LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn
03. TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ – P1
Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng
(
)
: 2 2z + 5 = 0;
P x y+ −

(
)
Q : 2 2z -13 = 0.
x y+ −
Viết phương trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5; 2; 1) và tiếp
xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q).
Lời giải:
Gọi I(a; b; c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S).
Từ giả thiết ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, , ,
, ,
OI AI

+ − +
= ⇔ + + = ⇔ + + = + − +
( )
( )
( )
( )
| 2 2 5| | 2 2 13|
, ,
3 3
2 2 5 2 2 13 ( )
2 2 4 (3)
2 2 5 2 2 13
a b c a b c
d I P d I Q
a b c a b c
a b c
a b c a b c
+ − + + − −
= ⇔ =
+ − + = + − −

⇔ ⇔ + − =

+ − + = − − + +

lo¹i

T
ừ
(1) và (3) suy ra:

v
ậ
y
2
a
=
ho
ặ
c
658
221
a = . Suy ra: I(2; 2; 1) và R = 3 ho
ặ
c
658 46 67
; ;
221 221 221
I
 
−
 
 
và R = 3.
V
ậ
y có hai m
ặ
t c
ầ
u th

x y z
− + − =
và các đường thẳng
1 2
1 3 5 5
: ; :
2 3 2 6 4 5
x y z x y z
d d
− − − +
= = = =
− −
.
Tìm các điểm
1 2
d , d
M N
∈ ∈
sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.
Lời giải:
Phương trình tham số của d
1
là:
1 2
3 3
2
x t
y t
z t
= +

t t t
t
d M P t t t
+ − − + −
−
= = ⇔ = ⇔ − = ± ⇔ = =
+ − +

+ Với t
1
= 1 ta được
(
)
1
3;0;2
M
;
+ Với t
2
= 0 ta được
(
)
2
1;3;0
M

+ Ứng với M
1
, điểm N
1

z t
= +


=


= − −

(2)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn
Thay (2) vào (1), ta được: -12t – 12 = 0
⇔
t = -1. Điểm N
1
cần tìm là N
1
(-1;-4;0).
+ Ứng với M
2
, tương tự tìm được N
2
(5;0;-5).
Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
2 1
1 1 1
x y z
− −
= =

ớ
i các
tr
ụ
c Oy, Oz các góc b
ằ
ng nhau.
Lời giải:
Đườ
ng th
ẳ
ng d qua M (0, 2, 1) có VTCP
(1, 1, 1)
u
= − −

; (P) có VTPT
( , , )
n a b c
=


Do ( ) . 0 0
d P nv a b c a b c
⊂ ⇒ = ⇔ − − = ⇔ = +
 



0

:
2 1 1
x y z
− − −
∆ = =
−
và điểm A(2;1;2).
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
∆
sao cho khoảng cách từ A đến (P) bằng
1
3
.
Lời giải:
Đường thẳng
∆
đi qua điểm M(1 ; 1 ; 2 ) và có vtcp là
u
→
= (2 ; -1 ; 1). Gọi
n
→
= (a ; b ; c ) là vtpt của (P). .Vì
( )
P
∆ ⊂
nên
. 0
n u
→ →


Chọn a = 1, c = -1. Suy ra phương trình của mặt phẳng (P) là x + y – z = 0

Bài 5:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1
: 2
1
x t
d y t
z
= +


= −



d

đế
n (P)
g
ấ
p hai l
ầ
n kho
ả
ng cách t
ừ

2
d

đế
n (P).
Lời giải:
1
d
đi qua điểm A(1 ; 2 ; 1) và vtcp là :
( )
1
1; 1;0
u
→
= −
;
2

7 2. 5
D D
⇔ + = +

7 2(5 )
7 2(5 )
D D
D D
+ = +

⇔

+ = − +

3
17
3
D
D
= −


⇔

= −


Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x + 2y + z – 3 = 0 hoặc 2x + 2y + z -
17
3

)
0; ;0 , 0;0;
M a N b
phân biệt sao cho OM = ON nên
0
0
a b
a b
a b
= ≠

= ⇔

= − ≠


Nếu a = b thì
(
)
(
)
0; ; // 0; 1;1
MN a a u= − −
 
và
Q
n u
⊥
 
nên

)
(
)
0; ; // 0;1;1
MN a a u= − −
 
và
Q
n u
⊥
 
nên
( )
, 0;1; 1
Q P
n u n
 
= = −
 
  
.
Khi đó mặt phẳng (Q):
0
y z
− =

(
)
Q
cắt Oy, Oz tại

 
⇒ = − − −
 
 

Pt (Q) là
3
0
2
x y z
+ + + =

Đườ
ng th
ẳ
ng ∆
đ
i qua
đ
i
ể
m
7 1
;0;
4 4
I
 
−
 
 

M M t t t OM t t
 
∈∆
⇒
− + − − = − +
 
 

OM nhỏ nhất
5 19 5 3
; ;
8 6 8 8
t M
 
=
⇒
− −
 
 

Bài 8: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(13;-1;0), N(12;0;4).Lập phương trình mặt phẳng đi qua hai
điểm M, N và tiếp xúc với mặt cầu ( S) :
2 2 2
x y z 2x 4y 6z 67 0
+ + − − − − =
.
Lời giải:
Mặt cầu (S) có tâm I( 1;2;3) bán kính R = 9.
Mặt phẳng (P) đi qua M(13;-1;0) nên có phương trình: A(x - 13) + B(y + 1) + Cz = 0 với
2 2 2

− + − + =
+ + − =

Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm M(0;-1;2), N(-1;1;3).Viết phương trình mặt phẳng (R) đi qua M,
N và tạo với mặt phẳng (P):
2x y 2z 2 0
− − − =
một góc nhỏ nhất.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn
Lời giải:
Mặt phẳng (P) đi qua M nên có phương trình: A(x - 0) + B(y + 1) + C(z - 2) = 0 với
2 2 2
A B C 0
+ + ≠
.
Vì điểm N thuộc ( P ) nên thay tọa độ N vào pt (P) ta được: A = 2B + C
Gọi
α
là góc tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q),ta có:
2 2
B
cos
5B 4BC 2C
α =
+ +

Nếu B = 0 thì
α
0

+ − + =

Bài 10: Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho điểm
(
)
I 1;1;1
. Viết phương trình mặt
phẳng
(
)
P
qua I cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho I là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
Lời giải:
Giả sử A(a; 0; 0), B(b; 0; 0), C(c; 0; 0), abc
≠
0
⇒
Phương trình mặt phẳng (P) là:
x y z
1
a b c
+ + =
. (P) qua I nên
1 1 1
1
a b c
+ + =
(1)
Mà IA = IB = IC nên

b c 2 a
= = −

V
ớ
i a = b = c thay vào (1) ta
đượ
c a=b=c=3. Khi
đ
ó pt (P): x+y+z=3
V
ớ
i
b a 2
c a
= −


=

ho
ặ
c
c 2 a
b a
= −


=


ặ
t ph
ẳ
ng (P) c
ầ
n tìm là: x + y + z = 3
Bài 11:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
tr
ụ
c t
ọ
a
độ
Oxyz, vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua O, vuông góc v
ớ
i

ạ
ng : Ax + By + Cz = 0 v
ớ
i
2 2 2
A B C 0
+ + >

( ) ( ) ( )
5
P Q 5A 2B 5C 0 B A C
2
⊥ ⇔ − + = ⇔ = +
(1)
(P) t
ạ
o v
ớ
i (R) góc
o
45
nên
o
2 2 2 2 2 2
A 4B 8C A 4B 8C
1
cos45
2
A B C 1 16 64 A B C .9
− − − −


*)
A 1,C 1 B 0
= − = ⇒ = ⇒
Phương trình mặt phẳng (P) là x – z = 0
*)
1 20
A ,C 1 B
7 7
= =
⇒
=
⇒
Phương trình mặt phẳng (P) là x + 20z + 7z = 0
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn
Vậy phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là x – z = 0 hoặc x + 20z + 7z = 0
Bài 12: Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai đường thẳng
1
7
1
5
1
4
:
1
+
=
−
−

i qua
1
),0;2;1( dM ⊥−
và t
ạ
o v
ớ
i
2
d
góc
.60
0

Lời giải:
Gi
ả
s
ử

∆
có vtcp
.0),;;(
222
≠++=
∆
cbacbau

.00.
11

thay vào (2) ta
đượ
c
(
)
02)(318
222222
=−+⇔+++=
cacaccaac



−=−=
==
⇔
.,2
2,
cbca
cbca

V
ớ
i ,2,
cbca
=
=
ch
ọ
n
)1;2;1(1 =⇒=

ta có .
1
1
2
2
1
:
−
=
−
=
+
∆
zyx

Bài 13:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
,
Oxyz
cho
đ
i
ể

ẳ
ng
)(P

đ
i qua )0;0;1(
K
, song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
d

đồ
ng th
ờ
i cách
đ
i
ể
m
M
m
ộ
t kho
ả
ng b




∉−−
=
⇔
)2(043
)1(032
)()1;4;2(
0.
//)(
CBA
CBA
PH
nu
dP
Pd

( )
).(3)3(3
3
3)(,
2222
222
CBACBA
CBA
CBA
PMd ++=+−⇔=
++
+−

ta có .
5
19
,
5
17
BCBA −== Chọn
5
=
B
ta có 19,17
−
=
=
CA
, th
ỏ
a mãn (2).
Suy ra .01719517:)(
=
−
−
+
zyxP

Bài 14:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ

ọ
a
độ

đ
i
ể
m
M
sao cho
MA
vuông góc v
ớ
i
(
)
P
,
M
cách
đề
u g
ố
c t
ọ
a
độ

O
và m

, ta có
(
)
2; 2;
AM a b c
− −


Vì
(
)
MA P
⊥
nên
AM

và
n

cùng ph
ươ
ng
,AM tn t
⇔ = ∈
 
R
⇔
2 3
2 2
a t

a b c a b c⇔ + + = + − +
(2)
Thay (1) vào (2) tìm được
3
4
t
−
= . Vậy
1 1 3
; ;
4 2 4
M
 
−
 
 

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Trung tâm LTĐH Moon.vn – Số nhà 25B – Ngõ 66 – Thái Thịnh II www.moon.vn
Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ
Ox
yz
, cho mặt cầu (S) :
2 2 2
2 6 4 5 0
x y z x y z
+ + − + − + =
. Viết
phương trình mặt phẳng (P) chứa
Oy

(
)
P
có d
ạ
ng :
0
Ax Cz
+ =

(
)
, 0
B C
≠

Ta có
( )
(
)
2 2
, 5
d I P R r= − =
2 2
2
5
A C
A C
+
⇔ =

ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng ∆
đ
i qua
đ
i
ể
m M(1; −1; 0), c
ắ
t
đườ
ng
th
ẳ
ng (d):
2 2
2 1 1
x y z
− +
= = và t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ

2 4 1 2
1
sin30 cos ,
2
(1 2 ) ( 1) ( 2) . 6
t t t
MN n
t t t
+ − − + −
= = =
+ + + + −



2
2
2 3
3 9
10 18 0 0;
2 5
6 2 6
t
t t t t
t t
+
⇔ = ⇔ − = ⇔ = =
+ +

+ Với t = 0, phương trình
1 1

2 2 2
( ; ; ), ( 0)
n A B C A B C
= + + ≠


(P) // BC nên
( 1;1;4) . 0 4 ( 4 ; ; )
n BC n BC A B C n B C B C
⊥ = − ⇒ = ⇔ = + ⇒ = +
 
  

(P) đi qua A(13; −1; 0) ⇒ phương trình (P):
( 4 ) 12 52 0
B C x By Cz B C
+ + + − − =

(P) tiếp xúc (S)
2 2 2
4 2 3 12 52
[ ,( )] 9
( 4 )
B C B C B C
d I P R
B C B C
+ + + − −
⇔ = ⇔ =
+ + +


=


=

, ta được phương trình (P): 8x + 4y + z −100 = 0
Bài 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình vuông ABCD, biết
(
)
3;0;8
B
,
(
)
5; 4;0
D − −
và đỉnh
A thuộc mặt phẳng (Oxy). Tìm tọa độ điểm C.
Lời giải:
Ta có, trung điểm BD là I(-1;-2;4), BD = 12 và điểm A thuộc mp(Oxy) nên A(a; b; 0),
Do ABCD là hình vuông nên ta có,
2 2
2
2
1
2
AB AD
AI BD

=

2 2
4 2
1 6 2 20
b a
a a
= −


⇔

+ + − =


1
2
a
b
=

⇔

=

hoặc
17
5
14
5
a
b

đ
i
ể
m A c
ầ
n tìm t
ươ
ng
ứ
ng là: C(-3;-6;8),
27 6
; ;8
5 5
C
− −
 
 
 
.
Bài 19:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho m
ặ

m
(
)
3;1 1
M
−
vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và
ti
ế
p xúc v
ớ
i m
ặ
t c
ầ
u (S).
Lời giải:
M
ặ
t c
ầ
u (S) có tâm I(-1;2;0) và bán kính R=3. M
ặ
t ph

i VTPT là
(
)
; ;
Q
n A B C
Do (Q) ti
ế
p xúc v
ớ
i (S), suy ra
2 2 2
2 2 2
4
( ,( )) 3 4 3
A B C
d I Q R A B C A B C
A B C
− + +
= ⇔ = ⇔ − + + = + +
+ +
(*)
M
ặ
t khác
( ) ( ) . 0 0
Q P

:
đượ
c ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) là:
2 2 9 0
x y z
+ − − =

V
ớ
i

4 4
7 7
A C
−
= ⇒ =
:
đượ
c ph
ươ
ng trình m
ặ
t ph
ẳ

ọ
a
độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng (P): x − y + 2z + 5 = 0 và hai
đườ
ng th
ẳ
ng
1
1 3 1
( ) :
2 1 1
x y z
d
+ − −
= = ,
2
3 1
( ) :
3 1 1
x y z
d
+ +
= =
−
. Vi

.
Lời giải:
G
ọ
i M, N l
ầ
n l
ượ
t là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a ∆ v
ớ
i (d
1
) và (d
2
)
1 1 1 2 2 2
( 1 2 ;3 ;1 ), ( 3 3 ; ; 1 )
M t t t N t t t
− + + + − + − − +

Ta có:
2 1 2 1 2 1
(3 2 2; 3; 2)
MN t t t t t t

− + + − + +
∆ = ⇔ = ⇔ =2 2
1 1
t t
⇔ = ⇔ = ±

2 1 2 1
1 1; 1 3
t t t t
= ⇒ = = − ⇒ = −

+ V
ớ
i
1 2
1
t t
= =
, ta có
1 4 2
(1; 4; 2), (1; 5; 2) pt :
1 5 2
x y z
M MN
− − −
= ⇒ ∆ = =



ℝ

Bài 21:
Trong không gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho ba
đ
i
ể
m A(2; 1; 0), B(1; 1; −1), C(3; 3; 1) và m
ặ
t c
ầ
u
2 2 2
( ) : 2 6 6 5 0
S x y z x y z
+ + + − − + =
. Tìm t
ọ
a
độ


 
= − + − + = − + − + −
 
 
1
3 ( )
2 7
1
x t
x z
y t
x y z
z t
=

+ =


⇔ ⇔ = ∈
 
+ + =


= −

ℝ

M
∈ (S) nên
2 2 2

Trong khơng gian v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxyz, cho m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
+ − + =
: 3 14 0
P x y z
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình m
ặ
t
c
ầ
u (S) ti
ế
p xúc v

ặ
t c
ầ
u (S)
đ
i qua A,B và ti
ế
p xúc v
ớ
i mp(P) mà B n
ằ
m trên (P) nên (S) ti
ế
p xúc v
ớ
i (P) t
ạ
i B, do
đ
ó tâm
I c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u n
ằ
m trên
đườ

ặ
t ph
ẳ
ng trung tr
ự
c c
ủ
a
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AB, m
ặ
t
ph
ẳ
ng này
đ
i qua trung
đ
i
ể
m M(-1;2;3) c
ủ
a AB và có vtpt
(
)
(

x y z x
x y y
y z z
 
+ − + = = −
 
− + = ⇔ =
 
 
+ − = =
 

Bán kính c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u là R=IA=
11
. Ph
ươ
ng trình c
ủ
a m
ặ
t c
ầ
u là (x+2)
2

Mặt khác, IM AB và ;( ) , dấu bằng xẩy ra khi M là hình chiếu của I lên mp(Q)
hay IM (Q),vậy (Q) qua A và có vtpt la
ø 1;0;2 , pt của (Q) là 1 2 2 0 2 5 0
d I Q IM
IM x z x z