Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
Đề tài NCKH
"Bài giảng điện tử môn ’Lý thuyết Galoa’ theo
hướng tích cực hóa nhận thức người học"
Chủ nhiệm đề tài: Ths. Ngô Thị Ngoan
ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐHTN
Thành viên tham gia: TS. Nguyễn Văn Hoàng
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
Lời mở đầu
- Lý thuyết Galois là sự phiên dịch và kết nối của lý thuyết về đa
thức, lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Công thức nghiệm (chỉ
sử dụng các phép toán đại số trên các hệ số của đa thức) của đa
thức bậc hai đã được con người biết từ rất lâu. Đến giữa thế kỉ 16,
công thức nghiệm của đa thức bậc ba được hình thành, sau đó
khoảng ba trăm năm, dựa trên ý tưởng của Largrange và Cauchy,
Abel đã chứng minh không có công thức nghiệm của đa thức bậc
năm. Đến năm 1829, Abel đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức
với bậc tùy ý có công thức nghiệm. Ngay sau đó, năm 1831 Galois
phát minh ra sự kết nối giữa nhóm với mỗi đa thức, sử dụng các
tính chất của nhóm này, đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa
thức có công thức nghiệm.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois

quy. Khi đó K = F[x]/(f(x)) là trường và x = x + (f(x)) là một
nghiệm của f(x). Hơn nữa ta có đơn cấu ϕ : F −→ K, do đó ta
có thể coi F là trường con của K.
Chứng minh - Đặt I = (f(x)). Vì f(x) bất khả quy nên
K = F [x]/I là vành giao hoán khác 0. Lấy g(x) + I ∈ K sao cho
g(x) /∈ I. Khi đó (g(x), f(x)) = 1. Suy ra tồn tại
q(x), p(x) ∈ F [x] sao cho 1 = q(x)g(x) + p(x)f(x). Từ đó
1 + I = q(x)g(x) + I = (q(x) + I)(g(x) + I). Chứng tỏ g(x) + I
khả nghịch trong K, do vậy K là trường. Ta thấy
ϕ : F −→ K, a −→ a + I là một đơn cấu. Đặt x = x + I ∈ K. Giả
sử f(x) =

n
i=0
a
i
x
i
. Khi đó f(x) =

n
i=0
a
i
x
i
=

n
i=0

⊆ . . . ⊆ F
n
,
thường được gọi là một tháp các trường.
Chú ý 1.3 Nếu K/F là một mở rộng trường, thì K là một
F -không gian véctơ, trong đó phép nhân một phần tử của F với
một véctơ của K xác định bởi F × K −→ K, (a, x) −→ ax. Kí
hiệu [K : F ] = dim
F
K và gọi là bậc của mở rộng trường.
Định lý 1.4 Cho f(x) ∈ F[x] là đa thức bất khả quy, đặt
K = F [x]/(f (x)). Khi đó K/F là một mở rộng trường và
[K : F ] = deg(f(x)).
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Chứng minh Đặt d = deg(f(x)) và I = (f(x)). Khi đó
K = F [x]/I là trường và là F -không gian véctơ.Đặt
S = {1 + I, x + I, . . . , x
d−1
+ I}.
Ta sẽ chứng tỏ S là cơ sở của K.Lấy tùy ý g(x) ∈ F [x], khi đó từ
Định lý phép chia với dư, tồn tại q(x), r(x) ∈ F [x] sao cho

(x + I) + . + b
d−1
(x
d−1
+ I) = 0, suy ra
b
0
+ b
1
x + . . . + b
d−1
x
d−1
chia hết cho f(x). Chứng tỏ
b
0
= b
1
= . . . = b
d−1
= 0. Vậy [K : F ] = deg(f(x)).
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn

.
ii) Khi n = 1 và α = α
1
, ta gọi F (α)/F là mở rộng đơn.
iii) Mỗi phần tử của F (α
1
, . . . , α
n
) có dạng
f(α
1
, , α
n
)
g(α
1
, , α
n
)
, với
f(x
1
, , x
n
), g(x
1
, , x
n
) ∈ F [x
1

Trường hợp này ta nói F (α)/F là mở rộng đơn đại số.Ví dụ:
Q(
√
2)
∼
=
Q[x]/(x
2
− 2).
Trường hợp 2. α là phần tử siêu việt trên F .
Ánh xạ δ : F[x] −→ F [α], g(x) −→ g(α) là toàn cấu, và có
Ker δ = {g(x) ∈ F [x] | g(α) = 0} = 0. Suy ra F [α]
∼
=
F [x]. Do đó
F (α)
∼
=
F (x) = {
g(x)
h(x)
| g(x), h(x) ∈ F[x], h(x) = 0}.
Trường hợp này ta nói F (α)/F là mở rộng đơn siêu việt.Ví dụ:
Q(π)
∼
=
Q(x).
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường

là một cơ sở của F -không
gian vectơ E.
Nhận xét 1.9 i) Mọi mở rộng hữu hạn E/F là mở rộng đại số.
Thật vậy, giả sử [E : F ] = n. Lấy α ∈ E. Khi đó 1, α, . . . , α
n
phụ
thuộc tuyến tính. Nên ∃a
0
, a
1
, . . . , a
n
∈ F không đồng thời bằng 0
để a
0
+ a
1
α + a
2
α
2
+ . . . + a
n
α
n
= 0. Suy ra α đại số trên F .
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois

, . . . , α
2
là phần tử đại số trên
F . Khi đó E/F là mở rộng hữu hạn. Thật vậy, có tháp trường
F ⊆ F (α
1
) ⊆ F (α
1
, α
2
) ⊆ . . . ⊆ F(α
1
, . . . , α
n
) = E,
trong đó mỗi bước là một mở rộng đơn đại số. Vì thế E/F là mở
rộng hữu hạn.
iv) Nói chung, một mở rộng đại số không là mở rộng hữu hạn.
Chẳng hạn, lấy F = Q và E = Q(S). Trong đó
S = {
p
√
2 | p là số nguyên tố } ⊆ R và Q(S) là trường con nhỏ
nhất của R chứa Q và S. Khi đó, E/F là mở rộng đại số nhưng
không là mở rộng hữu hạn.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức

• Bài tập Chương 1
Định nghĩa 1.11 Trường F được gọi là trường hoàn thiện nếu mọi
đa thức khác hằng trong F [x] đều là đa thức tách được.
Nhận xét 1.12 Cho p(x) ∈ F [x] là đa thức bất khả quy. Nếu đạo
hàm p

(x) = 0 thì deg(p

(x)) < deg(p(x)). Do đó
(p(x), p

(x)) = 1, vì thế tồn tại u(x), v(x) ∈ F [x] sao cho
1 = u(x)p(x) + v(x)p

(x). Từ đó, nếu p(x) có nghiệm bội α trong
một mở rộng E ⊇ F thì α là một nghiệm chung của p(x) và p

(x);
do đó 1 = u(α)p(α) + v(α)p

(α) = 0 là điều mâu thuẫn. Vậy p(x)
không có nghiệm bội, tức là p(x) tách được.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức

√
2) : K][K : Q]; do đó [K : Q] = 1
hoặc [Q(
√
2) : K] = 1; suy ra K = Q(
√
2) hoặc K = Q). Vậy
Q(
√
2) là trường phân rã của f(x) trên Q.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Định lý 1.14 Cho F là một trường và f(x) ∈ F[x] là đa thức có
bậc dương. Khi đó luôn tồn tại trường phân rã E của f(x) trên F .
Chứng minh Đặt n = deg(f(x)). Ta chứng minh bằng bằng quy
nạp theo n. Khi n = 1, ta chọn E = F . Giả sử n > 1. Ta lấy p(x)
là một ước bất khả quy của f(x), khi đó deg(p(x)) ≥ 1. Đặt
K = F [x]/(p(x)), ta thấy F ⊆ K là một mở rộng trường và p(x)
có một nghiệm α
1
∈ K. Trong K[x], đa thức f(x) viết được
f(x) = (x −α

Bổ đề 1.15 Cho ϕ : F → F , a −→ a là một đẳng cấu trường. Khi
đó ta có đẳng cấu vành cảm sinh ϕ
∗
: F [x] → F [x],
f(x) =

n
i=0
a
i
x
i
−→

n
i=0
a
i
x
i
= f(x). Giả sử p(x) ∈ F[x] là
đa thức bất khả quy trên F và gọi p(x) = ϕ
∗
(p(x)) ∈ F [x]. Gọi α
và α thứ tự là nghiệm của p(x) và p(x). Khi đó có duy nhất đẳng
cấu trường ϕ : F (α) → F(α) mở rộng ϕ và ϕ(α) = α.
Chứng minh Ta có nhận xét p(x) và p(x) cùng có bậc và cùng bất
khả quy. Từ giả thiết ta có các đẳng cấu
u : F (α)
∼

Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Hệ quả 1.16 Cho p(x) là đa thức bất khả quy và α, β là hai
nghiệm của p(x). Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu trường
ϕ : F (α) → F (β) là mở rộng của id
F
và ϕ(α) = β.
Chứng minh Kết quả được suy ra từ Bổ đề 1.15, bằng cách chọn
F = F và ϕ = id
F
.
Định lý 1.17 Cho ϕ : F → F , a −→ a là một đẳng cấu trường.
Cho f(x) =

n
i=0
a
i
x
i
∈ F [x] và lấy f(x) =

n
i=0
a
i
x

ϕ = ϕ. Giả sử
[E : F ] > 1, khi đó tồn tại nhân tử bất khả quy p(x) của f (x) có
deg(p(x)) ≥ 2. Gọi α ∈ E là một nghiệm của p(x). Lấy
p(x) = ϕ
∗
(p(x)) ∈ F [x] và gọi α ∈ E là một nghiệm của p(x). Từ
đó theo Bổ đề 1.15, tồn tại đẳng cấu ϕ : F (α) → F(α) là mở rộng
của ϕ và ϕ(α) = α. Lưu ý rằng E và E lần lượt cũng là trường
phân rã của f(x) trên F (α) và của f(x) trên F(α). Vì
[E : F ] = [E : F (α)][F (α) : F ] và [F (α) : F ] = deg(p(x)) ≥ 2,
nên [E : F (α)] < [E : F ]. Từ đó theo giả thiết quy nạp, tồn tại
đẳng cấu trường
∼
ϕ : E → E là mở rộng của ϕ, do đó
∼
ϕ là mở rộng
của ϕ.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
(ii) Ta cũng quy nạp theo [E : F ]. Nếu [E : F ] = 1 thì E = F và
chỉ có duy nhất mở rộng
∼

1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
- Vì f(x) tách được nên p(x) có d nghiệm phân biệt α. Khi đó, từ
Bổ đề 1.15, ta có d đẳng cấu trường ϕ : F (α) → F(α) là mở rộng
của ϕ, tương ứng với d nghiệm α. Lưu ý rằng E cũng là trường
phân rã của f(x) trên F (α), và E cũng là trường phân rã của
f(x) trên F (α); hơn nữa [E : F (α)] = [E : F ]/d < [E : F ]. Từ đó
và từ giả thiết quy nạp ta suy ra rằng ứng với mỗi một trong số d
đẳng cấu ϕ như trên có chính xác [E : F ]/d đẳng cấu trường
∼
ϕ : E → E là mở rộng của ϕ; do đó có tất cả là
d × ([E : F ]/d) = [E : F ] mở rộng của ϕ theo cách như trên.
Hệ quả 1.18 (Tính duy nhất của trường phân rã) Cho
f(x) ∈ F[x] là đa thức có bậc dương. Khi đó trường phân rã của
f(x) trên F là duy nhất sai khác một đẳng cấu giữ nguyên các
phần tử của F .
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Nhận xét 1.19 Từ chứng minh Định lý 1.14 và Hệ quả 1.18, ta
thấy: nếu f(x) ∈ F[x] có bậc n > 0 và có n nghiệm α

Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
Định nghĩa 1.20 Trường F được gọi là trường nguyên tố nếu nó
không có trường con nào ngoài bản thân nó.
Nhận xét 1.21 i) Cho F là trường nguyên tố. Khi đó chỉ có thể
xảy ra một trong hai trường hợp: nếu F có đặc số 0 thì F
∼
=
Q;
nếu F có đặc số p thì F
∼
=
Z
p
. Trường hợp F
∼
=
Z
p
ta thường kí
hiệu F
p
thay cho F .
ii) Cho E là một trường, đặt F là giao của mọi trường con của E,
khi đó F là một trường con nhỏ nhất của E, vì thế F là một

F
p
(F ) = n < ∞, và lấy một cơ sở
của F là {e
1
, . . . , e
n
}. Khi đó mỗi phần tử của F biểu diễn duy
nhất dưới dạng x =

n
i=1
a
i
e
i
với a
1
, . . . , a
n
∈ F
p
. Từ đó ta được
|F | = |F
p
× . . . ×F
p
| (n lần). Do đó q = p
n
.

q
= α
q
− β
q
= α −β,
(αβ)
q
= α
q
β
q
= αβ; do đó α −β, αβ ∈ K. Nếu α ∈ K
∗
thì
(α
−1
)
q
= (α
q
)
−1
= α
−1
; suy ra α
−1
∈ K. Ngoài ra, rõ ràng
1
q

n
phần tử. Giả sử F
q
là trường
có q = p
n
phần tử. Khi đó F
q
có đặc số là p (giả sử p
1
là đặc số
của F
q
thì theo (i) suy ra q = p
n

1
; do đó p
n
= p
n

1
, vì thế p
1
= p).
Vì F
∗
q
= F

sai khác
một đẳng cấu trường (theo Hệ quả 1.18).
Định nghĩa 1.23 Một trường hữu hạn có q = p
n
phần tử được gọi
là trường Galoa cấp p
n
và thường kí hiệu là GF (p
n
) hoặc F
q
hoặc
H
q
.
Ngô Thị Ngoan, Nguyễn Văn Hoàng Lý thuyết Galois
Lời mở đầu
Chương 1. Mở rộng trường
Chương 2. Nhóm Galois
Chương 3. Giải được bằng căn thức
Chương 4. Mở rộng Galois. Định lý cơ bản của lý thuyết Galois
1.1 Mở rộng trường
1.2 Trường phân rã của đa thức
1.3 Cấu trúc trường hữu hạn
• Bài tập Chương 1
Bài tập Chương 1
1. Cho mở rộng trường E/F và α ∈ E là phần tử đại số trên F .
Gọi p(x) ∈ F [x] là đa thức tối tiểu của α. Giả sử deg(p(x) = n,
chứng tỏ rằng F (α)
∼