1
CHƯƠNG 1: GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

1.1. Giới hạn hàm số
1.1.1. Bổ túc về hàm số
1. Định nghĩa. Cho

 D  R, mỗi ánh xạ f : D  R được gọi là một hàm số
một biến số thực.
f : D  R
x
 y = f(x)
 D : miền xác định



() | : ()
f
DyRxDyfx  : miền giá trị
 x: biến số hay đối số
 y = f(x) giá trị của hàm số f tại x
Ví dụ.

a. Cho hàm số : f: X  R
x
 y =
2
4
2
x
x

 Bị chặn dưới trên D, nếu
N

sao cho () ,
f
xNxD.
Ví dụ. Hàm số f(x) = sinx hay f(x) = cosx bị chặn trên R.
b. Hàm đơn điệu
Cho hàm số f(x) xác định trên D. Ta nói hàm số f(x) là:
 Đơn điệu tăng nếu
12 1 2
() ()
x
xfxfx

.
 Đơn điệu giảm nếu
12 1 2
() ()
x
xfxfx

.
Hàm đơn điệu tăng hay giảm gọi chung là hàm số đơn điệu.
2
c. Hàm số chẳn, lẽ
Tập con
DR
được gọi là đối xứng nếu
x

Được gọi là hàm hợp của hai hàm f và g, kí hiệu:
hgf  .
Ví dụ:
Cho hai hàm số f(x) = x
2
và () 1gx x

 . Khi đó:
22
()()(())()1gfx gfx gx x


()()(())(1)1
f
gx fgx f x x


b. Hàm ngược
Cho hàm số
:
f
XY là một song ánh. Khi đó tồn tại hàm số
1
:
f
YX


Xác định như sau: với mỗi
y

. Trên đoạn này hàm sinx đơn điệu tăng
thật sự từ -1 đến 1 nên tồn tại hàm ngược, kí hiệu là
arcsinyx

.
4. Hàm số sơ cấp:
 Hàm số sơ cấp cơ bản
:
a. Hàm lũy thừa : y =
x


y =
2
1
xx  , y = x , y = x
2
…
Miền xác định tùy thuộc

. Nếu N


thì MXĐ là R, nếu

vô tỷ thì
MXĐ là (0; +
 )
b. Hàm số mũ : y = a
x


, y = chx =
2
x
x
ee



y = thx =
shx
chx
=
x
x
x
x
ee
ee




, y = cothx =
chx
shx
=
x
x
x




1
0
1

1.1.2. Giới hạn của hàm số
Bổ sung :

 Khoảng
: (a,b) = x  R/ a < x < b
 Đoạn
: [a,b] = x  R / a  x  b
 Nửa khoảng
( hay nửa đoạn )
 (a,b] = x  R / a < x  b
 Lân cận
: Cho x
o
 R và

> 0, khoảng ( x
o
-

, x
o
+




 x-x
o
 <


1. Định nghĩa
Khi x < 0
Khi x = 0
Khi x > 0
4
Cho hàm số f(x) xác định trong lân cận của x
o
. Số L được gọi là giới hạn
của hàm số f(x) khi x tiến đến x
o
nếu :


> 0 , 

>0 :  x-x
o
 <

 ()
f
xL


x
x

Tìm miền xác định của f và chứng minh rằng
4)(lim
2


xf
x

3. Các tính chất của giới hạn
 Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x  x
o
thì tổng, hiệu ,
tích,thương của chúng cũng có giới hạn khi x  x
o
và:
lim
o
x
x
[ f(x)  g(x) ] = lim
o
x
x
f(x)  lim
o
x
x

x
gx


(
lim
o
x
x
g(x)  0)
 Nếu f(x)  g(x) với mọi x thuộc lân cận của x
o
thì lim
o
x
x
f(x)  lim
o
x
x
g(x)
 Nếu f(x)  g(x)  h(x) với mọi x thuộc lân cận của x
o
và
 Nếu
lim
o
x
x
f(x) = lim

 Số L được gọi là giới hạn trái của hàm số f(x) khi x tiến đến x
o
từ bên trái
(x  x
o
-
) nếu với mọi

>0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại

> 0sao cho:
0< x
o
– x <

 | f(x) – L | <


5
Ký hiệu Lxf
o
xx



)(lim
 Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f(x) khi x tiến đến x
o
từ bên
phải (x  x

lim
o
x
x
f(x) tồn tại

)(lim
0
xf
xx


= )(lim
0
xf
xx

Ví dụ Tìm giới hạn của hàm số f(x) =
x
x
khi x  0
Hàm số không xác định tại x = 0, ta thấy :
Vậy



)(lim xf

>0 cho trước nhỏ tùy ý, luôn luôn tồn tại M > 0 sao cho với mọi
x mà x > M ta có
f(x) - L <

.
Ký hiệu
Lxf
x


)(lim
b. Ví dụ
Ví dụ 1
: Chứng minh rằng
x
x
1
lim

= 0
Ví dụ 2
:Tìm
243
12
lim
2
2






2
5
lim
2
x
x

1.1.4. Dạng vô định của giới hạn hàm số
1. Dạng vô định
0
0

a) Định nghĩa. Nếu
0
lim ( ) 0
xx
fx


và
0
lim ( ) 0
xx
gx


thì:
0



,
3
8
92 5
lim
2
x
x
x




,
2
0
ln( os )
lim
ln(1 )
x
cx
x


.
Cách khử dạng vô dịnh
0
0

x
x
x




Bước 1
: Khử căn bằng cách nhân tử và mẫu với lượng liên hợp ta có: 44 4
12 3 (12 3)(12 3)( 2) (12 9)( 2)
lim lim lim
2 ( 2)( 1 2 3)( 2) ( 4)( 1 2 3)
xx x
xxxxxx
xxxxxx
 
     

     

Bước 2
: Áp dụng CT trên

444
(1 2 9)( 2) 2( 4)( 2) 2( 2) 4
lim lim lim
3

5
(2) (8)(925)(2) 925
xx x
x x xx xx
xxxx x
 
   

 

TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa các hàm lượng giác, mũ, logarith, hàm ngược. Áp
dụng các giới hạn cơ bản sau, trong đó nếu
0x  , thì
() 0ux

7
1.
0
sin ( )
lim 1
()
x
ux
ux


2.
0
()
lim 1

lim 1
()
ux
x
e
ux




6.
0
ln(1 ( ))
lim 1
()
x
ux
ux




Ví dụ Tính các giới hạn
a.
00
sin 2 2sin 2 2
lim lim
33.23
xx
xx

0
lim ( )
xx
gx



thì:
0
()
lim
()
xx
f
x
gx

được gọi
là có dạng vô định


.
b. Ví dụ:
2
2
21
lim
321
x
xx

2
22
2
2
22
31 31
(1 ) 1
31 1
lim lim lim
52 52
352 3
(3 ) 3
xx x
x
xx
xx xx
xx
x
xx xx
  
 



 
.
b.
2
3
22

xx
x
x
xx
x
x
x
 









8
TH2. Nếu f(x), g(x) có chứa hàm mũ thì ta đặt biểu thức mũ có cơ số lớn nhất làm
thừa số chung rồi đơn giản để tính giới hạn
Ví dụ Tính các giới hạn
a.
23
41
44
234 1
lim lim
232.4 2
23
42

3
51
53 1
5
lim lim
4
2.5 4 2
52
5
x
x
x
x
xx
x
x
 











.
3. Dạng vô định



22
lim 2 2
x
x
xx x

  ,
2
1
15
lim
11
x
xx







.
Cách khử dạng vô dịnh


TH1.
Nếu f(x), g(x) là các hàm hữu tỷ thì ta quy đồng mẫu số rồi đưa giới hạn về
dạng



22
22
1
lim 2 lim lim
2
21
22
11
xxx
xx
xxxx
xxxx
x
xx
  
   

 
 



.
b.





1


a. Định nghĩa: Nếu
0
lim ( ) 1
xx
fx


và
0
lim ( )
xx
gx


 thì:


0
()
lim ( )
g
x
xx
fx

được gọi
là có dạng vô định



Áp dụng giới hạn của số
1
()
0
lim(1 ( )) , 0
ux
x
euxx


 thì () 0ux .
Ví dụ Tính các giới hạn
a.
13
44 4
12
31
lim
12
1
23 3
lim lim 1 lim 1 .
111
x
x
xx x
x
x

00
lim 1 sinx lim 1 ( sinx) 0
x
x
xx
xx
ee






 .

1.1.5. Vô cùng lớn, vô cùng bé – Khử dạng vô định:
1. Vô cùng bé
a. Định nghĩa
Hàm f(x) được gọi là một vô cùng bé (VCB) khi x  x
o
nếu
o
xx
lim f(x)= 0
Ví dụ:
Các hàm số x, x + 2x
2
, sinx, tgx, là các VCB khi 0x  .

b. Vô cùng bé tương đương


nên 1
x
ex  khi
0x 
.
10
Vì
2
2
2
00
sin
1cos 1
2
lim lim
2
2
2
xx
x
x
x
x







x
x 

1
111
nn
nn
ax a x ax ax



c. Ứng dụng vô cùng bé tính giới hạn
Nhận xét. Nếu các VCB
11
() (); () ()
f
xfxgxgx khi
0
x
x thì
00
1
1
()
()
lim lim
() ()
xx xx
f
x

2 , khi 0xxx x

 nên
4
2
45 4
(1 cos ) 1
4
lim lim
24
xx
x
x
xx x
 



.

b.
2
23 3
0
ln(1 )
lim
2sin
x
tgx
x

nếu
o
xx
lim |f(x)|= 
11
Ví dụ: Các hàm số x, x + 2x
2
là các VCL khi
x

.

b. Vô cùng lớn tương đương
Hai vô cùng lớn f(x) và g(x) được gọi là tương đương khi
0
x
x , kí hiệu
() ()
f
xgx khi
0
x
x nếu
0
()
lim 1
()
xx
fx
gx

x
x



nên
5425
x
xx

khi
x
.
Theo định nghĩa ta có các VCL tương đương quan trọng sau khi
x


()
xx x
ab aab

1
110
nn n
nn n
ax a x ax a ax



c. Ứng dụng vô cùng lớn tính giới hạn

xx
xxx x
xxx x






b.
2.4 3 2 2.4
lim lim 2
421 4
xx x
xx x
xx 



1.2. Hàm số liên tục
1.2.1. Hàm số liên tục tại một điểm
a. Định nghĩa. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại x
o
nếu
)()(lim
o
xx

(0) 0f 
0
1
lim ( ) lim .sin 0
o
xx x
fx x
x


(vì
0
lim 0
x
x


và
1
sin
x
là hàm số bị chặn).
12
Do lim ( ) (0)
o
xx
f
xf

 nên f(x) liên tục tại x = 0.

ex
fx
xa x








Tìm a để f(x) liên tục tại
0
0x

.
Giải
Ta có: (0)
f
a và
0
lim ( ) lim 1
o
x
xx
x
fx e




 f(x) liên tục trên đoạn [a,b]

f(x) liên tục bên phải tại a
f(x) liên tục bên trái tại b
b. Định lý. Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trong những khoảng mà hàm số
đó xác định
Ví dụ
a. Cho hàm số:
3
2
1
, khi 0
()
ln(1 )
0, khi 0
x
e
x
fx
x
x










lim ( ) lim lim 0 (0)
ln(1 )
o
x
xx x x
ex
f
xf
xx
 


Do đó hàm số liên tục tại
0
0x  . Vậy f(x) liên tục trên R.
b. Cho hàm số:
3
2
2
242
, khi 2
()
4
ax +1, khi 2
x
x
fx

 Với
2x 
,
2
() ax 1fx

 liên tục vì là hàm sơ cấp.
 Chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại
2x


Ta có:
(2) 4 1
f
a và
3
2
2
3
22
3
2
3
2
3
242 24
lim ( ) lim lim
4
(2)(2)((24)2244)
21

xa




Ta thấy hàm số liên tục trái tại x = 2. Để hàm số liên tục phải tại x = 2 thì

13
41
416
aa  
.
Vậy với
3
16
a 
thì f(x) liên tục tại x = 2, hay f(x) liên tục trên R.
1.2.4. Điểm gián đoạn
 Định nghĩa.
x
o
gọi là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu f(x) không liên
tục tại x
o
.
 Phân Loại .

Loại 1 :
)(lim
0




nên x
= 0 là điểm gián đoạn loại II của hàm số.
14
Ý nghĩa hình học
Nếu hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a,b] thì đồ thị của nó là một đường liền nối
từ điềm A(a,f(a)) đến B(b,f(b)) 1.2.5. Định Lý
Nếu f(x) và g(x) liên tục tại x
o
thì các hàm f(x)  g(x) , f(x).g(x),
)(
)(
xg
xf

(g(x)0) cũng liên tục tại x
o
.
a) Nếu f(x) liên tục tại x
o
và g(y) liên tục tại y
o
= f(x
o
) thì hàm số hợp g[f(x)] liên

Cách khác
:
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) <0 thì phương trình f(x) = 0 có
ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (a,b) .
b. Hệ quả.
Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và m f(x)  M với
 x  [a,b] thì f(x) đạt
mọi giá trị trung gian giữa m và M.
Phát biểu cách khác
:
B
O A
15
Nếu f(x) liên tục trên [a,b] và m  f(x)  M với

x  [a,b] thì :





,, ,:()mM c ab f c


  
Ví Dụ Phương trình
3
x
ex có ít nhất một nghiệm thực. Thật vậy, xét hàm số
() 3

xx






c)
100
50
1
21
lim
21
x
x
x
xx



d)
210
320
2
(2)
lim
( 12 16)
x
xx

1
3
1
1
lim
x
x
x

c)
416
11
lim
2
2
0



x
x
x
d)
1
1
lim
1




lim
0




d)
2
0
(1)lncos2
lim
.sin3 .( 1 1)
x
x
ex
xxx





e)
sinx
0
sin
lim
1
x
x
x





h)
2
2
0
os2
lim
sin 5 ln(1 )
x
x
ecx
x
x





1.4 a)
sinx sin
lim
xa
a
xa




3
0
sinx
lim
x
tgx
x



1.5 a)
22
lim ( 2 2 3 )
x
x
xxx

  b)


xxx
x


323
1lim
1.6 a)
x
x
x



c)
x
x
x
2
0
)sin1(lim 

d)
2
1
0
lim(cos )
x
x
x


16
e)

1
sin 2
0
lim 1
x
x
tgx


h)

1
0
lim 1 2
x
x
tg x


1.7 Xét tính liên tục của các hàm số trên R
a) f(x) =
1
1
1
11
x
khi x
x
khi x










khi x








d) f(x) =
sin
0
10
x
khi x
x
khi x








1.8 Tìm các điểm gián đoạn :
a) f(x) =
1
4
2

a) f(x) =
2
2
16
4
54
4
x
khi x
xx
akhix










b) f(x) =
2
11
1
x
khi x
axkhix



17
e) f(x) =
2
ln(1 2 )
0
.sinx
0
x
khi x
x
ax khix









f) f(x) =
245
2
sin( ) arcsin 2
0
.x
2 0
xx xx
khi x
xtg