TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
1
1

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010

PHẦN
MỤC LỤC
Trang
I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC
III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI


2
y 2x 2 m 4xx 5
Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : có cực đại . ĐS : m < -2
2.


+−=
/
=

=


3
2
1 xsin 1, x
f(x)
0 ,x 0
x0
Cho hàm số : . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu
tại x =0 .
3.
( )
= = −y f(x) |x| x 3
Tìm cực trị của hàm số : . ĐS : x =0 ; x=1
4. Xác định các giá trị của tham số m để các phương trình sau có nghiệm thực :
( )
( )
++ − − −− +=x 3 3m 4 1 x3 m4 1m 0
a) . ĐS :

y2
xlog y 1
x
log
Xác định số nghiệm của hệ phương trình : ĐS : 2
6.
−

=



+
+
+ + = ++ +

22
2
yx
2
32
x1
y1
(x 2y 6) 2log (x y 2) 1
e
3log
Giải hệ phương trình : . ĐS : (x,y)=(7;7)
7.
−
−

y 4x ln y 2x 1 0
Giải hệ phương trình :
9.
( )
−+ −−=+


35
(x 5) logx 3 log (x ) x3 2
Giải phương trình :
10.
≤− + − ++− +−+4 (x 6)(2x(x 2) 1)(2x 1) 3 6 3xx 2
Giải bất phương trì nh : . ĐS :
≤≤
1
2
x7

11.
−+ −≤
−
5
3 2x 2x 6
2x 1
3
Giải bất phương trình :
12.
(
)
( )

( )

+− + + − =

−

4
1
x x1 mx xx1 1
x1
Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : .
16.

++ +=


++ ++ ++ +=


x1 y13
xy1yx1 x1 y1 m
Tìm m để hệ có nghiệm:
17.
12
x ;x
Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại tại . CMR:

< ∀≠




( ) ( )
+=



+ += +


2
xym
y 1 x xy m x 1
ĐS :
≥
33
m
2

MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
3
3
22. Giải hệ PT :
( )
( )

−=



++ − =

2
22
4x 1 x y 3 5 2y 0
4x y 2 3 4x 7

25. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :

−++=


−+ −=


2 xy y x y 5
5x 1y m
. ĐS :

∈

m 1; 5

26. Xác đị nh m để phươ ng trình sau có nghiệm thực :
( )
( )

+− + + − =

−

2 x1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1

29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Giải hệ phương trình :
−

=



− =+−


Π


∈




xy
sinx
e
siny
sin2x cos2y sinx cosy 1
x,y 0;
4


− + − += −
3
32 2 3
2x 10x 17x 8 2x 5x x
ĐS
34. Giải hệ phương trình :

+=+


++ +=


5 4 10 6
2
x xy y y
4x 5 y 8 6

35. Giải hệ phương trình :

++− =++


++− =++


22
22
x 2x 22 y y 2y 1
y 2y 22 x x 2x 1

22
11
x
5x 7
( x 6)
x
5
1

Lời giải : ĐK :
>
7
x
5

Cách 1 : PT
−
⇔ − − + =⇔=

− − −+ −

4x 6 3
6(4x 6)(x 1) 0 x
2
(x1)(5x7). x1 5x7

Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng :
( )
−−=
−−

+ − + −≤
3
32
x x 1 (x 3x 1) m

39. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) . Giải phương trình :

+ + += + +
32
x 3x 4x 2 (3 2) 3xx 1

HD : PT
( )
⇔+ + ++= + +
3
3
(x 1) (x 1) 3x 1 3x 1
. Xét hàm số :
= +>
3
tf t) t ,t( 0

40. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Giải phương trình :
−= − + −
32
3
2x 1 27x 27x 13x2 2

HD : PT
−= − + − ⇒ −−+ −=⇔

22
1).t f'(t) 3tf(t) (t 1 0
−
= − ⇒ =− ⇒=
2
2
5 4x
2x 5 2y 4x 5 2y y
2

Thế vào (2) ta có :

−
+ + −=


2
2
2
5 4x
4x 2 3 4x 7
2
, với
≤≤0
3
x
4
( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có
nghiệm duy nhất :
=x

+=+


4 xy 2x 4
x3 3y
y 4x 2 5
2xy2

44. Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x :
( )

−≤

+ −−

−−
2
sinx sinx sinx
e 1 (e 1)sinx2e e 1e1

45. ( Đề thi HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) . Giải PT :
+
+
−− = −−
22
25
22 5
log (x 2x 11) log (x 2x 12)

46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm:

≤
>
=

−− +

x
2
(x 1)e , x 0
f(x)
x ax 1, x 0
. Tìm a để tồn tại f’(0) .
 Cho
+

=

++ <

≤acosx bsinx, x
F(x)
ax b 1, x 0
0
. Tìm a,b để tồn tại f’(0) .


−>

=



. Chứng minh f(x) là hàm hằng .
MATHVN.COM
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
5
5

Tính giới hạn :
→
π
−
=
−
x
3
1
2
4
tan
N lim
2sin
x1
x1

Tính gi ới hạn :
→
−
−+
=

x

Tính giới hạn :
→
−
=
sin2x
4
s
x
nx
0
i
e e
N lim
sinx


Tính giới hạn :
→
+
=
−
0
3
5
x
x82
si
N lim

0
e
N lim
e
sin4x

Tính giới hạn :
→
−
=
−
x4
3
x0
3
8
4x
N
x
im
2
l


Tính giới hạn :
→
−
=
+ −−
9

 Tính các tổng sau :
a)
= + ++
n
T osx 2cos2x nc(x) c osnx

b)
= + ++
n
22 nn
1 x1 x 1 x
(x) tan tan tan
22
22 22
T

c)
−
+ ++ − = −
2 3 n n2
nn n
CMR : 2.1.C 3.2.C n(n 1)C n(n 1).2

d)
+ + ++=
2
n
S inx 4sin2x 9sin3x (x) s sn innx

e)

≥>a 3,n 2
(
∈n N,n
chẵn ) thì phương trình sau vô nghiệm :
+ ++
+ −+ +=
n2 n1 n2
(n 1)x 3(n 2)x a0

c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị :
 
++

=+−+
 
 
2
22
22
y (m 1) 3
xx
1x 1x
m 4m

d) Cho
≥∈n 3,n N
( n lẻ ) . CMR :
∀=
/
x0

π

9
0;
450. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm :

a) Cho các số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng nếu phương trình :
( )
2
ax b c x d e 0+ + ++=
có nghiệm thực thuộc
nửa k hoảng
[1; )+∞
thì phương trình :
4 32
bx cx dxax e0+ + + +=
có nghiệm.
b)
Cho phương trình :
5 4 32
5x 15x xP( ) xxx 3 70− + − + −==
. Chứng minh rằng, phương trình có một nghiệm thực
duy nhất.

MATHVN.COM
Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 

( )
( ) ( )
−=++ ++∀∈
2008 2008
f x f(y) f x y f f(y) y 1, x,y R

3. Tìm hàm số :
→f:R R
thoả mãn điều kiện sau :
( ) ( ) ( )
( )
+ = + ∀∈f x cos(2009y) f x 2009cos f y , x,y R

4. Tìm hàm số :
→f:R R
thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
c)
( )
≥
2009x
fx e

d)
( ) ( ) ( )
+≥ ∀ ∈fx y fx.fy, x,y R

5. Tìm hàm số :
→f:R R
thoả mãn điều kiện sau :
( )

MATHVN.COM
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
7
7


2a b

4. Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn :
+++ =a b c 36abc 2
. Tìm Max của :
=
7 89
P abc

5. Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z . CMR :
++≤
+ ++
a b c3
ab bc ca
2

6. Cho a,b,c >0 . Tìm GTNN của :
( )
++
=
6
23
abc
P
ab c

7. Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn :
++=
2 22
yx z1

a 2b 2c 2
. CMR :
++≤ab bc ca 3

11. Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện :
++=
2 22
ba c3
. CMR :
++≥
−−−
111
3
2a 2b 2c

12. Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý . CMR :
++≤
+ ++
x y z 32
xy yz zx 2

13. Cho các số thực dương a,b,c .
CMR :
−
+ + ≥+++
++
2 22 2
a b c 4(a b)
abc
b c a abc

xyz
1
x1 y1 z1

16. Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ .
CMR :
−+ −+ −+
++≥
++ ++ ++
222
2 22 22 2
(3a b c) (3b c a) (3c a b) 9
2
2a (b c) 2b (c a) 2c (a b)

17. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn :
++=
2 22
ba c1
. CMR :
++≤
−−−
1 1 19
1ab1bc 1ca 218. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn :
++=
2 22
ba c9

Lời giải :
Từ giả thiết :
++ − ++ + =⇒ ++
⇒−
= + ++ ≥ + ++
++ ++ + ≤⇒≤ ≤++
4 44 2 22 2 22 4 44 2222
2 222 2 22 2 22
b c ) 25(a b c ) 48 0 25(a b c ) 48 9(a b c ) 48 3(a b c )
3(a b c) b c) 48 0
9
3 bc
(a
16
25(a a
3

Ta lại có :

++
++= + + ≥
+++
+ + + ++ + ++
=
4442 2 2 2 2 22
2 2 2 2 22 2 2 2
a b c a b c (a b c )
b 2c c 2a a 2b
a (b 2c) b (c 2a) c (a 2b) (a b b c c a) 2(a c b a c
F


Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có

++
+≥ =
++
2 2 2 22
a (b 2c)a a (b 2c)a 2a
2
b 2c 9 b 2c 9 3
.
Tương tự
++
+≥ +≥
++
2 2 22 2 2
b (c 2a)b 2b c (a 2b)c 2c
,
c 2a 9 3 a 2b 9 3
.
Suy ra:
=++
+++
222
abc
F
b 2c c 2a a 2b( )

2 22 2 22 2 22
21
abc abc 3abc
39
.
Đặt
( )
= ++
2 22
t 3a b c
, từ giả thiết ta có:

( ) ( ) ( )
++ − = ++ ≥ ++
2
2 22 4 44 2 22
25 a b c 48 9 a b c 3 a b c( ) ( )
⇒ ++ − ++ + ≤⇒≤++≤
2
2 22 2 22 2 22
16
3abc 25abc 480 3abc
3
.
Do đó
≥− =
23

1 1 1 36
xyz
9 xy yz zx

Lời giải :
BĐT đã cho tương đươ ng với :
( )

+ + + ++ ≥


2 2 22 2 2
111
9 x y y z z x 36
xyz

Ta có :
( )
++

= ≤


3
2
xy yz zx
xyz (xy)(yz)(zx)
3

MATHVN.COM


Nên :
( )

≥ + ++ = ++ ++ ≥



++ ++

2
2
27 9
VT 4 3 (xy yz zx) . 108 6 (xy yz zx)
xy yz zx xy yz zx


+ ++ = ⇒ ≥


++
≥

9
108 6 2 (xy yz zx) 1296 VT 36
xy yz zxĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN :


z
2
4 44
12
xyz
≥ 12 hay 9 + x
2
y
2
+ z
2
y
2
+x
2
z
2
3
xyz
≥ 12 (2)
Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra:
(xy + yz + zx)(9 + x
2
y
2
+ z
2
y
2
+x

= + −−
− − − ++

−−−
+−+
=+= =
−−


2
2
2 2 2 2 2 22 222
3xy 3xy 1 (1 3xy )
1 1 1 3xy(x y) (x y)
y y (3
2xy
3x 3y 1 2xy
M
y (3x 1) x (3y 1) x 9xy 3x 1) x (x y(3y 1) x y 4x) y1

23. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c . CMR :

+ ≥+++
33
33
3
3
c abc
bca
a

≥ 0
thỏa mãn :
++=
2 22
yx z1
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức :
= +− +P 6(y z x ) 27xyz

HD :
+−
  
≤ + −+ = − −+
  
  
22 2
22 2
y z 1x
6 2(y z ) x 27x . 6 2(1 x ) x 27x
2
P
2

( )
=
Max
P 10

25. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Cho
≥ ++=

10
10
Lời giải : Đặt
⇒= = = =
2 22
a;y b;z cx abc 1
. Bất đẳng thức đã cho trở thành :
++
+ ++
≥
+ ++
333
33
2 2 22 2
333
2
3
(a (b (c
ab
b) c) a)
12
bacc

Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có :
( ) ( )
( )
=+ ++ ++ ++ ++≥
4
2 23 6 42 42 42 6 24 24 24 66 3 3
(a ab) b ab ab b b b ab abaaa 4 ba

(a
1
b ) (b c )
1 1 3(a b c)
2a
(c a
b bc a
)
c2

Và chú ý :
+
+≥
2
22
(a b)
a b
2

28. ( Đề thi HSG Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) . Cho
> ++=x,y,z 0: x y z 9
. Chứng minh rằng :

++
++
+ ++
≥
+
3 3 33 3 3
xyz

4 2 2 22 4
a (a b c ) (a b c)
abc
abc 3abc 27abc
VT

31. ( Đề thi chọn HSG QG Tỉnh Bình Định năm 2010) . Cho x,y,z >0 thỏa mãn :
+=2 xy xz 1
. Tìm giá trị nhỏ
nhất của :
+= +
3yz 4z
S
x 5xy
xyz

32. ( Đề thi chọn HSG Thái Nguyên năm 2010 ). Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện :
++=
+++
123
1
1x 2y 3z
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của :
=P xyz

33. ( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho
> ++=
2 22
ba,b c :a c,0 3

3
a
P
b
(a b c)
ca

Ta có :
++
++ = ++ = + + ≤
2
(ab bc ca)
(a b c) abc(a b c) (ab)(ac) (ab)(bc) (ac)(bc)
3

Lại có :

≥



≥ ⇒ + ≥++= + +



+
++
≥



P
( Với
++≥ab bc ca 1
)
MATHVN.COM
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
11
11
Lời giải 2 :
Đặt :
== =⇒=
z
a; b; c a
y
z
x
y
bc
x
1
. Lúc đó :
+ + ≥ ++ +
++
+
+
=
+
2 22
2

++
2 22 2
2
a b c 3abc (a b c) 9
c a b ab bc ca a b c
(a b c)
. Với :
≥+ =+
3
3a abcbc 3

36. ( Đề thi chọn đổi tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn
[0;1]
và
++=abc1
. Tìm giá
trị lớn nhất và nhỏ nhất của :
= +
+
+
++
2 22
111
P
abc111

HD : Dùng pp tiếp tuy ến và Bất đẳng thức :
+≥ ∀ ≥ +≤
++
+

  
  
2 2 2 2 22
b c bc
c a 2(abc) abc
c b a
a
b
b ac
a

Do đó :
  
    
= + ≥ +− + = + ≥
  
    
  
    
  
−+
+
∑∑
2 22 2 2 2
bc a a
2.VT 2 b a b b 2VP
ca
a
b b
ab b

b
bc

38. ( Đề thi chọn đội tuyển trường Lương Thế Vinh – Đồng Nai năm 2010 ) . Cho
>=a,b,c 0:abc 1
. Chứng minh
rằng :
≥+++ +
222
ab bc c aba c

HD : BĐT
⇔ + + ≥++
abc
abc
bca
. Chú ý là :

≥=

+

+

22
a
c 3a a c
b
ab
a

++≥ ⇒ ≤
 
++ +
 
22
33
3
bc bc bc a 1 a
2 32
a a a 2(abc) bc
32

40. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho 3 số dương a,b,c thay đổi . Tìm giá trị lớn nhất của :

=++
+ ++
bc ca ab
P.
a 3bc b 3ca c 3ab

HD : Đặt
= = =⇒=
bc
x; y; z
ca
a
xyz
b
1
. Lúc đó :

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z =1 .
MATHVN.COM
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
12
12
ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT :
Đặt
( )
= = = ∈ +∞x a,y b,z c;x,y,z 0; .

Khi đó:
=++
+ ++
2 22
yz zx xy
P.
x 3yz y 3zx z 3xy

Ta có
=++
+ ++
2 22
3yz 3zx 3xy
3P
x 3yz y 3zx z 3xy


=− ++ =−


++ + + +
2
2
xyz
Q
x y z xy yz zx
. Mặt khác
( )
++
++≤
2
xyz
xy yz zx
3

Suy ra
≥
3
Q
4
, do đó
≤⇒≤
93
3P P .
44

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
= =a b c.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng
3

=++ ≥ ++ = ++ ≥

+++ +++ +++

++
++

≥≥
++
2
2
22
22
2
2
2
abc1 1111111
P .a
bc ca ab 3 bc ca ab 3bc ca ab
33
2(a
bc
b
b c)
2 (a c3 )

Lời giải 2 : Áp dụng BĐT Swcharz :
++
++ ++ +
=++ ≥

≥
++
3 33
333
abc
(a b) (b c) (c a)
3
8

Lời giải :
= = =⇒=
bca
x; y; z ; xyz 1
abc
. Bất đẳng thức đã cho trở thành :
++≥
+++
3 33
1 1 13
8
(1 x) (1 y) (1 z)

Áp dụng AM-GM ta có :
( ) ( ) ( )
=
++
+
+
+ +≥
3

x,y 0
1 xy
1x 1y

Bổ đề này được CM bằng cách biến đổi tương đương đưa về BĐT hiển nhiên :
− +− ≥
22
xy(x y) (1 xy) 0

Do đó :
+ + ++
≥+=+= =
++
+ + + ++
2
2 2 22
1 1 z 1 z(z1)1 z z1
1 xy z 1
(
VT
1 z) (1 z) (1 z) z 2z 1

Giả sử :
= ⇒ ⇒≥= ≤
3
z Max{x,y,z} 1 yz z zx 1
. Xét hàm số :
++ −
= ≥ ∀≥
++ +

+−
−
+
2
2
2
1x
1x
x
(1x) 1x1 1x 0 1x 0
1 1x
( luôn đúng )
Thiết lập các BĐT tương tự ta có :
≥P 2

Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ :
− − −−
≤+ ≤+ +
+ + ++
1x 1y 1xy
1 ,x y
1x 1y 1xy
4
5
và
= +MaxP 1
2
3

44. ( Đề thi HSG lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . Cho

Ta lại có :
( )
++
= ++ = + + ≥
+ + + + + + ++
2
222
xz yz zx
xz xy yz (xz) (xy) (yz)
VP
y(y z) z(z x) x(x y) xyz(y z) xyz(z x) xyz(x y) 2xyz(x y z)

Mà :
++
++ = + + ≤ ≥⇒
2
(xy yz zx)
xyz(x y z) (xy)(yz) (xz)(zy) (zx)(xy) VP
3
3
2

45. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình – 2010 ) . Cho
≥ ++=
0:a ba b,c c, 3
. Chứng minh rằng :
+ + +≤++
333
11acabc 1b 5


++ ++ ++ + ≥ +++

 

  
∑
22
22
222
13 3 3
a1 b1 c1 a abc
22 2
3
Pa b c
2

Tìm GTLN :
Bổ đề : CM bất đẳng thức :
++ + ++ ≤+ ++++
22 2
1 a a 1 b b 1 1 (a b) (a b)

Bình phương 2 vế ta có :
++ +++ + ⇔ +++ + + −−++ ≤ + ≥
22 2 2
(1aa 1ab(ab) 1ab(ab))(1 (1 ab b) b b)a0

48. ( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Hải Dương năm 2008 ) . Cho
> ++=
a,b,c 0:a b c 3

14
Do đó :
( )
++
++ − + + ≥− =≥ ++ −
2
abc
2 4 74
(a b c) (ab bc ca) 1
99
P (a b
9
c
3
)
3

49. ( Đề chọn ĐT trường chuyên Bến Tre ) . Cho
≥x,y,z 0
. Tìm GTLN của :
−
+++ + + +
=
11
x y z 1 (1 x)(1 y)(1
M
z)

Giải : Đặt
≥++=xyzt0

(t 3
t
)
f( )

50. Cho
>a,b,c 0
. Chứng minh rằng :
+ + + ++
++≥
+++
4 4 4 2 22
3a 1 3b 1 3c 1 a b c
bc ca ab 2

HD : Ta có :
+=+++≥ =
4
4 444 1 3
1aaa a3 42a 1 4a

Do đó :
≥= ≥
++
∑∑
34
Svacxo
4a 4a

b c ab ac

+ + ≤ ++

++ ++ ++

2 22 2 22 2 2 2
a 11 1 1
6a b c
3a 2b c 3b 2c a 3c 2a b
bc

54. Cho
> ++=
a,b,c 0:ab bc ca 3
. CMR :
++≥
+ ++
2 22
abc
abc
2a bc 2b ca 2c ab

55. Cho
>a,b,c 0
. CMR :
+++
++≥
+++
333
22 2
1a 1b 1c

abc

59. Cho
∈(a,b,c 1;2)
. CMR :
++≥
−−−
cb
bc
ba a c
1
4b c c a 4c abab4a

60. Cho
>=a,b,c 0:abc 1
.CMR :
≥+
++ + +
36
a b c ab bc
1
ca

61. Cho
>x,y,z 0
. CMR :

+ + ≥ ++

+++


3 3 33 3 3
3 33
22 2
xyz
P 4(x y ) 4(y z ) 4(z x ) 2
yzx

64. Cho
> ++=
a,b,c 0: bca 3
. CMR :
+ + ≥++a b c ab bc ca

65. Cho
>=a,b,c 0:abc 1
. CMR:
++≤
++ ++ ++
111
1
ab1 bc1 ca1

66. Cho
>x,y,z 0
. CMR :
+ +≤
++ + ++ + ++ +
x
1

69. (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2006 ) . Cho
a,b,c
là các số thực không âm thỏa:
++=abc3
. Chứng minh:
++≥
+++
2 22
222
a b c3
2
b 1c 1a 1
.
70. Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng :
++≤
+ ++
2a 2b 2c
3
ab bc ca

HD : Đặt
== =⇒=
a
;y ;z x
bc
x
ca
yz 1
b
. Áp dụng Bổ đề :

log c log a log
9
a,b,c 1
bc ca ab abc
2

c)
72. Cho
≥ ++=0: xyx,y yzz zx, 3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của :
+= + +−+−+−
22 3 23 23 22
P x y (xy zz 1) (y 1) (z 1)x

Giải :
73. PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Cho dãy số :
( )
1
2
n1 3 n
x1
x 7 log x 11
+
=



=−+


. Chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn đó.
HD : Xét hàm số :
2
3
f (x(x) 17 lo 1) 5g ,x (0; )+∈= −
, ta có :
2
x (0;5)
11)
2x
f '(x) 0
n

,
n
−
= −< ∀∈
+

Suy ra phương trình f(x)=x có nghiệm duy nhất x = 4 .
Theo định lý Lagrage
n
(x 4)c ;∈∃
sao cho :
n nn
1
f(x ) f(4) f'(c) x 4 x 4
11ln3
− = −≤ −

( Vì
2
2
11)ln
2c 2c 1
f '(c)
(c
11ln3
2 11c ln3
3
= ≤=
+
). Do đó :

2n 2n2n 1
x1
1) 1 1x x 1 x(x )0 x(x1)0x(x
x0
+
>

−=⇒ −>⇒ −>⇒

<
+⇔

=

Đặt
2n
n
1
x) 1f (x x
+
−−=
.
+) Nếu x <0 : Hàm y=
( )
n
fx
liên tục trên R và
x
f(0) 1; lim f(x)
→−∞

n1 n n n n1 n1 n n1
f (x ) f (x ) 0 f (x ) x x
+ ++ +
> == ⇒>
. (Do hàm f(x) tăng ) .
Vậy dãy
n
{x }
là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn . Giả sử :
n
a(lim 1x a)= ≥

Ta sẽ chứng minh a=1 . Thật vậy, giả sử a > 1 .
3. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho dãy số
1
2
n
n
n1 n
u
{u }:
uu
1
u
2010
+

=



kk k
u uu u uu u u
1
u u 2010 (*)
2010 u 2010 u .u 2010.u u u
1
u
++
+
+ ++ +

−−
−=⇒=⇒= ⇒=−



Từ hệ thức (*) cho k = 1,2…,n ta có :
n
n1
1
S 2010 1
u
+

= −



Lại có :
2




+

+

⇒
( Vô lý )
Suy ra dãy {u
n
nn
n1
1
limlimu 20100 limS
u
+
= ⇒ =∞⇒= +
} tăng và không bị chặn trên, nên :
MATHVN.COM
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
17
17
4. ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho dãy số
1
2
n
n
n1 n

. Ta có :
f '(x) 1 x 0 1 2), x (;
∀∈=−<
. Do đó :

3
1 f(2) f(x) f(1) 2
2
=<<=<
. Từ đó thay x bởi :
12 n
x x , ,x;
ta có :
12 n
,x , ,1x x2< <

Suy ra dãy
n
{x }
bị chặn .
Giả sử dãy số có giới hạn là a, lúc đó a thỏa mãn pt :
2
a
a1a a 2
2
=+− ⇒=

Ta sẽ CM giới hạn này bằng định lý kẹp :
Xét hiệu :
( )



Lại có :
nn n
21x 21x 22x 22 22−< + +<< ⇒++⇒ <<

Do đó :
( )
n1 n
2
22xx
2
+
<−−
(*) . Từ (*) cho n = 1,2,… và nhân lại với nhau ta có : ( )
n
n
1
1 1
2
x2x
2
2
−
+

<

1, n 1
2
u
{u }:
u
+




=
= − ∀≥



. Tìm
n
limu
.
6. ( Đề thi HSG Tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho dãy số
1
n
22
n1 n n n n
1
xx
x
{x }:
1 xxx 1
+


Lại có :

22 22
22
nn nn n n
Mincopxki
2
2
nn
Mincopxki
13 13
xx1 xx1 x x
22 22
1 1 33
xx 2
2 2 22
  
++ − += + + − + ≥
  
  

  
≥ + +− + + =

  

 
+ ++
 

2x (n
x
{x }:
x
x ,n 1
n
1)x
1n )(
−
=
++

+
= >
−
−





Tính
n
limU
với
3
nn
U (n 1) .x= +

Lời giải : Ta có :

+− =− − +− =−+ ++ − −




Từ đó suy ra :
3
33
n
n n n1
3
n1
2
x
(n1) n1 n
n nx (n 1) x
xn
n
n
x
1
n
−
−
−−
  
= +− ⇒ = =
 
+
 


−+
+
 


+



Do đó :
3
n
2
4(n 1)
limU lim 4
n (n 1)
+
+
= =
.
9. ( Đề thi HSG Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 ) . Cho dãy
2
n
n
n1
n
0
n
2

1, nx 0= ∀>
. Hiển nhiên
n
limx 1=

+) TH1 : Nếu
0
x 1>
,
Xét hàm số :
2
2
x(x
f(x)
3)
13x
+
+
=
trên khoảng
(1; )+∞
ta có :
22
22
x
f '(x) 0
(x 1)
x (1; ) f(x),
(3
f( ) 1

+
+
⇔
−
< ⇔
++
<>
đúng với
k
x 1>

Từ đó ta có :
1 2 n n1
x x xx 1
+
> >> >>
. Dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn .
Giả sử :
( )
2
n
2
aa 3
1
limx a 0 a a 1
3a
+
=
+
>⇒= ⇒=

21
f(x ) (0;1x ), = ∈
quy nạp ta có :
n
(0; nx 1),∈∀

ta có :
kk kk
kk
k
2
2
k
2
k1
2
(x 3) 1)
x
1
x 2x (x
x x0
3x 3x 1
+
+
⇔
−
>⇔
++
><
đúng với

2
n
nn
n1
2
n
(u 3a)
a
u
{u }:
u
u ,n 0,1,
3u
+
α=

+
= =
+




. Chứng minh dãy
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
11. ( Chọn đội tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho dãy số
0
2
n
nn

12. ( Đề thi chọn ĐT HSG QG KonTum năm 2010 ) . Cho dãy số thực
n
{a }
xác định như sau :
1
n1 n
n
1
1
(naa )
a
1
a
+
=
≥



= +


.
Chứng minh rằng :
n
n
a
lim 2
n
→+∞

+
=
++

++ >= ∀




. Đặt
n
i
n
i1
1
x
y
2
=
+
=
∑
. Tìm
n
limy
.
HD :
( )
2
22


= +

. Tìm :
12 n
n
2 3 n1
11 1
xx x
lim
xx x
∞
+
→+

+ ++
−−


−



HD : Xét hàm số :
2
x 2009x
f(x) , x 1
2010 2010
=+>
. Ta có : f’(x) > 0 ,


Lại có :
2
n n1 n
n1 n n n1 n n n
n1 n n1 n n1
x
11
2010x x ) x 1) 2010 2010
x1
xx
2009x 2
(x 1)(x 1) x 1 x 1
010(x x (x
+
++
++ +

= = −⇒ = = −

− −− − −

−
⇒−

+

16. ( Bài tương tự ) . Cho dãy số :
1
24




17. ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) . Đặt
22
f(n) (n n 1) 1++ +=
với n là số nguyên dương . Xét dãy số
nn
f(1).f(3).f(5) f(2n 1)
(x
f(2).f(4).f(6) f n
x
)
):
(2
−
=
. Tính giới hạn của dãy số :
2
nn
un.x=

HD : Chú ý :
2
2
f(k 1) (k 1)
f(k)
(k 1
1
1)

2
n
n
im aln
→+∞

HD : Ta có
( )
( )
2
22
1 2 n n n1 n n n1
n1
a n n1a n a aa a a
1
1 a
n
−−
−
= ⇒− = ⇒=
+
+ ++ −
(1)
Trong (1) cho n=1,2,3….và nhân nó lạ i để tìm : a
n
19. Cho dãy số (

n
x
) thỏa :

=



++

= ∀≥


. Chứng minh rằng dãy
n
(y )
với
n
2
n
i1
i
1
y
x
=
=
∑
có giới hạn hữu hạn khi
n →∞
và tìm giới hạn đó .
Giải :
MATHVN.COM
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ

Xét hiệu :
22
n1 n1 n1 n1 n1 n1
n1
n n1 n1 n
2
n1 n1 n1
x 4x x x 4x x
4x
x x 0,(do x
2
x 0,
x
n
x4
)
2
x
−−− −−−
−
−−
− −−
++ +−
= −= = >>
+
∀
+
−

Suy ra dãy

limx
→+∞
= +∞

Lại có :

( )
2
2
n1 n1 n1
2
n n n1 n1
n n n1 n1 n1 n n n1 n1
2 22
n1 n
n n1 n n1 n
x 4x x
x (x x ) x
x 2x 4x x (x x )
111
xx
xx
x .x x
x
2
.x x
− −−
−−
− − − −−
−


  

∑
.
21. Xét dãy số thực
n
(x ),n N∈
xác định bởi :
0
3
n n1 n1
2009
6x 6sin(x
x
),n1x
−−
=

−≥= ∀




. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn
và tìm giới hạn đó .
HD : Sử dụng bất đẳng thức :
3
x
x ins x,x

n n1 n1 n1 n1
2
2
n1 n1 n1 n1 n1
3
n1
)
x 6sin(x
6x x 6sin(x
x 6x x 0)
6sin(x ) 6sin6x x 6x x(x )
−− −
− − −−
−−−−−−
−−
= −= <
−+

−
−


−

−

(Sử dụng Bất đẳng thức :
3
3
x

n + 1
2
n
x
= - 2
∀
n = 1, 2, … . Tìm
n1
n
12 n
x
lim
x .x x
+
→+∞

23. Cho dãy
1n
n
1
2
n+ n
x = 3
(x
x = 9x +11x + 3; n 1,
:
N
)
n.


n1 n
n
nn
n
8x 11x 3
x x 9x +11x + 3 x 0,
9x +11x + 3
x0
x
+
++
−= >∀=
+
>−

Giả sử
( )
n
2
n
a1
lim x a a 0 a 9a 1a 3
3
a
8
1
→+∞
+
= −


MATHVN.COM
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
21
21
24. Cho dãy số
n
(u )
xác định bởi công thức

1
22
n+1 n n
u = 2008
u = u - 4013u + 2007 ; n 1, n N.



≥∈



a) Chứng minh:
n
u n + 2007; n 1, n N≥ ∀≥ ∈
.
b) Dãy số (x
n
n
12 n

Tìm
n
n
limU
→+∞

26. Cho dãy số
( )
n
n
0
x
n
n
n1
x
x1
):
2l
(x
x1
ln2 1
n2 1
x
2
+
=

+
−

nn
n 2n
1
Cn
u
u .4
−

=
=




. . Tìm
n
limu

29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho phương trình:
x
1
xn0
2008
−+=
(1). Chứng minh rằng: với mỗi n
∈
N
*
phương trình (1) có nghiệm duy nhất, gọi nghiệm đó là x
n

=> f(x) nghịch biến trên R (1).
Ta có:
n
n1
1
f(n) 0
2008
1
f(n 1) 1 0
2008
+

= >




+ = −<



=> f(x) =0 có nghiệm x
n

∈
(n; n + 1) (2).
Từ (1) và (2) => đpcm.
Ta có: x
n
n


MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ .

30. Cho dãy số
( )
1
n
n1
n
n1
2
24
u
u:
9u
u ,n 2
5u 13
−
−
=
−
+


−

= ≥


. Tìm

n
n
u
lim
n
→+∞

HD : Tìm được :
n1
n
2
u cos
3
−
=
π
và chú ý :
x
nn
uu
1
0 lim 0
nn n
→+∞
≤ ≤⇒ =

32. Cho dãy số
( )
1
n

n
n1
u sin
2 .6
−
π
=
suy ra :
n
n
nn
n
n
sin
3.2
lim 2 .u lim
33
3.2
→+∞ →+∞
π
ππ
= =
π

33. Cho dãy số
( )
1
n1
n
n

n
n1
u tan
3.2
−
π
=

34. Cho dãy số
( )
1
n
n1
n
n1
2
3
u
,n 2
2(2n 1
u:
u
)u 1
u
−
−
=
= ∀



=
=+∈





. Tìm
n1
n
n
u
lim
u
→+∞
+

HD : Tìm được
( )
( )
n
n
n
2
u1 1
4
22=

+ −−


4
11
1
21
2
22
22
2
+
+
→+∞
+
+
+


−

−



+ −−

+


  
= = =


3
3u
,n 2
u
−
−





−
+
= ∀≥

=

. Tính
n
n
u
lim
n
→+∞

HD :
n
n
u tan
3

= ⇒=
và chú ý :
12 n
12 n
nn
n1
sin
u .u u
1
2
x x
22
si
.
2
x
n
+
π
= =
π

MATHVN.COM
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
23
23
38. Cho dãy số
1
n

. Chứng minh dãy hội tụ và tìm
n
n
lim b
→+∞

HD : Chứng minh :
n
n n1
1
b .cot
22
+
π
=


MATHVN.COM
Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
24
24

PHẦN V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Cho hình chóp tam giác đều có thể tích là 1. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp.
2. Cho tứ diện ABCD có : AB=a; CD=b ; góc giữa AB và CD bằng
α
. Khoảng cách giữa AB và CD bằng d. Tính thể tích
khối tứ diện ABCD theo a,b,d và
α
.
3. Trong các tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và thể tích bằng 36. Hãy xác định tứ diện sao
cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.
4. Cho hình hộp ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
. Các điểm M, N di động trên các cạnh AD và BB
1
1
MA NB

và điểm N thuộc đường chéo B
1
D
1
của mặt
phẳng A
1
B
1
C
1
D
1
sao cho MN song song với A
1
8. Các điểm M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, SB của tứ diện đều S.ABC . Trên các AS và CN ta chọn các
điểm P, Q sao cho PQ // BM . Tính độ dài PQ biết rằng cạnh của tứ diện bằng 1.
D.
9. Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu

0
ODC 90=
thì các mặt phẳng (OBD) và (OAD)
vuông góc với nhau .
10. Trong hình chóp tam giác đều S.ABC (đỉnh S ) độ dài các cạnh đáy bằng 6 . Độ dài đường cao SH =
15
. Qua B vẽ
mặt phẳng vuông góc với AS, mặt phẳng này cắt SH tại O . Các điểm P, Q tương ứng thuộc các cạnh AS và BC sao
cho PQ tiếp xúc với mặt cầu tâm O bán kính bằng
2

13. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho điểm O cố định và một số thực a không đổi . Một hình chóp
S.ABC thay đổi thỏa mãn :
OA OB OC a; SA OA;SB OB;SC OC===⊥⊥⊥
;



00 0
ASB 90 BSC 60 CSA;;120= = =
. Chứng
minh rằng :
a.
ABC∆
vuông .
b. Khoảng cách SO không thay đổi .

Giải :
a) Đặt : SO = x .
Ta có : Các tam giác OAS, OBS, OCS vuông nên :
22
SA SB SC ax= = −=
.
Do đó :
2 2 2 22
AB S SB a )A 2( x= =+−
;
2 2 2 0 22
SC 2SA.SCAC SA os120 3(x.a)c= −=+−
;


Phần V : HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : [email protected] Tr. 
25
25
thức :
2 22
2 22
1 11
BM AB BC
1
BM
11
OB BS

= +


⇒


=


+

22 22
11
OB BS
11
AB BC


và
1
BN AN AB z y
2
=−=−
  


Do đó :
2
22 2
(a
y a0A
1 2)
AC. C BNNz
2 2
B −= −=⇒ ⊥=
     

Lại do :
1
MN SA MN AC
2
= ⇒⊥
 

Hay :
AC (BMN) AC BM
⊥ ⇒⊥

SKMHB SKMB SMHB SDBA
V
2 b2
V
a
VV V
3 39
⇒= =+ = =
(2)
Ta lại có :
KMHB MKH BKH
1 11
S MI.HK BI.HK BM.HKS
2
S
22
= +== +
(3)
Mà :
22
22 2
HK AC a
3.a
(a 2)
33 3
+= = =
;
( )
( )
11

a 3a
23 6
+
+
= =
(5)
Từ (2), (5) suy ra :
2
SKMHB
22 22
KMHB
b2
3V
18a 2
d(S,(P))
S
9a. 3(
2ab
6a 6ab ) 3( b )++
= = =

15. ( Đề thi HSG Tỉnh Bình Phước năm 2010 ) . Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a . Trên AB lấy
điểm M, trên CC’ lấy điểm N , trên D’A’ lấy điểm P sao cho :
AM CN D'P x x a)(0
= = = ≤≤
.
a) CMR tam giác MNP là tam giác đều, tìm x để diện tích tam giác này nhỏ nhất .
b) Khi
a
x