NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
TO
´
AN CAO C
ˆ
A
´
P
Tˆa
.
p2
Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`am
NH
`
AXU
ˆ
A
´
a h`am sˆo
´
3
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
id
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
n. 5
7.1.2 Ch ´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
atrˆend
iˆe
`
u
kiˆe
.
nd
u
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen l´y
Bolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.1.4 Ch ´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mv`ad
i
.
nh l´y co
.
ba
’
nvˆe
`
gi´o
.
iha
.
n 27
7.3 H`am liˆen tu
.
c 41
7.4 Gi´o
.
a
.
o h`am cˆa
´
pcao 62
8.2 Viphˆan 75
8.2.1 Vi phˆan cˆa
´
p1 75
2MU
.
CLU
.
C
8.2.2 Vi phˆan cˆa
´
pcao 77
8.3 C´ac d
i
.
nh l´y co
.
ba
’
nvˆe
`
h`am kha
’
vi. Quy t˘a
´
cTaylor 96
9Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe
`
ubiˆe
´
n 109
9.1 D
-
a
.
oh`amriˆeng 110
9.1.1 D
-
a
.
o h`am riˆeng cˆa
´
p1 110
9.1.2 D
-
a
.
o h`am cu
’
a h`am ho
.
.
p 111
9.1.3 H`am kha
’
.
ng vi phˆan d
ˆe
’
t´ınh gˆa
`
nd´ung . . . . . . . 126
9.2.3 C´ac t´ınh chˆa
´
tcu
’
a vi phˆan . . . . . . . . . . . . 127
9.2.4 Vi phˆan cˆa
´
pcao 127
9.2.5 Cˆong th´u
.
cTaylor 129
9.2.6 Vi phˆan cu
’
a h`am ˆa
’
n 130
9.3 Cu
.
.
c tri
.
cu
’
tcu
’
a h`am . . . . . . 147
Chu
.
o
.
ng 7
Gi´o
.
iha
.
nv`aliˆen tu
.
ccu
’
a
h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o
.
gi´o
.
iha
.
n 11
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
´
du
.
.
a
trˆen d
iˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
dˆe
`
nv`adu
’
dˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
(nguyˆen
l ´y h ˆo
.
itu
.
Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 25
7.2 Gi´o
.
iha
.
n h`am mˆo
.
tbiˆe
´
n 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe
.
mv`ad
i
.
nh l´y co
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
7.1 Gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜ay sˆo
´
H`am sˆo
´
x´ac di
.
nh trˆen tˆa
.
pho
.
.
p N d
u
.
a
1
,a
2
, ,a
n
, (7.1)
ho˘a
.
c {a
n
}, trong d´o a
n
= f(n), n ∈ N du
.
o
.
.
cgo
.
il`asˆo
´
ha
.
ng tˆo
’
ng qu´at
cu
’
a d˜ay, n l`a sˆo
nnˆe
´
u ∃M ∈ R
+
: ∀n ∈ N ⇒|a
n
|
M; v`a go
.
i l`a khˆong bi
.
ch˘a
.
nnˆe
´
u: ∀M ∈ R
+
: ∃n ∈ N ⇒|a
n
| >M.
ii) Sˆo
´
a d
u
.
o
.
.
cgo
.
iha
.
nd
u
.
o
.
.
cgo
.
i l`a d˜ay hˆo
.
itu
.
, trong tru
.
`o
.
ng ho
.
.
p ngu
.
o
.
.
c
la
.
i d˜ay (7.1) go
ncˆa
`
ndˆe
’
d˜ay hˆo
.
itu
.
l`a d˜ay d´o pha
’
ibi
.
ch˘a
.
n.
Ch´u´y:i) Hˆe
.
th ´u
.
c (7.2) tu
.
o
.
ng d
u
.
o
.
ng v´o
.
.
ng v´o
.
ichı
’
sˆo
´
n>Ncu
’
a d˜ay
hˆo
.
itu
.
d
ˆe
`
un˘a
`
m trong khoa
’
ng (a −ε, a + ε), khoa
’
ng n`ay go
.
il`aε-lˆan
cˆa
.
ncu
’
.
tsˆo
´
h˜u
.
uha
.
nsˆo
´
ha
.
ng d
ˆe
`
un˘a
`
m trong ε-lˆan cˆa
.
nbˆa
´
tk`yb´ebao
nhiˆeu t`uy ´y cu
’
ad
iˆe
’
m a.
ii) Ta lu
.
u´yr˘a
.
id
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
i
ha
.
n
Dˆe
’
ch´u
.
ng minh lim a
n
= a b˘a
`
ng c´ach su
.
’
du
.
ng d
i
.
nh ngh˜ıa, ta cˆa
`
ntiˆe
´
n
∀n v`a
v´o
.
i ε d
u
’
b´e bˆa
´
tk`ybˆa
´
tphu
.
o
.
ng tr`ınh d
ˆo
´
iv´o
.
i n:
b
n
<ε (7.5)
c´o thˆe
’
gia
’
imˆo
.
’
su
.
’
a
n
= n
(−1)
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
i) D˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
ii) D˜ay a
n
khˆong pha
’
il`avˆoc`ung l´o
.
n.
Gia
’
`
ng
n v`a l´o
.
nho
.
n M.D
iˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a
n
khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
6Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
´
hiˆe
.
ule
’
d
ˆe
`
u thuˆo
.
c khoa
’
ng (−2, 2) v`ı khi n le
’
th`ı ta c´o:
n
(−1)
n
= n
−1
=1/n ∈ (−2, 2).
Nhu
.
vˆa
.
y trong kho
’
ng ( −2, 2) c´o vˆo sˆo
´
sˆo
d
ˆe
’
ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng:
1) lim
n→∞
(−1)
n−1
n
=0. 2) lim
n→∞
n
n +1
=1.
Gia
’
i. D
ˆe
’
ch´u
.
ng minh d˜ay a
n
c´o gi´o
.
iha
´
N (N phu
.
thuˆo
.
c ε) sao cho khi n>N th`ı suy ra |a
n
−a| <ε. Thˆong thu
.
`o
.
ng ta
c´o thˆe
’
chı
’
ra cˆong th´u
.
ctu
.
`o
.
ng minh biˆe
’
udiˆe
˜
n N qua ε.
1) Ta c´o:
|a
n
´o:
1
n
<ε⇔ n>
1
ε
·
V`ıthˆe
´
ta c´o thˆe
’
lˆa
´
y N l`a sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen n`ao d
´o tho
’
am˜andiˆe
`
ukiˆe
.
n:
N>
1
ε
⇒
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
7
Diˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a lim
n→∞
(−1)
n
n
=0.
2) Ta lˆa
´
ysˆo
´
ε>0bˆa
´
tk`yv`at`ımsˆo
´
tu
.
.
nhiˆen N(ε) sao cho ∀n>
N(ε) th`ı:
´
ysˆo
´
N(ε) l`a phˆa
`
n nguyˆen cu
’
a
1
ε
− 1, t´u
.
c l`a:
N(ε)=E((1 /ε) −1).
Khi d
´ov´o
.
imo
.
i n N ta c´o:
n
n +1
− 1
=
+
1
n
· (7.8)
Gia
’
i. 1) Gia
’
su
.
’
d˜ay (7.6) hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y ε =1.
Khi d
´o theo di
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
ntˆo
sˆo
´
tu
.
.
nhiˆen khˆong bi
.
ch˘a
.
n.
2) C´ach 1. Gia
’
su
.
’
d˜ay a
n
hˆo
.
itu
.
v`a c´o gi´o
.
iha
.
nl`aa.Talˆa
´
y lˆan
cˆa
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
V`ıdˆo
.
d`ai cu
’
a khoa
’
ng
a −
1
2
,a+
1
2
l`a b˘a
`
ng 1 nˆen hai d
iˆe
’
.
a −1v`a+1b˘a
`
ng 2. D
iˆe
`
ud´o c´o ngh˜ıa l`a o
.
’
ngo`ai
lˆan cˆa
.
n
a −
1
2
,a+
1
2
c´o vˆo sˆo
´
sˆo
´
ha
.
ng cu
’
ad˜ayv`av`ıthˆe
n
− a| <
1
2
∀n N.
V`ı a
n
= ±1nˆen
|1 − a| <
1
2
, |−1 −a| <
1
2
⇒2=|(1 − a)+(1+a)| |1 −a|+ |a +1|
1
2
+
1
2
=1
⇒2 < 1, vˆo l´y.
3) Lu
.
u´yr˘a
`
ng v´o
.
i n =2m ⇒ a
2m
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng
|a
n
− a
n−1
| > 1.
Nˆe
´
usˆo
´
a n`ao d
´o l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
ad˜ay(a
n
) th`ı b˘a
´
tdˆa
`
ut`u
.
n+1
− a| <
1
2
+
1
2
=1.
Nhu
.
ng hiˆe
.
ugi˜u
.
a hai sˆo
´
ha
.
ng kˆe
`
nhau bˆa
´
tk`ycu
’
ad˜ayd
˜a cho luˆon luˆon
l´o
.
nho
.
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
9
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
H˜ay su
.
’
du
.
ng d
i
.
nh ngh˜ıa gi´o
.
iha
.
nd
ˆe
’
+1
5n
2
− 1
B˘a
´
td
ˆa
`
ut`u
.
sˆo
´
hiˆe
.
u N n`ao th`ı:
|a
n
− 3/5| < 0, 01 (DS. N =5)
3. lim
n→∞
a
n
=1nˆe
´
u a
n
=
3
n
7. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng sˆo
´
a = 0 khˆong pha
’
i l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay a
n
=
n
2
−2
2n
2
− 9
.
8. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
lim
ncu
’
a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; ,0, 22 2
n
,
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n a
n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=0, 22 2=
2
10
+
a d˜ay sˆo
´
:
0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; ,0, 233 3
n
,
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n a
n
du
.
´o
.
ida
.
ng
a
n
=
2
10
n a, c`on d˜ay b
n
dˆa
`
ndˆe
´
n
∞ th`ı d˜ay a
n
/b
n
dˆa
`
ndˆe
´
n0.
14. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
i) lim
n→∞
n
2
n
=0.
ii) lim
n→∞
n
2
·
v`a u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng |a
n
− 0|.
ii) Tu
.
o
.
ng tu
.
.
nhu
.
i). Su
.
’
du
.
ng hˆe
.
’
dˆa
˜
n.
´
Ap du
.
ng cˆong th´u
.
c t´ınh tˆo
’
ng cˆa
´
psˆo
´
nhˆan d
ˆe
’
t´ınh a
n
rˆo
`
i
u
.
´o
.
clu
.
o
ncu
’
a d˜ay:
i) {a
n
+ b
n
}.
ii) {a
n
b
n
}.
(D
S. i) lim{a
n
+ b
n
} khˆong tˆo
`
nta
.
i. H˜ay ch´u
.
ng minh.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
n
=
n − 1
n
,b
n
=(−1)
n
; a
n
=
1
n
,b
n
=(−1)
n
.
7.1.2 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
itu
.
cu
’
a d˜ay sˆo
.
`o
.
ng su
.
’
du
.
ng c´ac d
i
.
nh l´y v`a
kh´ai niˆe
.
m sau d
ˆay:
Gia
’
su
.
’
lim a
n
= a, lim b
n
= b.
i) lim(a
n
± b
n
´o d˜ay a
n
/b
n
x´ac
d
i
.
nh (ngh˜ıa l`a ∃N : ∀n N ⇒ b
n
= 0) v`a:
lim
a
n
b
n
=
lim a
n
lim b
n
=
a
b
·
iv) Nˆe
´
u lim a
n
= a, lim b
a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o
.
i d˜ay bi
.
ch˘a
.
n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e.
vi) Nˆe
´
u(a
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
nv`aa
n
= 0 th`ı d˜ay
1
a
n
l`a d˜ay vˆo
c`ung b´e; ngu
.
o
.
.
cla
.
i, nˆe
.
t
sˆo
´
nhˆa
.
n x´et sau d
ˆay:
i) D
i
.
nh l´y (iii) vˆe
`
gi´o
.
iha
.
ncu
’
athu
.
o
.
ng s˜e khˆong ´ap du
.
ng d
u
.
o
.
.
n
b˘a
`
ng 0. Trong nh˜u
.
ng tru
.
`o
.
ng ho
.
.
pd
´o nˆen biˆe
´
ndˆo
’
iso
.
bˆo
.
d˜ay thu
.
o
.
ng,
ch˘a
’
ng ha
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
ii) Dˆo
´
iv´o
.
id
i
.
nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa
`
n pha
’
i thˆa
.
n tro
.
ng khi ´ap du
.
ng.
Trong tru
.
`o
.
.
iha
.
n (xem v´ıdu
.
1, iii).
iii) Nˆe
´
u a
n
= a ≡ const ∀n th`ı lim
n→∞
a
n
= a.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. T`ım lim a
n
nˆe
´
u:
1) a
n
psˆo
´
1) Nhˆan tu
.
’
sˆo
´
v`a mˆa
˜
usˆo
´
phˆan th´u
.
cv´o
.
i7
−n
ta c´o:
a
n
=
1+7
n+2
3 − 7
n
=
7
−n
+7
2
u l`a cˆa
´
psˆo
´
cˆo
.
ng nˆen ta c´o:
2+4+6+···+2n =
2+2n
2
· n;
1+3+5+···+(2n +1)=
1+(2n +2)
2
(n +1).
Do d
´o
a
n
=
n
n +1
⇒ lim a
n
=1.
3) Nhu
.
ta biˆe
´
t:
.
2. T`ım gi´o
.
iha
.
n
lim
1+
1
2
+
1
4
+ ···+
1
2
n
1+
1
3
+
1
9
+ ···+
1
3
n
Gia
’
i. Tu
1+
1
3
+ ···+
1
3
n
=
3(3
n
−1)
2 · 3
n
v`a do d´o:
lim a
n
= lim
2(2
n
−1)
2
n
·
2 · 3
n
3(3
n
− 1)
= 2 lim
2
.
3.
1) a
n
=
√
n
2
+ n − n
2) a
n
=
3
√
n +2−
3
√
n
3) a
n
=
3
√
n
2
− n
3
+ n
Gia
’
n
2
+ n + n)
√
n
2
+ n + n
=
n
√
n
2
+ n + n
=
1
1+1/n +1
Do d
´o
lim a
n
=
1
lim
n→∞
(
1+1/n +1)
=
1
.
1) ta c´o:
a
n
=
3
√
n +2
3
−
3
√
n
3
3
√
n +2
2
+
3
√
n +2·
3
√
Biˆe
’
uth´u
.
cmˆa
˜
usˆo
´
b˘a
`
ng:
n
2/3
3
1+2/n
2
+
3
1+2/n +1
→∞
khi n →∞v`a do d
´o lima
n
=0.
3) Ta c´o thˆe
2
− n
3
+ n
3
√
n
2
− n
3
2
− n
3
√
n
2
− n
3
+ n
2
3
√
n
2
− n
3
+ n
2
=
1
[1/n − 1]
2/3
− [1/n − 1]
1/3
+1
suy ra lim a
n
=
1
3
·
V´ı d u
.
4. T`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a c´ac d˜ay sau
a
n
=
n
√
n
Gia
’
i. D
ˆa
`
utiˆentach´u
.
ng minh lima
n
= 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y:
lim a
n
= lim
n
n
1+1/n
= lim
1
1+1/n
=1.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ch˘a
.
n hai ph´ıa.
Mˆo
.
tm˘a
.
t ta c´o:
c
n
<
1
√
n
2
+1
+
1
√
n
2
+1
+ ···+
1
√
n
2
+1
=
n
+ n
= a
n
.
Nhu
.
vˆa
.
y a
n
<c
n
<b
n
v`a lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
b
n
=1. T`u
.
d
´o suy ra
lim
n→∞
c
n
d
˘a
’
ng th ´u
.
c
|q|
n
>Ata thu du
.
o
.
.
c n>log
|q|
A.Nˆe
´
u ta lˆa
´
y N = [log
|q|
A]th`ı∀n>N
ta c´o |q|
n
>A.Dod´o d˜ay (q
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
n.
2) Gia
n
l`a d˜ay vˆo c`ung l´o
.
n v`a do d
´o d˜ay
1
q
n
−1
l`a vˆo c`ung
b´e, t´u
.
c l`a d˜ay (q
n
) l`a d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.
3) Nˆe
´
u q =0th`ıq
n
=0,|q|
n
<ε∀n v`a do d´o(q
n
S. ∞)
2. a
n
= n
2
(n −
√
n
2
+ 1). (DS. −∞)
16 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
3. a
n
=
1+2+3+···+ n
√
9n
−
3n
2
3n +1
.(D
S. 1/3)
7. a
n
=
n
n +11
−
cos n
10n
.(D
S. 1)
8. a
n
=
n
3
+1
n
2
− 1
(D
S. ∞)
9. a
n
=
3
√
n
3
+ n −
√
n
.(D
S. +∞)
12. a
n
=
3
√
1 − n
3
+ n.(DS. 0)
13. a
n
=
√
n
2
+4n
3
√
n
3
− 3n
2
=
1 − 2+3− 4+5−···−2n
√
n
2
+1+
√
4n
2
+1
.(D
S. −
1
3
)
18. a
n
=
1
1 · 2
+
1
2 · 3
+ ···+
1
n(n +1)
.
Chı
’
dˆa
+
1
9
−
1
27
+ ···+
(−1)
n−1
3
n−1
.(DS.
3
4
)
20. a
n
=
2
n+1
+3
n+1
2
n
+3
n
.(DS. 3)
21. a
n
=
Chı
’
dˆa
˜
n. Tru
.
c c˘an th´u
.
co
.
’
mˆa
˜
usˆo
´
c´ac biˆe
’
uth´u
.
c trong dˆa
´
u ngo˘a
.
c.
(D
S.
1
√
2
)
2
1
n(n +1)
−
1
(n + 1)(n +2)
(D
S.
1
4
)
24. a
n
=
1
a
1
a
2
+
1
a
2
a
3
+ ···+
1
a
)
Chı
’
dˆa
˜
n. B˘a
`
ng quy na
.
p to´an ho
.
cch´u
.
ng to
’
r˘a
`
ng a
n
=
n +2
2n +2
.
7.1.3 Ch´u
.
ng minh su
.
.
hˆo
.
.
o
.
.
cgo
.
i l`a:
i) D˜ay t˘ang nˆe
´
u a
n+1
>a
n
∀n
ii) D˜ay gia
’
mnˆe
´
u a
n+1
<a
n
∀n
C´ac d˜ay t˘ang ho˘a
.
c gia
’
mc`ond
u
.
t l`a mˆo
.
tph´ıa. Nˆe
´
u d˜ay
18 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang th`ı n´o bi
.
ch˘a
.
ndu
.
isˆo
´
ha
.
ng d
ˆa
`
u. Ta c´o di
.
nh l´y sau dˆay
thu
.
`o
.
ng d
u
.
o
.
.
csu
.
’
du
.
ng d
ˆe
’
t´ınh gi´o
.
D
i
.
nh l´y n`ay kh˘a
’
ng di
.
nh vˆe
`
su
.
.
tˆo
`
nta
.
icu
’
a gi´o
.
iha
.
n m`a khˆong chı
’
ra d
u
.
o
.
.
`
nta
.
i, c´o thˆe
’
chı
’
ra phu
.
o
.
ng ph´ap t´ınh
n´o. Viˆe
.
c t´ınh to´an thu
.
`o
.
ng du
.
.
a trˆen d
˘a
’
ng th´u
.
cd
´ung v´o
.
imo
a n ˆe u t i ˆe
.
nlo
.
.
iho
.
nca
’
l`a su
.
’
du
.
ng c´ach cho d˜ay b˘a
`
ng cˆong th´u
.
c truy hˆo
`
i.
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. Ch´u
iˆe
.
u t˘ang. Thˆa
.
tvˆa
.
yv`ı:
a
n+1
= a
n
+
1
5
n+1
+1
nˆen a
n+1
>a
n
.
D˜ay d
˜a cho bi
.
ch˘a
.
n trˆen. Thˆa
.
tvˆa
.
5
n
=
1
5
−
1
5
n+1
1 −
1
5
=
1
4
1 −
1
5
n
<
1
4
·
Nhu
.
vˆa
.
y d˜ay a
`
ng d˜ay a
n
=
2
n
n!
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a
n´o.
Gia
’
i. D˜ay d
˜a cho c´o da
.
ng
2
1
,
2
2
n
n!
=
2
n +1
< 1 ∀n>1.
Do d
´o a
n+1
<a
n
v`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n trˆen bo
.
’
i phˆa
`
ntu
.
’
a
1
. Ngo`ai ra
a
n
> 0, ∀n nˆen d˜ay bi
.
a l`a gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o.
Ta c´o:
a
n+1
a
n
=
2
n +1
⇒ a
n+1
=
2
n +1
a
n
.
T`u
.
d
´o
lim a
n+1
= lim
n
.Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay hˆo
.
i
tu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
a n´o.
Gia
’
i. Hiˆe
’
n nhiˆen r˘a
`
ng: a
1
<a
2
<a
3
< ···<.D´o l`a d˜ay do
’
isˆo
´
2.
Thˆa
.
tvˆa
.
y
a
1
=
√
2; a
2
=
√
2a
1
<
√
2 · 2=2.
Gia
’
su
.
’
d
˜ach´u
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
Vˆa
.
y theo tiˆen dˆe
`
quy na
.
p ta c´o a
n
2 ∀n.
Nhu
.
thˆe
´
d˜ay a
n
do
.
nd
iˆe
.
u t˘ang v`a bi
.
ch˘a
.
.
o
.
.
c a
1
=0,a
2
=2.
V`ı d˜ay d
o
.
nd
iˆe
.
u t˘ang ∀n nˆen gi´o
.
iha
.
n a =2.
V´ı d u
.
4. Ch´u
.
ng minh t´ınh hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
1
<x
2
<x
3
< ··· <x
n
<x
n+1
< ngh˜ıa l`a
d˜ay d
˜a cho l`a d˜ay t˘ang.
ii) Ta ch´u
.
ng minh d˜ay x
n
l`a d˜ay bi
.
ch˘a
.
n. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
1
=
√
a<
o
.
.
cr˘a
`
ng: x
n
<
√
a +1.
Ta cˆa
`
nch´u
.
ng minh x
n+1
<
√
a + 1. Thˆa
.
tvˆa
.
y, ta c´o:
x
n+1
=
√
a + x
n
<
’
i
√
a +1.
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
21
iii) Dˆe
’
t`ım gi´o
.
iha
.
ntax´et hˆe
.
th ´u
.
c x
n
=
√
a + x
n−1
hay
A
1
=
1+
√
1+4a
2
,A
2
=
1 −
√
1+4a
2
·
V`ı A
2
< 0 nˆen gi´a tri
.
A
2
bi
.
loa
.
iv`ıx
n
> 0.
Do d
´o;
l`a sˆo
´
t`uy ´y m`a
0 <a
1
< 1,a
n+1
= a
n
(2 − a
n
) ∀n 1. (7.10)
Gia
’
i. i) D
ˆa
`
u tiˆen ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng a
n
bi
.
ch˘a
.
n, m`a cu
.
thˆe
.
ng minh v´o
.
i n v`a ta
s˜e ch´u
.
ng minh (7.11) d
´ung v´o
.
i n +1.
T`u
.
(7.10) ta c´o; a
n+1
=1− (1 −a
n
)
2
.
T`u
.
hˆe
.
th ´u
.
c n`ay suy ra 0 < (1 − a
n
)
2
< 1, v`ı 0 <a
.
o
.
.
c:
a
n+1
a
n
=2− a
n
> 1.
22 Chu
.
o
.
ng 7. Gi´o
.
iha
.
n v`a liˆen tu
.
ccu
’
a h`am sˆo
´
T`u
.
d
´o a
u n´o l`a a.
iii) T`u
.
(7.10) ta c´o:
lim a
n+1
= lim a
n
· lim(2 −a
n
)
hay a = a(2 −a).
T`u
.
d
´o a =0v`aa =1. V`ıx
1
> 0 v`a d˜ay a
n
t˘ang nˆen
a =1=lima
n
.
V´ı d u
.
6. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay a
u gia
’
m, thˆa
.
tvˆa
.
y:
a
n+1
=
(n + 1)!
(n +1)
n+1
=
n!
(n +1)
n
=
n!
n
n
·
n
n
(n +1)
n
=
n
n
(n +1)
i, k ´yhiˆe
.
u
lim a
n
= a v`a r˜o r`ang l`a a = lim a
n
0.
ii) Ta ch´u
.
ng minh a = 0. Thˆa
.
tvˆa
.
y ta c´o:
(n +1)
n
n
n
=
n +1
n
n
=
1+
1
n
u
.
o
.
.
c a
a
2
⇒ a =0.
B
`
AI T
ˆ
A
.
P
7.1. Gi´o
.
iha
.
ncu
’
a d˜ay sˆo
´
23
1. Cho c´ac d˜ay sˆo
´
:
1) a
n
.
n; 3) khˆong bi
.
ch˘a
.
n)
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay:
a
1
=
a
0
a + a
0
,a
2
=
a
1
a + a
1
,a
3
=
a
2
− 1
n
2
2) a
n
=2+
1
2!
+
1
3!
+ ···+
1
n!
Chı
’
dˆa
˜
n. T´ınh bi
.
ch˘a
.
nd
u
.
o
.
.
csuyt`u
.
iha
.
n a cu
’
ach´ung
1) a
1
=
k
√
5, a
n+1
=
k
√
5a
n
, k ∈ N.(DS.
k−1
√
5)
2) a
n
=
2
n
(n + 2)!
Chı
’
dˆa
.
ng hˆe
.
th ´u
.
c: nx −1 <E(nx) nx.(D
S. a = x)
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay: a
n
= a
1/2
n
hˆo
.
itu
.
v`a t`ım gi´o
.
iha
.
ncu
’
an´o
(a>1).
24 Chu
.
v`ı
a
n+1
= a
1/2
n+1
= a
1/(2
n
·2)
=
√
a
n
,a
n
> 1)
6. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng d˜ay
a
n
=1+
1
2
2
+
1
.
ncu
’
an´o
d
u
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pb˘a
`
ng c´ach su
.
’
du
.
ng c´ac bˆa
´
td
˘a
’
ng th ´u
.
c:
1
n
2
c´o gi´o
.
iha
.
nh˜u
.
uha
.
n.
Chı
’
dˆa
˜
n. T´ınh bi
.
ch˘a
.
ncu
’
a a
n
du
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pb˘a
`
nd
iˆe
.
u gia
’
mv`a
lim
n→∞
1+
1
n
n+1
= e.
9. T´ınh lim
n→∞
a
n
,nˆe
´
u
1) a
n
=
1+
1
n + k
2
n
+1
2
n
2
n
.(DS. e)
Copyright: Tài liệu đại học ©