ph¹m quang lu
ÔN TẬP TOÁN 12
I.Các công thức đạo hàm:
1)
( )
0'=c
(C là hằng số).
2)
( )
1
.'
−
=
αα
α
xx
3)
)0(
1
'
1
2
≠−=






x
x

x
gx −=
9)
( )
xx
ee ='
10)
( )
xaa
xx
ln.'=
11)
( )
x
x
1
'ln =
12)
( )
ax
x
a
ln
1
'log =
1)
( )
uxu '
1−
=

uuu cos'.'sin =
5)
( )
'.sin'cos uuu −=
6)
( )
2
cos
'
'
u
u
tgu =
7)
( )
2
sin
'
'cot
u
u
gu −=
8)
( )
'.' uee
uu
=
9)
( )
'.ln.' uxaa

(v
0≠
)
5)
2
'
'
1
v
v
v
−
=






(v
0≠
) 6)
xu
uyy
x
'.'' =
7)
2
'
)(

)=k:là hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp
điểm M
0
.
III/ Nguyên hàm:
1) Định nghĩa:F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên (a;b) F’(x) =f(x)
,
).,( bax∈∀
2) Bảng các nguyên hàm:
3)
Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm sồ thường gặp
1
ph¹m quang lu
1)
∫
+= cxdx
2)
∫
+
+
=
+
c
x
dxx
1
1
α
α
α

+= cedxe
xx
9)
∫
+= c
a
a
dxa
x
x
ln
1)
∫
+
+
+
=+
+
c
bax
a
dxbax
1
)(
1
)(
1
α
α
2)

bax
)(
1
)(cos
1
2
6)
∫
+−=
+
cxg
a
dx
bax
cot
1
)(sin
1
2
7)
∫
+=
++
ce
a
dxe
baxbax
1
8)
∫









+
b
a
bax
x
dx
e
x
x
e
xP
cos
sin
).(
Trong đó P(x) là hàm đa thức
Phương pháp:
Đặt u=P(x)
dxxPdu ).('=⇒
dv =
=⇒



a
duvvu
b/Loại 2:có dạng : B=
∫
+
b
a
dxbaxxP ).ln().(
Phương pháp :
Đặt u = ln(ax+b) => du =
dx
bax
a
+
dv = P(x)dx => V =
2
ph¹m quang lu
Áp dụng công thức B =
[ ]
∫
−
b
a
b
a
duvvu
Dạng 3:Phương pháp đổi biến số để tính tích phân:
A=
( )
[ ]

)(
b
a
tF
ϕ
ϕ

Dạng 4:Các dạng đặc biệt cơ bản:
a/Loại 1: I=
∫
+
a
xa
dx
0
22
Phương pháp:Đặt x=a.tgt






<<−
22
ππ
t
=> dx=
dtttgadt
x

∫
++
b
a
cbxax
dx
2
Nếu
))((:0
21
2
xxxxacbxax −−=++>∆
Do đó :






−
−
−−
=
++
21211
2
11
)(
11
xxxxxxa

a
b
xa
cbxax
Để tính I=
∫
b
a








∆
−






+
2
2
42
1
aa

.
2)Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm đơn và vô nghiệm
cbxax
CBx
ax
A
cbxaxax
xP
++
+
+
−
=
++−
22
))((
)(
3)Trường hợp 3: Mẫu số có nghiệm bội
bx
E
bx
D
bx
C
ax
B
ax
A
bxax
xP

2
96xx
dx
; C=
∫
++
3
2
2
1xx
dx
Dạng 6: A=
∫∫
dxxhaydxx
nn
cos sin
Nếu n chẵn :
Áp dụng công thức
Sin
2
a=
2
2cos1 a−
Cos
2
a=
2
2cos1 a+
Nếu n lẽ:
A=

2
2cos1 a+
1.1) Sin
2
a=
2
2cos1 a−
2) 2sina.cosa = sin2a 2.1) Cosa.cosb =
( )
[ ]
)cos(cos
2
1
baba −++
3) Sina.sinb =
( )
[ ]
)cos(cos
2
1
baba −−+−
3.1) Sina.cosb =
( )
[ ]
)sin(sin
2
1
baba −++
*Các công thức lượng giác cần nhớ:
1) Sin

2
1
2
−
3.1) Sin 3a = 3sina – 4sin
3
a
4
ph¹m quang lu
4) Cos 3a = 4cos
3
a – 3cosa
*Các giá trị lựơng giác của góc đặc biệt:
IV: Diện tích hình phẳng.
1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi
)(:)( xfyc
=
và hai đường thẳng x=a; x=b
Phương pháp:
+ dthp cần tìm là:
)(.)( badxxfS
b
a
<=
∫
+ Hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình:
 Nếu phương trình f(x) = o vô nghiệm. Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [a;b] thì
∫
=
b

và trục hoành
Phương pháp:
• Hđgđ của (C) và trục Ox là nghiệm của phương trình : f(x) = 0



=
=
⇔
bx
ax
0
1
1
2
1
2/3
1/2
2/2
2
3
2
2
sin
cos
3
1
2/
π
π

) và (C
2
) là nghiệm của phương trình.
• f(x) – g(x) = 0
• Lập luận giống phần số 1
V) Thể tích vật thể
1) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi: x=a; x=b, trục ox và y=f(x) liên tục trên [a;b]. Khi (H)
quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích:
[ ]
∫
=
b
a
dxxfV
2
)(
π
2) Một hình phẳng (H) giới hạn bởi y=a; y=b, trục oy và x=g(y) liên tục trên [a;b]. Khi (H)
quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích:
[ ]
∫
=
b
a
dyygV
2
)(
π
VI) Đại số tổ hợp
1) Giai thừa

knk
n
C
k
n
∈≤≤
−
= ;0
)!(!
!
* Tính chất của Tổ Hợp:
•
1
0
==
n
nn
CC
•
nC
n
=
10
•
kn
n
k
n
CC
−

)(
222110
Số hạng tổng quát thứ k+1 trong khai triển (a+b)
x
là.
), ,1,(
1
nokbaCT
kknk
nk
==
−
+
7) Khai triển theo tam giác Pascal
n = 3: 1 3 3 1
n = 4: 1 4 6 4 1
n = 5: 1 5 10 10 5 1
n = 6: 1 6 15 20 15 6 1
n = 7: 1 7 21 35 35 21 7 1
6
ph¹m quang lu
VII) Các vấn đề có liên quan đến bài toán
Vấn đề 1: Đường lối chung khảo sát hàm số
Phương pháp:
1)
Tập xác định
2)
Tính y
’


Vấn đề 3: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường (C
1
): y = f(x)và (C
2
): y = g(x)
Phương pháp:
+ Hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)là nghiệm của phương trình:
)1(0)()()()( =−⇔= xgxfxgxf
+ Biện luận:
• Nếu (1) có n nghiệm =>(C
1
) và (C
2
) có n điểm chung (Hay n giao điểm)
• Nếu (1) vô nghiệm => (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung (Hay không có giao điểm)
Chú ý:
Nếu pt (1) có dạng ax + b = 0 chỉ khi biện luận phải xét 2 trường hợp.
1) Nếu a=0
2) Nếu
0≠a
Nếu pt (1) có dạng ax
2

x
α
Thế
∆= TínhptXétmTìmvàox .)2(.).1(
α
Đưa vào
∆
biện luận theo m để tìm số nghiệm của (1) => Số giao điểm của 2 đường (C
1
) và
(C
2
) .
Vấn đề 4: Tiếp tuyến với (C); y = f(x)
1) Trường hợp 1: Tại tiếp điểm M
0
(x
0
,y
0
)
Phương pháp:
7
ph¹m quang lu
+ Tính y’ => y’(x
0
)
+ phương trình tiếp tuyến với (C). Tại M
0
có dạng: y – y

0
+ Kết luận
* Chú ý:
Biết tiếp tuyến vuông góc. Vuông góc với đường thẳng d: y=ax + b thì
a
xy
axy
1
)('
1).('
0
0
−=
−=
⇔
3) Trường hợp 3: Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x
A
,y
A
)
Phương pháp:
+ Gọi
∆
là đường thẳng đi qua A có hệ số góc là k có phương trình:
y - y
A
= k(x – x
A
)
<=> y = kx – kx

>∆
≠
⇔
0
0a
2) Trường hợp 2: Hàm số :
''
2
bxa
cbxax
y
+
++
=
Phương pháp:
+ Tập xác định D = R\{-b’/a’)
+ Tính
2
)'(
)(
'
bxa
xg
y
+
=
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.




m
m
xf 0)('
0
Đảo: Thế m vào y’. Lập bảng biến thiên để kiểm lại.
+ Kết luận.
Chú ý:
Nếu hàm số đạt cực trị tại x
0
thì y’ chỉ cần đổi dấu khi x đi qua x
0
.
Vấn đề 7: Tìm m (hoặc a, b) để hàm số: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 nhận điểm I(x
0
;y
0
) làm điểm
uốn.
Phương pháp:
9
ph¹m quang lu
3) Phương Trình – Bất Phương Trình Chứa Logarit
- Công Thức.
 Log
a
N=b

=
.log
1
log bb
a
a
α
α
=

.loglog bb
a
a
α
β
β
α
=

a
b
b
a
log
1
log
=

ccb
aba

αα
αα
a
a
aa
 Nếu a > 1
0loglog
2121
>≥⇔≥
αααα
aa
 Nếu 0 < a < 1
2121
loglog xxaxx
aa
<<⇔≥
- Cách Giải:
 Đưa về cùnng cơ số
 Đưa về pt và bpt cơ bản
 Đặt ẩn số phụ
 Phân khoảng
 Giải pp đặt biệt.
10
ph¹m quang lu
Hàm Số Lượng Giác

ag
aa
aa
tgaga

 Khác
π
tg hoặc cotg
( )
απ
+

Lưu ý:
 Hàm số lượng giác
)2(
πα
k
+
= hslg
α

)lg()lg(
)(
cot
)(
cot
abhsbahs
g
tg
k
g
tg
−→−
=+
απα

)(
cos)cos(
sin)sin(
−=+
−=+
−=+
=+⇒
=++=∆
π

:
βα
và
phụ nhau
)(cot)(
)cos()sin(
2
kiagnàytg
kianày
=
=⇔
=+
π
βα
βαβα
2222
coscossinsin +=+
βαβα
ggtgtg cot.cot. =
 Khác

2
2
)(
0,
 Phương trình chứa căn bậc 2.
 Phương trình chứa căn bậc 3:
 Cách giải
11