Nguyen Huu Thuan soan thao:
Tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số
A.Một số ph ơng pháp .
Ph ơng pháp 1 : Biến đổi biểu thức đã cho sao cho có chứa số hạng là một luỹ thừa
bậc chẵn (là một biểu thức không âm) rồi tuỳ theo dấu đặt trớc số hạng đó là dơng
(hay âm) mà biểu thức đã cho có giá trị nhỏ nhất (hay lớn nhất).
Chẳng hạn:
A= (ax + b)
2
+ m

m Thì Min A = m khi và chỉ khi x = -
a
b
A = - (ax + b)
2
+ M

M Thì Max A = M khi và chỉ khi x = -
a
b
Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp tìm Tập giá trị của hàm số
Giả sử ta phải tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x).
- Tập hợp D gồm tất cả các giá trị của đối số x để f(x) xác định , đợc gọi là tập
xác định của hàm số f(x)
- Tập hợp tất cả các giá trị của f(x) khi x nhận mọi giá trị trong miền D đợc gọi
tập xác định của hàm số f(x)
- Giả sử trên tập xác định D , hàm số y = f(x) có tập giá trị là đoạn
[ m, M] tức là m



ab


4
2
S
Vậy ab đạt giá trị nhỏ nhất
4
2
S


a = b
Nếu hai số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau
1
Nguyen Huu Thuan soan thao:
*Hệ quả 2
Nếu ab = P (Constant) thì a + b

2
P
. Vậy a + b đạt giá trị nhỏ nhất 2
P
khi
và chỉ khi a = b
Nếu hai số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau
Ph ơng pháp 4 : Sử dụng tính đồng biến ,nghịch biến của hàm số

+ 2x + 1) + 6
= - (x- 1)
2
+ 6

6
Vậy x
2
+ 2x + 5 đạt giá trị lớn nhất bằng 6 khi x = 1
b) 2x
2
x + 3 = 2( x
2
-
2
1
x) + 3
= 2(x
2
-
2
1
x +
16
1
-
16
1
) + 3
= 2

8
23



8
23
Vậy 2x
2
x + 3 đạt giá trị nhỏ nhất bằng
8
23
khi x =
4
1
c)
1
1
2
+ xx
=
4
3
4
1
1
2
++ xx
=
4

+x
)
2
Nguyen Huu Thuan soan thao:
ở đây ta áp dụng tính chất : Nếu phân số dơng có tử là hằng số thì phân số đạt giá trị
lớn nhất khi và chỉ khi mẫu đạt giá trị nhỏ nhất
Vậy
1
1
2
+ xx
đạt giá trị lớn nhất bằng
3
32
khi x =
2
1
d) Với điều kiện x

1 thì
01 x

2
5
12
5
12
1
212
+

Biểu thức A và B có thể dùng cả hai phơng pháp 1 và 2
Giải câu B theo phơng pháp 2 nh sau:
Gọi B
0
là một giá trị nào đó thuộc tập giá trị.Khi đó tồm tại ít nhất một giá trị của x
sao cho : B
0
= - 3x
2
+ 4x + 1

phơng trình 3x
2
4x 1 + B
0
= 0 phải có nghiệm


0
/



4 + 3 3B
0


0



+ x
2
+ 2xy + 2x + 6y 5
= x
2
+ y
2
+ 2xy + 2x + 2y + 1 + 2y
2
+ 4y + 2 8
= (x + y + 1)
2
+ 2(y+1)
2
8

- 8
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi



=
=




=+
=++
1

- 2 (dấu = xảy ra khi x = 0 )
Nên D


2
5

. Vậy Min C = -
2
5
khi x = 0
3
Nguyen Huu Thuan soan thao:
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

1
1
2
2
++
+
xx
x
Giải:
giải bài này bằng phơng pháp 2 nh sau:
Biểu thức đợc xác định với mọi x (vì x
2
+ x + 1=
0
4

2
2
++
+
xx
x
hay
y
0
(x
2
+ x+ 1) = x
2
+ 1 hay (y
0
1)x
2
+ y
0
x + y
0
1 = 0 (*)
Phơng trình này phải có nghiệm .
Ta xét 2 trờng hợp
a)Nếu y
0
= 1 : phơng trình (*) có nghiệm x = 0
b)Nếu y
0


0
-2)

0


2
3
2
0
y
Suy ra





=
=
2
3
2
Maxy
Miny

Khi đó x = -
)1(2)1(2
0
0
0

Đặt E =
)5)(3( xx +
Nhận xét : với -3 < x < 5 thì E > 0

P > 0
P đạt min

E đạt max

(x + 3)(5 x) đạt max.
Xét tổng (x + 3) + (5 x) = 8 (constant)
Suy ra (x + 3)( 5 x) đạt max

x + 3 = 5 x

x = 1 thoả mãn điều kiện: -3 <
x < 5
Thay x = 1 vào biểu thức ban đầu ta có : Min P = 2 khi x = 1
-3< x < 5

Bài 5: Cho biểu thức : Q =
x
x
3
72
2
+
với x > 0
Tìm x để Q đạt giá trị nhỏ nhất . tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Giải :

x 24
3
+
đạt min


3
x
=
x
24


x
2
= 72

x = 6
2

(bỏ x = - 6
2
vì x > 0 )
Thay x = 6
2
vào biểu thức Q, ta có :
Min Q =
=+=+
2
4

Nguyen Huu Thuan soan thao:
Có x
2
+ 2x + 5 = (x + 1)
2
+ 4 > 0 với mọi x , do đó hàm số xác định với mọi giá trị
của x
Đặt t =
52
2
++ xx
=
4)1(
2
++x


2

t

2

x
2
+ 2x + 5 = t
2


x

1
1
t
- t
2
-
2
1
t
= t
1
t
2
+
1
1
t
-
2
1
t
= t
1
t
2
+
21
12
tt
tt

x
2
+ 2x + 1 = 0

(x + 1)
2
= 0

x = - 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng
2
5
khi x = -1
Bài 7: Giả sử x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình :
x
2
- 2(m 1)x + m
2
- m = 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng S = x
1
2
+ x
2
2


2
m) = 2m
2
6m + 4
Do hàm số S(m) = 2m
2
6m + 4 nghịch biến trong khoảng ( -

,1] nên với mọi m

1 thì S(m)

S(1)
Suy ra Min S = S(1) = 0 khi đó m = 1

x
1
= x
2
= 0
C.bài tập đề nghị
Bài 1: Tìn x,y,z để các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị nhỏ nhất đó:
a)M= x
2
+ 4y
2
+ x
2
2x + 8y 6z + 15
b)N = 2x

Bài 3: Tìm Max và Min của biểu thức:
6
Nguyen Huu Thuan soan thao:
S = x
6
+ y
6
biÕt x
2
+y
2
= 1
Bµi 4: cho x + y =1 vµ xy = a. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc:
P = (x
2
+ x +1)(y
2
+ y + 1)
Bµi 5: Cho hai sè d¬ng x vµ y biÕt x+ y = 6
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : Q=
yx
22
+
Bµi 6: Cho x,y
≥
0 vµ x + y = 2. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P =
xy
xy
+
+1