2
+ (b
2
+ ca)
2
+ (c
2
– ab)
2

≥
0
4 4 4 2 2 2 2 2 2


Vậy minT = 1 khi a = b = c.
Câu 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị
lớn nhất của các biểu thức:
3 3 3
T a b c= + +
Bài giải:
Đặt
6 6 6
, ,x a y b z c
= = =
Ta có:
3 3 3
, ,x a y b z c= = =

3 3 3
; ;x a y b z c
= = =
6 6 6
1x y z
⇒ + + =
Ta có:
( )
( )
( )
2
2
3 3 3
2 2 2 2 4 4 4
4 4 4 2 2 2 6 6 6

Vậy: max T =
3
9
.
Câu 7 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
F = x
2
+ y
2

Biết x và y là nghiệm của phương trình: 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 36.
Bài giải:
Ta có: 5x
2
+ 8xy + 5y
2
= 36

2
4 ( ) 36 36f f x y f⇔ + + = ⇒ ≤
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
2 2
3 2
5 8 5 36
0
3 2

5 8 5 36
2
0
x xy y
x y
x y

+ + =
⇔ = = ±

− =

Do đó: minf = 4.
Vậy * maxf = 36
minf = 4.
Câu 8: Cho biểu thức: M = x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2

Với x, y, t, z là các số nguyên không âm. Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị
tương ứng của x, y, z, t biết rằng:

2 2 2
2 2 2
21

M t
M
⇒ + + + =
⇒ − =
⇒ = + ≥
⇒ ≥
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t = 0
Vậy: M đạt giá trị nhỏ nhất là 61.
minM = 61 tại t = 0
Khi đó, ta có:
2 2
2 2 2
21
3 4 101
x y
x y z

− =

+ + =

Ta có: (1)
( ) ( )
21x y x y x y
⇔ + − = ⇒ >
x, y
0.N x y x y
∈ ⇒ + ≥ − >
Do đó ta có:
21 7 11 5

( ) ( ) ( )
3
1
3
1 1 1xy yz zx
≥
+ + +
•
1 1 1
1 1 1
P
xy yz zx
= + +
+ + +
( ) ( ) ( )
3
1
3
1 1 1xy yz zx
≥
+ + +
( )
9
3 9
3
xy yz zx P P
xy yz zx
⇒ + + + ≥ ⇔ ≥
+ + +
Mà xy + yx + zx

y
x x
+
=
+ +
Tập xác định của hàm số là R.
Gọi
0
y
là một giá trị của hàm. Ta có:
2
0
2
2
2
x
y
x x
+
=
+ +