1. Tìm ?
3
2
2 1
lim
2 1
n
n n
−
− +

§
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn.
Nội dung

Củng cố

1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

ĐỊNH NGHĨA 1 (sgk, tr 146)
Giả sử (a;b) là khoảng chứa điểm và f là một
hàm số xác định trên tập hợp . Ta
nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x
dần đến (hoặc tại điểm ) nếu với mọi dãy số

lim ( )
n
f x L
=
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
0
( )f x L khi x x
→ →

1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
Tóm tắt định nghĩa
Giả sử và f là một hàm số xác định trên
0
( ; )x a b
∈
0
( ; ) \{ }a b x
0
0 0
( ) ( ; ) \{ } lim
lim ( )

3 2
( ) 3 5f x x x x= − + +
- Với mọi dãy số (x
n
) trong (-2;5)\{2} mà
lim x
n
= 2, ta có
3 2
( ) 3 5
n n n n
f x x x x= − + +
- Ta nói hàm số f có giới hạn là 3 khi x
dần đến 2
3 2
2
lim( 3 5) 3
x
x x x
→
− + + =
- Khi đó ta viết
- Xét
0
2x
=
ta có (-2;5) là khoảng chứa 2
- Ta có (-2;5) là khoảng chứa 2
- f xác định trên tập (-2;5)\{2}


lim ( ) lim ( 1) 3 1 2
n n
f x x
= − = − =
H1? Tìm
2
1
3 2
lim
1
x
x x
x
→−
+ +
+
3 0 3x x
− ≠ ⇔ ≠
+ ĐK:
2
4 3 0 1 3x x x x
− + = ⇔ = =
+ và
Do đó:
2
4 3 ( 1)( 3)x x x x
− + = − −
mà , ta có
( ) \{3} lim 3
n n

−

1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
Giải
+Ta có
2
3 2 ( 1)( 2)
( ) ( 2)
1 1
x x x x
f x x
x x
+ + + +
= = = +
+ +
lim ( ) lim ( 2) 1 2 1
n n
f x x
= + =− + =
H1? Tìm
2
1
3 2
lim
1
x

x x
x
→−
+ +
=
+
•
B3: Kết luận
•
B1: Xét hàm số:
2
3 2
( )
1
x x
f x
x
+ +
=
+

1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

Nhận xét
a) Nếu , trong đó c là
hằng số, thì

) lim3 3
x
a
→
=
6
) lim 3 3
x
b
→−
=
2
) lim 2
x
c x
→
=
6
) lim 6
x
d x
→−
= −

1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
b) Giới hạn vô cực
a) Giới hạn hữu
hạn

 ÷
⇒ = +∞
 
mà
0
lim ( )
x x
f x
→
• = −∞
Tương tự:
•
B1: Xét hàm số
2
1
( )
( 2)
f x
x
=
+
+ ĐK:
2
( 2) 0 2x x
+ ≠ ⇒ ≠ −
•
B2: mà , ta có
( ) \{ 2}
n
x

f x
= +∞
•
B2: Kết luận
2
2
1
lim
( 2)
x
x
→−
= +∞
+

1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực

ĐỊNH NGHĨA 2 (sgk, tr 148)
Giả sử hàm số f xác định trên , ta nói
( ; )a
+∞
( ) ( ; ) lim
lim ( )

→+∞
• = +∞
lim ( )
x
f x
→+∞
• = −∞
lim ( )
x
f x
→−∞
• = −∞
b) Giới hạn vô cực
được định nghĩa tương tự.

1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn

Nhận xét: Với mọi số nguyên dương k, ta có
) lim ;
k
x
a x
→+∞
= +∞
1
) lim 0

b) Giới hạn vô cực
Ví dụ:
3
) lim
x
a x
→+∞
= +∞
4
) lim
x
b x
→−∞
= +∞
3
') lim
x
b x
→−∞
= −∞
2
1
) lim 0
x
c
x
→+∞
=
3
1

x x
g x M
→
=
0
) lim[ ( ) ( )]
x x
a f x g x L M
→
+ = +
0
) lim[ ( ) ( )]
x x
b f x g x L M
→
− = −
0
) lim[ ( ). ( )] .
x x
c f x g x L M
→
=
0
( )
lim
( )
x x
f x L
g x M
→

3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.

Nhận xét: Nếu k là một số nguyên dương
và a là một hằng số thì với mọi ta có
0
,x R∀ ∈
0
0
lim
k k
x x
ax ax
→
=

Ví dụ 4:
3 2
1
) lim( 3 2 3)
x
a x x x
→
+ − −
2
2
1
2 1
) lim


1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực
b) Giới hạn vô cực
3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
3 2
1
) lim( 3 2 3)
x
a x x x
→
+ − −
Ta có
3 2
1
3 2
1 1 1 1
3 2
lim( 3 2 3)
lim lim3 lim 2 lim3
1 3.1 2.1 3 1
x

2
2 1 ( 1) 1
( 1)
x x x x
x x x x x
+ + + +
= =
+ +
1x ≠ −
Do đó
2
1
2
1 1
1
lim( 1)
2 1 1 1 1
lim lim 0
lim 1
x
x x
x
x
x x x
x x x x
→ −
→ − → −
→ −
+
+ + + − +

2
2
1
lim
2 1
x
x
x x
→+∞
+
− +
Giải
Chia tử và mẫu phân thức cho x
2
ta được
2
2
2
2
1
1
1
, 0
1 1
2 1
2
x
x
x
x x

1 1 1 1
2 1 2
2 lim (2 )
x
x x
x
x
x x
x x
x x x x
→ +∞
→ +∞ → +∞
→ +∞
+ +
+
= = =
− +
− + − +

1. Giới hạn của
hàm số tại một
điểm
a) Giới hạn hữu
hạn
b) Giới hạn vô cực
3. Một số định lí
về giới hạn hữu
hạn.
CỦNG CỐ BÀI HỌC
1. Theo định nghĩa, để tính giới hạn của hàm

2. Giới hạn tại vô
cực:
PP: Tương tự như giới hạn dãy số
•
B3: : Kết luận
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
3. Tính giới hạn bằng định
lí
2. Giới hạn của
hàm số tại vô
cực

§
1. Giới hạn của hàm số tại một điểm
2. Giới hạn của hàm số tại vô cực
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn.
Nội dung

Củng cố
- Về nhà làm bài tập trang 151-152.
- Xem tiếp bài 5.