Chương 4
HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
$1. Các hàm số sơ cấp cơ bản
$2. Giới hạn của hàm số
$3. Hàm số liên tục
$1. CC HM S S C P C B N :
1). Haứm soỏ luừy thửứa y = x

,



R
2). Haứm soỏ muừ y = a
x
, a > 0 vaứ a

1
( a goùi laứ cụ soỏ )
$1. CÁC HÀM S S C P C B N :Ố Ơ Ấ Ơ Ả
3). Hàm số logarit y = log
a
x , a > 0 và a
≠
1 :
( a gọi là cơ số )

Là hàm ngược của hàm số mũ y = a
x
.


=

22
sin

y
yx




=
11
arccos
x
xy




=
11
arcsin
x
xy




=

⇔
π
y
gyx
0
cot
$1. CÁC HÀM S S C P C B N :Ố Ơ Ấ Ơ Ả
* Ghi nhớ :
Hàm số có được từ các hàm số sơ cấp
cơ bản, bằng cách thực hiện một số hữu
hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia
và phép lấy hàm hợp là hàm số sơ cấp.
$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố
2.1 Giới hạn của hàm số tại 1 điểm :
1). Đònh nghóa 1 :
Cho hàm số f(x) xác đònh trong 1 lân
cận của x
0
(có thể trừ điểm x
0
).
Số thực a được gọi là giới hạn của hàm
số f(x) khi x
→
x
0
, nếu :

∀ε
> 0,

0
từ bên trái (tức x < x
0
),
ta có giới hạn trái :
Ký hiệu :

Nếu khi x
→
x
0
từ bên phải (tức x > x
0
),
ta có giới hạn phải :
Ký hiệu :
axf
xx
=
−
→
)(lim
0
axf
xx
=
+
→
)(lim
0

0
xf
xx
+


axf
xx
==


)(lim
0
$2. GI I H N C A HM S :
2.2 Caực giụựi haùn cụ baỷn :
1
sin
lim
0
=

x
x
x
1).
1lim
0
=

x

$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố

1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
4).
ln
1
lim
0
a
x
a
x
x
=
−
→
1a0 vôùi , ≠<=
+
→
ax



+
∞→
1
1lim 5).
( )
R∈=
−+
→
αα
α
vôùi ; 6).
x
x
x
11
lim
0
( )
ex
x
x
=+
→
1
1lim
0
$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố
* Ghi nhớ :

x
xx
α
α
$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố
Ví duï 1 : Tìm
Ví duï 2 : Tìm
)41ln(
1
lim
2
0
x
e
x
x
−
−
→
2
0
cos
lim
2
x
xe
x
x
−
→

trong phân thức có chứa dấu căn.
)(
)(
lim
xQ
xP
x ∞→
) dạng (
∞
∞
BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
Baøi 2.1 : Tìm giôùi haïn :
12
1
lim).1
23
23
+−
+++
∞→
xx
xxx
x

18
1
lim).2
23
4
+++

Ta phaõn tớch P(x) vaứ Q(x) thaứnh nhaõn
tửỷ, trong ủoự coự nhaõn tửỷ chung laứ x a.
)(
)(
lim
xQ
xP
ax
) daùng (
0
0
BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
Baøi 2.2 : Tìm giôùi haïn :
6
23
lim).3
2
23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x

34
1
lim).1
2

→
xx
xx
x

BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
3). Khi gặp biểu thức có chứa dấu căn,
ta có thể nhân với lượng liên hợp để khử
căn, đồng thời cũng khử được dạng vô
đònh hoặc có thể sử dụng công thức (6) :
) hoặc dạng ( ∞−∞
0
0
Baøi 2.3 : Tìm giôùi haïn :
1
1
lim).1
2
1
−
−
→
x
x
x

1
1
lim).2
2


Baøi 2.4 : Tìm giôùi haïn :






−−+
+∞→
xxxx
x
22
lim).1






−−
+∞→
xxx
x
2lim).2
2

BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố



x
0
thì u(x)
→
1
và v(x)
→

∞
[ ]
)(.1)(lim
)(
0
0
)(lim
xvxu
xv
xx
xx
exu
−
→
→
=
Baøi 2.5 : Tìm giôùi haïn :
( )
xg
x
x
π





+
−
x
x
x
x
x

x
x
x
tgx
sin
1
0
sin1
1
lim).4






+
+