CHƯƠNG 3

116

3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG
3.3.1 Đặc tính thời gian của hệ thống
Xét hệ thống có hàm truyền:
m m
o m m
n n
o n n
b s b s b s b
G s
a s a s a s a
( )
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
1
1 1
1
1 1
L
L
(3.69)
Biến đổi Laplace của hàm quá độ là:
m m

thống có thể có các dạng khác nhau. Tuy vậy chúng ta có thể rút
ra một số kết luận quan trọng sau đây:

Nếu
G
(
s
) không có khâu tích phân, vi phân lý tưởng thì
hàm trọng lượng suy giảm về 0, hàm quá độ có giá trò xác lập
khác 0.

m m
o m m
n n
s s
o n n
b s b s b s b
g sG s s
a s a s a s a
( ) lim ( ) lim
−
−
−
→ →
−
 
+ + + +
∞ = = =
 
 

 
 
+ + + +
 
1
1 1
1
0 0
1 1
1
0
L
L


Nếu
G
(
s
) có khâu tích phân lý tưởng (
n
a
=
0
) thì hàm trọng
lượng có giá trò xác lập khác 0, hàm quá độ tăng đến vô cùng.
m m
o m m m
n n
s s

∞=








+++
++++
==∞
−
−
−
−
→→
sasasa
bsbsbsb
s
sssHh
n
nn
mm
mm
ss
1
1
10
1

a s a s a s a
( ) lim ( ) lim .
−
−
−
→ →
−
 
+ + +
∞ = = =
 
 
+ + + +
 
1
1 1
1
0 0
1 1
1
0
L
L

ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 117



 
 
+ + + +
 
1
1 1
1
1 1
1
0 0
L
L


Nếu
G
(
s
) là hệ thống hợp thức chặt (
n
m
<
) thì
g
(0)=0.

m m
o m m
n n
s s

) không có khâu tích phân, vi phân lý tưởng và có
n
cực phân biệt,
H
(
s
) có thể phân tích dưới dạng:
n
o i
i
i
h h
H s
s s p
( )
=
= +
−
∑
1
(3.71)
Biến đổi Laplace ngược biểu thức (3.71) ta được hàm quá độ
của hệ thống là:
i
n
p t
o i
i
h t h he
( )

i
G s G s
( ) ( )
=
=
∏
1
(3.73)
CHƯƠNG 3

118

Đặc tính tần số của hệ thống là:
l
i
i
G j G j
( ) ( )
=
ω = ω
∏
1
(3.74)
Biên độ:


l l
i i
i i
M G j G j G j

ω = ω = ω = ω
∑
∏
1
1
20 20 20
⇒

∑
=
=
l
i
i
LL
1
)()(
ωω
(3.76)
Biểu thức (3.76) cho thấy
biểu đồ Bode biên độ của hệ thống
bằng tổng các biểu đồ Bode biên độ của các khâu cơ bản thành
phần.
Pha:
l
l
i i
i
i
G j G j G j

đường tiệm cận như sau:
Phương pháp vẽ biểu đồ Bode biên độ bằng các đường tiệm cận
Giả sử hàm truyền của hệ thống có dạng:
i
G s K G s
( ) ( )
=
∏

ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 119

Bước 1:
Xác đònh tất cả các tần số gãy
i
i
T
ω =
1
, và sắp xếp
theo thứ tự tăng dần:
ω < ω < ω
1 2 3
K

Bước 2:
Nếu tất cả các tần số
1

) nếu
G
(
s
) có
α
khâu tích phân lý tưởng

(+ 20
dB
/
dec

×

α
) nếu
G
(
s
) có
α
khâu vi phân lý tưởng
Đường thẳng này kéo dài đến tần số gãy kế tiếp
Bước 4:
Tại tần số gãy
i
i
T
ω =

là tần số gãy của khâu vi phân
bậc một.

(
−
40
dB
/
dec

×

β
) nếu
i
ω
là tần số gãy của khâu dao động
bậc hai.

(+40
dB
/
dec

×

β
) nếu
i
ω

+
100 0 1 1
0 01 1

Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, hãy xác đònh tần số cắt biên
của hệ thống.
CHƯƠNG 3

120

Giải.
Các tần số gãy:
T ,
ω = = =
1
1
1 1
10
0 1
(
rad
/
sec
)
T ,
ω = = =
2
2
1 1
100

Hãy xác đònh hàm truyền của hệ thống, biết rằng biểu
đồ Bode biên độ gần đúng của hệ thống có dạng như hình 3.18. Hình 3.18: Biểu đồ Bode biên độ của hệ thống ở ví dụ 3.5
ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 121

Giải:

Hệ thống có bốn tần số gãy
ω
1
,
ω
2
,

ω
3
,
ω
4
.

Dựa vào sự thay đổi
độ dốc của biểu đồ Bode, ta thấy hàm truyền của hệ thống phải có
dạng:



lg
ω = −
1
1

⇒

,
ω =
1
0 1

⇒

T
=
1
10


Độ dốc đoạn
BC
là –20dB/dec, mà từ điểm
B
đến điểm
C

biên độ của biểu đồ Bode giảm 40dB (từ 34dB giảm xuống –6dB),

3
2

⇒

ω =
3
100

⇒

T
,
=
3
0 01


Độ dốc đoạn
DE
là +40dB/dec, mà từ điểm
D
đến điểm
E

biên độ của biểu đồ Bode tăng 60dB (từ –6dB tăng lên +54dB), do
đó từ
D
đến
E

2
2
50 0 1 1 0 01 1
10 1 0 003 1

g

3.4 TÓM TẮT
Chương này trình bày khái niệm đặc tính động học của hệ
thống tự động, bao gồm đặc tính thời gian và đặc tính tần số.
Đặc tính động học của các khâu cơ bản được khảo sát và cách xây
dựng đặc tính động học của hệ thống đã được đề cập đến. Kỹ sư
điều khiển phải nắm vững đặc tính động học của các khâu cơ bản
và cách xây dựng đặc tính động học của hệ thống mới có thể giải
quyết tốt bài toán thiết kế hệ thống tự động sẽ trình bày trong
các chương sau.
CHƯƠNG 3

122

Phụ lục: KHẢO SÁT ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC
CỦA HỆ THỐNG DÙNG MATLAB
Control Toolbox 5.0 hỗ trợ đầy đủ các lệnh khảo sát đặc tính
động của hệ thống, cú pháp các lệnh rất gợi nhớ nên rất dễ sử
dụng.

Vẽ đáp ứng xung: lệnh
impulse



s^2 + 4 s + 30
>> impulse(G)
>> step(G)
>> bode(G)
>> nyquist(G) ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 123
Để tạo sự tiện ích cho người dùng, Control Toolbox 5.0 hỗ
trợ giao diện khảo sát đặc tính động học
LTIViewer
(lệnh
ltiview
). LTIViewer cho phép khảo sát đặc tính động học của
nhiều hệ thống tuyến tính bất biến cùng lúc, và đối với mỗi hệ
thống có thể vẽ được tất cả các dạng đặc tính động học. Hình
dưới đây là đặc tính động học của hệ thống đã xét ở ví dụ trên
được vẽ trong cửa sổ LTIViewer. Do có thể vẽ được tất cả các đặc
tính động học trên cùng một cửa sổ, người sử dụng có thể dễ
dàng nhận thấy được mối liên hệ giữa các dạng đặc tính động
học: đáp ứng xung là đạo hàm của đáp ứng nấc, đỉnh cộng hưởng
trên biểu đồ Bode biên độ càng cao thì độ vọt lố trên đáp ứng nấc
càng cao, sự liên hệ giữa biểu đồ Bode và biểu đồ Nyquist, …
Hướng dẫn chi tiết cách sử dụng lệnh

và không ổn đònh. Trên hình 4.1 nếu thay đổi nhỏ trạng thái cân
bằng của quả cầu, chẳng hạn cho nó một vận tốc ban đầu đủ bé
thì quả cầu sẽ tiến tới một trạng thái cân bằng mới (Hình 4.1a),
hoặc sẽ dao động quanh vò trí cân bằng (Hình 4.1b và d), hoặc sẽ
không trở về trạng thái ban đầu (Hình 4.1c). Trong trường hợp
đầu, ta có vò trí cân bằng ở biên giới ổn đònh, trường hợp sau là
ổn đònh và trường hợp thứ ba là không ổn đònh. Cũng ở vò trí b
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 125

và d trên hình 4.1, nếu quả cầu với độ lệch ban đầu là lớn thì
cũng sẽ không trở về trạng thái cân bằng ban đầu được - Hai
trạng thái b và d của quả cầu chỉ ổn đònh trong phạm vò hẹp mà
không ổn đònh trong phạm vi rộng. Hình 4.1

Trong trường hợp này việc khảo sát tính ổn đònh được giới
hạn cho các hệ tuyến tính bất biến theo thời gian. Đó là những
hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số
hằng và có thể áp dụng được nguyên lý xếp chồng.
4.1.2 Ổn đònh của hệ tuyến tính
Một hệ thống ĐKTĐ được biểu diễn bằng một phương trình
vi phân dạng tổng quát:
a
o
( )

m
d r t
dt
−
−
+ + b
m
r(t)
(4.1)
Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống là
r(t)
và tín
hiệu ra
c(t)
. Hàm truyền đạt của hệ thống được mô tả bằng (4.1)
có dạng:
G(s)
=
C s
R s
( )
( )
=
m m r
o m
n n
o n
b s b s b
a s a s a


(t)
- là nghiệm tổng quát của (4.1) không có vế phải, đặc
trưng cho quá trình quá độ.
CHƯƠNG 4

126

Dạng nghiệm tổng quát đặc trưng cho quá trình quá độ trong
hệ thống:
c
qđ
(t)
=
1
=
λ
∑
n
i
i
pit
e
(4.4)
trong đó
p
i
là nghiệm của phương trình đặc tính:
A(s)
=
n n

B(s)
= 0. Tử số hàm truyền
đạt G(s) là đa thức bậc
m
(
m
<
n
) nên hệ thống có
m
nghiệm zero
-
z
j
với
j
= 1, 2, ,
m

Hệ thống ổn đònh nếu:
t
lim
→∞

c
qđ
(t)
= 0 (4.6)
Hệ thống không ổn đònh nếu:
t
Phân biệt ba trường hợp phân bố cực trên mặt phẳng phức
số (H.4.2):
1- Phần thực của nghiệm cực dương
α
i
> 0
2- Phần thực của nghiệm cực bằng không
α
i
= 0
3- Phần thực của nghiệm cực âm
α
i
< 0
Ổn đònh của hệ thống chỉ phụ thuộc vào nghiệm cực mà
không phụ thuộc vào nghiệm zero, do đó mẫu số hàm truyền đạt
t
lim
→∞
λ
pit
e
i
=

0 nếu
α
i
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 127

là A(s) = 0 được gọi là phương trình đặc tính hay phương trình
đặc trưng của hệ thống.

Hình 4.2: Phân bố cực trên mặt phẳng S
Kết luận:
1- Hệ thống ổn đònh nếu tất cả nghiệm của phương trình đặc
tính đều có phần thực âm: Re{
p
i
} < 0,
α
i
< 0 các nghiệm nằm bên
trái mặt phẳng phức:
A(s) =
n n
o n
a s a s a

−
+ + +
1
1


s s s
+ − + =
3 2
3 2 1 0
không ổn đònh


s s s
+ + + =
4 2
2 5 3 0
không ổn đònh


s s s s
+ + + + =
4 3 2
4 5 2 1 0
chưa kết luận được
g

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn đònh Routh
Cho hệ thống có phương trình đặc trưng
n n
o n n
a s a s a s a
−
−
+ + + + =

2 1 1 1

với
i
i
i
c
c
,
,
−
−
α =
2 1
1 1 s
n

o
c a
=
11

c a
=
12 2

c a

α =
11
3
21

s
n–2

c c c
= −α
31 12 3 22

c c c
= − α
32 13 3 23

c c c
= − α
33 14 3 24

c c c
= − α
34 15 3 25

…
c
c
α =
21
4

−
−
α =
2 1
1 1

s
0

,
n n
c c
−
= −
1 2 2

,
n n
c
−
α
1 2
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 129


α =
3
1
4

s
2

.
− =
1 9
5 2
4 2

1
α =
4
8
9

s
1

.
− =
8 10
2 1
9 9

0

=
+ + +
2
50
3 5

H s
s
( )
=
+
1
2

CHƯƠNG 4

130

Giải.
Phương trình đặc trưng của hệ thống là

G s H s
( ) ( )
+ ⋅ =
1 0

⇔

s
s s s s


1 16 30 s
4

6 31 50

α =
3
1
6

s
3

,
− ⋅ =
1
16 31 10 83
6

,
− ⋅ =
1
30 50 21 67
6

0

− × = −
10 83
21 67 50 6 84
18 99

0 s
0

50 Vì các phần tử ở cột 1 bảng Routh đổi dấu hai lần nên
phương trình đặc tính đều có hai nghiệm nằm bên phải mặt
phẳng phức, do đó
hệ thống không ổn đònh.
g
Ví dụ 4.3.

Cho hệ thống có sơ đồ khối như sau
K
G s
s s s s
( )
( )( )

+ + + + =
4 3 2
3 3 2 0

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 131

Bảng Routh

s
4

1 3
K s
3

3 2 0

α =
3
1
3

s
2

Điều kiện để hệ thống ổn đònh
K
K

− >



>

9
2 0
7
0

⇔

K
< <
14
0
9

g

Các

trường hợp đặc biệt



α =
3
1
2

s
2

− ⋅ =
1
4 8 0
2

3
⇒
s
2

ε > 0 3

α =
ε
4
2

s
1

− ⋅ <
ε

- Thay hàng có tất cả các hệ số bằng 0 bởi một hàng khác có
các hệ số chính là các hệ số của
p
dA s
ds
( )
. Sau đó quá trình tính
toán tiếp tục.
Chú ý:
Nghiệm của đa thức phụ
A
p
(s)

cũng chính là nghiệm
của phương trình đặc trưng.

Ví dụ 4.5.

Xét tính ổn đònh của hệ thống có phương trình đặc
trưng:
5 4 3 2
4 8 8 7 4 0
+ + + + + =
s s s s s

Xác đònh số nghiệm của phương trình đặc tính nằm bên trái,
bên phải hay trên trục ảo của mặt phẳng phức.
Giải
Bảng Routh

0

α =
4
4
6

s
2

− × =
4
8 6 4
6

4
α =
5
6
4

s
1

− × =
6
6 4 0
4

0

8 0
= +
p
dA s
s
ds
( )

Nghiệm của đa thức phụ (cũng chính là nghiệm của phương
trình đặc trưng)
2
4 4 0
= + =
p
A s s( )

⇔

s j
= ±

Kết luận
- Các hệ số cột 1 bảng Routh không đổi dấu nên phương
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 133

trình đặc trưng không có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức.
- Phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm trên trục ảo.

1
đến
a
n
.
-
Hàng lẻ

của ma trận Hurwitz gồm

các hệ số có chỉ số lẻ

theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm dần nếu
ở bên trái đường chéo.
-
Hàng chẵn
của ma trận Hurwitz gồm
các hệ số có chỉ số
chẵn
theo thứ tự tăng dần nếu ở bên phải đường chéo và giảm
dần nếu ở bên trái đường chéo.
o
o
n
a a a a
a a a a
a a a
a a a
a
 

s s s
+ + + =
3 2
4 3 2 0

Hỏi hệ thống có ổn đònh không?
Giải.
Ma trận Hurwitz
CHƯƠNG 4

134

o
a a
a a
a a
   
   
=
   
   
   
1 3
2
1 3
0 4 2 0
0 1 3 0
0 0 4 2

Các đònh thức

0
4 2
0 2 2 10 20
1 3
0

Vì tất cả các đònh thức con chứa đường chéo của ma trận
Hurwitz đều dương nên hệ thống ổn đònh.
g

4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ
4.3.1 Khái niệm
- Xét hệ thống có phương trình đặc tính
s s K
+ + =
2
4 0
(4.10)
- Nghiệm của phương trình đặc tính ứng với các giá trò khác
nhau của
KK
=
0
:
s
=
1

,
= −
1
0 586
,
s
,
= −
2
3 414K
=
3
:
s
= −
1
1
,
s
= −
2
3K
=
4

:
s j
,
= − +
1
2 1 414
,
s j
,
= − −
2
2 1 414K
=
7
:
s j
,
= − +
1
2 1 732
,
s j
,
= − −
2
2 1 732