Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung
CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO LUYỆN THI VÀO LỚP 10
A. ĐẠI SỐ:
Bài 1: Thực hiện các phép tính:
a)
3 2 2 3 2 2+ + −
b)
( ) ( )
4 15 10 6 4 15+ − −

c)
1 1 1 1

1 2 2 3 3 4 48 49
− + − −
− − − −
d)
432
48632
++
++++
Bài 2: Cho biết
(
)
(
)
333
22
=++++ yyxx
(1). Hãy tính : E = x+ y.
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A, B với A(2m – 1 ; m



x y
b
x y

Bài 5: Cho hệ phương trình:
3
(2 1) 2
mx y
m x y
+ =


− − =

Với giá trò nguyên nào của m thì hệ có nghiệm nguyên.
Bài 6: Tìm m để hệ phương trình
3 2 (1)
3 (2)
x y m
x my
− =


+ =

có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0.
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
luôn có nghiệm.

x
2
+ cx + a = 0 (3)
có một phương trình có nghiệm, có một phương trình vô nghiệm.
Bài 12: Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn 3ab + 4bc + 5ca = - 1.
Chứng tỏ rằng phương trình (ax
2
+ bx + c)(bx
2
+ cx + a)( cx
2
+ ax + b) = 0 có nghiệm.
Bài 13: Cho hai phương trình (ẩn x): x
2
+ x + a = 0 và x
2
+ ax + 1 = 0.
Tìm a để hai phương trình cùng vô nghiệm.
Bài 14: Với giá trò nào của a thì hai phương trình (ẩn x): x
2
– ax + 1 = 0 (1) và x
2
– x + a = 0 (2)
có một nghiệm bằng nhau.
Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung
Bài 15: Giải các phương trình:
a)
1 3 0x x− − − =
b)
2 5 1 8x x+ + − =

Bài 16: Giải các phương trình:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
2
2 2 2 2
2
2
) 4 5 6 4 5 8 0 ) 3 1 2 3 1 8 0
) 2 2 10 5 16 0 ) 3 4 3 2 3
2 5
) 1 2 3 4 0 ) 3 0
1
1
− − − + = + − + + − − =
+ − + + − = − + − + =
+ + + + = − + =
+
+
a x x b x x x x
c x x x x d x x x x
x x
e x x x x f
x
x

- 1)
k
Chứng minh rằng: S
m+n
+ S
m- n
= S
m
.S
n
với mọi m, n là số nguyên dương và m > n.
Bài 20:
a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh:
2 2 2
2 0
( 1) 1
x y xy
x y x y xy
+ − =



+ − = − +


b) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã:
2 2
(2 1) 1 (2 1) 1x x x x x x+ − + > − + +
Bài 21: Giải phương trình:
a)

2
1
4
+
b
a
= 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = ab + 2009.
Bài 24: Cho x, y tháa m·n:
3 3
x 2 y y 2 x
+ − = + −
.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc:
= + − + +
2 2
B x 2xy 2y 2y 10
.
Bài 25: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A =
2
6 4x
x 1
−
+
Bài 26: Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức:
1 1 1
2b c
+ =
.Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau
phải có nghiệm: x
2

7(x x )
x x 18
2
+
− ≤
Bài 30:
a) Cho 3 số a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤
+ + + + + +
b) Tìm x, y ngun sao cho x + y + xy + 2 = x
2
+ y
2
c) Cho x, y > 0 và
x y 1+ ≤
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
A
x y xy
= +
+
B. HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại
C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN.
a) Chứng minh rằng tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Tính tích AH . AK theo R.
c) Xác đònh vò trí của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trò lớn nhất và tính giá trò lớn nhất đó.

.
c) Cho A, B cố đònh,
·
0
45ACB =
không đổi và C di động trên cung lớn AB. Tìm quỹ tích trung điểm P của
IC.
Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là điểm đối xứng của H
qua AB và AC.
a) Chứng minh rằng tứ giác AMBH nội tiếp.
b) Chứng minh rằng AM = AH = AN.
c) Giả sử MN cắt AB và AC lần lượt ở F và E. Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBH.
d) Chứng minh rằng AH, BE, CF đồng quy.
Bài 6: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố đònh, một điểm I nằm giữa A và O sao cho
2
.
3
AI AO=
Kẻ
dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và
Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung
B. Nối AC cắt MN tại E.
a) Chứng minh rằng tứ giác IECB nội tiếp.
b) Chứng minh rằng ∆AME ∆ACM và AM
2
= AE.AC
c) Chứng minh rằng AE.AC – AI.IB = AI
2
.
d) Hãy xác đònh vò trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME

b) Chứng minh
·
0
90ECF =
.
c) Tìm quỹ tích trung điểm N của EF khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB với C cố đònh.
Bài 11: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C. Từ
A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN.
a) Chứng minh AM
2
= AN
2
= AB.AC.
b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh IN // AB.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đường thẳng cố đònh khi đường
tròn (O) thay đổi.
Bài 12: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Trên
cạnh AB lấy điểm M trên tia AC lấy điểm N sao cho: CN = BM (C nằm giữa A, N). Chứng minh:
a) IM = IN. b) Tứ giác AMIN nội tiếp.
c) Gọi K là giao điểm của MN với BC. Chứng minh: KM = KN.
d) Cho P là điểm di động trên cung ACI. H là hình chiếu của P xuống AI; E là hình chiếu của H xuống AP;
F là hình chiếu của H xuống IP. Xác đònh vò trí của P để tứ giác PEHF có diện tích lớn nhất.
Bài 13: Cho (O; R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Điểm B lấy bất kì trên (O), kẻ BH vuông góc
xy tại H.
a) Chứng minh: BA là phân giác của góc OBH.
b) Chứng minh: Phân giác ngoài của góc OBH luôn đi qua 1 điểm cố đònh khi B di động trên (O).
c) Gi M là giao điểm của BH với phân giác của góc AOB. Tìm q tích của M khi B di động trên (O).
Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung
Bài 14: Cho
∆