Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
đề cơng ôn tập toán 9
C1: các dạng phơng trình
và bất phơng trình bậc nhất một ẩn
1, PT bậc nhất một ẩn: Là PT có dạng ax +b = 0 (a 0)
ax = -b x = -
a
b

Bi 1: Giải các PT sau
a, 2x +5 = 28 - 3(5x +7 ) b, 4x +
6
43 x
= 8 -
5
97 +x
2x + 15x = 28 -21-5 4x .30 + 5 (3x - 4) = 8.30 - 6(7x +9)
17 x = 2 120x +15 x -20 = 240 - 42x -54
x =
17
2
93x = 206
x =
93
206
2, PT dạng tích: A(x).B(x)

= 0 A(x)

=0
Hoặc B

=

Bi 3: Giải phơng trình:
06132
23
=++ xxx
.
Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phơng pháp nhẩm nghiệm.(nghiệm thuộc ớc của
6) ta đợc:
3
2
1
2
0)352)(2(
3
2
1
2
=
=
=
=+
x
x
x
xxx
Bài 4: Giải phơng trình
01282
234
=+ xxxx

b,
)3)(1(
2
22)3(2 +
=
+
+
xx
x
x
x
x
x
ĐK: x -1 ; x 3
x(x+1) + x(x -3) = 4x
2x
2
- 6x = 0
2x(x -3) = 0 x =0 (TMK)
hoc x =3 (loại)
4, PT chứa dấu GTTĐ
Bi 7: Gii phng trỡnh
09372 =++ xx
(1)
GV hớng dẫn HS giải theo hai cách
Cỏch 1: Mở dấu GTTĐ
+) Nu 2x + 7

0 x


Do thiếu 2 lần tích nên ta nhân cả hai vế của phơng trình với
2
.
+ Xét xem biểu thức dới căn dơng hay không để đặt trong dấu gía trị tuyệt đối rồi
giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 9: Giải phơng trình
31244
22
=++++ xxxx
Bài 10: Giải phơng trình
3232232 =++ xxxx

6, Bất ph ơng trình bậc nhất một ẩn
Định nghĩa: BPT bậc nhất một ẩn là BPT có dạng ax+b > 0 hoặc ax+b < 0
VD: a, 2x-5 < 0
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
2
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
b, 27-3x > 0
Cách giải:
Bài 11: Giải BPT sau
a, 2x-5 < 0


2x < 5

x <
2
5
b, 27-3x > 0

53 x
x
x +
>+



5(3x-5) - 4x.5.6 + 2.6 >(2+5x). 10


15x-25-120x+12 >20+50x

15x-120x-50x > 20+25-12


-155x > 33

x <
155
33

Cđ 2: toán liên quan đến rút gọn biểu thức
I/. Các dạng toán và ph ơng pháp giải
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa(tồn tại hoặc xác định), nếu đề ra cha
có
BT trong căn(dới dấu căn)

0 (tức
A


Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
Phơng pháp: Có nhiều cách, tuỳ theo biểu thức đã thu gọn. Nhng ở THCS thờng hay
gặp các cách sau:
* Tìm GTLN: Biến đổi biểu thức về dạng: - [p(x)]
2
+ a

a (a

0) suy ra GTLN bằng a
(tức là dấu = xảy ra)
* Tìm GTNN: Biến đổi biểu thức về dạng: [p(x)]
2
+ a

a (a

0) suy ra GTNN bằng a
(tức là dấu = xảy ra)
II/. Bài tập cụ thể:
Bài 1: Cho biểu thức: M = (
aa +

1
1
1
1
)(1-
a
1




+
+
+
1
1
x
xx
, ĐK: x > 0, x 1.
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm tất cả các giá trị của x để P < - 2
Bài 3: Cho biểu thức:
M =
11
21
+
+
+

+
x
xx
x
xx
.
a/ Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định và rút gọn biểu thức M.
b/ Tìm x để M < 1.
Bài 4: Cho biểu thức:

x
xxxx
x
; x > 0, x 1.
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm tất cả các giá trị của x để P > 0 (P <0)
c/ Tính giá trị của P khi x = 3 + 2
x
Bài 5: Cho biểu thức:
A =









x
x
1
:




















+
1
4
1
1
1
1
12
xx
x
xxx
x
; x

0, x 1
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức:

; x > 0 , x 1.
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tìm giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên.
Bài 8: Cho biểu thức:
Q =
2
2x+ x
1
1 x
x x
x x
+

+

a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tìm x Q = 2.
c) Tỡm GTNN của Q và giá trị tơng ứng của x.
Bài 9: Cho biểu thức:
M =
2 2 1
1 :
1
1 1
x x
x
x x x





+ +


x

0 , x 1.
a) Rút gọn biểu thức C
b) Tìm GTNN của C và giá trị tơng ứng của x. cĐ 3: hệ Phơng trình bậc nhất hai ẩn
I/. Kiến thức cần nắm:
+ Nếu hệ phơng trình có dạng:
y = ax + b
y' = a' x + b'



thì

hệ có nghiệm duy nhất

a

a


a
a


'
b
b
có vô số nghiệm


'
a
a
'
b
b
=
'
c
c
=

vô nghiệm


'
a
a
'
b



=+
=
42
6
yx
yx
3)



=
=+
2
623
yx
yx

4)



=+
=
264
132
yx
yx
5)

yx
2)



=
=+
72
33
yx
yx
3)



=
=+
032
852
yx
yx
4)



=
=+
323
223
yx

=

(I)
a) Giải hệ khi m = 2
b) Tìm s nguyờn m để hệ (I) cú nghim duy nht (x; y) m x > 0 v y < 0.
Bi 4: Cho h phng trỡnh
2 5
3 1
mx y
mx y
+ =


+ =

(II)
a) Giải hệ khi m = 1
b) Tìm m để hệ (II) có nghiệm nm trong gúc phn t th nht.
Bi 5: Gii v bin lun nghim h phng trỡnh theo tham s m

2
4 6
mx y m
x my m
=


= +

(III)


0, a: hệ số góc); y = a

x + b

(d

)
y = ax
2
(P) (với a

0, a: hệ số góc)
+) Tính chất biến thiên.
* y = a x + b đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0
+ Vi a > 0

H/S ng bin khi x > 0, nghch bin khi x < 0
* y = ax
2

Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
6
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
+ Vi a < 0

H/S nghch bin khi x < 0, nghch bin khi x > 0
+) Ví trớ tơng đối của (d) v (d

)

* (d)

(d

)

a.a

= -1
+) Vẽ y = ax + b (d) (với a

0, a: hệ số góc)
Phơng pháp:
- Xác định 2 iểm bất kỳ của đồ thị (thng cho x = 0

y = b

A(0; b)
v cho x = 1

y = a + b

B(1; a + b) )
- Biểu diễn 2 điểm đó trên h trc ta Oxy và kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.
+) Vẽ y = a x
2
(P) (với a

0, a: hệ số góc)
Phơng pháp

2
và đờng thẳng (d): y = -x + 2
a) Vẽ ( P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phộp tớnh.
Bài 2: Định m để hai đồ thị hàm số y = x
2
và y = 2x +m
a) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Tiếp xúc nhau
c) Không có điểm chung.
Bài 3: Cho hàm số y= kx + b có đồ thị là đờng thẳng (d) (k

0). Xác định các hệ số k
và b để:
a) (d) đi qua hai diểm A(0;- 3) và B ( -2; 5) .
b) (d) song song với đờng thẳng (d

) có phơng trình: y = 3x và i qua điểm (2;-1)
c) (d) vuông góc với đờng thẳng (d

) có phơng trình: y = 2x và i qua điểm (2;-2)
d) (d) cắt trục tung tại điểm C có tung độ bằng 3 và cắt trục hoành tại điểm D có hoành
độ bằng - 2. Tính độ dài oạn thẳng CD và diện tích tam giác OCD.
Bài 4: Cho Parabol (P): y = -
4
1
x
2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M(0 ;1) và có hệ số góc là m .

) qua A và vuông góc với (d
1
)
c) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d
2
), C là giao điểm của (d
1
) với Oy. Tìm toạ độ giao
điểm của B và C và tính diện tích tam giác ABC.
Bài 8: Cho Parabol (P): y=
4
1
x
2
và M(1; - 2)
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua M
b) Chứng minh rằng (d) và Parabol (P) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A và B với
mọi k
c) Tìm k để F = x
2
A
x
B
+ x
A
x
2
B
đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm GTNN đó.
Bài 9: Cho hàm số (P):

c) Giả sử đờng thẳng cắt (P) tại 2 điểm A và B. Tìm tập hợp trung điểm I của AB CĐ 5: Toán liên quan đến phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
I/. Một số kiến thức cơ bản cần nắm:
5.I.1) Cách giải phơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax
2
+ bx = 0
+ Phơng pháp: Phân tích vế trái thành nhân tử, rồi giải phơng trình tích.
+ Ví dụ: Giải phơng trình:
2
3 6 0x x =
(1)
(1)
3x =0 x =0
3 ( 2) 0
x - 2 = 0 x = 2
x x

= Vy phng trỡnh cú nghim x
1
= 0; x
2
= 2

0) bằng P
2
đặc biệt:
a) Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình
có nghiệm là: x
1
= 1 và
a
c
x
=
2
b) Nếu phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có
nghiệm là : x
1
= - 1 và
a
c
x

=
2
5.I.3.3. Dùng Định lý Vi-et và hệ quả:
a. Định lý Vi ét: Nu x
1
, x

1
x
2
= P thì hai số đó l nghiệm
(nếu có) của pt bậc hai: x
2
S x + P = 0
5.I.3.4. NG DNG CA H THC VI-ẫT TRONG GII TON
Cho phng trỡnh bc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (a0) (*)
Cú hai nghim
1
2
b
x
a

=
;
2
2
b
x
a
+
=
Suy ra:
1 2
2

cỏc h s a, b, c. õy chớnh l ni dung ca nh lớ VI-ẫT, sau õy ta tỡm hiu mt s
ng dng ca nh lớ ny trong gii toỏn.
NG DNG 1: NHM NGHIM CA PHNG TRèNH
U1.1. Dng c bit:
Xột phng trỡnh (*) ta thy :
a) Nu cho x = 1 thỡ ta cú (*) a.1
2
+ b.1 + c = 0 a + b + c = 0
b) Nu cho x =

1 thỡ ta cú (*) a.(

1)
2
+ b(

1) + c = 0 a

b + c = 0
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
9
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
Như vậy với phương trình (*):
+) Nếu có a + b + c = 0 thì PT có một nghiệm
1
1x =
và nghiệm còn lại là
2
c
x

c
x
a
− −
= =
Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm
1
1x =
và
2
11
3
c
x
a
−
= =
Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1.
2
35 37 2 0x x− + =
2.
2
7 500 507 0x x+ − =
3.
2
49 50 0x x− − =
4.
2
4321 21 4300 0x x+ − =

1
= -1; x
2
=
4300
4321
c
a
−
=
U1.2. Cho phương trình, có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm
còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :
Ví dụ: a) Phương trình
2
2 5 0x px− + =
. Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ
hai.
b) Phương trình
2
5 0x x q+ + =
. Có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.
c) Cho phương trình :
2
7 0x x q− + =
, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai
nghiệm của phương trình.
d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình :
2
50 0x qx− + =
, biết phương trình có 2

b) Thay
1
5x =
và phương trình ban đầu ta được
25 25 0 50q q+ + = ⇒ = −
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
10
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
Từ
1 2
50x x = −
suy ra
2
1
50 50
10
5
x
x
− −
= = = −
Vậy:
50q = −
;
2
10x = −
c) Vì vai trò của x
1
và x
2

1 2
50x x =
. Suy ra
2
2 2 2
2 2
2
5
2 50 5
5
x
x x
x
= −

= ⇔ = ⇔

=


Với
2
5x = −
th ì
1
10x = −
Với
2
5x =
th ì

5
6
S x x
P x x
= + =


= =


Vậy
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình có dạng:
2 2
0 5 6 0x Sx P x x− + = ⇔ − + =
Bài tập áp dụng:
1. x
1
= 8 vµ x
2
= -3
2. x
1
= 3a vµ x
2
= a
3. x
1
= 36 vµ x

có 2 nghiệm phân biệt
1 2
;x x
. Không giải
phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :
1 2
1
1
y x
x
= +
và
2 1
2
1
y x
x
= +
Theo hệ thức VI- ÉT ta có:
1 2
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 3 9
( ) ( ) 3
2 2
x x
S y y x x x x x x
x x x x x x
 
+

2
1
y x
x
= +
và
2 2
1
1
y x
x
= +
2/ Cho phương trình :
2
5 1 0x x− − =
có 2 nghiệm
1 2
;x x
. Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn
y thoả mãn
4
1 1
y x=
và
4
2 2
y x=
(có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương
trình đã cho).
3/ Cho phương trình bậc hai:

hay
2
6 5 3 0y y+ − =
2/
2
727 1 0y y− + =
3/ a)
2 2
4 3 0y y m− + − =
b)
2 2
2 (4 3) 0y y m− − − =

ỨNG DỤNG 3 : TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của
phương trình :
2
0x Sx P− + =
(điều kiện để có hai số đó là S
2

−
4P ≥ 0 )
Ví dụ: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =
−
3 và tích P = ab =
−
4
Vì a + b =
−

2
+ b
2
= 41
2. a
−
b = 5 và ab = 36
3. a
2
+ b
2
= 61 và ab = 30
Hướng dẫn:
1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm
tích của a và b.
T ừ
( )
( )
2 2
2
2 2
81
9 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = =
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng :
1

x
= −

− − = ⇔

=

Do đó nếu a =
−
4 thì c = 9 nên b =
−
9
nếu a = 9 thì c =
−
4 nên b = 4
Cách 2: Từ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4 4 169a b a b ab a b a b ab− = + − ⇒ + = − + =
( )
2
2
13
13
13
a b
a b
a b
+ = −


+ =
và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :
1
2
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

Vậy a = 9 thì b = 4
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b:
Từ: a
2
+ b
2
= 61
( )
2
2 2 2
2 61 2.30 121 11a b a b ab⇒ + = + + = + = =
11
11

Vậy a =
5
−
; b =
6
−
hoặc a =
6
−
; b =
5
−
*) Nếu
11a b
+ =
và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình :
1
2
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
=

− + = ⇔

=

4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x
 
+ = + = + − = + − −
 
d)
1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ =
Ví dụ 2:
1 2
?x x− =
Ta biết
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 4x x x x x x x x x x x x− = + − ⇒ − = ± + −
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1.
2 2
1 2
x x−
(
( ) ( )
1 2 1 2
x x x x= − +

x x+
( =
( ) ( )
2 3 2 3 2 2 4 2 2 4
1 2 1 2 1 1 2 2
( ) ( )x x x x x x x x+ = + − +
= …… )
Bài tập áp dụng
5.
6 6
1 2
x x−
6.
5 5
1 2
x x+
7.
7 7
1 2
x x+
8.
1 2
1 1
1 1x x
+
− −
U4.2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình :
2
8 15 0x x− + =

2
1 2
x x+
Đáp số: 46
Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
14
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
b) Cho phương trình :
2
8 72 64 0x x− + =
Không giải phương trình, hãy tính:
1.
1 2
1 1
x x
+
Đáp số:
9
8
 
 ÷
 
2.
2 2
1 2
x x+
Đáp số: 65
c) Cho phương trình :
2
14 29 0x x− + =

x x
− −
+
Đáp số: 1
3.
2 2
1 2
x x+
Đáp số: 1 4.
1 2
2 1
1 1
x x
x x
+
+ +
Đáp số:
5
6
 
 ÷
 
e) Cho phương trình
2
4 3 8 0x x− + =
có 2 nghiệm x
1
; x
2
, không giải phương trình, tính

+ + + − −
= = = =
+
   
−
+ −
 
 
ỨNG DỤNG 5 : TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA
PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY
ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x
1
và x
2
(thường là
a ≠ 0 và ∆ ≥ 0 hoặc ∆' ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x
1
+ x
2
và P = x
1
x
2
theo tham số
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x
1
và x

0 ( 1)( 4) 0
5
m
m m
m
m
m
m m m
≠

− ≠ ≠
≠
 


⇔ ⇔ ⇔
   
− ≥
≥
∆ ≥ − − − ≥

 


Biªn so¹n: Nguyễn Văn Thông Trường THCS Thanh Mỹ
15
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 N¨m häc: 2009-2010
Theo hệ thức VI- ÉT ta có :
1 2 1 2
1 2 1 2

1
3
2 . 2(1 )
1
x x
m
x x
m

+ = +


−


= −

−


1 2
1 2
6
3 3 6 (1')
1
6
2 . 2 (2')
1
x x
m

không phụ thuộc vào m là
( )
1 2 1 2
3 2 8 0x x x x+ + − =
Ví dụ 2: Gọi
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình :
( )
2
1 2 4 0m x mx m− − + − =
. Chứng minh
rằng biểu thức
( )
1 2 1 2
3 2 8A x x x x= + + −
không phụ thuộc giá trị của m.
Để phương trình trên có 2 nghiệm x
1
và x
2
thì :
' 2
1
1 0 1
1
4
5 4 0
0 ( 1)( 4) 0
5

m
x x
m
m
x x
m

+ =


−

−

=

−

thay vào A ta có:
( )
1 2 1 2
2 4 6 2 8 8( 1) 0
3 2 8 3. 2. 8 0
1 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
− + − − −
= + + − = + − = = =
− − − −

;x x
độc lập đối với m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
( ) ( ) ( )
2 2
2
2 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m∆ = + − − = − + = − + >
với mọi giá trị
của m
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2

Theo hệ thức VI- ÉT ta có:
1 2
1 2
1 2
1 2
2 (1')
2 (1)
1
. 2 1 (2)
(2')
2
m x x
x x m
x x
x x m
m

1 2
;x x
không phụ thuộc vào m là
1 2 1 2
2( ) . 5x x x x+ − =
2) Cho phương trình :
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + − =
.
Tìm hệ thức liên hệ giữa
1
x
và
2
x
sao cho chúng không phụ thuộc vào m.
Hướng dẫn: Dễ thấy
2 2
(4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m∆ = + − − = + >
do đó phương trình đã cho
luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2
.
Theo hệ thức VI- ÉT ta có:
1 2 1 2
1 2 1 2
(4 1) (1) 4 ( ) 1 (1')

Ví dụ 1: Cho phương trình :
( ) ( )
2
6 1 9 3 0mx m x m− − + − =
Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2 1 2
.x x x x+ =
Bài giải : Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x
1
và x
2
là :
( )
( )
( )
2
2 2
0
0
' 9 2 1 9 27 0
' 3 21 9( 3) 0
0
0
' 9 1 0

∆ = − ≥
≥ −



Theo hệ th ức VI- ÉT ta có:
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m
−

+ =



−

=


và từ giả thiết:
1 2 1 2
x x x x+ =

x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm
1 2
&x x
là :
2 2
' (2 1) 4( 2) 0m m∆ = + − + ≥
2 2
4 4 1 4 8 0m m m⇔ + + − − ≥
7
4 7 0
4
m m⇔ − ≥ ⇔ ≥
Theo hệ thức VI-ÉT ta có:
1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
+ = +


⇔ − + = ⇔

=

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức:

( )
1 2 1 2
3 5 7 0x x x x− + + =
Bài tập áp dụng
1. Cho phương trình :
( )
2
2 4 7 0mx m x m+ − + + =
Tìm m để 2 nghiệm
1
x
và
2
x
thoả mãn hệ thức :
1 2
2 0x x− =
2. Cho phương trình :

1 2
x x+
và tích nghiệm
1 2
x x

nên ta có thể vận dụng trực tiếp hệ thức VI-ÉT để tìm tham số m.
+ Còn trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn như vậy, do đó
vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa
tổng nghiệm
1 2
x x+
và tích nghiệm
1 2
x x
rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình
bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2.
BT1: - ĐKX Đ:
16
0;
15
m m≠ ≤
-Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
( 4)
(1)
7
m
x x


⇒ + =

+ =

(2)
- Thế (1) vào (2) ta đưa được về phương trình sau:
2
1 2
127 128 0 1; 128m m m m+ − = ⇒ = = −

BT2: - ĐKXĐ:
2
22 25 0 11 96 11 96m m m∆ = − + ≥ ⇔ − ≤ ≤ +
- Theo VI-ÉT:
1 2
1 2
1
(1)
5 6
x x m
x x m
+ = −


= −

- Từ :
1 2
4 3 1x x+ =

m
m m
m
=

=

=

(tho món KX)
BT3: - Vỡ
2 2 2
(3 2) 4.3(3 1) 9 24 16 (3 4) 0m m m m m = + + = + + = +
vi mi s thc m nờn
phng trỡnh luụn cú 2 nghim phõn bit.
- Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
3 2
3
(1)
(3 1)
3
m
x x
m
x x


+ =

0
(45 96) 0
32
15
m
m m
m
=


+ =

=

(tho món)
NG DNG 7: XC NH DU CC NGHIM CA
PHNG TRèNH BC HAI.

Cho phng trỡnh:
2
0ax bx c+ + =
(a 0). Hóy tỡm iu kin phng trỡnh cú 2
nghim: trỏi du, cựng du, cựng dng, cựng õm .
a. PT (1) có ít nhất một nghiệm dơng


0
S > 0



S



>




(nếu 2 nghiêm phân biệt thì bỏ dấu =)
e. PT (1) có hai nghiệm đều âm


0
0
P > 0
S



<




(nếu 2 nghiêm phân biệt thì bỏ dấu =)

f. PT (1) có hai nghiệm trái dấu

P < 0

<



2
6
0
2
m m
P

= <


( 3)( 2) 0P m m= + <

2 3m
< <
Vy vi
2 3m
< <
thỡ phng trỡnh cú 2 nghim trỏi du.
Bi tp tham kho:
1.
( ) ( )
2
2 2 3 2 0mx m x m + + =
cú 2 nghim cựng du.
2.
( )

0B
)
max 0C k B = =
Vớ d 1: Cho phng trỡnh :
( )
2
2 1 0x m x m+ =
Gi
1
x
v
2
x
l cỏc nghim ca phng trỡnh. Tỡm m :
2 2
1 2 1 2
6A x x x x= +
cú giỏ tr nh nht.
Bi gii: Theo VI-ẫT:
1 2
1 2
(2 1)x x m
x x m
+ =


=

Theo bi :
( )

1 0x mx m− + − =
Gọi
1
x
và
2
x
là các nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn
nhất của biểu thức sau:
( )
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2 1
x x
B
x x x x
+
=
+ + +
Ta có: Theo hệ thức VI-ÉT thì :
1 2
1 2
1
x x m
x x m
+ =



+ − − +
−
= = −
+ +
Vì
( )
( )
2
2
2
1
1 0 0 1
2
m
m B
m
−
− ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤
+
Vậy
max B=1⇔
m = 1
Với cách thêm bớt khác ta lại có:
( ) ( )
( )
( )
2 2 2 2
2
2 2
2

m B
m
+
+ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ −
+
Vậy
1
min 2
2
B m= − ⇔ = −
Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện
cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
2
2
2 1
2 2 1 0
2
m
B Bm m B
m
+
= ⇔ − + − =
+
(Với m là ẩn, B là tham số) (**)
Ta có:
2
1 (2 1) 1 2B B B B∆ = − − = − +
Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì ∆ ≥ 0
hay
( ) ( )














+

















.
3. Cho phng trỡnh :
2 2
2( 4) 8 0x m x m + =
. Xỏc nh m phng trỡnh cú 2 nghim
1 2
;x x
tha món.
a)
1 2 1 2
3A x x x x= +
t giỏ tr ln nht.
b)
2 2
1 2 1 2
B x x x x= +
t giỏ tr nh nht.
4. Cho phng trỡnh :
2 2
( 1) 2 0x m x m m + =
. Vi giỏ tr no ca m, biu thc
2 2
1 2
C x x= +
dt giỏ tr nh nht.
5. Cho phng trỡnh
2
( 1) 0x m m+ + + =
. Xỏc nh m biu thc
2 2

Bài 6: Cho phơng trình : x
2
+ 4mx + 4m - 1 = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
23
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 7: Cho phơng trình : 2x
2
- 6x + (m +7) = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
Bài 8: Cho phơng trình x
2
-2(m+1)x +m- 4=0 (1) ( m là tham số)
a) Giải phơng trình khi m=2
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
d) Chứng minh rằng biểu thức M =x
1
(1-x
2
)+(1-x
1
) x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 9: Cho phơng trình: x

2
- (m +2)x +m+1 = 0 (1) (m là tham số)
a)Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm trái dấu
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm đối nhau
Bài 14: Cho phơng trình x
2
- (m +1)x +m =0 (1) (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có nghiệm với mọi m
b) Giả sử (1) có 2 nghiệm x
1
;x
2
tính S =x
1
2
+x
2
2
theo m
c) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm sao cho x
1
2
+x
2
2
=5
Bài 15: Cho phơng trình x
2
2(m-1)x m
2

Cần đọc k bài toán, có kỷ năng dịch từ ngôn ngữ sang ký hiệu toán học
Dạng 1: Toán có nội dung hình học
Bài 1: Một HCN có đờng chéo 13 m, chiều dài hơn chiều rộng 7 m. Tính diện tích
HCN đó.
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
24
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Năm học: 2009-2010
Bài 2: Một khu vờn hcn có chu vi 280m. Ngời ta làm một lối đi xung quanh vờn (thuộc
đất của vờn) rộng 2m, diện tích còn lại là 4256m
2
. Tính các kích thớc của vờn
(rộng x = 60m, dài = 80m)
Bài 3: Một hỡnh ch nht có chu vi 90m. Nếu tăng chiều rộng lên gấp đôi và giảm
chiều dài đi 15m thì ta đợc hỡnh ch nht mới có diện tích bng diện tích hỡnh ch nht
ban đầu. Tính các cạnh của hỡnh ch nht đã cho (rộng x=15m, dài =30m)
Bài 4: Một tha rung hỡnh ch nht. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và chiều rộng 3m thì
diện tích tăng 100m
2
. Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng 2m thì diện tích giảm
68m
2
. Tính kích thc thửa rộng đó (Kq:22m;14m)
Bài 5: Một thửa ruộng hình tam giác có diện tích 180m
2
. Tính chiều dài cạnh đáy thửa
ruộng, biết rằng nếu tăng cạnh đáy thêm 4m và chiều cao giảm đi 1m thì diện tích
không đổi (cạnh đáy x=36m)
Bài 6: Một tam giác vuông có chu vi là 30m, cạnh huyền là 13m. Tính các cạnh góc
vuông của tam giác.
Kq: 5m v 12m

AB
và thời gian dự định ban đầu ?
S (km) v (km/h) t (A->B)
Quãng đờng AB x (đk: x>0)
Thay đổi 1 x 35
Thay đổi 2 x 50

35
x
- 2 =
50
x
+1 Kq: 8 giờ ; 350 km
Bài 5: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến A. Sau 5h 20 phút, một chiếc ca nô cũng
khởi hành từ bến A đuổi theo và gặp thuyền cách A 20km. Tính vận tốc của thuyền, biết
vận tốc của ca nô lớn hơn vận tốc của thuyền 12km/h.
S (km) v (km/h) t (A->B)
Thuyền 20 x (đk: x>0)
Ca nô

20 x+12
Biên soạn: Nguyn Vn Thụng Trng THCS Thanh M
25