Tuyển tập các bài tốn hay về Mặt phẳng tọa độ và tọa độ khơng gian
BÀI 1
Câu 1:
Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) :
x y 2 0
2x z 6 0
− − =


− − =

sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) :
2 2 2
x y z 2x 2y 2z 1 0+ + + − + − =
là đường tròn có bán kính r = 1.
Câu 2:
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần
lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B
và B'C'.
GI ẢI
Câu 1:
Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0
(P): (m 2n)x my nz 2m 6n 0⇔ + − − − − =
° Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2.
° (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1
2 2
d(I; P) R r 3⇔ = − =
2 2 2
m 2n m n 2m 6n
3
(m 2n) m n

/
B
/
C
/
là các tam giác đều.
° Ta có:
/ / / / /
B C // BC B C //(A BC)⇒
/ / / / / / /
d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC))⇒ = =
1 | P a g e
A
/
B
/
C
/
C
B
A
H
F
D
° Ta có:
/
/ / /
BC FD
BC (A BC)
BC A D ( A BC cân tại A )

/
B
/
C
/
là các tam giác đều cạnh a.
° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
/
/ /
a a 3 a a 3
B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
a a 3 a a 3
B ; ; a , C ; ; a
2 2 2 2
   
−
 ÷  ÷
   
   
−
 ÷  ÷
   
° Ta có:
/ / / / /
B C // BC, B C //(A BC)
/ / / / / / / /
d(B C ; A B) d(B C ; (A BC)) d(B ; (A BC))⇒ = =
°

° Phương trình mp (A
/
BC) qua A
/
với pháp vectơ
n
r
:
3
0(x 0) 1(y 0) (z a) 0
2
− + − + − =
/
3 a 3
(A BC): y z 0
2 2
⇔ + − =
°
/ /
a 3 3 a 3
a 3
.a
a 21
2 2 2
2
d(B (A BC)) .
7
3 7
1
4 2

− + −
= =
−
1. Tìm điểm M thuộc (∆) để thể tích tứ diện MABC bằng 3.
2. Tìm điểm N thuộc (∆) để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất.
Câu 2: (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng
cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) vuông góc nhau.
GIẢI
Câu 1:
1. Phương trình tham số của (D):
x 1 2t
y 2 t
z 3 2t
= +


= − −


= +

°
M ( ) M(1 2t; 2 t; 3 2t)∈ ∆ ⇒ + − − +
°
AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)= = −
uuur uuur
°
[AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n= − − = − − = −

+
⇔ = =
5 17
4t 11 6 t hay t .
4 4
⇔ + = ⇔ = − = −
° Vậy, có 2 điểm M cần tìm là:
3 3 1 15 9 11
M ; ; hay M ; ;
2 4 2 2 4 2
   
− − −
 ÷  ÷
   
2.
N ( ) N(1 2t; 2 t; 3 2t)∈ ∆ ⇒ + − − +
°
2 2
ABN
1 1 2 3 2
S [NA; NB] 32t 128t 146 (4t 8) 9
2 2 2 2
= = + + = + + ≥
uuur uuur
ABN
3 2
maxS 4t 8 0 t 2.
2
⇒ = ⇔ + = ⇔ = −
° Vậy, điểm N cần tìm là N(-3; 0; 1).

+ +
= + = + = ⇒ =
° Gọi M là trung điểm BC
Ta có:
BM (SOA), BI SA⊥ ⊥
IM SA⇒ ⊥
(đònh lý 3 đường vuông góc)
⇒
MIA SOA∆ ∆:
2 2 2 2
AM a 3 3 3ah
MI SO. h. .
SA 2
3h a 2 3h a
⇒ = = =
+ +
°
SAB SAC (c.c.c) IB IC IBC∆ = ∆ ⇒ = ⇒ ∆
cân tại I.
°
(SAB) (SAC) IBC⊥ ⇔ ∆
vuông cân tại I
1
IM BC
2
⇔ =
2 2
2 2
2 2 2
3ah 1

B ; ; 0 , C ; ; 0 , H 0; ; 0 , S 0; ; h
2 2 2 2 2 3
       
−
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
.
°
a 3 a a 3 a a 3
SA 0; ; h , SB ; ; h , SC ; ; h
3 2 6 2 6
     
= = − = − −
 ÷  ÷  ÷
     
uuur uur uuur
4 | P a g e
S
z
A
z
H
B
M y
C
S
I
A
O
B


với
2
n (3h 3; 3h; a 3)= −
r
.
° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương
SA; SB
uuur uur
nên có pháp vectơ
1
n
r
.
° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương
SA; SC
uuur uuur
nên có pháp vectơ
2
n
r
.
°
1 2
(SAB) (SAC) cos(n ; n ) 0⊥ ⇔ =
r r
2 2 2
2 2
3h 3.3h 3 3h.3h a 3( a 3) 0 27h 9h 3a 0
a 6

. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và OM.
GIẢI
Câu 1:
Mặt cầu (S):
2 2 2
(x 2) (y 3) z 13 m− + − + = −
có tâm
I(-2; 3; 0), bán kính
R IN 13 m= = −
, với m < 13.
5 | P a g e
H
NM
I
° Dựng
IH MN MH HN 4⊥ ⇒ = =
2 2
IH IN HN 13 m 16 m 3⇒ = − = − − = − −
, với m < -3.
° Phương trình tham số của đường thẳng (d):
x t
1
y 1 t
2
z 1 t
=




+ +
uur
r
r
° Ta có: IH = h
m 3 3 m 3 9⇔ − − = ⇔ − − =

m 12⇔ = −
(thỏa điều kiện)
° Vậy, giá trò cần tìm: m = -12.
Câu 2:
Cách 1:
° Gọi N là điểm đối xứng của C qua O.
° Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)
⇒ OM // (ABN)
⇒ d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
° Dựng
OK BN, OH AK (K BN; H AK)⊥ ⊥ ∈ ∈
° Ta có:
AO (OBC); OK BN AK BN⊥ ⊥ ⇒ ⊥
BN OK; BN AK BN (AOK) BN OH⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥
OH AK; OH BN OH (ABN) d(O; (ABN) OH⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ =
° Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a 15
OH
5
OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a
= + = + + = + + = ⇒ =
° Vậy,

2 2
 
 ÷
 

là trung điểm của AC.
° MN là đường trung bình của ∆ABC
⇒ AB // MN
⇒ AB // (OMN) ⇒ d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).
°
a a 3 a 3 a 3
OM ; ; 0 , ON 0; ;
2 2 2 2
   
= =
 ÷  ÷
   
uuuur uuur
°
( )
2 2 2 2 2
3a a 3 a 3 a 3 a 3
[OM; ON] ; ; 3; 1; 1 n
4 4 4 4 4
 
= = =
 ÷
 
uuuur uuur
r

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a
(a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ∆ABC. Đặt SG = x
(x > 0). Xác đònh giá trò của x để góc phẳng nhò diện (B, SA, C) bằng 60
o
.
GIẢI
Câu 1:
Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0
° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác đònh bởi (α) và (xOy) có dạng:
m(2x – y + z – 5) – nz = 0
(P): 2mx my (m n)z 5m 0⇔ − + + − =
° Giao điểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ:
5 5m
A ; 0; 0 , B(0; 5; 0), C 0; 0;
2 m n
   
−
 ÷  ÷
+
   
7 | P a g e
° Thể tích tứ diện OABC bằng
125
36
1 1 5 5m 125
V .OA.OB.OC . .5.
6 6 2 m n 36
⇔ = = =
+
m n 3m m 1, n 2

và
IC SA⊥
·
BIC⇒
là góc phẳng nhò diện (B; SA; C).
°
SAB SAC (c.c.c)∆ = ∆
IB IC IBC⇒ = ⇒ ∆
cân tại I.
°
1 a 2 a 2
BC a 2; AM BM MC BC ; AG
2 2 3
= = = = = =
°
2 2 2
2
AM a 2 1 ax 2
AIM ~ AGS IM SG. x. .
AS 2
SG AG 2a
2 x
9
∆ ∆ ⇒ = = =
+
+
2 2
3ax 2
IM
2 9x 2a

°
BC a 2=
° Gọi M là trung điểm BC
a 2 a 2
AM ; AG
2 3
⇒ = =
8 | P a g e
z
x
x
y
C
B
A
E
F
G
M
G
M
C
S
I
A
B
° Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G
trên AB, AC. Tứ giác AEGF là hình vuông
a
AG AE 2 AE AF .

 ÷
 ÷
 
 
uuur uur
r
, với
1
a
n 0; x;
3
 
= −
 ÷
 
r
°
2
2
a a
[SA; SC] ( ax; 0; ) a x; 0; a.n ,
3 3
 
= − = − − = −
 ÷
 
uuur uuur
r
với
2

2 2
a a
a
0.x x.0
3 3
9
cos60
9x a
a a
0 x x 0
9
9 9
+ +
⇔ = =
+
+ + + +
2
2 2
1 a
2
9x a
⇔ =
+
2 2 2 2 2
a
9x a 2a 9x a x .
3
⇔ = = ⇔ = ⇔ =
° Vậy,
a

2a 2a
d(A; )
3
2 1 2
α = =
+ +
° (∆) qua
0
M (1; 0; 2)−
và có vectơ chỉ phương
u (1; 2; 2)=
r
° Đặt
0 1
M M u=
uuuuuur
r
° Do đó: d(A; ∆) là đường cao vẽ từ A trong tam giác
0 1
AM M
0 1
2
0
AM M
0 1
[AM ; u]
2.S
8a 24a 36
d(A; )
M M u 3

2a 2. 3
AF a 6
2
= =
a 6
EM BM MF ; BF a 2
2
⇒ = = = =
°
2 2 2 2 2 2
SB SA AB a 8a 9a SB 3a= + = + = ⇒ =
°
2 2 2 2 2 2
SF SA AF a 6a 7a SF a 7= + = + = ⇒ =
° Áp dụng đònh lý đường trung tuyến SM trong ∆SBF có:
2 2 2 2
1
SB SF 2.SM BF
2
+ = +
2
2 2 2 2 2
1 15a
9a 7a 2SM .2a SM
2 2
⇔ + = + ⇔ =
° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF
° Áp dụng đònh lý hàm Côsin vào ∆SEM có:
10 | P a g e
C

AK MF
2
= =
và
AH (SME)⊥
° Vì
AF// ME d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH.⇒ = =
° ∆SAK vuông có:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 3 a 3
AH
3
AH SA AK a a a
= + = + = ⇒ =
° Vậy,
a 3
d(SE; AF)
3
=
.
Cách 2:
° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
B(a 2; a 6; 0), C( a 2; a 6; 0), S(0; 0; a),
a 2 a 6
E ; ; 0 ; F(0; a 6; 0)
2 2
−
 
 ÷

0 6a 0. a
2 2
+ −
α = = = =
+ + + +
uur uuur
o
45 .⇒ α =
°
2 2 2 2
a 6 a 3 a 3 a 3
[SE; SM] ; 0; ( 2; 0; 1) n,
2 2 2 2
 
= = =
 ÷
 
uur uuur
r
với
n ( 2; 0; 1)=
r
° Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ
n : 2x z a 0.+ − =
r
° Khoảng cách từ A đến (SEM):
0 0 a
a 2
d(A;SEM)
3

.
Tìm m để (P) tiếp xúc (S). Với m tìm được xác đònh tọa độ tiếp điểm.
Câu :
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng minh ∆MAB cân và
tính diện tích ∆MAB theo a.
L ỜI GIẢI
Câu 1:

2
(P): 2x 2y z m 3m 0+ + − − =
2 2 2
(S): (x 1) (y 1) (x 1) 9− + + + − =
có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3.
(P) tiếp xúc (S)
d[I, (P)] R⇔ =
2
2
2
2
2 2 2
m 3m 1 9 m 2
2.1 2.( 1) 1.1 m 3m
3 m 3m 1 9
m 5
m 3m 1 9
2 2 1

+ − = =




− + −
= =


=


° Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2).
Câu 2:
Cách 1:
° Ta có:
SA (ABC) SA AC.⊥ ⇒ ⊥
Do đó ∆SAC vuông tại A có AM là
trung tuyến nên
1
MA SC.
2
=
° Ta lại có:
SA (ABC)
AB BC ( ABC vuông tại B)
⊥


⊥ ∆

12 | P a g e
S


⇒ ⇒
  
⊥ ⊥
 

= =


° ∆MHK vuông tại H có:
2 2 2 2 2 2
MK MH HK a a 2a MK a 2= + = + = ⇒ =
° Diện tích ∆MAB:
2
MAB
1 1 a 2
S .MK.AB .a 2.a
2 2 2
= = =
Cách 2:
° ∆ABC vuông tại B có:
2 2 2 2 2 2
AC AB BC a 4a 5a
AC a 5
= + = + =
⇒ =
° Dựng
BH AC (H AC),⊥ ∈
ta có:
⋅

a 5 3a
MA 0; ; a MA
2 2
 
= ⇒ =
 ÷
 
uuuur
2a 3a 3a
MB ; ; a MB .
2
5 2 5
 
= − ⇒ =
 ÷
 
uuur
suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân tại M.
° Ta có:
2 2
2 2
a 2a
[MA; MB] ; ; a [MA; MB] a 2
5 5
 
= − ⇒ =
 ÷
 
uuuur uuur uuuur uuur
° Diện tích ∆MAB:

A đến mặt phẳng (SBC).
Câu 2:
. Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng:
(d
1
) :





=
=
=
4z
ty
t2x
; (d
2
) :



=−++
=−+
012z3y4x4
03yx
Chứng minh (d
1
) và (d

6
= ϕ = ϕ
và
HO a 3
SH
cos 6.cos
= =
ϕ ϕ
° Thể tích hình chóp S.ABC:
2 3
ABC
1 1 a 3 a 3 a tg
V .SO.S . tg .
3 3 6 4 24
ϕ
= = ϕ =
° Diện tích ∆SBC:
2
SBC
1 a 3
S .SH.BC
2 12.cos
= =
ϕ
° Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có:
3 2
SBC
SBC
1 3.V a tg a 3 a 3
V .h.S h 3. : sin

- ∆SOM vuông có:
a 3
SO OM.tg tg
6
= ϕ = ϕ
° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),
a a 3 a a 3 a 3 a 3 a 3 a 3
B ; ; 0 ,C ; ; 0 ,M 0; ; 0 , O 0; ; 0 , S 0; ; tg
2 2 2 2 2 3 3 6
         
− ϕ
 ÷  ÷  ÷  ÷  ÷
         
° Thể tích hình chóp:
3
ABC
1 a tg
V .SO.S
3 24
ϕ
= =
° Ta có:
a a 3 a 3
BS ; ; tg , BC ( a; 0; 0)
2 6 6
 
= − − ϕ = −
 ÷
 
uur uuur

a 3
a 3
tg .O O tg
tg
2
a 3
2
d sin .
1
2
tg 1
cos
ϕ + − ϕ
ϕ
= = = ϕ
ϕ +
ϕ
Câu 2:
(d
1
) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương
1
u (2;1; 0)
=
r
(d
2
) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương
2
u (3; 3; 0)= −

x 3 t
y t
z 0

= +

= −


=

° Gọi MN là đường vuông góc chung của (d
1
) và (d
2
)
°
1
M (d ) M(2t; t; 4)∈ ⇒
,
/ /
2
N (d ) N(3 t ; t ; 0)∈ ⇒ + −
/ /
MN (3 t 2t; t t; 4)⇒ = + − − − −
uuuur
° Ta có:
/ /
/
1

= =
° Vậy, phương trình mặt cầu (S):
2 2 2
(x 2) (y 1) (z 2) 4.− + − + − =
BÀI 8
Câu 1:
Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,
(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng:
(d
1
):
4
2z
3
1y
2
3x
:)d(;
3
1z
4
3y
2
5x
2
−
=
+
=
−

r
° (d
1
) có vectơ chỉ phương
1
u (2; 4; 3)= −
r
° (d
2
) có vectơ chỉ phương
2
u ( 2; 3; 4)= −
r
16 | P a g e
Q
P
Q
/
P
/
∆
u
r
1
u
r
2
u
r
B



=

r r
° Suy ra (∆) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P
/
)
và (Q
/
), và (∆) // (∆
/
).
° (∆) có vectơ chỉ phương
/ /
P Q
u [n ; n ] (32; 12; 16) 4(8; 3; 4) 4u ,= = − − = − − =
r r r r
với
/
u (8; 3; 4).= − −
r
° mp (P
/
) có cặp vectơ chỉ phương
1
u
r
và
/

r
và
/
u
r
nên có pháp vectơ:
/
/
Q
2
n [u ; u ] (0; 24; 18)= = −
r r r
° Phương trình mp (Q
/
) chứa (d
2
) đi qua điểm B(3; -1; 2)
2
(d )∈
với
/
Q
n
r
là:
0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) 0− + + − − =
/
(Q ) : 4y 3x 10 0⇔ − + =
° Ta có:
/ /

/
và
/ /
A MCN A NC
S 2.S=

nên:
/ / / /
B .A MCN B .A NC.
V 2.V=
° Mà:
/ / / / / / /
3 3
/
B .ANC C.A B N A B N B .A MCN
1 1 1 a a
V V .CC .S .a. .a.a V .
3 3 2 6 3
= = = = ⇒ =
° Ta có:
/
/
A MCN
1
S .A C.MN,
2
=
với
/ /
A C a 3; MN BC a 2= = =

V .B H.S
3
=
/ /
/
3 2
/
B .A MCN
A MCN
3.V
a a 6 a 6
B H 3. : .
S 3 2 3
⇒ = = =
Cách 2:
° Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz
đôi một vuông góc,
A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0),
D(0; 0; 0), A
/
(a; 0; a),
B
/
(a; a; a), C
/
(0; a; a), D
/
(0; 0; a),
a a
M a; ; 0 , N 0; ; a

MCN):
a 2a a 2a
2a a 6
d .
3
1 4 1 6
+ + −
= = =
+ +
ĐỀ 9
Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng:
(d
1
) :





+=
+=
=
t26z
t4y
tx
; và (d
2
) :


N
D
/
z
a
a y
x
1. Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a,
mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.
GIẢI
Câu 1:
(d
1
) có vectơ chỉ phương
1
u (1; 1; 2)=
r
(d
2
) có vectơ chỉ phương
2
u (1; 3; 1)=
r
°
/ / / / / /
2
K (d ) K(t ; 3t 6; t 1) IK (t 1; 3t 5; t 2)∈ ⇒ − − ⇒ = − − −
uur
°
/ / / /

30 7 1
HK 4; ; (44; 30; 7).
11 11 11
 
⇒ = − − = − −
 ÷
 
uuur
° Vậy, phương trình tham số của đường thẳng (∆):
18
x 44
11
12
y 30
11
7
z 7
11

= + λ



= − − λ



= − λ



C
A
B
N
ϕ
° Thể tích hình chóp
2 3
ABC
1 1 a 3 a 3 a
S.ABC : V .SH.S . .tg . tg
3 3 4 4 16
= = α = α
Cách 2:
° Dựng
SH AB
⊥
° Ta có:
(SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB) SH (ABC)⊥ ∩ = ⊂ ⇒ ⊥
° Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc α và ∆ABC đều, nên suy ra
H là trung điểm AB.
° Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz
đôi một vuông góc,
H(0; 0; 0),
a a
A ; 0; 0 ; B ; 0; 0 ,
2 2
a 3
C 0; ; 0 , S(0; 0; h), (h 0).
2
   

+ +
α = =
+ + + + +
2 2
2
2 2
2 2
2
1 16h 3a
1 tg
cos 3a
3a tg a 3
h h tg
16 4
+
⇔ = + α =
α
α
⇔ = ⇔ = α
° Thể tích hình chóp S.ABC:
2 3
ABC
1 1 a 3 a 3 a
V .h.S . tg . tg
3 3 4 4 16
= = α = α
.
ĐỀ 10
Câu 1:
Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng:

y
2. Xét mặt phẳng (α) : x + y + z + 3 = 0. Viết phương trình hình chiếu của (∆
2
) theo
phương (∆
1
) lên mặt phẳng (α).
3. Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) để
1 2
MM MM
+
uuuur uuuur
đạt giá trò nhỏ nhất biết M
1
(3; 1;
1) và M
2
(7; 3; 9).
Câu 2:
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc
·
o
BAC 120=
, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh ∆AB'I vuông
tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).
GIẢI
Câu 1:
1. °
1
1 1



2
qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) và
có vectơ chỉ phương u (1; 2; 1)= −
r
° Gọi H là hình chiếu của A trên (∆
1
)
°
1 1 1 1
H ( ) H(3 7t ;1 2t ; 1 3t )∈ ∆ ⇒ − + +
1 1 1
AH ( 4 7t ; 2 2t ; 8 3t )⇒ = − − − + − +
uuur
°
1
1 1 1
AH u 7( 4 7t ) 2( 2 2t ) 3( 8 3t ) 0⊥ ⇔ − − − + − + + − + =
uuur r
1
t 0 H(3; 1; 1)⇔ = ⇒
° Gọi A
/
là điểm đối xứng của A qua H ⇒ A
/
(-1; -1; -7)
° Gọi K là hình chiếu của B trên (∆
1
) và B

1
) chính là phương trình
đường thẳng
/ /
A B
qua A
/
với vectơ chỉ phương
a
r
.
° Vậy, phương trình chính tắc (∆
3
):
x 1 y 1 z 7
11 74 13
+ + +
= =
−
.
2. Mặt phẳng (β) chứa (∆
2
) và (β) // (∆
1
)
⇒ (β) có cặp vectơ chỉ phương
1 2
u ( 7; 2; 3), u (1, 2, 1)= − = −
r r
⇒

( )∈ ∆
với pháp tuyến
n
β
r
:
( ): 2x y 4z 53 0β + + − =
° Ta có:
/
2
( ) ( ) ( )α ∩ β = ∆
là hình chiếu của (∆
2
) lên (α) theo phương (∆
1
).
° Vậy, phương trình hình chiếu
/
2
x y z 3 0
( ):
2x y 4z 53 0
+ + + =

∆

+ + − =

3. Gọi I là trung điểm
1 2

M ( ) M(5 t; 2 t; 5 t)∈ ∆ ⇒ + + +
°
M ( ) 5 t 2 t 5 t 3 0 t 5 M(0; 3; 0)∈ α ⇒ + + + + + + = ⇔ = − ⇒ −
° Vậy, điểm M cần tìm: M(0; -3; 0).
Câu 2:
Cách 1:
° Gọi H là trung điểm
BC AH BC.⇒ ⊥
° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a ⇒
a
AH
2
=
và
a 3
BH BC a 3
2
= ⇒ =
°
/ /
IB C∆
vuông có:
2 2
/ 2 / 2 / / 2 2
a 13a
IB IC B C 3a
4 4
= + = + =
° ∆AIC vuông có:
2 2

2 2 2 4
= = =
2
ABC
1 1 a a 3
S .AH.BC . .a 3
2 2 2 4
= = =
22 | P a g e
α
M
2
u
α
r
M
1
I
(∆)
M
0
M
A
/
B
/
C
/
A
B

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az
đôi một vuông góc,
A(0; 0; 0),
/
/ /
a 3 a a 3 a
B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
a 3 a a 3 a a 3 a a
B ; ; a , C ; ; a , I ; ;
2 2 2 2 2 2 2
   
−
 ÷  ÷
   
     
− −
 ÷  ÷  ÷
     
°
/
a 3 a a 3 a a
AB ; ; a , AI ; ;
2 2 2 2 2
   
= = −
 ÷  ÷
   
uuur uur
° Ta có:

a 3a 3 2a 3 a a
[AB ; AI] ; ; (1; 3 3; 2 3) .n
4 4 4 4 4
 
= − − = − − = −
 ÷
 
uuur uur
r

với
2
n (1; 3 3; 2 3)= −
r
.
° Gọi α là góc giữa (ABC) và (AB
/
I), ta có:
0 0 2 3
2 3 30
cos .
10
0 0 1. 1 27 12 40
+ −
α = = =
+ + + +
23 | P a g e
60
o
B