CHƯƠNG 2

78

Áp dụng các công thức từ (2.72) đến (2.75), ta rút ra được hệ
phương trình trạng thái mô tả hệ thống là:
t t r t
c t x t
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= +


=

&
x Ax B
C

trong đó:
a a a
   
   
= =
   
   
− − − − − −
   
3 2 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1

chuyển phương trình vi phân bậc n thành hệ gồm n phương trình
vi phân bậc nhất, do cách đặt các biến trạng thái ở hai ví dụ trên
là khác nhau nên kết quả hệ phương trình biến trạng thái bắt
buộc phải khác nhau.
3- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối
Nếu hệ thống được cho dưới dạng sơ đồ khối ta có thể đặt
biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối. Sau đây là một số ví dụ.
Ví dụ 2.11.
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ
thống có sơ đồ khối như sau:

Giải.
Vẽ lại sơ đồ khối của hệ thống trên với các biến trạng thái
được đặt như sau:MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

79

Với cách đặt biến trạng thái như hình vẽ, ta có các quan hệ sau:
X s X s
s
( ) ( )
=
+
1 2
10
3


⇒
2 2 3
( ) ( ) ( )
x t x t x t
= − +
&
(2.77)
( )
X s R s C s
s
( ) ( ) ( )
= −
3
1

⇒
sX s R s X s
( ) ( ) ( )
= −
3 1

⇒
x t x t r t
( ) ( ) ( )
= − +
3 1
&
(2.78)

Kết hợp (2.76), (2.77) và (2.78) ta được hệ phương trình trạng thái:

[ ]
x t
c t x t x t
x t
( )
( ) ( ) ( )
( )
 
 
= =
 
 
 
1
1 2
3
1 0 0

g

Nhận xét:
Dễ thấy rằng tùy theo cách đặt biến trạng thái
trên sơ đồ khối mà ta có thể dẫn ra được các hệ phương trình
trạng thái hoàn toàn khác nhau. Điều này một lần nữa khẳng
đònh một hệ thống có thể được mô tả bằng nhiều hệ phương trình
trạng thái.
Ví dụ 2.12.
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ
thống với các biến trạng thái được xác đònh trên sơ đồ khối như sau:


s s
( ) ( ) ( ) ( )
= = −
 
 
+ +
2 3
3 3
4 4

⇒

sX s X s X s R s
( ) ( ) ( ) ( )
= − − +
2 2 3
4 3 3
(2.81)

s
X s X s
s
( ) ( )
+
=
+
3 1
1
6


( )
1
ở biểu thức (2.83) vào biểu thức (2.82) ta được:

sX s X s X s X s X s X s R s
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= − − − − +
3 1 3 1 2 3
6 5 2 3 3

⇒

sX s X s X s X s R s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= − − − +
3 1 2 3
4 2 9 3
(2.84)
Từ các biểu thức (2.82), (2.81) và (2.84) ta suy ra hệ phương
trình:
x t x t x t x t r t
x t x t x t r t
x t x t x t x t r t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= − − − +


= − − +

=
 
 
 
1
2
3
x

− − −
 
 
= − −
 
 
− − −
 
5 2 3
0 4 3
4 2 9
A
 
 
=
 
 
 
3
3
3

= +


=

&
x Ax B
Cx
(2.85)
2- Thực hiện phép đổi biến trạng thái:
t t
( ) ( )
=
x MyThay vào phương trình (2.85) ta được:

t t r t
c t t
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= +


=

&
My AMy B
CMy

y Ay B
Cy
(2.86)
trong đó:
-1
=
A M AM

-1
=
B M B

=
C CM

Hệ phương trình trạng thái (2.86) tương đương với hệ phương
trình (2.85). Để (2.86) có dạng chính tắc, phải chọn
M
sao cho ma
trận
M
-1
AM
chỉ có đường chéo khác 0. Theo lý thuyết đại số
tuyến tính, ma trận chuyển đổi
M
được chọn như sau:
n
n
n n n n

,
i n
( , )
= 1 là các trò riêng của ma trận
A
, tức là
nghiệm của phương trình:
det( )
λ − =
0
I A .
CHƯƠNG 2

82

Ví dụ 2.13.
Cho hệ thống có hàm truyền:
C s s
G s
R s
s s
( )
( )
( )
+
= =
+ +
2
3 1
3 2

=
 
 
0
1
B

[
]
=
1 3
C
Trò riêng của ma trận
A
là nghiệm của phương trình:

det( )
λ − =
0
I A
⇔
det
 
   
λ − =
 
   
− −
   
 

1
2
1
2

Thực hiện phép đổi biến:
t t
( ) ( )
=
x My
với ma trận
M
là:

 
 
= =
 
 
λ λ
− −
 
 
1 2
1 1
1 1
1 2
M
⇒
-


MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

83

trong đó:
-1
−
       
= = =
       
− − − − − − −
       
2 1 0 1 1 1 1 0
1 1 2 3 1 2 0 2
A M AM-1
     
= = =
     
− − −
     
2 1 0 1
1 1 1 1
B M B[ ] [ ]

0 2 1
&
&[ ]
y t
c t
y t
( )
( )
( )
 
= − −
 
 
1
2
1 2
g

2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phương trình trạng thái
Cho hệ thống mô tả bởi hệ phương trình biến trạng thái:
t t r t
c t t
( ) ( ) ( )
( ) ( )
= +



X I A B
⇒
( )
-
s s R s
( ) ( )
= −
1
CX C I A B
Kết hợp với biểu thức (2.89) ta được:

( )
-
C s s R s
( ) ( )
= −
1
C I A B

⇒
( )
-
C s
G s s
R s
( )
( )
( )
= = −
1
[ ]
x t
c t
x t
( )
( )
( )
 
=
 
 
1
2
1 3
Tính hàm truyền của hệ thống.
Giải.
Hàm truyền của hệ thống là:

( )
-
G s s( )
= −
1
C I A B

Ta có:
( )
s

2
1 3 1
1
2 3 2
3 2
I A
( )
s
s
s s
s s s s
−
+
     
− = =
     
−
+ + + +
     
1
2 2
3 1 0 1
1 1
2 1
3 2 3 2
I A B


=
+ +
2
3 1
3 2

g

2.4.7 Nghiệm của hệ phương trình trạng thái
Cho hệ thống có phương trình trạng thái như sau:
t t r t
( ) ( ) ( )
= +
&
x Ax B
(2.91)

c t t
( ) ( )
=
Cx
(2.92)
Muốn tính được đáp ứng của hệ thống khi biết tín hiệu vào
r
(
t
), trước tiên ta phải tính được nghiệm
x
(
t

0
X sI A x sI A B
(2.93)
Đặt:
( )
-
s( )
Φ = −
1
sI A
, thay vào biểu thức (2.93) ta được:

s s s R s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
= Φ + Φ0
X x B
(2.94)
Biến đổi Laplace ngược hai vế biểu thức (2.94) ta được:

t
t t t R d
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+
= Φ + Φ − τ τ τ
∫
0
0
x x B
(2.95)

+
= Φ
0
x x
(2.97)
Mặt khác khi
r
(
t
) = 0 phương trình (2.91) trở thành:

t t
( ) ( )
=
&
x Ax
(2.98)
Nghiệm của (2.98) là:
t
t e
( ) ( )
+
=
0
A
x x
(2.99)
So sánh (2.97) và (2.99) suy ra:

t

I
det( )
λ − =
0
A
) vào biểu thức (2.101), ta
sẽ tính được các hệ số
i
C
, (
i n
,
= −
0 1
).
Tóm lại

Để tính nghiệm của hệ phương trình biến trạng thái ta
thực hiện các bước sau đây:
CHƯƠNG 2

86

1- Tính
ma trận quá đo
ä

Φ
(
t

+ +
2
3 2

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ
thống
trên.
2- Tính ma trận quá độ.
3- Tìm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn
vò (giả sử điều kiện đầu bằng 0).
Giải:

1- Thành lập hệ phương trình biến trạng thái:
Theo đề bài ta có:
C s s
R s
s s
( )
( )
=
+ +
2
3 2

⇒
s s C s sR s
( ) ( ) ( )
+ + =
2
3 2

x Ax B
Dx

trong đó:
a a
 
 
= =
 
 
− −
− −
 
 
2 1
0 1
0 1
2 3
A

β
 
 
= =
 
 
β
−
 
 

2- Tính ma trận quá độ:
Cách 1:

t s s
( ) [ ( )] [( ) ]
− − −
Φ = Φ = −
1 1 1
L L
I A

Ta có:
s
s s
s
[ ]
−
     
− = − =
     
− − +
     
1 0 0 1 1
0 1 2 3 2 3
I A

s s
s s
s s
s s

+
 
 
 
 
+ + + +
 
Φ = Φ =
 
−
 
 
 
 
+ + + +
 
 
1 1
3 1
1 2 1 2
2
1 2 1 2
L Ls
s s s s
s
s s s s
( )( ) ( )( )


s s s s
s s s s
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
− −
− −
 
   
− −
   
 
+ + + +
   
 
=
 
− −
   
+ +
 
   
+ + + +
 
   
 
1 1
1 1
2 1 1 1
1 2 1 2

[
]
At
o
t e C C( )Φ = = +
1
I A
(2.102)
Các trò riêng của
A
là nghiệm của phương trình:
det( )
λ − =
0
I A

⇔ det
 
   
λ − =
 
   
− −
   
 
1 0 0 1
0
0 1 2 3

⇔

o
t
o
e C C
e C C
λ
λ

= + λ


= + λ


1
2
1 1
1 2

⇒

t
o
t
o
e C C
e C C
−
−



Thay C
o
, C
1
vào công thức (2.102), ta được:

t t t t
t e e e e
( ) ( ) ( )
− − − −
   
Φ = − + −
   
− −
   
2 2
1 0 0 1
2
0 1 2 3

⇒
t t t t
t t t t
e e e e
t
e e e e
( ) ( )
( )
( ) ( )

t
t t t t
t t t t
e e e e
d
e e e e
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
− −τ − −τ − −τ − −τ
− −τ − −τ − −τ − −τ
 
− −
 
= τ
 
 
−
 
 
− + − +
 
∫
2 2
2 2
0
2 1
3
2 2 2

t t
t
t t
e e d
e e d
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
− −τ − −τ
− −τ − −τ
 
 
− + τ
 
=
 
 
− τ
 
 
 
∫
∫
2
0
2
0
2
4

2
2
1 2
x

Đáp ứng của hệ thống là:

[ ]
t t
x t
c t x e e
x t
( )
( ) ( )
( )
− −
 
= = = −
 
 
1
2
1
2
1 0 1 g
2.5 TÓM TẮT
Chương này đã trình bày hai phương pháp mô tả toán học hệ
thống tự động là phương pháp hàm truyền đạt và phương pháp
không gian trạng thái (H.2.15). Tùy theo hệ thống và bài toán
điều khiển cần giải quyết mà chúng ta chọn phương pháp mô tả

Sau khi kích hoạt phần mềm Matlab, cửa sổ Command
Window hiện lên cho phép chúng ta nhập lệnh vào. Cần chú ý
một số điểm sau:
* Matlab phân biệt ký tự thường và ký tự hoa (case
sensitive).
* Matlab hiển thò kết quả thực hiện phép tính nếu cuối câu
lệnh không có dấu chấm phẩy “;” và không hiển thò kết quả nếu
cuối câu lệnh có dấu “;”.
* Dấu “%” được sử dụng để chú thích, tất cả các ký tự nằm
sau dấu “%” không được xử lý.
* Nếu muốn biết chức năng và cú pháp của một lệnh, nhập
vào dòng lệnh có dạng:
>> help lenh_can_biet

Ví dụ:
>> help feedback
>> help bode
1- Các lệnh cơ bản
• Biểu diễn ma trận, véctơ, đa thức:
>> x=[1 4 6 -2 8] %x la véctơ hang, cac cot cach nhau boi khoang trang
x =
1 4 6 -2 8
>> y=[1; 4; 6; -2] %y la véctơ cot, cac hang cach nhau boi dau “;”
y =
1
4
6
-2
>> A=[1 2 3; 0 -1 4; 5 7 6] % A la ma tran vuong cap 3
A =

(
t
ransfer
f
unction).
Cú pháp:
G=tf(TS,MS)
tạo ra hệ thống mô tả bởi hàm truyền
G có tử số là đa thức TS và mẫu số là đa thức MS.
Ví dụ:
>> TS=1; MS=[1 1];
>> G1=tf(TS,MS) %G1=TS/MS
Transfer function:
1

s + 1
>> G2=tf([1 4],conv([1 2],[1 3])) %G2=(s+4)/(s+2)(s+3)
Transfer function:
S + 4

s^2 + 5 s + 6
• Đơn giản hàm truyền: lệnh
minreal
.Cú pháp:
G=minreal(G)
triệt tiêu các thành phần giống
nhau ở tử số và mẫu số để được dạng hàm truyền tối giản.

. Chú ý rằng lệnh
series
chỉ có thể tính hàm truyền của hai hệ thống nối tiếp
trong khi sử dụng toán tử “*” ta có thể tính hàm truyền tương
đương của bao nhiêu hệ thống ghép nối tiếp tùy ý.
Ví dụ:
>> G=G1*G2
Transfer function:
s + 4

s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6

>> G3=tf(2,[1 0]) %G3=2/s
Transfer function:
2
-
s
>> G=G1*G2*G3
Transfer function:
2 s + 8

s^4 + 6 s^3 + 11 s^2 + 6 s
• Tính hàm truyền của hệ thống song song: lệnh
parallel
.
Cú pháp:
G=parallel (G1,G2)

hàm truyền G = G1+G2
Ví dụ:

tính hàm truyền hệ thống hồi tiếp dương
Gk = G/(1
−
G*H)
Ví dụ:
>> G=tf([1 1],[1 3 2])
Transfer function:
s + 1

s^2 + 3 s + 2
>> H=tf(1,[1 5])
Transfer function:
1

s + 5
>> Gk=feedback(G,H) % ham truyen kin he hoi tiep am
Transfer function:
s^2 + 6 s + 5

s^3 + 8 s^2 + 18 s + 11
>> feedback(G,H,+1) % ham truyen kin he hoi tiep duong
Transfer function:
s^2 + 6 s + 5

s^3 + 8 s^2 + 16 s + 9
>> feedback(G,1) % ham truyen kin he hoi tiep am don vi
Transfer function:
s + 1

s^2 + 4 s + 3

x1 0
x2 1
c =
x1 x2
y1 1 0
d =
u1
y1 0
Continuous-time model.

Biến đổi mô tả toán học từ dạng phương trình trạng thái về
dạng hàm truyền: lệnh
tf
(
t
ransfer
f
unction).
Cú pháp:
G=tf(PTTT)
biến đổi phương trình trạng thái
PTTT về dạng hàm truyền G.
Ví dụ:
>> G=tf(PTTT)
Transfer function:
1

s^2 + 2 s + 3

Biến đổi mô tả toán học từ dạng hàm truyền về dạng phương


ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG
3.1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC
Đặc tính động của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở đầu
ra của hệ thống theo thời gian khi có tác động ở đầu vào. Trong
thực tế các hệ thống điều khiển rất đa dạng, tuy nhiên những hệ
thống được mô tả bằng mô hình toán học có dạng như nhau sẽ có
đặc tính động học như nhau. Để khảo sát đặc tính động của hệ
thống tín hiệu vào thường được chọn là tín hiệu cơ bản như hàm
xung đơn vò, hàm nấc đơn vò hay hàm điều hòa. Tùy theo dạng
của tín hiệu vào thử mà đặc tính động thu được là đặc tính thời
gian hay đặc tính tần số.
3.1.1 Đặc tính thời gian
Đặc tính thời gian của hệ thống mô tả sự thay đổi tín hiệu ở
đầu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm xung đơn vò hay
hàm nấc đơn vò.
Hình 3.1 Tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống
Nếu tín hiệu vào là hàm xung đơn vò r(t) = δ(t) thì đáp ứng
của hệ thống là:
C s R s G s G s
( ) ( ). ( ) ( )
= = (do R(s) = 1)
⇒
{
}
{
}