ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học 2013-2014
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm):
Cho biểu thức A =
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
x x x x x
 
+ −
+ +
 ÷
 ÷
− + + −
 

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh rằng
0 2A< ≤
.
Câu 2 (2,0 điểm):
Cho hai đường thẳng (d
1
): y = ( m – 1 ) x – m
2
– 2m (Với m là tham số)
(d

a b c b a c c b a
= + +
+ + + + + +
============ Đề gồm 01 trang =========
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHỌN HSG HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014
MÔN: TOÁN 9
Câu NỘI DUNG Điểm
Câu 1
(2,0điểm)
a) với
0, 1x x≥ ≠
Ta có A =
( ) ( )
2 1 1 2 1 2
: .
2
1 1 1 1
1 1
 
+ − + + − − − −
+ + =
 ÷
 ÷
− + + − −
− + +
 
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x


0 2A
< ≤
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(2,0điểm)
NỘI DUNG ĐIỂM
a)
(1,25đ)
Hoành độ điểm G là nghiệm của phương trình:
(m-1)x - m
2
- 2m = (m - 2)x - m
2
- m + 1
0,25đ
⇔ x = m + 1
0,25đ
Tung độ điểm G là: y = (m-1) (m+1) - m
2
- 2m 0,25đ
⇔ y = -2m - 1
0,25đ
Toạ độ điểm G là (m + 1 ; -2m - 1) 0,25đ
b)
(0,75đ)
Có y = -2m - 1 = -2(m + 1) + 1 0,25đ
Mà x = m + 1
⇒ y = -2x + 1

⇔
(2n
2
+n)
2
+2n
2
+(n+2)
2
= (2k)
2
0,25đ
⇒
(2k)
2
> (2n
2
+n)
2
0,25đ
⇒
(2k)
2

≥
(2n
2
+n+1)
2
(do k và n nguyên dương)

0,25đ
Câu NỘI DUNG Điểm
Câu 1
(2,0điểm)
a) với
0, 1x x≥ ≠
Ta có A =
( ) ( )
2 1 1 2 1 2
: .
2
1 1 1 1
1 1
 
+ − + + − − − −
+ + =
 ÷
 ÷
− + + − −
− + +
 
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x

( ) ( )
2 1 2 2
.
1 1
1 1

Câu 2
(2,0điểm)
NỘI DUNG ĐIỂM
b)
(1,0đ)
2 2
x 3x 6 3 x 3x 4 0− + − − + =
.
Ta có:
2
2 2
3 9 15 3 15
x 3x 6 x 2. x x 0
2 4 4 2 4
 
− + = − + + = + + >
 ÷
 
với moi x
Nên pt xác định với mọi x thuộc tập số thực
0,25đ
Đặt
( )
2
3 4 0x x t t− + = ≥
, phương trình trở thành:
2
3 2 0t t− + =
0,25đ
1

0,25đ
Câu 4
(3,0điểm)
NỘI DUNG ĐIỂM
Hình vẽ
Câu NỘI DUNG Điểm
Câu 1
(2,0điểm)
a) với
0, 1x x≥ ≠
Ta có A =
( ) ( )
2 1 1 2 1 2
: .
2
1 1 1 1
1 1
 
+ − + + − − − −
+ + =
 ÷
 ÷
− + + − −
− + +
 
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x

( ) ( )

< ≤
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(2,0điểm)
NỘI DUNG ĐIỂM
a)
1,0 điểm
Ta có: MA = MB ( tc 2 tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB = R
⇒MO là trung trực của AB ⇒
·
0
OFG 90=
0,5
Xét ∆OFG và ∆OCM có:
·
·
0
OFG OCM 90= =
;
·
FOG
(chung)
∆OFG∼ ∆OCM
0,5
b)
1,0 điểm
∆OFG∼ ∆OCM ⇒ OF.OM = OG.OC
0,25

: .
2
1 1 1 1
1 1
 
+ − + + − − − −
+ + =
 ÷
 ÷
− + + − −
− + +
 
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x

( ) ( )
2 1 2 2
.
1 1
1 1
− +
=
− + +
− + +
x x
x x x
x x x
0,25
0,5

Vậy khi M≡C thì dây AB có độ dài nhỏ nhất. 0,25
Câu 5
(1,0điểm)
NỘI DUNG ĐIỂM
đặt x = 3a + b + c ; y = 3b + a + c ; z = 3c + b + a
⇒ x + y + z = 5( a + b + c) =5(x – 2a ) = 5(y – 2b) =5(z – 2c)
0,25đ
⇒ 4x –(y +z) =10a; 4y –(x +z) =10b ; 4z –(y +x) =10c ;
0,25đ
⇒
4 ( ) 4 ( ) 4 ( )
10T
x y z y x z z x y
x y z
− + − + − +
= + +

= 12 –
y z x z x y
x x y y z z
 
+ + + + +
 ÷
 

Áp dụng bất đẳng thức Cô ta được
10T
≤
12 - 6 = 6
0,25đ