C
C
á
á
c ph
c ph
é
é
p bi
p bi
ế
ế
n đ
n đ
ổ
ổ
i h
i h
ì
ì
nh h
nh h
ọ
ọ
c
c
Chương 3
18/05/2010 Chương 4. Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 2/22
Các phép toán cơ sở với ma trận
 Cộng, trừ ma trận
 Chỉ thực hiện cho hai ma trận cùng bậc

 Tính ||A||: Thay các phần tử của [A] bằng các phần phụ đại số
của nó
 Phần phụ đại số của phần tử (a
ij
) là:
 [M
ij
] được tạo ra nhờ xóa hàng i, cột j của [A].
 
 
T
A
A
A
det
1
1


 
 
ij
ji
M

1
18/05/2010 Chương 4. Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 4/22
Ứng dụng biến đổi 2D
 Mô hình hóa (modeling)
 Định vị và thay đổi kích thước các phần của đối tượng phức tạp

 Co dãn (Scaling)
50 150
50
100
x' = x + Tx
y' = y + Ty
x' = x.Sx
y‘ = y.Sy
Sx là thừa số co dãn chiều x
Sy là thừa số co sãn chiều y.
(Tx, Ty) là véc tơ tịnh tiến
   







y
x
S
S
yxyx
0
0
''
   
 
yx











cossin
sincos
'' yxyx
18/05/2010 Chương 4. Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 10/22
Tọa độ thuần nhất
 Các biến đổi cơ sở có cách xử lý khác nhau
 Thực tế: Nhu cầu tổ hợp các chuyển đổi cơ sở
 Cần cách xử lý nhất quán để dễ dàng tổ hợp
 Giải pháp: Sử dụng hệ thống tọa độ thuần nhất (Homogeneous
Coordinates)
 Bổ sung thêm một trục W vào điểm 2D: P(x, y, W).
 Thí dụ: 2 tập (2,5,3) và (4,10,6) sẽ biểu diễn cùng một điểm.
 Nếu W  0, hãy chia cho W để có điểm trong tọa độ Đề các (x/W,
y/W, 1).
 Nếu W=0 ta có điểm vô cực.
P' = P + T (tịnh tiến); P' = P. S (co dãn); P' = P.R (xoay)
18/05/2010 Chương 4. Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 11/22
Tọa độ thuần nhất (tt)
 Thay thế các điểm 2D bằng các điểm 3D
với tọa độ cuối có giá trị 1.

=x+T
x
.1
y’=y+T
y
=y+T
y
.1
w’=1
   











1
010
001
.11''
TyTx
yxyx















100
00
00
.11'' Sy
Sx
yxyx











100
00





100
0cossin
0sincos
)(



R
   











1
0
0
.11''
fc
eb

đổi gộp
 Dịch chuyển 2 lần
 Co dãn hai lần
 Xoay hai lần



























1
+Ty
2
)
S(Sx
1
, Sy
1
).S(Sx
2
, Sy
2
)=S(Sx
1
.Sx
2
, Sy
1
.Sy
2
)
R(
1
).R(
2
)=R(
1
+
2
)

   






























FF
ySyxSx
Sy
Sx
yx
S
S
yx
x
F
, y
F
d)
a) b) c)
x
F
, y
F
18/05/2010 Chương 4. Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 18/22
Xoay đối tượng quanh điểm cố định (tt)
 Vấn đề
 Cho trước tam giác ABC, tọa độ chốt (x
F
, y
F
) và góc xoay  (a)
 Thực hiện biến đổi để có kết quả (d)
 Các bước thực hiện
 Dịch đối tượng sao cho điểm chốt trùng gốc tọa độ
 Thực hiện xoay theo góc cho trước
































xyyx
yxyx
18/05/2010 Chương 4. Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 20/22
Co dãn theo hướng tùy ý
 Ma trận biến đổi co dãn cơ bản
 Tỷ lệ Sx và Sy áp dụng cho co dãn theo chiều trục x và y
 Co dãn theo hướng tùy ý
 Thực hiện chuyển đổi gộp: xoay và co dãn
 Vấn đề
 Cho trước hình vuông ABCD, hãy co dãn nó theo hướng như
biểu diễn trên hình a) và theo tỷ lệ S1, S2.
x
y
S2
S1

(0,1)
(0, 0)
(1, 0)
(1, 1)
(1/2,3/2)
(0,0)
(2, 2)
(3/2,1/2)
a)
18/05/2010 Chương 4. Các phép biến đổi trong đồ họa 2 chiều 21/22
Co dãn theo hướng tùy ý (tt)
 Giải pháp
 Xoay hướng S1, S2 sao cho trùng với trục x và trục y (góc
xoay )











100
010
001











100
010
001




1
1’
2
2’
3
3’