Phòng giáo dục - đào tạo hải hậu
Trờng thcs hải giang
***
Báo cáo kinh nghiệm
định lí vi-et và một số ứng dụng
Tên tác giả: Nguyễn Ngọc Trang
Nghề nghiệp: Giáo viên
Chức vụ: Giáo viên
Nơi công tác: Trờng THCS Hải Giang
Hải giang, ngày 20 tháng 5 năm 2010
1
Tên sáng kiến: Định lí Vi-et và một số ứng dụng
Tên tác giả: Nguyễn Ngọc Trang
Trình độ chuyên môn: Cử nhân đại học
Nơi công tác: Trờng THCS Hải Giang
Đơn vị áp dụng sáng kiến: Trờng THCS Hải Giang
***
Phần A: Đặt vấn đề
1/ Cơ sở lí luận
- Môn Toán là một môn khoa học tự nhiên đứng đầu trong mọi ngành khoa học
kỹ thuật nên giảng dạy môn này đòi hỏi độ chính xác tuyệt đối với những phơng
pháp giảng dạy phù hợp, giúp học sinh hiểu sâu kiến thức một cách có hệ thống
Trong tình hình hiện nay, việc giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi là một công
việc đặt ra thờng xuyên trong các trờng THCS. Đây là một trong những nhiệm vụ
quan trọng trong công tác giáo dục và đang đợc quan tâm đầu t thích đáng.
- Để có đợc một đội ngũ học sinh giỏi tham gia các kì thi tuyển chọn của
huyện việc bồi dỡng học sinh giỏi không thể chỉ thực hiện trong chốc lát mà phải
đợc bồi dỡng thờng xuyên đều đặn trong mỗi tiết dạy hàng ngày. Một vấn đề đợc
đặt ra là mỗi bài toán đa ra đều phải khai thác kĩ nhằm nâng cao khả năng t duy
khả năng ứng dụng của học sinh.
- Vì vậy ngời giáo viên phải có sự đầu t công sức để xây dựng cho mình một

2
+ bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì
S = x
1
+ x
2
=
a
b
P = x
1
. x
2
=
a
c
* Hệ quả: PT bậc 2: ax
2
+ bx + c = 0 (*)
- Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x
1
= 1, nghiệm kia là x
2
=
a
c

2
là s
2
- 4p 0)
Chú ý:
* Trớc khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm






)0'(0
0a
* a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1
* Nếu có: x = ; y = là nghiệm hệ phơng trình



=
=+
Pxy
Syx
thì , là
nghiệm phơng trình: t
2
- st + p = 0
II. Một số ứng dụng
1/ ứng dụng 1: Lập phơng trình đờng thẳng y = ax + b (d) với a 0 quan hệ
với Parabol y = mx

x.x
a
b
xx
0và0a
21
21

Lập phơng trình đờng thẳng y = ax + b (a 0) đi qua 2 điểm A (x
A
; y
A
); B
(x
B
; y
B
) thuộc Parabol y = mx
2
(m 0)
* Cơ sở lý luận: Do đờng thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ
giao điểm là nghiệm của phơng trình: mx
2
= ax + b mx
2
- ax - b = 0.
Từ đó theo Viet ta có:




. Vận dụng hệ thức Viet, ta có:






=
=+
m
b
xx
axx
21
21
a và b
Phơng trình tiếp tuyến.
Ví dụ 1: Cho parabol (P) có phơng trình: (P): y = x
2
.
Gọi A và B là 2 điểm (P) có hoành độ lần lợt là x
A
= - 1 ; x
B
= 2. Lập ph-
ơng trình dờng thẳng đi và A và B.
Đây là một bài toán không khó nhng hầu hết các em có lời giải nh sau

( )
1

Phơng trình đờng thẳng AB cần tìm có dạng y = ax + b (AB) với a, b R
có
( ) 1 3 3 1
( ) 4 2 1 2
A AB a b a a
B AB a b a b b
= + = =



= + = + =

Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = x + 2
Nếu linh hoạt suy nghĩ tìm phơng pháp giải ta có thể cho đợc lời giải đẹp sau đó
là do sử dụng định lí Vi-et
Phơng trình đờng thẳng AB cần tìm có dạng y = ax + b (AB)
Phơng trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x
2
= ax + b
x
2
- ax - b =0 (*).
Ta có: x
A
= - 1 ; x
B
= 2 là nghiệm của phơng trình (*).
Theo định lí Vi-et ta có:
4


( )
2
2
1
4
2
A
A
A P
y
x


= =

=


VậyA(2;1)
Phơng trình đờng thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d) với a, b R
A (d) 1 = 2a + b b = 1 2a
Vậy y = ax + 1 2a
Phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:
2
4
x
= ax + 1 2a
2
4 4 8 0x ax a + =
( )

b4xx
a4xx
21
21




=
=
1b
1a
Vậy phơng trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1
Nh vậy ở ví dụ 1 và 2 việc sử dụng định lí Vi-et để giải toán ta có lời giải đẹp
hơn điều này giúp học sinh tìm tòi sáng tạo khi gặp những dạng toán khó hơn
2. ứng dụng 2: Tìm điều kiện của tham số để hai nghiệm liên hệ với nhau
bằng biểu thức cho trớc
a. Phơng pháp:
Có thể thực hiện các bớc:
* B ớc 1: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình đã cho có nghiệm x
1
, x
2
.
* B ớc 2: áp dụng hệ thức Viet, ta có:
5





Pt (1) có nghiệm khi và chỉ khi

0 1 m 0 m 1
Vậy với m 1 thì phơng trình (1) có nghiệm
b/ Với phần b có nhiều em đa ra nh sau
Từ kết quả phần a ta có với m 1 thì phơng trình có nghiệm
1
2
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1
m
x m
m
x m
+
= = +

= =
Theo bài ra ta có x
2
= 2 x
1
nên
( )
1 1 2 1 1
1 1 2 2 1

1 8
1
9 9
m m
m m
m
m
m
m
+ =
+ =
=
=
=
= =
Thoả mãn điều kiện
Vậy với
8
9
m =
thì pt (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện: x
2
= 2 x
1
6
Tuy nhiên cách giải này dài và phức tạp nên ta có thể áp dụng định lí Vi-et

x x
+ =
= =
2 4 8
.
3 3 9
m = =
Vậy với
8
9
m =
thì pt (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện: x
2
= 2 x
1
Ví dụ 2: Cho phơng trình x
2
2mx + m 3 = 0
a/ Chứng minh phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b/ Tính
2 2
1 2
x x+
theo m. Tìm m để
2 2
1 2

1
và x
2
rồi tính giá trị
biểu thức nh sau


> 0 với mọi m phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
Ta có
2
1
2
2
1 11
2 4
1 11
2 4
x m m
x m m

= + +
ữ= +
ữ

ữ ữ

= + + + +
= +
Vậy x
1
2
+ x
2
2
= 4m
2
- 2m + 6
Từ đó giải phơng trình bậc 2 ẩn m: 4m
2
- 2m + 6 = 12 để tìm điều kiện của m để
phơng trình có nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn
2 2
1 2
x x+
= 12
Tuy nhiên cách tính
2 2
1 2
x x+
rất phức tạp dễ nhầm lẫn sai sót trong quá trình làm

1 2
2 2 2
1 2
2 2 3
4 2 6
x x m m
x x m m
+ =
+ = +
Vậy
2 2 2
1 2
4 2 6x x m m+ = +
Theo bài ra
2 2
1 2
x x+
= 12
2
2
4 2 6 12
4 2 6 0
m m
m m
+ =
=
Giải phơng trình bậc hai ẩn m ta có
a b + c = 4 (-2) - 6 = 0
Phơng trình có nghiệm: m
1

nắm vững thành thạo các phơng pháp đặc trng của từng loại toán. Điều này rất
cần thiết song để giải các bài toán phức tạp cần khai thác yếu tố riêng, đặc biệt
của mỗi loại toán để có ý nghĩa sáng tạo đơn giản mà hiệu quả cao.
Phần c. Các biện pháp thực hiện
1. Xây dựng hệ thức Vi-ét
- Sau khi học xong công thức nghiệm của PT bậc 2 tổng quát GV hớng dẫn
HS tìm ra mối quan hệ giữa các nghiệm số với các hệ số thông qua biểu thức:
x
1
+ x
2
= ?; x
1
. x
2
= ? Từ đây, gợi ý HS tìm tòi thêm các mối liên hệ khác để khẳng
định giá trị của 2 hệ thức trên.
2. Xây dựng hệ thống bài tập có ứng dụng Vi-ét ngay sau khi học xong bài
Hệ thức Vi-ét và ứng dụng .
Gồm các bài toán:
- Không phải phơng trình bậc 2 mà tính tổng, tích các nghiệm; tính giá trị của
biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm. Không đối xứng giữa 2 nghiệm
- Cho trớc 1 nghiệm số của phơng trình bậc 2 Tìm nghiệm còn lại và tham
số.
- Tìm một số biết tổng và tích của chúng
8
- Lập một phơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trớc; hoặc hai nghiệm có liên
quan tới 2 nghiệm của 1 phơng trình đã cho.
- Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của 1 phơng trình bậc 2 không phụ
thuộc tham số.

thận, chặt chẽ trong giải toán cho HS.
7. Rèn luyện tính linh hoạt khi vận dụng hệ thức Vi-ét vào các bài toán nh:
Bất đẳng thức, cực trị, giải phơng trình, hệ phơng trình Đã làm phong phú và đa
dạng hoá các bài tập có liên quan, càng tăng thêm ý nghĩa phong phú của định lý
Vi-ét.
8. Ghi nhớ cho HS kinh nghiệm giải các bài toán về phơng trình bậc hai
luôn nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét một cách linh hoạt.
9. Khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú một định lý toán học nói chung,
định lý Vi-ét nói riêng về phơng diện ứng dụng vào các bài tập đã tạo ra một hệ
thống các bài tập phong phú, hấp dẫn HS giúp cho việc rèn luyện kĩ năng của các
em đợc vững chắc hơn.
9
Phần d. kết kuận
1. Với các ứng dụng phong phú, đa dạng. Định lý Viet đã có 1 vị trí quan
trọng trong chơng trình đại số 9 và giá trị sử dụng của nó vẫn còn có ý nghĩa với
các lớp trên. Cũng nh việc mở rộng nó với phơng trình bậc 3. Định lý này không
chỉ có giá trị về phơng diện thực hành định lợng mà nó còn có giá trị định tính 1
cách phong phú cho các nghiệm số cả phơng trình bậc 2.
2. Khai thác các ứng dụng của định lý Viet thuận và đảo vào các bài toán
đại số lớp 9, đã làm phong phú và đa dạng các bài tập về phơng trình bậc 2, bậc 3.
Giúp cho ngời học rèn luyện các thao tác t duy đặc biệt là khả năng suy luận 7
tính linh hoạt trong quá trình học tập môn toán.
3. Cung cấp cho HS 1 cách có hệ thống các nội dung và phơng pháp của hệ
thức Viet và các ứng dụng phong phú của nó đã giúp HS hiểu sâu mối quan hệ
giữa nghiệm số với các hệ số của 1 pt bậc 2, bậc 3. Từ đó hình thành ở HS 1 thói
quen học định lý, thấy rõ vai trò của các định lý toán học trong chơng trình toán.
10
giúp cho các em rèn luyện đợc các phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo,
linh hoạt và độc đáo trong suy nghĩ.
4. Nêu ra đợc các giải pháp giải từng loại toán ứng dụng định lý Viet. Giúp