ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 97

Vậy đáp ứng xung là đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào
là hàm xung đơn vò. Theo biểu thức (3.1) đáp ứng xung chính là
biến đổi Laplace ngược của hàm truyền.
Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò r(t) = 1(t) thì đáp ứng của
hệ thống là:

G s
C s R s G s
s
( )
( ) ( ). ( )= = (do R s
s
( )
=
1
)
⇒
{ }
t
G s
c t C s g d
s
( )
( ) ( ) ( )
− −
 

( )
( )
+
=
+
1
5

Xác đònh hàm trọng lượng và hàm quá độ của hệ thống.
Giải.
Hàm trọng lượng:

{ }
s
g t G s
s s s s
( ) ( )
( ) ( )
− − −
+
   
= = = +
   
+ +
   
1 1 1
1 1 4
5 5 5 5
L L L
L L LL L L

t
h t t e( )
−
= − +
5
1 4 4
5 25 25

CHƯƠNG 3

98

Cách 2:
G s s
h t
s
s s
( )
( )
( )
− −
+
 
 
= =
   
+
 
 
1 1

( )
( )
 
=
 
 
L
LL
L (3.5)
Ví dụ 3.2.
Cho hệ thống có đáp ứng nấc đơn vò là:
t t
h t e e
( )
− −
= − +
2 3
1 3 2
Xác đònh hàm truyền của hệ thống.
Giải.
Theo đề bài, ta có:
{ }
t t
dh t
G s e e
dt s s s s
( )
( )
( )( )
− −

ω
=
+ ω
2 2

ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 99

Tín hiệu ra của hệ thống là:
m
R
C s R s G s G s
s
( ) ( ) ( ) ( )
ω
 
= =
 
+ ω
 
2 2

Giả sử G(s) có n cực p
i
phân biệt thỏa
i
p j
≠ ± ω

1

Nếu hệ thống ổn đònh thì tất cả các cực p
i
đều có phần thực
âm (khái niệm ổn đònh sẽ nói rõ hơn trong chương 4). Khi đó:
i
n
p t
i
t
i
elim
→+∞
=
β =
∑
1
0

Do đó:
j t j t
xl
c t e e
( )
− ω ω
= α + α (3.6)
Nếu G(s) có cực bội thì ta cũng có thể chứng minh được đáp
ứng xác lập của hệ thống có dạng (3.6). Các hệ số
α

ω ω
α = − ω =
+ ω
2 2
2
(3.8)
Thay (3.7) và (3.8) vào (3.6), rút gọn biểu thức ta được:
xl m
c t R G j t G j
( ) ( ) sin( ( ))
= ω ω + ∠ ω
(3.9)
Biểu thức (3.9) cho thấy ở trạng thái xác lập tín hiệu ra của
hệ thống là tín hiệu hình sin, cùng tần số với tín hiệu vào, biên
độ tỉ lệ với biên độ tín hiệu vào (hệ số tỉ lệ là )(
ω
jG
) và lệch
pha so với tín hiệu vào (độ lệch pha là )(
ω
jG
∠
).
Đònh nghóa:

Đặc tính tần số của hệ thống là tỉ số giữa tín
hiệu ra ở trạng thái xác lập và tín hiệu vào hình sin.
C j
R j
( )

1
thì đặc
tính tần số của hệ thống là
j
G j
j j
( )
( )
( )
ω +
ω =
ω ω +
10 3
1
g
Tổng quát đặc tính tần số G(j
ω
) là một hàm phức nên có thể
biểu diễn dưới dạng đại số hoặc dạng cực:
j
G j P jQ M e
( )
( ) ( ) ( ) ( ).
ϕ ω
ω = ω + ω = ω (3.12)
trong đó:
P
(
ω
) là phần thực;

 
ϕ ω = ∠ ω =
 
ω
 
1
(3.14)
P M
( ) ( )cos ( )
ω = ω ϕ ω
 
 
(3.15)
Q M
( ) ( )sin ( )
ω = ω ϕ ω
 
 
(3.16)
Để biểu diễn đặc tính tần số một cách trực quan, ta có thể
dùng đồ thò. Có hai dạng đồ thò thường sử dụng:
1- Biểu đồ Bode
là hình vẽ gồm hai thành phần:
•
••
• Biểu đồ Bode biên độ:
đồ thò biểu diễn mối quan hệ giữa
logarith của đáp ứng biên độ L(
ω
) theo tần số

ω
) trong hệ tọa độ cực khi
ω
thay đổi từ
ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 101

0→∞. Nói cách khác đường cong Nyquist chính là tập hợp tất cả
các điểm ngọn của véctơ biểu diễn số phức G(j
ω
) (biên độ véctơ
là M(
ω
), góc của véctơ là
ϕ
(
ω
)) khi
ω
thay đổi từ 0→∞ (H.3.2b).
Mặc dù biểu diễn dưới hai dạng đồ thò khác nhau nhưng
thông tin có được về hệ thống từ biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist
là như nhau. Từ biểu đồ Bode ta có thể suy ra được biểu đồ
Nyquist và ngược lại.

Hình 3.2: Biểu diễn đặc tính tần số dùng đồ thò
a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist
CHƯƠNG 3

(3.18)
hay
c
L
( )
ω =
0
(3.19)
Tần số cắt pha

(
ω
−π
): là tần số tại đó pha của đặc tính tần số
bằng −π (hay −180
o
)
( )
−π
ϕ ω = − °
180
(3.20)
Độ dự trữ biên
(GM - Gain Margin)

GM
M
( )
−π
=

ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 103

3.2.1 Khâu tỉ lệ (khâu khuếch đại)
Hàm truyền:
G s K
( )
=
(K>0) (3.24)

Đặc tính thời gian:
C s G s R s KR s
( ) ( ) ( ) ( )
= =

c t Kr t
( ) ( )
= (3.25)
Vậy tín hiệu ra của khâu tỉ lệ bằng tín hiệu vào khuếch đại
lên K lần. Hình 3.3 mô tả hàm trọng lượng và hàm quá độ của
khâu tỉ lệ.
Hình 3.3 Đặc tính thời gian của khâu tỉ lệ
a) Hàm trọng lượng; b) Hàm quá độ
ω
, do đó biểu đồ Bode về biên độ là một đường
song song với trục hoành, cách trục hoành 20lgK; biểu đồ Bode về
pha là một đường nằm ngang trùng với trục hoành; biểu đồ
Nyquist là một điểm do véctơ G(j
ω
) không đổi với mọi
ω
. Xem
hình 3.4.
3.2.2 Khâu tích phân lý tưởng
Hàm truyền: G s
s
( )
=
1
(3.26)

Đặc tính thời gian:
R s
C s R s G s
s
( )
( ) ( ). ( )= =
Hàm trọng lượng:
{ }
g t G s t
s
( ) ( ) ( )
− −

L L (3.28)
Vậy hàm trọng lượng và hàm quá độ của khâu tích phân lý
tưởng tương ứng là hàm nấc đơn vò và hàm dốc đơn vò (H.3.5).
Một đặc điểm quan trọng cần quan tâm là hàm quá độ của khâu
tích phân lý tưởng tăng đến vô cùng.

Hình 3.5: Đặc tính thời gian của khâu tích phân lý tưởng
a) Hàm trọng lượng; b) Hàm quá độ
ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 105


Đặc tính tần số:
G j j
j
( )ω = = −
ω ω
1 1
(3.29)
Biên độ: M( )
ω =
ω
1
(3.30)
⇒ L M

0, phần ảo luôn luôn âm (H.3.6). Hình 3.6: Đặc tính tần số của khâu tích phân lý tưởng
a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist
3.2.3 Khâu vi phân lý tưởng
Hàm truyền:
G s s
( )
=
(3.33)

Đặc tính thời gian:
C s R s G s sR s
( ) ( ). ( ) ( )
= =
CHƯƠNG 3

106

Hàm quá độ:
{ }
G s
h t t
s
( )
( ) ( )
− −
 
= = = δ

ω = ω
(3.37)
⇒
L M
( ) lg ( ) lg
ω = ω = ω
20 20
(3.38)
Pha: ( )
ϕ ω = + °
90
(3.39)
Đặc tính tần số của khâu vi phân lý tưởng hoàn toàn trái
ngược so với khâu tích phân lý tưởng. Biểu đồ Bode về biên độ
của khâu vi phân lý tưởng là đường thẳng có độ dốc +20dB/dec,
biểu đồ Bode về pha là đường nằm ngang ( )
ϕ ω = + °
90
. Biểu đồ
Nyquist là nửa trên của trục tung do
)(
ω
jG
có phần thực bằng 0,
phần ảo luôn luôn dương (H.3.8).

Hình 3.8:
Đặc tính tần số của khâu vi phân lý tưởng
a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist


g t e t
Ts T
( ) ( )
−
−
 
= =
 
+
 
1
1 1
1
1
L
LL
L (3.41)
Hàm quá độ:
t
T
h t e t
s Ts
( ) ( ) ( )
( )
−
−
 
= = −
 
+

hằng của khâu quán tính bậc nhất chính là thời gian cần thiết để
hàm quá độ tăng lên bằng 63% giá trò xác lập (giá trò xác lập của
h(t) = 1). Một cách khác để xác đònh thời hằng T làø vẽ tiếp tuyến
với hàm quá độ tại gốc tọa độ, khoảng cách từ giao điểm của tiếp
tuyến này với đường nằm ngang có tung độ bằng 1 chính là T.
Hình 3.9: Đặc tính thời gian của khâu quán tính bậc nhất
a) Hàm trọng lượng; b) Hàm quá độ
CHƯƠNG 3

108


Đặc tính tần số:
Tj
G j
Tj
T
( )
− ω
ω = =
ω +
+ ω
2 2
1 1
1
1
(3.43)

= + =
   
+ ω + ω
   
+ ω
2 2
2 2 2 2
2 2
1 1
1 1
1
(3.44)
⇒ L M T( ) lg ( ) lg
ω = ω = − + ω
2 2
20 20 1 (3.45)
Pha:
Q
tg tg T
P
( )
( ) ( )
( )
− −
ω
 
ϕ ω = = − ω
 
ω
 

1
:
L T T
( ) lg lg
ω ≈ − ω = − ω
2 2
20 20 , do đó
ta vẽ gần đúng bằng đường thẳng có độ dốc –20dB/dec.
Như phân tích ở trên, ta thấy tại tần số 1/T độ dốc của các
đường tiệm cận thay đổi, biểu đồ Bode là một đường gấp khúc
nên tần số 1/T gọi là tần số gãy của khâu quán tính bậc nhất.
Thay giá trò
ω
vào biểu thức (3.46) ta vẽ được biểu đồ Bode về
pha. Để ý một số điểm đặc biệt như sau:
ω →
0
: ( )
ϕ ω →
0

T
/
ω =
1
: ( )
ϕ ω = − °
45

ω → ∞

( ) ( )
−ω
   
 
ω − + ω = − +
   
 
+ ω + ω
 
   
2 2
2
2
2 2 2 2
1 1 1
2 2
1 1

T T T T T
T T T T( ) ( ) ( )
 
− ω −ω − ω + ω ω
 
= + = + =
 
 
+ ω + ω + ω + ω
 
 
 

a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist
CHƯƠNG 3

110

3.2.5 Khâu vi phân bậc nhất
Hàm truyền:
G s Ts
( )
= +
1
(3.47)

Đặc tính thời gian:
C s R s G s R s Ts
( ) ( ). ( ) ( )( )
= = +
1

Hàm quá độ:
Ts
h t T t t
s
( )
( ) ( ) ( )
−
+
 
= = δ +
 


Đặc tính tần số:
G j Tj
( )
ω = ω+
1
(3.50)
Phần thực:
P
( )
ω =
1
(3.51)
Phần ảo:
Q T
( )
ω = ω
(3.52)
Biên độ: M P Q T
( ) ( ) ( ) ( )
ω = ω + ω = + ω
2 2 2 2
1

⇒
L M T( ) lg ( ) lg
ω = ω = + ω
2 2
20 20 1 (3.53)
Pha:

nên biểu đồ Nyquist của khâu vi phân bậc nhất là nửa đường
thẳng qua điểm có hoành độ bằng 1 và song song với trục tung
như hình 3.12b.
Hình 3.11:
Hàm quá độ của khâu
vi phân bậc nhất

ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 111Hình 3.12: Đặc tính tần số của khâu vi phân bậc nhất
a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist
3.2.6 Khâu dao động bậc hai
Hàm truyền:
G s
T s Ts
( )
=
+ ξ +
2 2
1
2 1
(
< ξ <
0 1
) (3.55)
hay

2 2
2

Hàm trọng lượng:
n
n n
g t
s s
( )
−
 
ω
 
=
 
+ ξω + ω
 
 
2
1
2 2
2
L
LL
L⇒

n

 
ω
 
=
 
+ ξω + ω
 
 
2
1
2 2
1
2
L
LL
L⇒

n
t
n
e
h t t( ) sin ( )
−ξω
 
= − ω − ξ + θ
 
 

n,
do đó
ω
n
gọi là tần số dao
động tự nhiên của khâu dao động bậc hai.
- Nếu
:
< ξ <
0 1
đáp ứng của hệ là dao động với biên độ giảm
dần,
ξ
càng lớn dao động suy giảm càng nhanh, do đó
ξ
gọi là hệ
số tắt (hay hệ số suy giảm). Hình 3.13: Đặc tính thời gian của khâu dao động bậc hai
a) Hàm trọng lượng; b) Hàm quá độ

Đặc tính tần số: G j
T Tj
( )
ω =
− ω + ξ ω +
2 2
1
2 1

 
− ω
 
1
2 2
2
1
(3.62)
Biểu thức (3.61)

cho thấy biểu đồ Bode biên độ của khâu dao
động bậc hai là một đường cong. Tương tự như đã làm đối với
khâu quán tính bậc nhất, ta có thể vẽ gần đúng biểu đồ Bode
biên độ bằng các đường tiệm cận như sau:
- Nếu
T
/1
<
ω
⇔
1
<
T
ω
thì
L( ) lg
ω ≈ − =
20 1 0
, do đó ta có
thể vẽ gần đúng bằng đường thẳng nằm trên trục hoành (độ dốc

đặc biệt sau đây:

ω →
0
:
( )
ϕ ω →
0T
ω =
1
:
( )
ϕ ω = − °
90ω → ∞
:
( )
ϕ ω → − °
180

Hình 3.14a minh họa biểu đồ Bode của khâu dao động bậc
hai. Các đường cong ở biểu đồ Bode biên độ chính là đường
L
(
ω

0 thì
G
(
j
ω
) có biên độ
bằng 1, pha bằng 0; khi
ω

→

∞
thì
G
(
j
ω
) có biên độ bằng 0, pha
bằng –180
o
. Giao điểm của đường cong Nyquist với trục tung có
G j
( )
∠ ω = − °
90
, do đó tương ứng với tần số
T
/
ω =
1

( ) ( ). ( ) ( )
−
= =

Hàm trọng lượng:
{
}
Ts
g t e t T
( ) ( )
− −
= = δ −
1
L
LL
L
(3.64)
Hàm quá độ:
Ts
e
h t t T
s
( ) ( )
−
−
 
 
= = −
 
 

1⇒

L M
( ) lg ( ) lg
ω = ω = − =
20 20 1 0
(3.67)
Pha:
G j T
( ) ( )
ϕ ω = ∠ ω = − ω
(3.68)
Biểu đồ Bode biên độ của khâu trì hoãn là đường thẳng nằm
ngang trùng với trục hoành do
L
(
ω
) = 0 với mọi
ω
. Để ý rằng biểu
thức (3.68) là phương trình của một đường thẳng nếu trục hoành
ω

chia theo thang tuyến tính. Tuy nhiên do trục hoành của biểu
đồ Bode lại chia theo thang logarith nên biểu đồ Bode về pha của
khâu trì hoãn là đường cong dạng hàm mũ, xem hình 3.16a.
Do