SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN ĐỀ THI HSG TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 – 2010
TRƯỜNG THPT DIỄN CHÂU III Môn: Toán học 10
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút

Câu 1: Giải phương trình, bất phương trình sau:
a.
2 1 1
1 1 1
x
x x x
= +
+ + −
b.
2
7
2 1 2
2
x x x x x+ − − ≥ − + − −
Câu 2: Giải hệ phương trình:
3 2
3
2 3
(2 1) 3
x xy
y y x xy

+ =


+ + − =


+ + −
(1)
2
0
1
1
0
2 2 2 1
1
.
2 2
1 1 1 1
0
1
1
1
1
2
0
1
x
x
x x x
x
x x
x x x x
x
x
x
x


= −



−




≤

+


c. ĐKXĐ:
1x ≥
. Với ĐK đó:
Đặt
2 1t x x= + − −
Suy ra:
2
2 2 2
7
2 1 2 2 2 4
2 2
t
t x x x x x x= + − + − ⇔ − + − − = −
Khi đó bất phương trình trở thành:
2

x xy
y y x xy

+ =


+ + − =


3 2 3 2
3 2 3 2 2
2 3 2 3
2 [ (2 1)] 0 ( )( 1) 0
x xy x xy
x xy y y x xy x y x xy y
 
+ = + =
 
⇔ ⇔
 
+ − + + − = − − + + =
 
 
Mặt khác
2
2
2 2
3
1 1 0
2 4

t x

−

= + − ≥
÷


. Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:
( )
2
t t m 1 0 ( 1) 0t m t+ + ≥ ⇔ + + ≥
(1)
Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm là R thì (1) phải có tập nghiệm là
5
;
4
−
 
+∞
÷

 
Xét
2
( ) ( 1).f t t m t= + +
ta có 2 trường hợp:
-
1
TH


 
thì:
5
0
4
f
−
 
≥
 ÷
 
hay
2
5 5 5 1
.( 1) 0 1
4 4 4 4
m m m
 
− + ≥ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
 ÷
 
Kết hợp với ĐK trên ta thấy không có m thỏa mãn
-
2
TH
:
( 1) 5 3
2 4 2
m

−
( )f t
− ∞
+ ∞
( 1)
2
m
− +
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để
( ) 0f t ≥
với
5
;
4
t
−
 
∀ ∈ +∞
÷

 
thì:
( 1)
0
2
m
f
− +
 
≥

 
⇒
 
= =
 
 
Mà AC=BC
Suy ra
ANC BPC
=
V V
·
·
CN CP
NCA PCB
=



=


Do đó:
· ·
·
·
·
( )ACB ACB NCA PCB NCP= − + =

hay

Vậy M thuộc đường thẳng qua O và vuông góc với OC.
Câu 5: Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:
-TH1: y=0
⇒
x
2
=1
Khi đó
2P =
By Phan Nguyen Thanh Son Dien Chau 3 upper secondary school–
A
B
C
E
D
N
P
-TH2: y
≠
0 khi đó ta có thể đặt x=k.y
ĐK bài toán trở thành
2 2
( 1) 1k y+ =
và
2
( 2 2)P k k y= + −
Do đó
2 2 2
2
2 2 2

2
2
2
1 1 (3 2 2)
1
18 12 2
1
1
3 2 2
y
k
−
= = =
+
−
 
+
 ÷
−
 

- Nếu y=
3 2 2
18 12 2
−
−
thì
1
18 12 2
x =

3
2 2 2 1 . . 2 2 1 . 2 2
2 2
x y
P x y x y x y
− + +
= − + − + ≤ − + =
Và đẳng thức xảy ra khi a=b hay x và y nhận các giá trị như cách 1
Cách 3: (Sử dụng vectơ để CM BĐT)
Trong mặt phẳng tọa độ chọn
u
r
và
v
r
sao cho
2 2
3
.( )
2
P u v
u v x y

= +


+ = +


r r