Chuyên đề toán học : giới hạn, đạo hàm,
vi phân

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 1
Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân


b)
x
x
1
lim1e,xR
x
®¥
ỉư
+=Ỵ
ç÷
èø

Hệ quả:
1
x
x0
lim(1x)e.
®
+=

x0
ln(1x)
lim1
x
®
+
=

x

uu
ỉư
=-
ç÷
èø

( )
1
x'
2x
=

( )
u'
u'
2u
=

xx
(e)'e
=

uu
(e)'u'.e
=
xx
(a)'a.lna
=
uu
(a)'a.lna.u'

u'
(tgu)'(1tgu).u'
cosu
==+
2
2
1
(cotgx)'(1cotgx)
sinx
-
==-+
2
2
u'
(cotgu)'(1cotgu).u'
sinu
-
==-+
3. Vi phân:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại
x(a;b)
Ỵ
. Cho số
gia Dx tại x sao cho
xx(a;b)
+DỴ
. Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) là vi phân của
hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)).
dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx
Áp dụng đònh nghóa trên vào hàm số y = x, thì


Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.

3. Các tính chất của nguyên hàm:
·
(
)
f(x)dx'f(x)
=
ò

·
af(x)dxaf(x)dx(a0)
=¹
òò

·
[
]
f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx
+=+
òòò

·
[
]
[
]
f(t)dtF(t)Cfu(x)u'(x)dxFu(x)CF(u)C(uu(x)
)

a+
a
=+a¹-
a+
ò

1
u
uduC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

dx
lnxC(x0)
x
=+¹
ò

du
lnuC(uu(x)0)
u
=+=¹
ò

xx
edxeC

ò

sinxdxcosxC
=-+
ò

sinuducosuC
=-+
ò

2
2
dx
(1tgx)dxtgxC
cosx
=+=+
òò

2
2
du
(1tgu)dutguC
cosu
=+=+
òò

2
2
dx
(1cotgx)dxcotgxC

1
sin(axb)dxcos(axb)C(a0)
a
+=-++¹
ò

dx1
lnaxbC
axba
=++
+
ò

axbaxb
1
edxeC(a0)
a
++
=+¹
ò

dx2
axbC(a0)
a
axb
=++¹
+
ò
=
í
ï
=
ỵ

Ví dụ 1: CMR hàm số:
2
F(x)ln(xxa)
=++
với a > 0
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
f(x)
xa
=
+
trên R.
Giải:
Ta có:
2
2
2
22
2x
1
(xxa)'
2xa
F'(x)[ln(xxa)]'

ỵ

Là một nguyên hàm của hàm số
x
ekhix0
f(x)
2x1khix0
ì
³
=
í
+<
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với
x0
¹
, ta có:

x
ekhix0
F'(x)
2x1khix0
ì
>
=
í
+<

++
+
®®

===
-

Nhận xét rằng
F'(0)F'(0)1F'(0)1.
-+
==Þ=

Tóm lại:
x
ekhix0
F'(x)f(x)
2x1khix0
ì
³
==
í
+<
ỵ

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

Bài toán 2: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:

Þ giá trò của tham số.

Bài toán 3: Tìm hằng số tích phân
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
· Dùng công thức đã học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C
· Dựa vào đề bài đã cho để tìm hằng số C.
Thay giá trò C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm.

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 6
Ví dụ 3: Xác đònh a , b để hàm số:
2
xkhix1
F(x)
axbkhix1
ì
£
=
í
+>
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số:
2xkhix1
f(x)
2khix1
£
ì
=
í

2
x1
x1
f(x)F(1)x1
F'(1)=limlim2.
x1x1
-
®
®

== · Đạo hàm bên phải của hàm số y = f(x) tại điểm x
0
= 0.

x1x1x1
F(x)F(1)axb1ax1a1
F'(1)limlimlima.
x1x1x1
+++
+
®®®
-+-+
==== Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1
F'(1)F'(1)a2.

Do đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên R

F'(x)f(x),xR
Û="ỴÛ-+-+-=-+-"Ỵ
22
2ax2(ab)xb2c2x8x7,xRa1a1
ab4b3
b2c7c2
==
ìì
ïï
Û-=Û=-
íí
ïï
-=-=
ỵỵ

Vậy
-
=-+
22x
F(x)(x3x2)e
.
Trần Só Tùng Tích phân

ï
=
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số
2
22
2ln(x1)
,x0
f(x)
x1x
1,x0
ì
+
-¹
ï
=
+
í
ï
=
ỵ

Bài 3. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số
2x
F(x)(axbxc).e
-
=++ là một nguyên hàm của
hàm số
2x

=++
+
b/
1
F(x)(xsinx1)
2
=-+

Bài 5. a/ Xác đònh các hằng số a, b, c sao cho hàm số:

2
F(x)(axbxc)2x3
=++-
là một nguyên hàm của hàm số:

2
20x30x73
f(x)trênkhoảng;
2
2x3
-+
ỉư
=+¥
ç÷
èø
-

b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0.
ĐS: a/
a4;b2;c1;

Ta luôn có:
1
f(axb)dxf(axb)d(axb)vớia0.
a
+=++¹

Áp dụng tính chất 4, ta được:
11
f(axb)dx(axb)d(axb)F(axb)C(đpcm)
aa
+=++++
òò
.
Ghi chú: Công thức trên được áp dụng cho các hàm số hợp:

f(t)dtF(t)Cf(u)duF(u)C,vớiuu(x)
=+Þ=+=
òò

Ví dụ 2: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
3
(2x3)dx
+
ò
b/
4
cosx.sinxdx
ò
c/

cosx.sinxdxcosxd(cosx)C
5
=-=-+
òò

c/ Ta có:
xx
x
xx
2ed(e1)
dx22ln(e1)C
e1e1
+
==++
++
òò

d/ Ta có:
2
23
(2lnx1)11
dx(2lnx1)d(2lnx1)(2lnx1)C.
x22
+
=++=++
òò

Ví dụ 3: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/
2

1
cotgxdx1dxcotgxxC
sinx
ỉư
=-= +
ç÷
èø
òò

c/ Ta có:
sinxd(cosx)
tgxdxdxlncosxC
cosxcosx
==-=-+
òòò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 9
d/ Ta có:
3
3443
tgxsinxd(cosx)11
dxdxcosxCC.
cosxcosxcosx33cosx
-
==-=-+=-+
òòò

Ví dụ 4: Tính các tích phân bất đònh sau:
a/

x3x2(x1)(x2)x2x1
ỉư
==-
ç÷
-+
èø
òòòx2
lnx2lnx1ClnC.
x1
-
= +=+
-BÀI TẬP
Bài 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a/
2
x
f(x)cos;
2
= b/
3
f(x)sinx.

ĐS: a/
1

.
d/
25x
x
e1
dx;
e
-
+
ò
e/
x
x
e
dx
e2
+
ò

ĐS: a/
x
2exC;
-+
b/
x
x
e
C;
(1ln2)2
+

xxdx
ò
; c/
2
xx1dx
+
ò
;
d/
2001
(12x)dx;
-
ò
e/
34lnx
dx
x
-
ò

ĐS: a/
3
x1
C;
3x
-+
b/
57
5
xC;

Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng
mình từ một vài minh hoạ sau:
· Với
3263
f(x)(x2)thìviếtlạif(x)x4x4.
=-=-+

· Với
2
x4x52
f(x)thìviếtlạif(x)x3
x1x1
-+
==-+

.
· Với
2
111
f(x)thìviếtlạif(x)
x5x6x3x2
==-
-+

· Với
11
f(x)thìviếtlạif(x)(32x2x1)
2
2x132x
== +

x(1x)11
x
1x1x
++
=+
++
.
Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình.

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2002
Ix(1x)dx.
=-
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x)
ta được:
2002200220022003
x(1x)[1(1x)](1x)(1x)(1x).
-= =
Khi đó:

2002200320022003
20032004
I(1x)dx(1x)dx(1x)d(1x)(1x)d(1x)
(1x)(1x)
C.
20032004
= = +

Ta xét ba trường hợp :
· Với a = 2, ta được:
12
2
1
I[(axb)d(axb)(axb)d(axb)]
a

=++-++
òò2
11
[lnaxb]C.
aaxb
=+++
+

· Với a = –1, ta được:

1
22
11
I[d(axb)(axb)d(axb)][axblnaxb]C.
aa
-
=+-++=+-++
òò



ỉư
===-
ç÷
-+
èø

Khi đó:

ỉư
=-=-= +
ç÷
èø
òòòò
1dxdx1d(x3)d(x1)1
I.['.(lnx3lnx1)C
2x3x12x3x12-
=+
-
1x3
lnC.
2x1Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
dx
I

Sử dụng đồng nhất thức:
22
sinxcosx1,
+=

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 12
Ta được:
22
2222
2
1
1sinxcosxsinx1sinx1
2

xx
sinx.cosxsinx.sinxcosxsinxcosx
costg
22
+
==+=+
Suy ra:
22
2
x
1
dtg
sinxd(cosx)1x
2
2

I.(1tgx)d(tgx)d(tgx)tgxd(tgx)tgxtgxC.
cosxcosx3
==+=+=++
òòòòBÀI TẬP
Bài 9. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/
23
f(x)(12x);
=- b/
3x2
3
2xxe3x
f(x)
x

= ;
c/
2
(2x)
f(x);
x
+
=
d/
1
f(x)
3x43x2

ëû

Bài 10. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
a/
2
1
f(x);
x6x5
=
-+
b/
2
4x6x1
f(x);
2x1
++
=
+

c/
32
4x4x1
f(x);
2x1
+-
=
+
d/
3
2

lnC.
2122x3
-
-+
+

Bài 11. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:
Tran Sú Tuứng Tớch phaõn
Trang 13
a/
2
(sinxcosx);
+ b/
cos2x.cos2x;
34
pp
ổửổử
-+
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ
c/
3
cosx;

d/
4
cosx;
e/

8431
+++

e/
3sin4x
xC;
416
++
f/
53
xsin8xC.
864
++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 14

Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất
đònh. Phương pháp đổi biến số để xác đònh nguyên hàm có hai dạng dựa trên đònh lý sau:
Đònh lý:
a/ Nếu
f(x)dxF(x)Cvàu(x)
=+=j
ò
là hàm số có đạo hàm thì
f(u)duF(u)C
=+
ò
.

xxcostvới0t
pp
é
=-££
ê
ê
=££p
ê
ë

22
xa
-

a
xvớit;\{0}
sint22
a
xvớit[0;]\{}
cost2
é pp
éù
=Ỵ-
ê
êú
ëû
ê
p
ê
=Ỵp

2
t

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.
(1x)
=
-
ò

Giải:
Đặt xsint;t
22
pp
=-<<

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 15
Suy ra:
32
23
dxcostdtdt
dxcostdt&d(tgt)
costcost
(1x)
====
-


í
=-=-
ï
ỵ

Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh:
2
2
xdx
I
x1
=
-
ò

Giải:
Vì điều kiện
x1
>
, ta xét hai trường hợp :
· Với x > 1
Đặt:
1
x;0t
sin2t4
p
=<<
Suy ra:
2
2cos2tdt

Khi đó:
1d(tgt)
I[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2]
4tgt
= ++
òòò2222
22
11111
(cotgttgt2lntgt)C(cotgttgt)lntgtC
42282
11
xx1lnxx1C.
22
= +++= +
= +

· Với x < –1 Đề nghò bạn đọc tự làm
Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
2222
cotgttgt4xx1vàtgtxx1
-=-=

là bởi:
442
22
22222
costsint4cos2t41sin2t41

ò

Giải:
Đặt: xtgt;t
22
pp
=-<<
. Suy ra:
3
22
23
dtdxcostdt
dx&costdt.
costcost
(1x)
===
+

Khi đó:
2
x
IcostdtsintCC
1x
==+=+
+
ò

Chú ý:
1. Trong ví dụ trên sở dó ta có:
22

I,vớikZ.
(ax)
+
=Ỵ
+
òBài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân
If(x)dx.
=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân
=y
dt'(x)dx.

+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.
=
ò
++

· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt: txaxb
=+++

· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: txaxb
=-+ Trần Só Tùng Tích phân
Trang 17
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
328
Ix(23x)dx.
=-
ò

Giải:
Đặt:
2
t23x
=- . Suy ra:
dt6xdx
=

ò

Giải:
Đặt:
2
t1xx1t
=-Þ=-

Suy ra:
222
42
xdx(1t)(2tdt)
dx2tdt&2(t2t1)dt
t
1x

=-==-+
-

Khi đó:
425342
122
I2(t2t1)dt2tttC(3t10t15)tC
5315
ỉư
=-+= ++= ++
ç÷
èø
ò


5222222274
33
1t33
x(12x)dxx(12x)xdx.ttdt(tt)dt.
248
-
ỉư
-=-=-=-
ç÷
èø

Khi đó:
7485632
33113
I(tt)dtttC(5t8t)tC
8885320
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò22222
3
3
[5(12x)8(12x)](12x)C
320
= +



Khi đó:
627362
112
I2(tt)dt2ttC(3t7t)tC
7321
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò3
2
(cosx7cosx)cosxC.
21
=-+

Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh:
3
2
cosx.sinxdx
I
1sinx
=
+
ò

Giải:

ò

Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh:
2
8
cosxdx
I.
sinx
=
ò

Giải:
Đặt: t = cotgx
Suy ra:
2
1
dtdx,
sinx
=-

22
2222
862422
222
cosxdxcosxdx1dxdx
cotgxcotgx.(1cotgx)
sinxsinxsinxsinxsinxsinx
t.(1t)dt.
===+
=+

x/2
te
-
=

Suy ra:
x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
=-Û-=

x/2
xx/2xx/2x/2x/2
dxdxedx2tdt1
2(1)dt
eee(1e)e(1e)1tt1
-

-
====+Trần Só Tùng Tích phân
Trang 19
Khi đó:
x/2x/2
1
I21dt2(elne1)C.

Đặt:
x2x
t1et1e
=+Û=+

Suy ra:
x
222
x
2tdtdx2tdt2tdt
2tdtedxdx&.
t1t(t1)t1
1e
=Û===

+

Khi đó:
x
2
x
dtt11e1
I2lnClnC
t1t1
1e1
-+-
==+=+
-+
++
ò


=-=-+++=-+++
+
ò

Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I,vớia0.
xa
=¹
+
ò
.
Giải:
Đặt:
2
txxa
=++

Suy ra:
2
222
xxaxdxdt
dt1dxdx
t
xaxaxa
++
ỉư
=+=Û=

+>
ỵ

Đặt:
tx1x2
=+++

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 20
Suy ra:
11(x1x2)dxdx2dt
dtdx
t
2x12x22(x1)(x2)(x1)(x2)
+++
ỉư
=+=Û=
ç÷
++++++
èø

Khi đó:
dt
I22lntC2lnx1x2C
t
==+=++++
ò

· Với
x10

++

Khi đó:
dt
I22lntC2ln(x1)(x2)C
t
=-=-+= ++-++
ò

BÀI TẬP
Bài 12. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
29
f(x)x(x1);
=- b/
4
10
x
f(x);
x4
=
-
c/
2
3
xx
f(x);
(x2)
-
=

lnx2C;
(x2)
-
+
-
d/
2
2
1xx21
lnC.
22xx21
-+
+
++

Bài 13. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2
2x
f(x);
xx1
=
+-
b/
223
1
f(x)(a0)
(xa)
=>
+

ç÷
èø

Bài 14. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
5
3
cosx
f(x);
sinx
=
b/
1
f(x)
cosx
= ; c/
3
sinxcosx
f(x)
sinxcosx
+
=
-
;
d/
3
cosx
f(x);
sinx
= e/


d/
2
1
lnsinxsinxC;
2
-+
e/
3
1
cotgxcotgxC.
3
+

Bài 15. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
a/
2x
1
f(x);
1e
=
+
b/
x
x1
f(x);
x(1xe)
+
=
+

xx
xx
132
,lnC;
2(ln3ln2)32
-
+
-+
d/
lnln(lnx)C.
+Tích phân Trần Só Tùng
Trang 22
Vấn đề 5: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Công thức tính tích phân từng phần:
udvuvvdu.
=-
òò

Bài toán 1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác đònh
If(x)dx.
=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:

I
x1
++
=
+
ò
.
Giải:
Viết lại I dưới dạng:
2
2
x
Iln(xx1)dx.
x1
=++
+
ò

Đặt :
2
2
22
2
2
1x
uln(xx1)
dx
x1
du
x

Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh:
Icos(lnx)dx.
=
ò

Giải:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
-
ì
=
=
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
Ixcos(lnx)sin(lnx)dx.
=+

ò
(2)
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 23
Thay (2) vào (1), ta được:
x
Ix.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx)
]C.
2
=+-Û=++

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:
12
Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx
==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt :
1
usin(lnx)
ducos(lnx)dx
x
dvdx
vx
ì
=

ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
21
Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4)
=-=+
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: 12
xx
I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)]
C.
22
=-+=++Ví dụ 3: Tích tích phân bất đònh:
2
ln(cosx)

2
1
Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dx
cosx
ỉư
=+=+-
ç÷
èø
òòln(cosx).tgxtgxxC.
=+-+Bài toán 2: Tính
IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)
=aa
òò
với P là một đa thức thuộc
*
R[X]vàR.

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 24
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
duP'(x)dx

ò

trong đó A(x) và B(x) là các đa thức cùng bậc với P(x).
+ Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

P(x).cosx[A'(x)B(x)].sin[A(x)B'(x)].cosx
(2)
a=+a++

Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x)
+ Bước 3: Kết luận.
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
– Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
– Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 4: Tính :
2
Ix.sinxdx
=
ò
(ĐHL_1999)
Giải:
Biến đổi I về dạng cơ bản:

2
1cos2x1111
Ixdxxdxxcos2xdxxxcos2xdx(1)
22242
-

=
ỵ
ï
=
ï
ỵ

Khi đó:
x1x1
Jsin2xsin2xdxsin2xcos2xC.
2224
=-=++
ò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
2
1x1
Ixsin2xcos2xC.
448
=+++

Ví dụ 5: Tính :
32
I(xx2x3)sinxdx.
=-+-
ò