PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ
PHẦN I: NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM
*)Các quy tắc đạo hàm
Quy tắc cộng: (u
±
v)’ = u’
±
v’
Quy tắc nhân: (k.u)’ = k. u’, k là hằng số
(u.v)’ = u’v +uv’;
(u.v.w)’= u’.v.w+ u.v’.w+ u.v.w’
Quy tắc chia:
2
u u'v uv'
'
v v
−
 
=
 ÷
 
DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT
1.Nhị thức bậc nhất : có dạng f(x)= ax+b (
0a ≠
).
2.Xét dấu nhị thức bậc nhất :
+ Tìm nghiệm nhị thức: ax+b=0
b
x

 ÷
 
2
1 u'
'
u u
−
 
=
 ÷
 
1
( x)'
2 x
=
u'
( u)'
2 u
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = -u’.sinu
(tanx)’ =
2
1
cos x
=
1+tan
2
x (tanu)’ =
2

( )' '. .ln
u u
u u
e u e
a u a a
=
=
1
(ln )'
1
(log )'
.ln
a
x
x
x
x a
=
=
'
(ln )'
'
(log )'
.ln
a
u
u
u
u
u

*Nếu
0
∆ <
thì tam thức vô nghiệm
( f(x) cùng dấu a,
x R
∀ ∈
)
* Nếu
0
∆ =
thì tam thức có nghiệm kép
2
b
x
a
−
=
( f(x) cùng dấu a,
2
b
x
a
−
∀ ≠
)
* Nếu
0
∆ >
thì tam thức có 2 nghiệm

1
> α x
1
< x
2
< α x
1
< α < β < x
2
x
1
< α < x
2
<β α < x
1
< x
2
<β
af(x) < 0







>−
>
>∆
0

0)(
0)(
β
α
af
af



>
<
0)(
0)(
β
α
af
af









<<
>
>
>∆

2
x
2
> x
1
> 0 x
1
< x
2
< 0
P < 0






>
>
>∆
0
0
0
S
P







−∞

1
x

2
x

−∞

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
x

−∞

1
x

2
x

−∞

f(x) Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
3
x
0
23
=+++ dcxbxax

x
4)
0)34)(2(
2
>+−− xxx
5)
0)65)(12(
2
≤+−− xxx
6)
0)45)(107(
22
≤−+−+− xxxx
7)
0)76)(13112(
22
≥+−−−− xxxx
8)
0
12
65
2
≤
−
+−
x
xx
9)
0
23

12)
0)76)(1)(72(
2
≥+−−−− xxxx
13)
0)189)(25)(17(
2
≤+−−−− xxxx
14)
0
1610
)2)(752(
2
2
≤
+−
−+−−
xx
xxx
BÀI 2) Tìm tập xác định:
1)
)189)(86(
22
+−+− xxxx
2)
)1)(963(
2
−+−− xxx
3)
76

)2)(75(
2
+−
−+
xx
xx
8)
)5)(2(
107
2
−−
+−
xx
xx
BÀI 3) Tính đạo hàm
1)
5 2
1 4
3 2
5 7
y x x x= − + −
2)
2
1
x
y
x
=
+
3)

2
++
++
xx
xx
8)y =
32 ++− xx

9)y = x +
2
4 x
−
10)
=
+
sin
x
y
x cosx
11)
sin sin 5y x x=
12)
1
3 1
y
x
−
=
+
BÀI 4)CMR

( )
2
2cos cosf x x x=
;
( )
2 2
1
2
2
sin sing x x x= +
.CMR:
( ) ( )
0f x g x
′ ′
+ =
.
BÀI 5) Với giá trị nào của m thì phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt?
a)
3 2
3y x mx mx m= − + + − −
b)
( ) ( )
3
2
1 3 4
3
x
y m x m x= − + − + + −
c)
= − + − −

2
+ 2. Tìm x để : a/ y’ > 0 b/ y’< 3
4)Cho f(x) = x
3
– 2x
2
+ mx – 3. Tìm m để: a/ f’(x)
≥
0 mọi x
5)Cho
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
; Tìm m để y’ ≤ 0
3 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật

BÀI 1: SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN
1. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:
Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b)
a) Nếu f’(x) > 0 ,
∀
x
∈
(a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b)
b) Nếu f’(x) < 0 ,

Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số:
Phương pháp tìm khoảng đồng biến, nghịch biến:
B1: Tìm TXĐ
B2: Tìm y', Giải PT y' = 0 (nếu có)
Chú ý đến phương pháp xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
B3: Lập BBT và kết luận.
Bài tập:
1. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau:
a)
3 2
2 2y x x x= + + −
b )
3
3 2y x x= − +
c)
3 2
2 3 2y x x= − + +
d)
3 2
3 3 12y x x x= − + −
e)
4 2
2 5y x x= − +
f)
4 2
4 1y x x= − + −
2. Xét tính đơn điệu của hàm số:
a)
1
2

4y x x= − +
c)
2 1y x= +

Làm các bài tập 1, 2, 3, 4 sgk/10
Dạng 2: Bài toán tham số m
Chú ý:
Hàm số ĐB  y’
≥
0, với mọi x ∈ TXĐ Hàm số NB  y’
≤
0, với mọi x ∈ TXĐ
2
0
0,
0
a
ax bx c x R
>

+ + ≥ ∀ ∈ ⇔

∆ ≤

2
0
0,
0
a
ax bx c x R


Hàm số phân thức đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi y’ > 0 với mọi x thuộc D
BÀI TẬP
4. Cho hàm số y = . .CM hàm số luôn nghịch biến với mọi m
5. CMR hàm số luôn luôn nghịch biến trên TXD y =
2223
2010)2123()13( mxmmxmx ++−+−−
4 0977.991.861
PHẦN II: KIẾN THỨC 12
PHẦN II: KIẾN THỨC 12
2011)94(2
3
1
2223
+++−+− mxmmxx
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
6. Cho hàm số
1
2
mx
y
x m
−
=
+
. CMR:hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
7. CMR hàm số luôn luôn đồng biến trên TXĐ:y =
1)12(
3
1

nghịch biến trên R
12. Tìm m để hàm số
( )
2 3 2 2
5 6 6 1y m m x mx x m= − + + + + −
đồng biến trên R (Đs:
5
0
3
m− ≤ ≤
)
13. Tìm m để hàm số
( )
( )
3
2
1
3 2 2
3
m x
y mx m x
−
= + + − +
đồng biến trên R (Đs:
2m ≥
)
14. Xác định m để hàm số
3 2
2 1
3 2

nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 (Đs:
9
4
m =
)
Dạng 3: Sử dụng sự biến thiên để chứng minh Bất đẳng thức
18. a) Chứng minh: tanx > x,
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 ÷
 
b) Chứng minh: 2sinx + tanx > 3x ,
0;
2
x
π
 
∀ ∈
 ÷
 

BÀI 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Quy tắc 1 xác định CĐ, CT:
1. Tìm TXĐ
2. Tính y’. Tìm các điểm làm cho y’=0 hoặc không xác định.
3. Lập bảng biến thiên

lại chưa chắc đúng)
5 0977.991.861
)12()6(
3
1
23
+−+++= mxmmxxy
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
DẠNG 1: Sử dụng Quy tắc 1 và 2 để tìm cực trị của hàm số
Phương pháp:
Bước 1: Tìm tập xác định
Bước 2: Tìm f’(x). Giải PT f’(x) = 0, tìm nghiệm
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ BBT, suy ra các điểm cực trị của hàm số.
BÀI TẬP (lưu ý đối với hàm lượng giác ta nên dùng quy tắc 2)
1. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) y = 2x
3
+ 3x
2
– 36x -10 b) y = -x
3
+ 6x
2
+ 15x + 10 c) y = x
3
– 3x
2
– 24x + 7
b) y = -5x

(2 1) ( 2)x a x a x a− − + − +
d. y = -x
3
- 3x
2
+ 4m
2
x. e)
( )
3 2 2 3
3 3 1y x mx m x m
= − + − −
3. Chứng minh hàm số không có cực trị CM:
a) y =
3 2 2
(2 1)x mx m m x m− + − − + +
. b) y =
c) y = d) y =
Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để hàm số:
Cho hàm sô
( )
xfy =
,đồ thị là (C).
− Nghiệm của PT
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )

>


thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x=
.
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA:
− Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
− Để hàm số
( )
y f x=
không có cực trị 
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ <
.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 1 phía đối với trục tung  x
CĐ
.x

có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành
0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ <

⇔

<

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ =
.
BÀI TẬP
4. Tìm m để hàm số có cực trị (tức có CĐ, CT hoặc có 2 cực trị):
a) y = x
3
- 3(m+1)x +m + 2 b) c) y =
3 2
2 1x x mx
− + −

∀>∆ 0
'
m
y
∀≤∆ 0
'



>∆
≠
⇔
0
0a
0
≤∆
Chuyờn KSHS mt s bi toỏn liờn quan Lờ Hng Tht
5. Tỡm m hm s khụng cú cc tr (tc khụng cú C, CT)
a) b) y=
3 2
2 1x x mx +
(m<4/3)
c)
53)2(
23
+++= mxxxmy
d)
)12()6(
3
1

+bx+c=0 cú 2 nghim phõn bit khỏc x
0
.
Cú 1 cc tr: <=> ax
2
+bx+c=0 vụ nghim hoc cú nghim kộp l x
0
<=>









=
0
0
0
a
a
a) y = mx
4
+ (m
2
9).x
2
+ 3m + 2. b) y = mx

1
24
++= mxy
10. CMR hm s luụn cú 3 cc tr:
a)
2224
)12(2 mxmxy
++=
b)
2242
2)2011(
4
1
mxxmy
++=
c)
( )
201121
4
1
242
++=
xxmmy
11. Cho hm s
( ) ( )
3 2
1 2 2 2y x m x m x m= + + + +
. nh m th hm s cú hai cc tr
ng thi honh ca im cc tiu nh hn 1.
12. Cho hm s

1 2 3 , 1
3
y m x m x m x m= + + + +
. Tỡm m th hm s nhn gc
ta lm im cc tiu.
17. Cho hm s y = x
3
+ (m+3)x
2
+ 1 m. tỡm m hm s t cc i ti x = -1
18. Cho y = - (m
2
+ 5m)x
3
+ 6mx
2
+ 6x 5. Tỡm m hm s t cc i ti x = 1
19. Cho y = mx
3
+ m
2
x
2
x + 3. tỡm m hm s t cc i ti x = -1
20. Cho hm s
3 2
2 ã 12 13y x x= +
. Tỡm a hm s cú C, CT v cỏc im cc tr cỏch u Oy.
21. Tỡm cỏc h s a, b, c sao cho hm s:
3 2






>


,0)(
0
0
0
xg
a
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
2.
Khoảng cách giữa hai điểm:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1
; ; ;A x y B x y AB x x y y⇒ = − + −
3.
A(x; y) thuộc trục hoành khi y = 0, B(x;y) thuộc trục tung khi x = 0
Bài tập:
22. Cho hàm số
3 2
3 4y x x m= − +
. Chứng minh hàm số luôn có 2 cực trị. Khi đó hãy xác định m để
một trong hai điểm cực trị đó thuộc trục hoành. ( Đs: m = 0; hoặc m = 1)
23. Cho hàm số

+ =
( Đs: m = 5; m = 1
25. Cho hàm số
( ) ( )
3 2
3 1 3 2 1y x m x m m x= − + + + +
. Chứng minh hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Xác định m để hoành độ của các cực trị đó dương.
26. Cho hàm số
( )
3 2
(1 2 ) 2 2y x m x m x m= + − + − + +
. Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu
đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1. (Đs:
( )
5 7
; 1 ;
4 5
m
 
∈ −∞ − ∪
 ÷
 
)
27. ( B – 2007) Cho hàm số y = - x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2

. Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam
giác vuông cân.
33. Cho hàm số y = x
3
− 3mx
2
+ (m
2
+ 2m − 3)x + 3m + 1. Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại
và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
34. Cho hàm số
mmxxmxy 26)1(32
23
−++−=
. Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai
điểm cực trị ,viết PT ĐT qua điểm cực trị đó.
35. Cho hàm số
( )
3 2
2 3 5y m x x mx= + + + −
. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Viết PT ĐT
qua điểm cực đại, cực tiểu đó.
36. (A – 2002)Cho hàm số
( )
3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m= − + + − + −
. Viết PT ĐT qua điểm cực đại, cực
tiểu của hàm số.
37. T×m m ®Ó hµm sè
37)(

Max f x M=
8 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D
( )
0 0
( ) ,
,
f x m x D
x D f x m
≥ ∀ ∈


⇔

∃ ∈ =


; ký hiệu:
( )
D
Min f x m=
 Phương pháp tìm GTLN,GTNN trên:
Khoảng (a;b) Đoạn [a;b ]
1. TXĐ
2. Tính y’.giải PT y’=0 tìm các điểm cực trị
3. Lập bảng biến thiên.
4. Nhìn bảng biến thiên kết luận.
Làm bài tập 4, 5 trang 24 sgk
• TXĐ

3
– 3x
2
– 12x + 1 trên
5
2;
2
 
−
 
 
d) y = x
3
– 3x + 3 trên [-2; 2] e)
52)(
24
+−== xxxfy
với x
∈
[-2; 3]
f)
4 2
2 3y x x= − +
trên đoạn
[ ]
3;2−
g)
( )
3
6 2

−
=
−
trên đoạn
[ ]
0;2
41. Tìm GTLN, GTNN của hsố trên đoạn chỉ ra:
1)
= + 2 cos2 4sin y x x
[0; ]
2
π
. 2)
sin 2xy x= −

;
2
π
π
 
−
 
 
. 3)
2cosxy x= +
0;
2
π
 
 

8)
];0[;cos2sin3
32
π
xxy +=
9) y = sin
4
x + cos
2
x + 2 trên [0;π]
10)
3xcosxcosy
2
+−=







π
2
;0
11)
10sin12sin3sin2
23
+−−= xxxy
; 12)
xxy 2coscos2

y =

17)
[ ]
3;2;
ln
x
x
y =
18)
[ ]
4ln;2ln;
ee
e
y
x
x
+
=
19)
[ ]
3;0;
2
2
xx
ey
−
=
20)
[ ]

lim ; lim ; lim ; lim
0 0 0 0
y y y y
x x x x x x x x
+ + − −
= +∞ = −∞ = +∞ = −∞
→ → → →

Thì tiệm cận đứng là : x = x
0
2. Tiệm cận ngang: Nếu xảy ra một trong các trường hợp
lim lim
0 0
;y y y y
x x
= =
→+∞ →−∞
9 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Thì tiệm cận ngang là: y = y
0
3. Chú ý: Tiệm cận chỉ có ở Hàm số hữu tỉ.
4. Quy tắc tìm giới hạn của thương
( )
( )
f x
g x
lim ( )
0
f x

0 0
;x x x x
+ −
→ →
5. Cách tìm
( )
lim
( )
f x
x
g x
→±∞
: Chia tử và mẫu cho x với số mũ cao nhất rồi áp dụng
lim ; lim 0
c
c c
k
x x
x
= =
→±∞ →±∞
6. Nhắc lại:
Cho điểm M(x
0
; y
0
). ĐT d
1
; d
2

+
3)
2
2 1
x
y
x
−
=
+
4)
5
2
y
x
=
+
5)
3
1
x
y
x
+
=
−
6)
3 2
3
x

=
+
10)
3 2
3 1
x
y
x
−
=
+
11)
5
2 3
y
x
=
−
12)
4
1
y
x
−
=
+
43. Cho hàm số
4
2 3
x

y
x
+
=
−
. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiện cận đứng bằng
khoảng cách từ M đến tiện cận ngang.

BÀI 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ
I - HÀM BẬC BA y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a ≠ 0 )
  Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc ba:
Bước 1 : TXĐ : D=R
Bước 5 : Lập bảng biến thiên
Bước 2 : Tính y’. Giải PT y’=0 tìm các điểm cực
trị.
Bước 6: Nhìn BBT kết luận (có 4 ý sau)
 Hàm số đạt CĐ tại x=? khi đó y=?
 Hàm số đạt CT tại x=? khi đó y=?
 Hàm số đồng biến trên khoảng ?
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ?
Bước 3 : Tính các giới hạn:
•
3 2
( 0)
lim ( )
( 0)

x
y
 Vẽ đồ thị
Bước 4 : Tìm điểm uốn :
Tính y’’.giải y’’=0 tìm điểm uốn
NHẬN XÉT: Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm
đối xứng.
10 0977.991.861
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
 Chú ý : Có 2 loại đồ thị
BÀI TẬP
Bài 1)

3
x x− −
h) y = x
3
- 3x + 1
II - HÀM BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG y = ax
4
+ bx
2
+ c( a ≠ 0 )
  Các bước cơ bản khảo sát hàm bậc 4 trùng phương
Bước 1 : TXĐ : D=R Bước 5 : Lập bảng biến thiên
Bước 2 : Tính y’. Giải PT y’=0 tìm các điểm cực
trị.
Bước 6 : Nhìn BBT kết luận (có 4 ý sau)
 Hàm số đạt CĐ tại x=? khi đó y=?
 Hàm số đạt CT tại x=? khi đó y=?
 Hàm số đồng biến trên khoảng ?
 Hàm số nghịch biến trên khoảng ?
Bước 3 : Tính các giới hạn:
4 2
( 0)
lim ( )
( 0)
x
a
ax bx c
a
→±∞


4
2
5
3
2 2
x
y x= − +
. e)
2
3
3
2
1
24
+−= xxy
11 0977.991.861
x
y
O
•
I
x
y
O
•
I
a <
0
a >
0

=
+
( c ≠ 0; ad − bc ≠ 0 ) với
  Các bước cơ bản khảo sát hàm nhất biến
Bước 1 : TXĐ :
 
= −
 
 
d
D R
c
Bước 4 : Lập bảng biến thiên
Bước 2 : Tính
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+
.  ad−bc > 0 thì y
/
>0, ∀ x ∈D
 ad−bc < 0 thì y
/
< 0, ∀ x ∈D
Kết luận : (bắt buộc có)

1
−
+
x
x
d) y=
x
x
−
−
3
32
e) y =
1−x
x
f)
2
2
−
+
x
x
IV – CÁC BÁI TOÁN LIÊN QUAN:
VẤN ĐỀ 1 : TIẾP TUYẾN
Loại 1: TT của đồ thị tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.với TT là (d)
− Tính đạo hàm f’(x) và giá trị

2 2,
o
y x x M= − +
là giao điểm của ( C ) với đt
2y =
d. ( C ) :
3
2 ,y x x= −
với
o
M
là giao điểm của ( C ) và Oy
e. ( C ) :
4 2
2 5 3y x x= − +
với
( )
o
M C∈
là giao điểm của ( C ) và Ox.
Loại 2: Biết hệ số góc của TT là
k
. với TT là (d)
− Giải PT:
( )
'f x k=
, tìm nghiệm
0 0
x y⇒
.

−
→
y
xx
0
lim
0
lim yy
x
=
±∞→
baxyd +=∆ ://
baxyd +=∆⊥ :
a
k
1
−=
6
24
+−−= xxy
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Bài 5)
Cho (C)
73)(
3
+−== xxxfy
. Viết PT TT với (C) biết:
a) TT này song song với y= 6x-1 . b) TT vuông góc với
2
9

A A
f x k x x y
f x k

= − +


=


Tổng quát: Cho hai đường cong
( ) ( )
:C y f x=
và
( ) ( )
' :C y g x=
. Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với
nhau là hệ sau có nghiệm.
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x

=


=



2
2 3 1
3
x
y x x= − + −
, viết PT TT biết TT đó qua
(0; 1)K −
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 10)
Cho hàm số
4 2
2y x x= −
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết PT TT ∆ của (C):
a) Tại điểm có hoành độ
2x =
. b) Tại điểm có tung độ y = 3.
c) ∆ //
1
: 24 2009d x y− +
= 0. d) ∆ vuông góc với:
2
: 24 2009d x y+ +
= 0.
Bài 11)
Cho ( C ) :
3
.
1
x

+
. (ĐH−D - 07).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm điểm M thuộc (C), biết TT của (C) tại M cắt Ox, Oy tại A, B và diện tích tam giác OAB =
1
4
.
Bài 15)
Cho đồ thị hàm số
( )
3 2
: 3 4C y x x= − +
.
Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 TT với (C).
Bài 16)
Cho đồ thị hàm số
( )
4 2
: 2 1C y x x= − +
.
Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 TT đến (C).
Bài 17)
Cho đồ thị hàm số
( )
3
: 3 2C y x x= − +
.
13 0977.991.861
1
6

4 2
1 9
2
4 4
f x x x= − −
. Viết PTTT tại giao điểm của đồ thị với Ox (y =
±
15x – 45)
Bài 21)
Cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
−
. Viết PT TT của đồ thị biết TT có hệ số góc là -5
Bài 22)
( A – 2009) cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
.Viết PTTT của đồ thị hàm số biết TT đó cắt trục hồnh, trục tung

BÀI TẬP
Bài 24)
Cho hàm số y = - x
3
+ 3x + 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x
3
- 3x + m = 0
Bài 25)
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt:x
3
+ 3x
2
+ 1 = m/2
Bài 26)
Cho hàm số
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm pt: x

=+− mxx
có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 29)
Cho hàm số y =
23
3xx +−
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm m để PT sau có đúng một nghiệm :
013
23
=−++− mxx
Bài 30)
Cho hàm số
3 2
y x 3x 1= − + −
có đồ thị (C)
14 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Dùng đồ thị (C) , xác định k để PT
3 2
x 3x k 0− + =
có đúng 3 nghiệm phân biệt
Bài 31)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+ 3

+ 3mx
2
+ 3(1 –m
2
)x + m
3
– m
2

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 1
b. Tìm k để PT : -x
3
+ 3x
2
+ k
3
– 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Bài 34)
(A – 2006) Cho hàm số y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Tìm m để PT sau có 6 nghiệm phân biệt:
2|x
3
| - 9x

3
– 3x – 1
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Định m để PT
3
2
3 1 logx x m− − =
có 6 nghiệm phân biệt.( đs: 1<m<2)
Bài 38)
Cho hàm số y = x
4
– 2x
2
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b. Định m để PT
4 2
2 log 0x x m− − =
có 6 nghiệm phân biệt.( đs: 1<m<10)
  Chú ý: Giải bất PT bằng đồ thị
1. Để giải bất PT f(x) > 0 bằng đồ thi ta có thể vẽ đồ thị hàm số y = f(x), xác định giao điểm của
đồ thị với trục hoành, chọn nghiệm ứng với phần đồ thị nằm phía trên trục hoành.
( Đối với bất PT f(x) < 0 thì chọn ngược lại)
2. Để giải bất PT f(x) > g(x) bằng đồ thị ta vẽ đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x), xác định hoành
độ giao điểm, chọn nghiệm ứng với phần đồ thị f(x) ở phía trên đồ thị g(x).
VẤN ĐỀ 3 : CÁC ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN.
  Phương pháp
Đối với hàm hữu tỉ: dùng phép chia đa thức để tìm số dư rồi lý luận số dư phải là số nguyên ( đa
thức thương thường phải có hệ số nguyên)
Nếu thương có hệ số không nguyên: Quy đồng mẫu các hệ số rôì lý luận đa thức chia hết cho mẫu
BÀI TẬP ( Tìm toạ độ nguyên ở bài tập 3)

Chun đề KSHS – một số bài tốn liên quan Lê Hồng Thật
VẤN ĐỀ 4: GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐỒ THỊ
 Chú ý:
- Giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) với trục hồnh là nghiệm của PT f(x) = 0
- Điều kiện PT bậc 2 có nghiệm phân biệt, nghiệm dương
- Định lý Vi-et, cơng thức tính tọa độ trung điểm đoạn thẳng.
Nhắc lại:
1.
ĐT d qua A(x
1
; y
1
) và có hệ số góc k thì có PT : y = k(x-x
1
) + y
1
2.
Cho
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 1 2 2 2 1 2 1
; ; ;M x y N x y MN x x y y⇒ = − + −
3.
Khoảng cách từ một điểm đến một ĐT: Cho ĐT
: 0Ax By C∆ + + =
và điểm M(x
0
;y
0
) khi đó

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 sao cho
Bài 43)
Cho hàm số (ĐH-B-10)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)hàm số.
b. Tìm m để ĐT y = -2x+m cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B
sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
3
( O là gốc toạ độ)
Bài 44)
Khảo sát hàm số y = x
3
− 6x
2
+ 9x − 1 (C). Gọi d là ĐT đi qua điểm A(2; 1) và có hệ số góc m. Tìm m để
ĐT d cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt.
Bài 45)
Cho hàm số y = x
3
+ ax + 2. Tìm a để đồ thị hàm số trên cắt trục hồnh tại một và chỉ một điểm.
Bài 46)
Cho hàm số
1x
y
x
−
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm m để ĐT y = mx – 2m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt.
c) Tìm m để ĐT y = mx – 2m cắt đồ thị hàm số trên tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh.

⇔
F(x, m) = 0 (*)
 Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (C’).
 Dựa vào điều kiên có nghiệm của phương trình để biện luận
mxmxxy +−+−= )1(2
23
4
2
3
2
2
2
1
<++ xxx
1
12
+
+
=
x
x
y
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật
Bài 50)
Cho hàm số
3
1
x
y
x

Cho hàm số
3
2
x
y
x
+
=
+
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Chứng minh với mọi m, ĐT
1
2
y x m= −
luôn cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt A, B. Tìm m để AB ngắn
nhất.
Bài 54)
Cho hàm số: y =
2 1
1
x
x
−
+
(C).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Gọi d là ĐT đi qua I(2; 0) và có hệ số góc m. Định m để d cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt A và B
sao cho I là trung điểm của đoạn AB.
c. Tìm m để ĐT (d) cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt thuộc 2 nhánh.
Bài 55)

( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua trục tung
A B
A B
x x
y y
= −

⇔

=

2. Hai điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua trục hoành
A B
A B
x x
y y
=

⇔

= −


= −

5. Hai điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua ĐT d
êm I cua AB thuôc d
AB d
trung di
⊥

⇔


II. Đối xứng qua điểm
6. Hai điểm
( ) ( )
; ; ;
A A B B
A x y B x y
đối xứng qua gốc tọa độ
A B
A B
x x
y y
= −


0
0
x X x
y Y y
= +


= +

Biến đổi hàm số y = f(x) thành Y = F(X)
Chứng minh Y = F(X) là hàm số lẻ
Chú ý:
Hàm bậc ba có tâm đối xứng là điểm uốn
Hàm nhất biến có tâm đối xứng là giao điểm hai tiệm cận
BÀI TẬP
Bài 58)
Cho hàm số y = x
3
– 3mx
2

+ 3(m
2
-1)x +1 – m
2
có đồ thị (C). Xác định m để trên đồ thị có một cặp điểm
đối xứng qua gốc tọa độ.
( đs: 0<m<1)
Bài 59)
Cho hàm số y = x

Bài 63)
Cho hàm số y = 2x
3
– 3(2m+1)x
2
+6m(m+1)x + 1. Với giá trị nào của m thì đồ thị có 2 điểm cực trị đối
xứng qua ĐT y = x + 2
Bài 64)
Chứng minh đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 có tâm đối xứng là I(-1; 1)
Bài 65)
Chứng minh đồ thị hàm số y = - x
3
+ 3x – 2 có tâm đối xứng là I(0; -2)
VẤN ĐỀ 6: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI :
1. ĐỒ THỊ HÀM SỐ:
( )
y f x=
Ta có ,
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
0
f x khi f x
y f x
f x khi f x

( )
f x f x=
. Vậy đồ thị của hàm
( )
y f x=
có thể suy ra được từ đồ thị (C) của hàm số
( )
y f x=
như sau:
 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải trục tung ( ta tạm gọi là (C
1
) ), bỏ phần bên trái.
 Phần bên trái trục tung có được bằng cách lấy đối xứng của (C
1
) qua trục tung.
3. CÁC TRƯỜNG HỢP KHÁC:
Trong trường hợp không có một trong 2 dạng trên, ta tiến hành như sau:
o Xét dấu biểu thức chứa trong giá trị tuyệt đối
o Trong mỗi trường hợp xét ở trên, ta tìm quan hệ với hàm số đã vẽ đồ thị để suy ra đồ thị
của nó.
18 0977.991.861
Chuyên đề KSHS – một số bài toán liên quan Lê Hồng Thật

3
3 2y x x= − +
3
3 2y x x
= − +

3

1
x
y
x
+
=
−
BÀI TẬP
Bài 66)
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau:
19 0977.991.861
Chun đề KSHS – một số bài tốn liên quan Lê Hồng Thật
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
y x 3x 1= − + −
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
3 2
y x 3x 1= − + −
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 2
y x 3x 4= + −
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
3 2
y | x | 3x 4= + −
c. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3
y 2x 6x 1= − +
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
3
y 2x 6x 1= − +

−
=
+
. Từ đó suy ra đồ thị hàm số
2 1
1
x
y
x
−
=
+

VẤN ĐỀ 7: ĐIỂM CỐ ĐỊNH – ĐIỂM MÀ ĐỒ THỊ KHƠNG THỂ ĐI QUA
Phương pháp:
Cho (Cm): y = f(x, m) . Tìm các điểm cố đònh của (Cm) khi m thay đổi
* Gọi M(x
0
; y
0
) là điểm cố đònh (Cm) luôn đi qua
* M(x
0
; y
0
) tuộc (Cm)
⇔
y
0
= f(x

=
=
0
0
0
C
B
A
II
(
m∀
) Giải hệ ta được các cặp nghiệm (x
0
; y
0
). Đó chính là toạ độ các điểm cần tìm
Bài 67)
Cho hàm số y = x
3
– (m+1)x
2
– (2m
2
-3m+2)x + 2m(2m+1) (Cm) . Tìm điểm cố định mà họ (Cm)
ln đi qua với mọi m. Định m để (Cm) tiếp xúc Ox.
Bài 68)
Cho hàm số y = mx
3
+ (1 – m)x+1 có đồ thị (Cm). Tìm tất cả các điểm mà (Cm) khơng bao giờ
đi qua với mọi m.

−=



≠
=



≠
=
⇔
0
11
1
0
y
x
y
x
V
2y
x
V

Bài 69)
Cho đường cong (Cm): y = (m+1)x
3
– 2mx
2


=−++
=+−−
⇔
13
2
2
1
4
1
012
022
3
23
y
x
y
x
y
x
y xx
xxx
BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 70)
Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của (C) tại điểm

.
Bài 72)
Cho hàm số
3
4 3 1y x x= − −
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm PT :
− + =
3
3
0
4
x x m
Viết PT TT của (C), biết TT song song với ĐT
( )
1
15
: 10
9
= − +d y x
Viết PT TT của (C), biết TT vuông góc với ĐT
( )
2
: 1
72
= − +
x
d y
Viết PT TT của (C) , biết TT đi qua điểm
( )

( )
1
2
: 2
3
= − +d y x
Viết PT ĐT đi qua
1
1;
4
M
 
 ÷
 
và tiếp xúc với đồ thị (C).
Tìm m để ĐT
( )
2
: 1d y mx= −
cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất .
Tìm m để ĐT
( ) ( )
3
: 1d y m x= −
cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 75)
Cho hàm số
( ) ( )
2
2 1y x x= - +

Viết PT ĐT đi qua điểm
7
4;
3
M
 
 ÷
 
và tiếp xúc đồ thị (C) .
Bài 77)
Cho hàm số
( )
3 2
3 1 2y x m x= − + + −
. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
0m =
.
Biện luận theo k số nghiệm thực của PT :
3 2
3 2 0x x k− − =
.
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .Viết PT ĐT đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu .
Tìm m để hàm số đạt cực đại tại
2x
=
.
Tìm tất cả những điểm
( )
M C∈
sao cho ta kẻ được đúng một TT đến (C) .

Biện luận theo m số nghiệm thực của PT
4 2
2x x m− =
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2x =
.
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
2y =
.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết hệ số góc của TT bằng 24 .
Bài 80)
Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − + −
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Biện luận theo m số nghiệm thực của PT
4 2
2x x m− =
.
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
2x
=
.
Viết PT TT của đồ thị (C) tại điểm có tung độ
9y = −
.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết hệ số góc của TT bằng 24
Bài 81)
Cho hàm số
4 2

45
= − +
d y x
.
Bài 83)
Cho hàm số
4 2
1
2 1
4
y x x= − + −
(C). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Tìm m để PT
4 2
8 4x x m− + =
có 2 nghiệm thực phân biệt .
Viết PT TT của (C) tại điểm có hoành độ
1x
=
.
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT
( )
: 8 231 1 0d x y
− + =
.
Viết PT ĐT đi qua điểm
( )
0; 1M −
và tiếp xúc với đồ thị (C) .
Bài 84)

2
x
x− < −
.
Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại
3x =
. Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị .
Bài 86)
Cho hàm số
4 2 2
2y x mx m m= + + +
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
2m = −
.
Biện luận theo k số nghiệm thực của PT
4 2
4 0x x k− + =
.
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1x
= −
.Tìm m để hàm số có 1 cực trị .
Bài 87)
Cho hàm số
( )
4 2 2
9 10y mx m x= + − +
(1)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
1m
=

1
2
y = −
.
Viết PT TT của (C) , biết hệ số góc của TT
3k = −
.
Tìm m để ĐT
( )
5
: 2
3
d y mx m= + −
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt .
Bài 89)
Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của (C) tại điểm có tung độ
1
2
y =
.

+
(C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành .
Viết PT TT của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung .
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT vuông góc với ĐT
( )
1
8 1
:
9 3
d y x= − +
.
Tìm m để ĐT
( )
2
: 2= −d y mx m
cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương .
Bài 91)
Cho hàm số
3 1
1
x
y
x
+
=
−
(C)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
Viết PT TT của đồ thị (C) , biết TT song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất .
Tìm m để ĐT

Cho hàm số
4
1
x
y
x
+
=
+
(C) . Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
a) Viết pt TT của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số với Oy
b) Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên
Bài 94)
Cho hàm số
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +

( )
m
C
,m là tham số
1. Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 0
2. Tìm m để hàm số có cực trị
3. Tìm m để
( )
m
C
nhận điểm
(1;2)I
làm điểm uốn

Bài 96)
Cho hàm số
37
23
+++= xmxxy
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= -8
b) Tìm m để hàm số có ĐT đi qua điểm cực đại cực tiểu vuông góc với ĐT y=3x-7
Bài 97)
Cho hàm số
)1()232()1(3
223
−−+−+−−= mmxmmxmxy
a)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m= 1
b)
Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu và ĐT đi qua cực đại cực tiểu tạo với ĐT
5
4
1
+
−
=
xy
một
góc 45
0
Bài 98)
Cho hàm số
mxmxxy ++−=
223

( )C
1. Khảo sát và vẽ (C) sau đó viết pt TT tại điểm uốn
2. Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của PT
3 2
6 9 2 0x x x m− + − =
(*)
3. Từ (C) suy ra đồ thị
3 2
1
( ) : 6 9C y x x x= − +
7. Biện luận số nghiệm pt
3 2
6 9 1x x x m− + = +
5. Viết pt ĐT đi qua 2 điểm cực trị của (C) 6. Tìm tâm đối xứng của (C)
Bài 103)
Cho hàm số
3 2
2
x
y
x
+
=
+
(C)
1. Khảo sát và vẽ (C)
2. Tìm trên (C) nhữn điểm có tọa độ là những số nguyên
3. Chứng minh rằng không có TT nào của (C) đi qua gốc tọa độ
4 vẽ các đồ thị sau :
3 2

1) Khảo sár và vẽ (C) khi m = 3
2) Tìm m để hàm số có cực trị. Viết PT ĐT qua 2 điểm cực trị
3) Biện luận theo k số giao điểm của (C) và ĐT (D) :
2y kx= +
Bài 105)
Cho hàm số
3
2 8( )
m
y x mx m C= − + −

1) Khảo sát và vẽ (C) khi m = 3. Viết pttt tại điểm uốn
2) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của pt :
3
3 2 0x x k− − − =
(*)
3) Định m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
4) từ (C) suy ra
3
1
( ) : 3 2C y x x= − −
Bài 106)
Cho hàm số
2 2
( 1) ( 1)y x x= + −
(C)

x
+
= =
+
.( Trường Hàng Không Việt Nam - 2000 )
1) Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định
2) Khảo sát và vẽ (C) khi m = 0 3) Viết pttt với (C) biết TT song song với đt :
2y x=
Bài 110)
1) Khảo sát và vẽ (C) :
3 2
6 9y x x x= − +
2) Tìm tất cả các ĐT đi qua
(4;4)A
và cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 111)
( ĐHQG TPHCM – 96 ) :
3 2
( ) : 1
m
C y x mx= + +
. Tìm m để đths cắt ĐT
1y x= − +
tại 3 điểm phân biệt
(0;1)A
;B;C sao cho TT tại B và C vuông góc nhau
Bài 112)
Cho hàm số
3
y x 3x 2= − + −


1)Khảo sát hàm số khi k=-3.
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
-3
) và trục hoành .
3)Tìm các giá trị k để (C
k
) tiếp xúc với ĐT (d) có PT y=x+1
Bài 115)
Cho hàm số
3
1
y x 3x
4
= −
(C)
1)Khảo sát hàm số.
2)Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hoành độ
x 2 3=
. Viết PTĐT d qua M và là TT của (C).
3)Tính diện tích hình giới hạn bởi (C), và TT của nó tại M.
Bài 116)
Cho hàm số y=-x
4
+2x
2
+3 (C)
1)Khảo sát hàm số
2) Định m để PT x
4

1)Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
2)Viết PT TT tại điểm uốn của đồ thị (C).
25 0977.991.861