1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x
0
 (a,b). Nếu tồn tại
0
0
xx
xx
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
0



thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại
x
0
. Ký hiệu f’(x
0
), y’(x
0
)

x






x
y
lim'y
0
x






- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a
và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:

(y) có đạo
hàm tại y = f(x):
)]y(f['f
1
)x('f
1
)y()'f(
1
1



Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0
(x

)’ = x
-1
(a
x
)’ = a
x
lna
(e
x
)’ = e



2
x
1
1
)'x(arccos


2
x
1
1
)'arctgx(


2
x
1
1
)'gxcotarc(


Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
6
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là
đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1
gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)

(u + v)
(n)
= u
(n)
+ v
(n)




n
0
k
k)kn(k
n
)n(
v.uC)uv(
trong đó u
(0)
= u, v
(0)
= v
Ví dụ: Cho y = x

(  R, x > 0), y = ke
x
, tìm y
(n)
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
8

y = y
(n)
dx
n
(d
(n)
f = f
(n)
dx) được gọi là vi phân
cấp n của hàm số f.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi
trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c)
= 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b],
khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho
)c('f
a
b
)
a
(
f
)
b
(
f

biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
12
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1)
trong lân cận D của x
0
thì x  D, x ≠ x
0
thì tồn tại c
nằm giữa x và x
0
sao cho:
1n
0
)1n(
n
0
0
)n(
2
0
0
0
0
0
)xx(
)!1n(
)c(f
)xx(

n
(
n
)xx(
)!1n(
)c(f
)x(
R





Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
13
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
• Đa thức Taylor:



n
0
k
k
0
0
k
n
)xx(

)0('f
)0(f)x(f




Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version -
14
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x
 (a,b)
0
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
a
x
a
x




lim
x
x











)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
a
x
a
x



3x




x
sin
x
x
tgx
lim
0
x



3
0x
x
x
sin
x
lim


x
1
arctgx
2
lim