BAØI 1: NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Tính :
a./ (- 4xy)(2xy
2
– 3x
2
y) b./ (- 5x)(3x
3
+ 7x
2
– x)
2. Rút gọn:
A = x
2
(a – b) + b(1 – x) + x(bx + b) – ax(x + 1)
B = x
2
(11x – 2) + x
2
(x – 1) – 3x(4x
2
- x – 2)
3. Tìm hệ số của x
3
và x
2
trong đa thức sau:
( ) ( ) ( )

) – 1.
5) Cho S = 1 + x + x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
.Cm : xS – S = x
6
- 1
Bài 3:
1. Tính (3a
3
– 4ab + 5c
2
)(- 5bc).
2. Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
A = 4a
2
( 5a – 3b) – 5a
2
(4a + b),với a = -2,b = -3.
3. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
B = x(x
2
+ x + 1) – x
2
( x + 1) – x +5.

2
+ x + 1) = - x
4
– x
3
– x
2
+ m.
5. Chứng minh : khi a = 10, b = -5 giá trị biểu thức :
A = a( 2b + 1) – b(2a – 1) bằng 5.
6. Tìm x,biết: 10( 3x – 2) – 3(5x + 2) + 5( 11 – 4x) = 25.
Bài 5:
1. Tính : ( -a
4
x
5
)(- a
6
x + 2a
3
x
2
– 11ax
5
).
2. Tính biểu thức : A = mx( x – y) + y
3
(x + y) tại x = -1,y = 1
3. Tìm x, biết: 8(x – 2) – 2(3x – 4) = 2.
4. Tìm hệ số của x

2
+x – 1)( 5x
3
– x).
Bài 2:
1. Chứng minh: với a = - 3,5 giá trị biểu thức
( ) ( ) ( )
3 9 8 2 (9 1)A a a a a= + − − + −
bằng – 29.
2. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
( ) ( ) ( ) ( )
3 5 2 11 2 3 3 7Q x x x x= − + − + +
3. Biết (x – 3)(2x
2
+ ax + b) = 2x
3
– 8x
2
+ 9x – 9 .Tìm a,b.
Bài 3:
1. Tính :
a./ (2 + x)(2 – x)(4 + x
2
) b./ ( x
2
– 2xy + 2y
2
)(x – y)(x + y)
2. Tìm x,biết : x(x – 4) – ( x
2

+ 6x – x + m = (x
2
– x + 5)(x
2
+ 1).
2. Rút gọn : ( 2x – 1)(3x + 2)(3 – x).
3. Chứng minh: ( x – y)(x
4
+ x
3
y + x
2
y
2
+ xy
3
+ y
4
) = x
5
– y
5
.
A. KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN
2
BAØI 2: NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC
( ) ( )
A B C D AC AD BC BD+ + = + + +
BAØI 3+4+5: NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
( )

• + = + +
• − = − +
• − = − +
• + = + + +
• − = − + −
• + = + − +
• − = − + +
B. BÀI TẬP
Bài 1:
1. Chứng minh : ( a + b)
2
– (a – b)
2
= 4ab
2. Rút gọn: ( a +2)
2
– ( a + 2)(a – 2)
3. Tìm x,biết : ( 2x + 3)
2
– 4(x – 1)(x + 1) = 49
4. Tìm giá trị biểu thức:
( ) ( )
2
1
3 3 ( 3) 2( 2)( 4),
2
Q x x x x x cho x= + + + − − + − =
Bài 2:
1. Rút gọn biểu thức :
2 2

– (x + y)
2
= - 4xy
2. Chứng minh: (7n – 2)
2
– (2n – 7)
2
luôn luôn chia hết cho 9,
với mọi n là giá trị nguyên
3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q = - x
2
+ 6x +1.
4. Chứng minh rằng nếu (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) = (ax + by)
2

thì ay – bx = 0
Bài 5:
1. CMR: nếu a + b + c = 2p thì b
2
+ c
2
+ 2bc – a

= 1 – 3ab.
Bài 7:
1. Chứng minh : (a – b)
3
+ 3ab(a - b) = a
3
+ b
3
2. Rút gọn: (x – 3)
3
– (x + 3)
3
.
3. Cho a - b = 1.Chứng minh : a
3
- b
3
= 1 + 3ab.
Bài 8 :
3
1. Rút gọn :
3 3
1 1
2 2
a b a b
   
+ + −
 ÷  ÷
   
.

1. Tìm x,biết : x
3
+ 6x
2
+ 12x +8 = 0
2. Cho a +b +c = 0.Chứng minh : a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
3. Chứng minh rằng: (a + 2)
3
– (a +6)(a
2
+12) + 64 = 0,với mọi a.
Bài 11 :
1. Rút gọn biểu thức :
A = (m – n)(m
2
+ mn + n
2
) - (m + n)(m
2
- mn + n
2
)
2. Chứng minh: (a – 1)(a – 2)(1 + a + a
2

Bài 13:
1. Tính giá trị biểu thức :
Q = (2x – 1)(4x
2
+ 2x +1) – 4x(2x
2
– 3),với x =
1
2
2. Tìm x, biết : (x – 3)(x
2
+ 3x +9) – (3x – 17) = x
3
– 12.
3. Cho x + y = 1 và xy = -1.Tính x
3
+ y
3
.
Bài 14 :
1. Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào x.

( )
( )
( )
( )
2 2
1 1 1 1A x x x x x x= + − + − − + +
2. Tìm x,biết: 5x – (4 – 2x + x
2

b)
( )( ) ( )
2
143842 +−−+ xxx
c)
( ) ( )( )
171727
2
−+−− yyy
4
d)
( ) ( )
23
3.2 −−+ aaa
Bài 17: CM các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x, y:
a)
( )( ) ( )
xxxx 12325252
2
−−−+−
b)
( ) ( ) ( )
22632.212
23
−−−−− yyyyy
c)
( )
( ) ( )
32
20933 xxxx +−+−+

Bài 19:Chứng minh biểu thức luôn dương:
a) A=
3816
2
++ xx
b)
85
2
+−= yyB
c)
222
2
+−= xxC
d)
4102569
22
+++−= yyxxD
Bài 20: Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau:
a)
16
2
−+= xxM
b)
3510
2
−−= yyN
Bài 21:Thu gọn:
a)
( )
( )( )

2x
2
+ 5x – 3 = x(2x + 5) - 3 (1)
2x
2
+ 5x – 3 = x(2x + 5 -
x
3
) (2)
2x
2
+ 5x – 3 = 2(x
2
+
2
5
x -
2
3
) (3)
2x
2
+ 5x – 3 = (2x - 1)(x - 3) (4)
2x
2
+ 5x – 3 = 2(x -
2
1
)(x + 3) (5)
B. Nh÷ng ph¬ng ph¸p nµo thêng dïng ®Ĩ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư?

Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 3x
2
+ 12xy.
b) 5x(y + 1) - 2(y + 1).
c) 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 - 3y).
Giải
a) 3x
2
+ 12xy = 3x(x + 4y).
b) 5x(y + 1) 2(y + 1) = (y + 1)(5x - 2).
c) 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) + 28y(2 3y)
= 14x
2
(3y - 2) + 35x(3y - 2) - 28y(3y - 2)
= (3y - 2) (14x
2
+ 35x - 28y).
Phơng pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
Nội dung cơ bản của phơng pháp dùng hằng đẳng thức là gì ?
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng
đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành một tích các đa thức.
Phơng pháp dùng hằng đẳng thức:
- Nhận dạng các hằng đẳng thức.
- Kiểm tra xem có phải đúng là hằng đẳng thức không.
Chú ý: Nhiều khi phải đổi dấu mới áp dụng đợc hằng đẳng thức.

2
= [3x (x y)][3x + (x - y)] = (3x x +y)(3x + x - y)
= (2x + y)(4x - y).
Ví dụ 2
a, (x y)
3
+ (y z)
3
+ (z x)
3
HD: nhóm 2 hạng tử đầu a
3
+ b
3
= 3(x z)(x- y)(z y)
b, (x
2
+y
2
)
3
+ (z
2
- x
2
) (y
2
+ z
2
)

3
+ y
3
z
3
+ 3xyz
= (x + y)
3
z
3
3xy( x + y z) =
Phơng pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
Nội dung cơ bản của phơng pháp nhóm nhiều hạng tử là gì ?
Nhóm nhiều hạng tử của một đa thức một cách hợp lí để có thể đặt đợc nhân tử
chung hoặc dùng đợc hằng đẳng thức đáng nhớ.
Chú ý:
- Một đa thức có thể có nhiều cách nhóm
- Sau khi nhóm ta có thể áp dụng phơng pháp đặt nhân tử chung, phơng pháp dùng
hằng đẳng thức để xuất hiện nhân tử chung mới hoặc hằng đẳng thức mới.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) x
2
- 2xy + 5x - 10y. b) x(2x -3y) - 6y
2
+ 4xy. c) 8x
3
+ 4x
2
- y
3

y
2
)
= (2x -y)( x
2
+ xy + y
2
) + (2x

y)( 2x +y)
= (2x -y)( x
2
+ xy + y
2
+ 2x +y).
Phơng pháp 4: Phối hợp nhiều phơng pháp
Khi cần phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ đợc dùng riêng rẽ từng
phơng pháp hay có thể dùng phối hợp các phơng pháp đó ?
Có thể dùng phối hợp các phơng pháp đã biết.
Ví dụ 1. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) a
3
- a
2
b - ab
2
+ b
3
b) ab
2

(a +
b).
b) ab
2
c
3
+ 64ab
2
= ab
2
(c
3
+64) = ab
2
(c
3
+ 4
3
) = ab
2
(c

+ 4)(c
2
4c + 16).
c) 27x
3
y a
3
b

1
+ b
2
và b
1
.b
2
= a.c
Cách 2: Tách ax
2
+ bx + c = X
2
- B
2
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) 2x
2
- 3x + 1.
b) 6x
2
+ x - 2
c) x
2
- 2x - 3
Giải
a) 2x
2
3x + 1 = 2x
2
2x x + 1 = 2x(x 1) (x 1)

2
10x + 16 = x
2
10x + 25 9 = (x 5)
2
3
2
= (x 8)(x 2)
Phơng pháp 6: Phơng pháp thêm bớt
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) y
4
+ 64.
b) x(y
2
- z
2
) + y(z
2
- x
2
) + z(x
2
- y
2
)
c) a
2
b
2

2
+ 8

+ 4y).

b) x(y
2
z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x
2
y
2
) = x( y
2
x
2
+ x
2
z
2
) + y(z
2
x
2
) + z(x

)(x y)
= (y x)( x z) (y +x x z)
c) a
2
b
2
(b a) + b
2
c
2
(c b) a
2
c
2
( c a)
= a
2
b
2
(b- c + c a) + b
2
c
2
(c b) a
2
c
2
( c a)
=
= (b c) (a c)(b- a) (ab + bc + ca)

4
D , (x +1)(x + 3)(x + 5) (x + 7) + 15
E , (x
2
+ x)
2
+ 4x
2
+ 4x - 12
F , (x
2
+ x)(x
2
+ x + 1) - 2.
Giải
A.Đặt y = x
2
+ 4x + 8 rồi dùng phơng pháp tách phân tích
Kết quả: A = (x
2
+ 5x + 8) ( x + 2) ( x+ 4)
B. đặt y = x
2
+ 3x +1
B = (x +1)(x + 2)(x - 1)(x + 4)
C.Đặt y = x
2
2x + 2
C = (x
2

+ 1)(y 1) + (y 1)
= (y 1)(y

+ 2). (**)
Thay trở lại vào (**) ta có : (x
2
+ x - 1) )(x
2
+ x + 2).
Vậy(x
2
+ x)(x
2
+ x + 1) 2 = (x
2
+ x - 1) )(x
2
+ x + 2).
Ví dụ 2:
a. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24
b. 4(x
2
+ 15x + 50)(x
2
+ 18x + 72) - 3x
2
c. 4x(x+y)(x+y+z)(x+z)+ y
2
z
2

2
- 4(2x
2
+ x) + 3 = 0
b. (x + 1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24 = 0
HD: Phân tích vế trái thành nhân tử, đa Pt về dạng PT tích
a. (t - 1)(t- 3) = 0
*. t = 1 2x
2
+ x = 1 (x +1)(2x-1)= 0
*. t = 3 2x
2
+ x = 3 (x -1)(2x+ 3)= 0
Phơng pháp 8: Phơng pháp xét giá trị riêng
Kiến thức:
1. x = a là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0
2. x = a là nghiệm của đa thức f(x) =>
f (x) (x a)M
Lợc đồ Hoor ne
. Sơ đồ Hoóc - ne
Nếu đa thức bị chia là a
0
x
3
+ a
1
x
2
+ a
2

b
2
= ab
1
+ a
2
r = ab
2
+ a
3
9
Điều kiện để tam thức bậc hai phân tích đợc thành nhân tử.
Đối với tam thức bậc hai dạng ax
2
+ bx + c, muốn xét xem đa thức này có phân tích
đợc thành nhân tử hay không thờng dùng phơng pháp sau:
- Tính = b
2
4ac.
- Nếu 0 thì phân tích đợc.
- Nếu < 0 thì không phân tích đợc.
Ví dụ 1: f(x) = x
3
-x
2
- 4
Lần lợt kiểm tra với ớc của 4 là 1, - 1, 2, - 2, - 4, 4.
f(-1) = (-1)
3
- (-1)

+ 2x + 2)
Ví dụ 3: g(x) = 4x
3
- 7x
2
-x - 2
= (x - 2)(4x
2
+ x +1)
Ví dụ 4 : H(x) = x
3
- x
2
- 14x + 24
= (x-2)(x - 3)(x + 4)
Ví dụ 5
P = x
2
(y - z) + y
2
( z - x) + z
2
(x - y).
P = x
2
(y - z) + y
2
( z - x) + z
2
(x - y).

2
- y
2
)
Giải
+.Nếu x = y => A = 0 => A
M
(x - y)
+.Vì vai trò của x,y,z nh nhau
=>A
M
(y-z); (z-x)
=>A
M
(x - y)(y-z)(z-x)
nhân
cộng
a
10
+.Vì có bậc cao nhất là 3 còn bậc của (x - y)(y-z)(z-x) là 3
=> A = k (x - y)(y-z)(z-x) đúng với mọi x, y, z
Cho x = 0; y = 1; z = 2 thay vào => k = 1
Vậy A = (x - y)(y-z)(z-x)
Ví dụ 7
P = ab(a - b) + bc(b-c) + ca(c - a)
HD: làm tơng tự nh VD6, thay a = 2; b = 1; c = o tìm đợc k = -1
Phơng pháp 9: Phơng pháp hệ số bất định
Ví dụ 1: Phân tích : x
3
15x 18 thành đa thức bậc nhất và bậc hai

2
3x 6)
Ví dụ 2
Phân tích : x
3
19x - 30 thành đa thức bậc nhất và bậc hai
Giải
Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì
x
3
19x - 30 = (x + a) (x
2
+ bx + c)
x
3
19x - 30 = x
3
+ (a + b)x
2
+ (ab+ c)x + ac
Đồng nhất 2 đa thức ta có
a b 0(1)
ab c 19(2)
ac 30(3)
+ =


+ =



3
+ (ac + b +d)x
2
+(ad + bc)x + bd.
Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta đợc hệ điều kiện:







=
=+
=++
=+
3
14
12
6
bd
bcad
dbac
ca

143
8
6
=+
=

4
6x
3
+ 12x
2
14x + 3 = (x
2
- 4x + 1)(x
2
- 2x + 3).
Cách 2
x
4
6x
3
+ 12x
2
14x + 3
11
= x
4
4x
3
2x
3
+ x
2
+ 8x
2
+ 3x

a.ta có x = - 1; x = -2 là nghiệm của đa thức
=> x
3
+ 4x
2
+ 5x +2
M
(x+1);(x+2)
=> x
3
+ 4x
2
+ 5x +2 = (x+1)(x+2)(x+b)
b = 1
b.Ta có x = 2; x = -1 là nghiệ của đa thức
=> 2x
4
3x
3
7x
2
+ 6x + 8
M
(x+1);(x-2)
=> 2x
4
3x
3
7x
2

4
+ a
3
) ( a
4
+a
3
+ a
2
) + ( a
2
+ a + 1)
= a
3
( a
2
+ a + 1) a
2
( a
2
+ a + 1) + ( a
2
+ a + 1)
= ( a
2
+ a + 1) (a
3
a
2
+ 1).

S ={-3; 2}.
b) x
3
+ 27 + (x + 3)(x 9) = 0 (x + 3)(x
2
- 3x + 9) + (x + 3)(x 9) = 0
(x + 3)(x
2
- 3x + 9) + (x + 3)(x 9) = 0
(x + 3)(x
2
- 3x + 9 + x 9) = 0
(x + 3)(x
2
- 2x) = 0
x(x + 3)(x - 2) = 0

02
03
0
=
=+
=



x
x
x


=
=+
x
x

[
1
6
=
=
x
x
S = {-6; 1}.
Ví dụ 2. Giải các phơng trình sau
a. (x
2
+ 2x)
2
- x
2
- 2x - 2 = 0
b. x
4
- x
3
- x
2
- x - 2 = 0 [ (x+1)(x-2)(x
2
+1)= 0]

Đa về dạng A
2
+ B
2
= 0
A 0
B 0
=



=

e.(x -y)
2
+ x
2
(y +1)
2
= 0
2
x y 0
x 0
=



=

hoặc



=

hoặc
y x 21
y x 1
+ =


=

II.Tính giá trị biểu thức
Phơng pháp : Thu gọn biểu thức
Tìm giá trị của biến thay vào
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức
A = (x
2
+ 2)
2
(x+ 2)(x - 2)(x
2
+ 4) với x = -1/2
+. Rút gọn A = 4x
2
+ 20
+.Thay A = 21
Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức.
a) A = 9x
2

( )
3
3
x -1 - 4x x -1 x +1 + 3 x -1 x + x +1
với x = - 2

h) H =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
x -1 x - 2 x + x +1 4 + 2x + x
với x = 1

Ví dụ 3 : Cho x - y = 7 . Tính
A = x(x + 2) + y(y - 2)- 2xy + 37
B = x
2
(x + 1) - y
2
(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1) - 95
( = (x-y)
3
+ (x -y)
2
- 95 = 297 )
Ví dụ 4:
a) Cho x + y = 7, tính giá trị của biểu thức.
M = (x + y)
3
+ 2x

3
+ 6x(x + 1)(x - 1) Q = - 8
c) A = y(x
2
- y
2
)(x
2
+ y
2
) - y(x
4
- y
4
) A = 0
d) B = (x - 1)
3
- (x - 1)(x
2
+x + 1) - 3(1 - x)x B = 2
e) M =
2 3
1 2 1 1
+ 2x 4x - x 8x
3 3 9 27

+
ữ ữ ữ

M =

+ 4x + xy + 2y. với x=88 và y=-76
b) B = x
2
+ xy -7 x - 7y. với x=
4
3
7
và y=
5
2
2

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x
2
- (a + b)xy + aby
2
ROI
b) ab(x
2
+ y
2
) + xy(a
2
+ b
2
)
c) (xy + ab)
2
+ (ay - bx)
2

- 5x - 2xy + 5x + y
2
+ 4, biết x - y = 1
B = x
2
(x + 1) - y
2
(y - 1) + xy - 3xy(x - y + 1), biết x - y = 7.
Bài 6. Phân tích đa thức thành nhân tử.
a) (1 + x
2
)
2
- 4x(1 - x + x
2
) b) x
2
- y
2
- 2yz - z
2
c) 3a
2
- 6ab + 3b
2
- 12c
2
d) x
2
- 2xy + y

a) A = x
2
- 5x - 2xy + 5y + y
2
+ 4, biết x - y=1 ROI
b) B = x
2
(x +1) - y
2
(y - 1) + xy - 3xy(x - y +1), biết x - y=7
Bài 9. Cho x = y = z = 0. Chứng minh rằng x
3
+ x
2
y - y
2
x - xyz + y
3
= 0
Bài 10. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì.
2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2

- 8x + 4 là bình phơng đúng của
đa thức g(x) = x
2
+ cx + d
Bài 13. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) (x
2
- 8)
2
+ 36.
b) 81x
4
+ 4. c) x
5
+ x + 1
Bài 14. Phân tích đa thức thành nhân tử.
A = (x
2
+ 2x)
2
+ 9x
2
+18 + 20
B = x
2
- 4xy + 4y
2
- 2x + 4y - 35
C = (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16
D = (x
2

xx
xx
Bài 17. Cho biểu thức: A=










+

+







+
2
4
.
4
32
42

xx
.
b) Tìm các số nguyên x để
161684
16
234
4
++

xxxx
x
có giá trị nguyên.
Bài 19. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) x
2
+ 25 +10x - y
2
- 2y 1
b) x
2
+ 4y
2
- 4xy - z
2
+ 6z - 9
Bài 20. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các
biến: (x + y z - t)
2
- (z + t x - y)
2
.

+ x(x - 1) = (x - 1)[(x - 1) + x]
= (x - 1)(2x - 1).
Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c ra nhân tử, ta tách hạng
tử bx thành b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac
Bài tập 1: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
a) 4x
2
- 4x - 3;
b) 2x
2
- 5x - 3;
c) 3x
2
- 5x - 2;
d) 2x
2
+ 5x + 2.
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x
3

n-1
+ + a
1
x + a
0
có nghiệm nguyên là
x = x
0
thì x
0
là một ớc của hệ số tự do a
0
, khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có
chứa nhân tử x - x
0
. Vì vậy đối với những đa thức một biến bậc cao, ta nên tìm lấy
một nghiệm của nó để định hớng việc phân tích ra nhân tử.
Bài tập 2: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
a) x
3
+ 2x - 3;
b) x
3
- 7x + 6;
c) x
3
- 7x - 6; (Nhiều cách)
d) x
3
+ 5x

không có nghiệm nguyên, tuy vậy đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ khác.
Ta chứng minh đợc điều sau đây:
Tổng quát: Nếu đa thức f(x) = a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ + a
1
x + a
0
có nghiệm hữu tỉ là
x =
q
p
(dạng tối giản) thì p là một ớc của hệ số tự do a
0
còn q là ớc dơng của
hệ số cao nhất a
n
. Khi phân tích f(x) ra nhân tử thì f(x) có chứa nhân tử qx - p.
Trở về ví dụ 3: Xét các số
3
5
;
3
1

c) 15x
2
- 2x - 1;
d) 2x
3
- x
2
+ 5x + 3;
e) 2x
3
- 5x
2
+ 5x - 3
f) 2x
3
+ 3x
2
+ 3x + 1;
g) 3x
3
- 2x
2
+ 5x + 2;
h) 27x
3
- 27x
2
+ 18x - 4;
Đáp số:
16

2
+ 10x)(x
2
+ 10x + 24) + 128.
Đặt x
2
+ 10x + 12 = y, đa thức trở thành:
f(y) = (y - 12)(y + 12) + 128 = y
2
- 16 = (y - 4)(y + 4)
= (x
2
+ 10x + 8)( x
2
+ 10x + 16) = (x + 2)(x + 8)( x
2
+ 10x + 8).
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
f(x) = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
- 6x + 1.
Giải:
Cách 1: f(x) = x
4
+ (6x
3

2
+
2
1
x
) + 6(x -
x
1
) + 7].
Đặt x -
x
1
= y, suy ra: x
2
+
2
1
x
= y
2
+ 2. Do đó đa thức trở thành:
f(x; y) = x
2
(y
2
+ 2 + 6y + 7) = x
2
(y + 3)
2
= (xy + 3x)

e) (x + a)(x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a
4
;
f) (x
2
+y
2
+z
2
)(x+y+z)
2
+ (xy+yz+zx)
2
;
g) A = 2(x
4
+ y
4
+ z
4
) - (x
2
+ y
2
+ z
2
)
2
- 2(x
2

2
+ 7x + 16)(x + 1)(x + 6).
d) Đặt x + y = z. Đáp số: (x + y + 3)(x + y -4)
e) Đặt x
2
+ 5ax + 5a
2
= y. Đáp số: (x
2
+ 5ax +5a
2
)
2
.
f) Đặt x
2
+y
2
+z
2
= a; xy + yz + zx = b. Ta đợc: a(a + 2b) + b
2
= (a + b)
2
=
g) Đặt các biểu thức đối xứng: x
4
+ y
4
+ z

2
= -2(x
2
y
2
+ x
2
z
2
+ y
2
z
2
); b - c
2
= -2(xy + xz + yz).
Ta đợc M = -4(x
2
y
2
+ x
2
z
2
+ y
2
z
2
) + 4(xy + xz + yz)
2

2
+ (ad+bc)x + bd.
Đồng nhất đa thức này với f(x) ta đợc hệ điều kiện:







=
=+
=++
=+
.3
14
12
6
bd
bcad
dbac
ca
Xét bd = 3, với b, d Z, b {1; 3}. Với b = 3 thì d = 1, hệ điều kiện trở thành:





=+
=

2
-12x +3)
= x
2
(x
2
- 4x + 1) - 2x(x
2
- 4x + 1) + 3(x
2
- 4x + 1)
= (x
2
- 4x + 1)(x
2
- 2x +3).
Bài tập 5: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử, dùng phơng pháp hệ số bất định:
a) 4x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 2x + 1;
b) x
4
- 7x
3
+ 14x
2

- 4x + 7)(x
2
+ 4x + 9).
d) (x
2
+ 2x + 2)(2x
2
+ 2x +1).
Cách khác: (x+1)
4
+ (x
2
+ x +1)
2
= (x+1)
4
+ x
2
(x +1)
2
+ 2x(x + 1) + 1
= (x + 1)
2
[(x + 1)
2
+ x
2
] + (2x
2
+ 2x + 1)

18
Ta có: P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) đúng với mọi x,
y, z R nên ta chọn các giá trị riêng cho x, y, z để tìm hằng số a là xong.
Chú ý: Các giá trị của x, y, z ta có thể chọn tuỳ ý, chỉ cần chúng đôi một khác
nhau để tránh P = 0 là đợc.
Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = 0 thay vào đẳng thức (*), ta tìm đợc a = - 1
Vậy: P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z).
Bài tập 6: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử:
Q = a(b + c - a)
2
+ b(c + a - b)
2
+ c(a + b - c)
2
+ (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b).
Giải:
Nhận xét: với a = 0 thì Q = 0, cho nên a là một nhân tử của Q. Do vai trò bình đẳng
của a, b, c nên b và c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến

4
+ y
4
; c) x
4
+ 324.
Bài tập 3: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (175):
a) x
5
+ x
4
+ 1;
b) x
5
+ x + 1;
c) x
8
+ x
7
+ 1;
d) x
5
- x
4
- 1;
e) x
7
+ x
5
+ 1; ROI

+ c
3
) - 12abc bằng cách đổi biến: đặt a + b = m, a - b = n.
Bài tập 6**: Phân tích các đa thức sau ra nhân tử (178):
a) x
8
+ 14x
4
+ 1; b) x
8
+ 98x
4
+ 1.
Bài tập 7: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính
phơng. (180)
Bài tập 8*: Chứng minh rằng: số A = (n + 1)
4
+ n
4
+ 1 chia hết cho một số chính phơng
khác 1 với mọi số n nguyên dơng. (181)
Bài tập 9: Tìm các số nguyên a, b, c sao cho khi phân tích đa thức (x + a)(x - 4) - 7 ra
nhân tử ta đợc (x + b)(x + c). <182>
Bài tập 10: Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho khi phân tích đa thức x
3
+ ax
2
+ bx
2
+ c thành

(n
2
- 7)
2
- 36n chí hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n
Giải:
Phân tích ra thừa số: 5040 = 2
4
.3
2
.5.7
Ta có:
A = n[n
2
(n
2
- 7)
2
- 36]
= n[(n
3
- 7n)
2
- 6
2
]
= n(n
3
- 7n - 6)(n
3

Gợi ý: Phân tích thành tích của các số nguyên liên tiếp, khi đó tồn tại các số là bội
của 2, 3, 5, 7
Ví dụ 2: Số chính phơng
a) Chứng minh rằng một số chính phơng chia cho 3 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc
1
20
b) Chứng minh rằng một số chính phơng chia cho 4 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc
1
Giải:
Gọi A là số chính phơng A = n
2
(n N)
a) Xét các trờng hợp:
n = 3k (k N) A = 9k
2
chia hết cho 3
n = 3k 1 (k N) A = 9k
2
6k +1 chia cho 3 d 1
Vậy số chính phơng chi cho 3 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1
b) Xét các trờng hợp
n = 2k (k N) ) A = 4k
2
chia hết cho 4
n = 2k + 1 (k N) A = 4k
2
+ 4k +1 = 4k(k + 1) + 1 chia cho 4 d 1
Vậy số chính phơng chi cho 4 chỉ có thể có số d bằng 0 hoặc 1
áp dụng:
Trong các số sau có số nào là số chính phơng không?

n-3
.b
2
+ + a.b
n-2
+ b
n-1
) với n N
*
a
n
+ b
n
= (a + b)(a
n-1
- a
n-2
.b + a
n-3
.b
2
- - a.b
n-2
+ b
n-1
) với mọi n lẻ Công thức Niu-tơn
(a + b)
n
= a
n

(a + b)
n
= BS a + b
n
(BS a là bội số của a)
Ví dụ:
Bài tập áp dụng:
1/ Cho A = 11
100
-1
Chứng minh rằng A chia hết cho 10, chia hết cho 1000
2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, biểu thức 16
n
- 1 chia hết cho 17 khi và chỉ
khi n là số chẵn
21
3/ Chứng minh rằng với n N:
a) 11
n+1
+ 12
2n+1
chia hết cho 133
b) 3
4n+2
+ 2.4
3n+1
chia hết cho 17
c) 3.5
2n+1
+ 2

10
)
10
= (BS 25 - 1)
10
= BS 25 + 1
Vậy số d khi chia 2
100
cho 25 là 1
c) Dùng công thức Niu-tơn:
2
100
= (5 - 1)
50
= 5
50
- 50.5
49
+ +
50.49
2
.5
2
- 50.5 + 1
Ta thấy 48 số hạng đầu tiên chứa luỹ thừa của 5 với số mũ lớn hơn 3 nên chia hết cho
125. hai số hạng tiếp theo cũng chia hết cho 125, số hạng cuối cùng là 1
Vậy số d khi chia 2
100
cho 125 là 1
Bài tập áp dụng:

k
= 10t + r
k
22
Thì chữ số cuối cùng của A cũng chính là chữ số của cùng của r
k
- Nếu A = 100b +
ab
=
abc
thì
bc
là hai chữ số cuối cùng của A
-
Cách 2:
Khi lấy k lần lợt những giá trị tự nhiên khác nhau thì trong biểu diễn thập phân
của số A = n
k
chữ số cuối cùng hoặc một chữ số cuối cùng xuất hiện tuần hoàn. Ta chỉ
cần tìm chu kì của hiện tợng này và A ở trờng hợp nào với giá trị k đã cho
Cách 3: Dùng phép chia có d
Ví dụ: Tìm 3 chữ số tận cùng của 2
100
khi viết trong hệ thập phân
Giải:
Ba chữ số tập cùng của 2
100
là số d của phép chia 2
100
cho 1000

3
+ 2n
2
- 3n + 2
B = n
2
- n
Biến đổi
n
3
+ 2n
2
- 3n + 2 = (n
2
- n)(n + 3) + 2
Muốn A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n
2
- n hay n(n - 1) do đó 2 phải
chia hết cho n
n 1 -1 2 -2
n-1 0 -2 1 -3
n(n - 1) 0 2 2 6
Loại Loại
Vậy n = -1 ; n = 2
Bài tập:
1) Tìm số nguyên dơng n để n
5
+ 1 chia hết cho n
3
+ 1

Số d của phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a
* Đa thức có bậc từ bậc hai trở lên
Cách 1: Tách đa thức bị chia thành những đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách 2: Xét các giá trị riêng
Chú ý:
a
n
- b
n
Chia hết cho a - b (a b)
a
2n+1
+ b
2n+1
Chia hết cho a + b (a - b)
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức ấy chia
hết cho x - 1
Giải:
Gọi f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + a

1 2
0 1 2 1

n n n
n
a x a x a x a x x


+ + + + +
Đa thức chia là x - a thơng là
1 2
0 1 2 1

n n
n n
b x b x b x b+ + + +
số d r
Với
b
0
= a
0
b
1
= a.b
0
+ a

+ 1 với mọi một số tự nhiên
n.
Giải:
x
8n
+ x
4n
+ 1 = x
8n
+ 2x
4n
+ 1 - x
4n
= (x
4n
+ 1)
2
- (x
2n
)
2
= (x
4n
+ x
2n
+1) (x
4n
- x
2n
+1)

4n
+ 1 chia hết cho x
2n
+ x
n
+ 1
* Biến đổi các đa thức chia thành một tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 chia hết cho đa thức x
2
+ x + 1 với mọi số tự nhiên
m, n
Giải:
x
3m+1
+ x
3n+2
+ 1 = x
3m+1
- x + x
3n+2
+ 1 - x
2
+ x
2
+ x + 1