GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

1
O
y
z
x
j
k
i
CHỦ ĐỀ : TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN
A. PHẦN LÍ THUYẾT :

I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ, TỌA ĐỘ VECTƠ, TỌA ĐỘ ĐIỂM
1. Hệ trục tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian
Hệ 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz đôi một vuông góc, trên đó lần lượt
có các vectơ đơn vò
k,j,i
, gọi là hệ trục tọa độ Đềcác vuông
góc trong không gian.
+. 3 trục x’Ox, y’0y, z’Oz lần lượt được gọi là trục hoành,
trục tung , trục cao .
+. Điểm O gọi là gốc tọa độ
+. Không gian chứa hệ trục tọa độ như thế gọi là không gian tọa độ,
kí hiệu là kg Oxyz
+. Các mặt phẳng : Oxy, Oyz, Oxz gọi là các mặt phẳng tọa độ
2. Toạ độ của vectơ:
a. Đònh nghóa :
kajaiaa
321


và số thực k thì :

)bba,aba(ba
322311

;
)ka,ka,ka(a.k
321

;









33
22
11
ba
ba
ba
ba

Chú ý : +.
a



3. Tọa độ của điểm :
a. Đònh nghóa : kzjyixOM
MMM


M ( x
M
, y
M
, z
M
)
b. Đònh lí : Cho A(x
A
,y
A
, z
A
) và B(x
B
,y
B
,z
B
) thì :
)zz,yy,xx(AB
ABABAB


x x x y y y z z z
x ; y ; z
3 3 3
     
  

4. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng:
Đ/lí : Cho hai vectơ
)a,a,a(a
321

;
)b,b,b(b
321

thì :
332211
bababab.a 

Các hệ quả:
+.
2
2 2 2 2 2 2
1 1 3 1 2 3
a a a a a a a a
      
 
+.
0babababa
332211

+. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt
là : (x, -y,-z) ; (-x, y, z) ; (-x, -y ,z).
+. Điểm đối xứng với M(x, y ,z) qua gốc tọa độ O là (-x, -y,-z)
6. Tích có hướng hai vectơ :
a. Đònh nghó a : Cho 2 vectơ
)a,a,a(a
321

;
)b,b,b(b
321

.
Tích có hướng của hai vectơ đó là một vectơ , kí hiệu là


b,a
với



b,a
=
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a a a a
; ;
b b b b b b
 
 

c
b
thì
c
=


b,a

c. Các ứng dụng của TCH của 2 vectơ :
+. 3 điểm A,B, C là 3 đỉnh của tam giác


AB, AC
 
 
 

0
3 điểm A,B, C là thẳng hàng


AB, AC
 
 
 

0
+. 4 điểm A, B, C , D là 4 đỉnh của tứ diện


CA, CB
2
 
 
 

Nói là : Diện tích tam giác bằng một phần hai độ dài TCH của hai vectơ chung gốc.
+. Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là : V =
AB, AD . AA'
 
 
  

Nói là : Thêû tích khối hộp bằng giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ chung gốc
+. Thể tích khối tứ diện ABCD là : V =
1
AB, AC . AD
6
 
 
  

Nói là : Thêû tích khối tứ diện bằng một phần sáu giá trò tuyệt đối của tích hổn tạp của ba vectơ
chung gốc
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1,1,1) , B(1,- 6, 0) , C(0,-2,2) , D(-2,0,0).
a. Chứng minh 3 điểm B, C, D là 3 đỉnh của tam giác, Tính diện tích của
BCD

, Từ đó tính
độ dài đường cao của

AB,DC .CB AD
 

 
   

2. Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện
3. Tính d/ tích

ABC, thể tích tứ diện ABCD. Từ đó tính độ dài c/cao của t/ diệnABCD kẻ từ
D.
4. Tính cosin của góc A của

ABC
GV: Trần Điện Hồng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chun dạy LTĐH mơn TỐN – Nhận HS đầu tháng .

3
n

M
5. Tìm toạ độ điểm E để cho ABCD là hình bình hành . Tính diện tích hình bình hành này.
Bài 3: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D' Víi A(2,0,2), B(4,2,4), D(2,-2, 2) vµ C'(8,10,-10).
a. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh cßn l¹i cđa h×nh hép ABCD.A'B'C'D'.
b. TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh hép nãi trªn.

II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
A. LÍ THUYẾT:
1. M/phẳng (





B 0,b,0 Oy

;


C 0,0,c Ox

thì p/trình mặt phẳng (

) :
x y z
1
a b c
  

( Gọi là mặt phẳng phương trình theo đoạn chắn)
Chú ý : +. Hai vectơ
a
,
b
là cặp VTCP của (

) trong các trường hợp sau:
*


b,a n 
.
C
3
: Mặt phẳng (

) đi qua ba điểm A,B,C thì PVT


AC,AB n 
.
B. BÀI TẬP :
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho điểm A(1,0,1) ; B(3,4,-1) và
k2jOC 
;
AD
= (1,2,-4)
a. Tìm tọa độ các điểm C và D
b. Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó c/m 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ diện.
c. Viết phương trình mặt phẳng qua D và song song mặt phẳng (ABC)
d. Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với AB tại B.
e. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn BC.
f. Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD
g. Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm của AB và song song với các đường thẳng AD
và CB
h. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng BD
i. Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của B lên các trục tọa độ
j. Viết phương trình mặt phẳng qua các hình chiếu vuông góc của A lên các mp tọa độ
k. Viết phương trình mặt phẳng qua các điểm đối xứng với A, B, C qua gốc toạ độä

1. Các dạng phương trình đường thẳng :
a. Đường thẳng d đi qua M(x
0
, y
0
, z
0
) và có VTCP
)a,a,a(a
321

thì :

0 1
0 2
0 3
x x a t
Ptts d : y y a t
z z a t
 


 


 

( t )R

và

,
B A
y y

,
B A
z z

)
2. Các chú ý :
* Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng cho bởi ptts ta cho t một giá trò tuỳ ý thay vào
ptts tìm x, y, z . Đó là tọa độ của điểm thuộc d
* Để tìm toạ đôï một điểm thuộc đường thẳng là giao tuyến của 2 mặt phẳng,
ta cho x một giá trò tuỳ ý thay vào hệ tìm y, z ( hoặc cho y tìm x, z ; hoặc cho z tìm x, y )
* Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng, có VTCP là









22
11
22
11
22
11


  




.
a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết pttq và ptct của d .
2. Cho đường thẳng d có ptct là
x 2 3 y z
1 2 3
 
 


a. Tìm hai điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và pttq của d
3. Cho đường thẳng d có pttq là :
2x y z 2 0
y z 4 0
   


   

.
a. Tìm 2 điểm thuộc d ; b. Tìm VTCP của d ; c. Viết ptts và ptct của d
4. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :
a. Đi qua điểm M(2,-1,5) và có VTCP là
a ( 2,1, 1)
  


5. Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau :
a. Đi qua điểm M(4,1,2) và vuông góc với đường thẳng d :
x 1 y 1 3 z
2 1 3
  
 


b. Chứa điểm A(-4,0,-2) và đường thẳng d :
x 2y z 3 0
2y z 1 0
   


   


c. Đi qua điểm B(1,1,1) và song song với các đường thẳng:
d
1
:
2x y z 3 0
x y z 1 0
   


    

; d

+ b
2
+ c
2
– d > 0 )
là phương trình mặt cầu có tâm I(a,b,c) và bán kính R =
d -c b a
222


* Mặt cầu có tâm O(o,o,o) ; bán kính R có phương trình (S) : x
2
+ y
2
+ z
2

= R
2 2. Tương giao giữa mặt cầu và mặt phẳng: Cho m/cầu (S) có tâm I b/kính R và m/phẳng
)
(

.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên
)
(



) < R

(S) và
)
(

cắt nhau theo giao tuyên là đường tròn (C).
tâm là H; bk R’=
22
IHR  ) BÀI TẬP :
1. Viết phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a. Có tâm I(1,2,-3) và bán kính R = 4.
b. Có tâm I(2,-2,0) và đi qua điểm M(1,4,-4)
c. Đi qua ba điểm A(1,2,-4) ; B(1,-3,1) ; C(2,2,3) và có tâm trên mặt phẳng Oxy.
d. Tâm I(1,2,3) và tiếp xúc mp )(

: x - y - 4z - 5 = 0 . Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và )(

.
e. Có tâm trên trục Oz, đi qua A(2,3,4) và tiếp xúc mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0

2
) ngoại tiếp tam giác OAB. Tìm tâm và bán kính của (C
2
)
3. Cho mặt cầu (S) : x
2
+ y
2
+ z
2
– 2x + 4z = 0
a. Tìm tâm và bán kính của (S) .
b. Chứng minh điểm A(3,1,-2) thuộc (S). Viết phương trình tiếp diện với (S) tại A.
c. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó // với mặt phẳng x+ y + 2z – 1 = 0
d. Viết p/t tiếp diện với (S) , biết tiếp diện đó v/góc với đường thẳng :





03zy2
02yx

e. Tìm giao điểm của (S) với đường thẳng x = 1+ 2t ; y = 1 ; z = - 2t .
f. Viết phương trình đường kính qua A . Tìm giao điểm còn lại của đường kính này với (S).
g. Biện luận theo k vò trí tương đối của (S) và mặt phẳng
)
(

: 2x + y – 2z + k = 0








t43z
t2y
t33x

e. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó s.song với m/p )(

: 2x – 2y + z + 7 = 0
f. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó v/góc với đg/thẳng d’:
2
1z
2
1y
1
x 





g. Viết p/t các tiếp diện của (S) biết tiếp diện đó song song với trục Ox và đường thẳng
d:
2
1z

là góc giữa d
1
và d
2
thì :
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 3 3 1 3 3
a b a b a b
cos
a a a . b b b
 
 
   

+. 2 mặt phẳng (

1
), (

2
) có VTPT lần lượt là )C,B,A(n);C,B,A(n
222
2
111
1

Gọi

là góc giữa 2 mặt phẳng thì:

b
b
b
d
d
d
'
d
d
'
d
'
d
'
d
M
M'
M
M'
M
M'
M '
M
+. Đường thẳng d có VTCP
)a,a,a(a
321

, Mặt phẳng (P) có VTPT
)C,B,A(n 
.

1
)

(

2
)


212121
CCBBAA 
= 0
* d

(

)


a


cùng

phương
n

VI. KHOẢNG CÁCH
+ . Kh.cách từ M(x
0

 và
2
 là:
 


 
b,a
AB.b,a
,d
21


(
1
 đi qua A, có VTCP là a .
2
 đi qua B, có VTCP b )

VII. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối 2 mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng :
(
1

) : A
1
x + B



)
(
1
 cắt
)
(
2

TH2:



   


 
1 2
1 2
n n cùng phương
Điểm M ( ) và M ( )
;


(
1

) // (
2

Cách 1:
1

2
n

2


1
n

2
n
2


1
n
2

1


2
n
2

 
a và b cùng phương
MM cùng phương a
'


d

d’

TH3:

 

 



  
 
a b . MM' = 0
a và b không cùng phương
,

d cắt d’ ; TH4:
 

 
  
a b . MM' 0







'tbzz
'tbyy
'tbxx
3
'
0
2
'
0
1
'
0
có vtcp
)b,b,b(b
321


TH1: 'd//d
d'M
phươngcùngb,a





0 1 0 1
0 2 0 2
0 3 0 3
x a t x b t
HệPT y a t y b t cónghiệm duy nhất d cắt d
z a t z b t
'
'
'
'
: ' '
'

Chú ý: Giả sử (t
0
,
'
0
t ) là nghiệm của HPT. Để tìm giao điểm M
0
của 2 đường thẳng thì
thay t
0
vào phương trình d. Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm
TH4:

  


   

d


)
(

cắt
d

)
(
d



Cách 1:
TH1:



 

  


 
n a cùng phương
d ( )
M d , M ( )
/ /

tazz
tayy
taxx
30
20
10
và mp
)
(

: Ax + By + Cz + D = 0.
Để xét vò trí tương đối của d và
)
(

, ta thay x, y, z từ phương trình d vào phương trình
)
(

,
được phương trình: A(x
0
+ a
1
t ) +B(y
0
+ a
2
t ) + C(z
0


d


)
(


TH3: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

d cắt
)
(


Nếu t = t
0
là nghiệm, để tìm giao điểm của d và
)
(

ta thay t
0
vào phương trình d.
Bộ 3 số đó là tọa độ giao điểm

B. BÀI TẬP LUYỆN THI
Viết phương trình đường thẳng , mặt phẳng .
1. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d qua ®iĨm M(- 4,-5, 3) vµ c¾t hai ®êng th¼ng:
(d

.
2. LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng qua ®iĨm A(0; 1; 1) vu«ng gãc víi ®êng th¼ng:
(d
1
):
1
z
1
2y
3
1x




vµ c¾t ®êng th¼ng (d
2
):
x 1
y t
z 1 t
 





 



z
1
2y
1
1x





. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng
th¼ng d ®i qua träng t©m G cđa tam gi¸c OAB vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (OAB), với O là gốc
tọa đơ
6. Cho hai đường thẳng d
1
:
1
1z
1
1y
2
1x 





, d
2
:

z 3
  


 




. Viết phương trình đường
thẳng d vng góc với (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
.
8. Cho bốn điểm A(4,5,6); B(0,0,1); C(0,2,0); D(3,0,0). Viết phương trình đường thẳng d vng góc
với mặt phẳng (Oxy) và cắt được các đường thẳng AB, CD.
9. Cho ba mặt phẳng: (P): 2x – y + z + 1 = 0, (Q): x – y + 2z + 3 = 0, (R): x + 2y – 3z + 1 = 0
và đường thẳng
1

:
2
2x


=
1
1y 
=

z
1
y1
1
2x




. Viết phương trình đường thẳng d song
song với Oz cắt cả d
1
và d
2
.
GV: Trần Điện Hoàng – Giảng viên ĐHCN.Tp HCM - Đc:435/18/6- Lê Văn Thọ - Gò Vấp- ĐT: 0942.667.889
Chuyên dạy LTĐH môn TOÁN – Nhận HS đầu tháng .

10
11. Viết p.trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng sau:
1
2z
1
1y
2
x
:d
1



t1x
, đường thẳng d
2
là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 1 =
0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0. Gọi I là giao điểm của d
1
và d
2
. Viết phương trình đường thẳng d
3

qua A(2, 3, 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
lần lượt tại B và C sao cho tam giác BIC cân
đỉnh I.
13. Cho tam giác ABC có A(1,-,2, 3), B(2,1, 0), C(0, -1, -2). Viết phương trình tham số đường cao
tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC.
14. Cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng d:
6x 3y 2z 0
6x 3y 2z 24 0
  


   

. Viết phương
trình đ.thẳng  // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC.
15. Cho điểm M(0,1,1) và 2 đường thẳng (d

17. Cho đường thẳng
x 1 y 2 z 2
:
3 2 2
  
  

và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0. Lập phương trình
đường thẳng song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2,2,4) và cắt đường thẳng ().
18. Cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P):
3x 12y 3z 5 0
   
và
(Q):
3x 4y 9z 7 0
   
(d
1
):
x 5 y 3 z 1
2 4 3
  
 

, (d
2
):
x 3 y 1 z 2
2 3 4
  

y 2 t
z 1 t
 


 


 


Viết phương trình tham số của đường thẳng (

) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng
(d) và (d’). CMR (d) và (d’) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng .
22. Cho điểm A(1,0,1), B(2,1,2) và mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + 3 = 0. Lập phương trình mặt phẳng
(P) đi qua A, B và vuông góc với (Q).
23. A.2012. NC. Cho đường thẳng d:
x 1 y z 2
2 1 1
 
 
và mặt phẳng
(P):x y 2z 5 0
   
và điểm
A(1,-1,2). Viết phương trình đường thẳng

cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm
của đoạn thẳng MN.



và
2
:
x 2 3t
y 2t
z 4 2t








.
a. Chng minh
1
chéo
2
.
b. Vit phng trình ng thng (d) nm trong mt phng (P) ct
1
v vuông góc vi
2
26. Cho điểm A(0,1,2) và hai đờng thẳng : d

và d
2
.
b. Tìm toạ độ các điểm M d
1
, N d
2
sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
27. Cho 2 đờng thẳng:
1
:
2
z
1
2y
1
1x





và
2
:






5
4z
2
1y
1
x
:d
2




. Chng
minh: im M, (d
1
), (d
2
) cựng nm trờn mt mt phng. Vit phng trỡnh mt phng ú.
30. B.2012.Nc. Cho A(0,0,3), M(1,2,0). Vit phng trỡnh mt phng (P) qua A v ct cỏc trc Ox, Oy
ln lt ti B,C sao cho tam giỏc ABC cú trng tõm thuc ng thng AM.
31. Cho im I(1,5,0) v hai ng thng
1
x t
: y 4 t
z 1 2t






33. Cho hai im A(1,2,3) v B(3,4,1). Tỡm to im M thuc mt phng (P):
x y z 1 0


MAB l tam giỏc u.
34. D.2012.NC Cho ng thng d:
x 1 y 1 z
2 1 1
v hai im A(1,-1,2) , B(2,-1,0). Xỏc nh ta
im M thuc d sao cho tam giỏc AMB vuụng ti M .
35. Cho hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) lần lợt có phơng trình: (d
1
):





01zyx
0z2yx
(d
2
):









tz
ty
t1x
và (D
2
):








'tz
't1y
't2x
(t, t' R)
a. Viết phơng trình các mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và lần lợt đi qua (D
1
) và (D
2







Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại các điểm A, B. Tính diện tích OAB
(O là gốc toạ độ).
39. Cho ba im A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). Tỡm to trc tõm ca tam giỏc ABC.
40. B2011C. Cho ng thng
x 2 y 1 z
:
1 2 1



v mt phng (P): x + y + z -3 = 0. Gi I l giao
im ca

v (P). Tỡm ta im M thuc (P) sao cho MI vuụng gúc

v MI =
4 14
.
41. B2011Nc. Cho ng thng
x 2 y 1 z 5

mặt phẳng (P).
44. Cho hai ng thng
1
:
x y z
1 2 1


,
2
:
x 1 y 1 z 1
1 1 3




a. Chng minh hai ng thng
1
v
2
chộo nhau.
b. Vit phng trỡnh mt phng (P) cha ng thng
2
v to vi g thng
1
mt gúc 30
0
.
45. Cho mt phng (P):

cos
6

48. Cho t din ABCD bit A(0,0,2), B(-2,2,0), C(2,0,2),
DH (ABC)

v DH = 3 vi H l trc tõm
tam giỏc ABC. Tớnh gúc gia (DAB) v (ABC).
49. Cho cỏc im
B( 1, 3,0), C(1, 3,0), M(0,0,a)

vi a > 0. Trờn trc Oz ly im N sao cho mt
phng (NBC) vuụng gúc vi mt phng (MBC).
a. Cho
a 3

. Tỡm gúc gia mt phng (NBC) v mt phng (OBC).
b. Tỡm a th tớch ca khi chúp BCMN nh nht .
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

13
50. Cho ba im A (6,-2,3); B (2,-1,3); C (4,0,-1).
a. Chng minh rng: A, B, C l ba nh ca mt tam giỏc. Tỡm di ng cao ca tam giỏc ABC
k t nh A.
b. Tỡm m v n im M (m + 2, 1, 2n + 3) thng hng vi A v C.

Cỏc bi toỏn liờn quan khong cỏch
51. A2005. Cho ng thng d:
x 1 y 3 z 3

3y
2
1x
:d
1






2
x 5 y z 5
d :
6 4 5
. Tỡm cỏc im
1 2
M d , N d

sao cho MN // (P) v cỏch (P) mt khong l 2.
55. Cho mt phng (P):
x y z 1 0

, ng thng d:
3
1z
1

v mt phng (P):
x y 2z 5 0

. Vit phng trỡnh ng
thng () nm trong (P), song song vi (d) v cỏch (d) mt khong l
14
.
57. A2010C. Cho ng thng
x 1 y z 2
:
2 1 1



v mt phng (P): x 2y + z = 0. Gi C l giao im
ca

vi (P), M l im thuc

. Tớnh khong cỏch t M n (P), bit MC =
6

58. A2009Nc. Cho mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - 1 = 0 v 2 đờng thẳng:

1
:
6
9z
1
y

b. Tính thể tích khối đa diện OIBC trong đó I là chân đờng cao kẻ từ C của ABC

.
61. Cho ng thng (D) cú phng trỡnh:
x 2 t
: y 2t
z 2 2t








.Gi

l ng thng qua im A(4,0,-1)
song song vi (D) v I(-2,0,2) l hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn (D). Trong cỏc mt phng qua

, hóy vit phng trỡnh ca mt phng cú khong cỏch n (D) l ln nht.
62. Cho hai ng thng chộo nhau :
1
x 1 t
d : y 2t
z 2 t






v cỏc ng thng
1 2
x 1 y 3 z x 5 y z 5
d : ; d :
2 3 2 6 4 5



. Tỡm cỏc im
1 2
M d , N d

sao cho MN // (P)
v cỏch (P) mt khong bng 2.
64. Cho mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 3 = 0 v 2 đờng thẳng:
1
:
1
z
2
1y
2
4x





và

v
2
ln lt ti M, N sao cho MN = 3.
65. Cho mt phng (): 3x + 2y z + 4 = 0 v hai im A(4,0,0) , B(0,4,0) .Gi I l trung im ca
on thng AB. Xỏc nh ta im K sao cho KI vuụng gúc vi mt phng (), ng thi K cỏch
u gc ta O v ().
66. A.2004. Trong khụng gian Oxyz cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi, AC ct BD ti
gc ta O. Bit A(2,0,0), B(0,1,0) , S(0,0,
2
). Gi M l trung im cnh SC.
a. Tớnh gúc v khong cỏch gia 2 ng thng SA, BM.
b. Gi s mt phng (ABM ) ct SD ti im N. Tớnh th tớch khi chúp S.ABMN.
67. Cho hai im A (4,0,0), B (0,4,0) v mt phng (P): 3x + 2y - z + 4 = 0. Gọi I là trung điểm AB.
a. Tìm tọa độ giao điểm của AB với (P).
b. Xác định tọa độ điểm K, biết KI

(P) và OK = d(K, (P)).
68. Cho đờng thẳng d:
2
5z
1
1y
2
3x





, mặt phẳng (P): x + y - z - 1 = 0 v im A(2,1,-3).

.
b. Tỡm to im B i xng vi A qua mt phng
( )

.
72. Cho im M(2,1,0) v ng thng d:
x 1 2t
y 1 t
z t








.
a. Tỡm ta im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M lờn ng thng d.
b. Tỡm to im M i xng vi M qua ng thng d.
c. Vit phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im M, ct v vuụng gúc vi ng thng d.
73. Cho 4 im : A(1,2,2) B(-1,2,-1) C(1,6,-1) D(-1,6,2). Tỡm ta hỡnh chiu vuụng gúc ca im A
trờn mt phng (BCD)
74. Cho đờng thẳng (d):
2
3z
2
1y
1
1x

vuông góc của AB lên mặt phẳng (P).
77. Cho đờng thẳng d:
4
z
1
3y
2
5x





và mặt phẳng (P): 2x - y + z - 3 = 0.
a. Xét vị trí tơng đối giữa (P) v (d ).
b. Viết phơng trình d hình chiếu vuông góc của d lên (P).
78. Cho 2 ng thng
1
x t
d : y 4 t
z 6 2t








v


2z
t1y
t1x
v điểm M( 2,1,4). Tìm toạ độ điểm H thuộc đờng thẳng
sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
80. Cho 2 đờng thẳng
1
:
1
3z
2
3y
1
1x






và
2
:







2
:
x 7 y 2 z
6 9 12
. Xột v trớ tng i ca d
1
v
d
2
. Cho hai im A(1,-1,2) v B(3,- 4,-2). Tỡm ta im I trờn ng thng d
1
sao cho IA + IB
t giỏ tr nh nht.
83. Cho tứ diện ABCD với A(2,3,2), B(6, -1, -2), C(-1,-4, 3), D(1, 6,-5). Tìm toạ độ điểm M thuộc
đờng thẳng CD sao cho ABM có chu vi nhỏ nhất.
84. Cho hai im A (-1,3,-2), B (-3,7,-18) v mt phng (P): 2x - y + z + 1 = 0
a. Vit phng trình mt phng cha AB v vuông góc vi mp (P).
b. Tim ta im M (P) sao cho MA + MB nh nht.
85. Cho hai điểm A(1,4,2 ), B(-1,2,4) và đờng thẳng :
2
z
1
2y
1
1x



d : .
2 1 2 Vit phng trỡnh mt phng



cha d
sao cho khong cỏch t
A
n



ln nht.
90. Cho điểm A(10, 2,-1) và đờng thẳng d có phơng trình
3
1z
1
y
2
1x


. Lập phơng trình mặt
phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.
91. Cho đờng thẳng (d) l giao tuyn ca 2 mt phng (P): x + y z = 0. (Q): 2z y = 0 và 3 điểm
A(2,0,0), B(2,-1,0), C(1,0,1). Tìm trên đờng thẳng (d) điểm S sao cho: SA + SB + SC đạt giá trị nhỏ
nhất.

phẳng (P): x + 2y- 2z - 2 = 0 ; (Q): x + 2y- 2z + 4 = 0
95. Cho 3 điểm A(2,0,1) B(1,0,0) C(1,1,1) và mặt phẳng (P): x + y + x - 2 = 0. Viết phơng trình mặt
cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).
96. Lập phơng trình mặt cầu tâm I (2; 3;-1) cắt đờng thẳng d:
5x 4y 3z 20 0
3x 4y z 8 0





hai điểm A, B
sao cho AB = 16 .
97. Cho tứ diện OABC có O là gốc tọa độ, A Ox, B Oy, C Oz và mặt phẳng (ABC) có phơng
trình: 6x + 3y + 2z - 6 = 0.
a. Tính thể tích khối tứ diện OABC.
b. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC
98. Cho các đờng thẳng:
1
x 1
(d ): y 4 2t
z 3 t









qua O,A.B và tiếp xúc với (P).
101. Cho bốn điểm A(3,3,0), B(3,0,3), C(0,3,3), D(3,3,3).
a. Lập phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A.B , C, D.
b. Tìm tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
102. Cho lăng trụ đứng OAB.O
1
A
1
B
1
với A(2,0,0), B(0,4,0), O
1
(0,0,4). Tìm tọa độ A
1
, B
1
và viết phơng
trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A, B , O
1
.
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

17
103. Cho lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1

b. Viết phơng trình mp(Q) chứa đờng thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đờng tròn có bán kính
lớn nhất.
105. Cho điểm I(1,1,1) và đg thẳng (D) có ph.trình:








t2z
ty
t1x

a. Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc H của I lên đờng thẳng (D).
b. Viết phơng trình mặt cầu (C) có tâm tại I và cắt đ.thẳng (D) tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
106. A2010Nc. Cho im A(0,0,-2) v ng thng
x 2 y 2 z 3
:
2 3 2


. Tớnh khong cỏch t A n

. Vit phng trỡnh mt cu tõm A, ct

ti 2 im B, C sao cho BC = 8.
107. B.2012. C Cho ng thng d:
x 1 y z



v
2
x 2 t
(d ): y 3 3t
z t









Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c hai ng thng d
1
v d
2
.
111. Cho ba im A(2,0,0), C(0,4,0), S(0,0,4).Tỡm ta im B trong mp(Oxy) sao cho t giỏc OABC
l hỡnh ch nht. Vit phng trỡnh mt cu i qua bn im O, B, C, S.
112. Cho hỡnh hp ch nht ABCD.ABCD cú A

O, B(3,0,0), D(0,2,0), A(0,0,1). Vit phng trỡnh
mt cu tõm C tip xỳc vi AB.
113. Cho mt phng (P) cú phng trỡnh:
x y 1 0


P : x 2y 2z + 5 = 0; Q : x 2y 2z -13 = 0.

Vit phng trỡnh ca mt
cu (S) i qua gc ta O, qua im A(5, 2, 1) v tip xỳc vi c hai mt phng (P) v (Q).
116. A2011Nc. Cho mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 4x - 4y - 4z = 0 v im A(4,4,0). Vit phng trỡnh mt
phng (OAB), bit im B thuc (S) v tam giỏc OAB u.

Cỏc bi toỏn v ng trũn giao tuyn ca mt cu v mt phng
117. A2009C. Cho mt phng (P): 2x 2y z 4 = 0 v mt cu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
- 2x - 4y - 6z - 11 = 0.
Chng minh (P) ct (S) theo mt ng trũn. Xỏc nh ta tõm v tớnh bỏn kớnh ng trũn ú.
118. Cho mt cu
2 2 2
(S): (x 1) (y 2) (z 3) 64

v mt phng
(P): 2x y 2z 13 0

ct nhau

2 2 2
(S): x y z 2x 4y 2z 3 0

và mặt phẳng
(P):2x y 2z 14 0


a. Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một ờng tròn có bán kính bằng 3.
b. Tìm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M ến mp(P) là lớn nhất.
123. Cho mt phng (P) v ng thng (d) ln lt cú phng trỡnh: (P): 2x y 2z 2 = 0;
(d):
x y 1 z 2
1 2 1
. Vit phng trỡnh mt cu cú tõm thuc ng thng (d), cỏch mt phng
(P) mt khong bng 2 v ct mt phng (P) theo giao tuyn l ng trũn cú bỏn kớnh bng 3.
124. Cho mt cu (S) cú phng trỡnh
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 11 0

v mt phng () cú phng
trỡnh 2x + 2y z + 17 = 0. Vit phng trỡnh mt phng () song song vi () v ct (S) theo giao
tuyn l ng trũn cú chu vi bng 6.
125. Cho mt cu (S):

2 2
2
x 1 y z 2 9

1 2 1


,
3
x 5 y 1 z 2
d :
2 1 1
và mặt cầu
(S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2x - 2y + 2z -1 = 0.
a. Chứng tỏ d
1
chéo d
2
. Viết phơng trình ờng thẳng (D) cắt d
1
, d
2
và song song với d
3
.

1
):
x y 1 z 1
1 1 2 và
(d
2
):
x 1 y z
1 2 1


.
a. Lập phơng trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) song song với hai đờng thẳng(d
1
) và (d
2
).
b. Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng d đi qua tâm mặt cầu (S) và cắt (d
1
) và (d
2
).
GV: Trn in Hong Ging viờn HCN.Tp HCM - c:435/18/6- Lờ Vn Th - Gũ Vp- T: 0942.667.889
Chuyờn dy LTH mụn TON Nhn HS u thỏng .

19
132. Cho cac im A(2,0,0); M(0,- 3,6)







và mặt cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
+ 4x - 6y + m = 0. Tìm m để đờng
thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.