GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
B. Giải và biện luận phương trình logarit:
I. Nhắc lại về hàm số logarit:
1. Khái niệm: Hàm số logarit có dạng
xlogy
a
=
( a > 0,
1a
≠
)
TXĐ: x > 0.
2. Tính chất:
. a > 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số đồng biến
. 0 < a < 1: hàm số
xlogy
a
=
là hàm số nghịch biến.
.
1alog
a
=
,
01log
a
=

1
xlog
a
a
≠α>
α
=
α
.
)0x,1b,a,b,a0(xlog.blogxlog
baa
>≠<=
.
alog
1
blog
b
a
=
II. Phương trình logarit:
1. Khái niệm: phương trình logarit là phương trình chứa ẩn số dưới dấu logarit.
2. Phương trình logarit đơn giản:
.
blogxlog
aa
=
(a > 0, a
≠
1, b > 0)
⇔

233
2=
;
xlog.logxlog
244
2=
;
xlog.logxlog
21010
2=
(1)
⇔

02221
10432
=−++ )logloglog(xlog

⇔

0
2
=xlog

⇔
x = 1.
Ví dụ 2. (Đề 81) Giải phương trình
3
4
1
3

1
+=+ xlog)x(log
Đk:





>+
>−
>+
06
04
02
x
x
x
⇔



<<−
−<<−
42
26
x
x
(1)
⇔
)x(log)x(logxlog 6343323


−+=+
+−−=+
24224
24224
2
2
xx)x(
xx)x(

⇔




=−−
=−+
0222
0166
2
2
xx
xx

⇔






32
−
−
=
[ ]
)2x(alog
347
+
−
, a > 0 (1)
Giải.
Đk:
2
x
– 3x + 2 > 0, x – 1 > 0, a(x + 2) > 0
⇒
x > 2
Ta có:
))(( 3232 −+
= 1
⇒

1
32
−
−
xlog
=
1
1

+−
+
x
xx
log
=
)x(log 2
2
1
32
−
+
[ ]
)x(alog 2
347
+
−
=
[ ]
)x(alog
)(
2
2
32
+
−
=
[ ]
)x(alog 2
2

⇔
x – 2 =
[ ]
1
2
−
+ )x(a

⇔

2
x
– 4 =
a
1
⇔

2
x
= 4 +
a
1
a > 0
⇒
nghiệm: x =
a
1
4 +±
.
x > 2

x
log
+
xlog
3
=
3
x
log
+
xlog
3
+
2
1
c)
)x(log
x
125
.
xlog
2
25
= 1
d)
)xsin
x
(sinlog −
2
3

x
+
2
2
x
> 1.
Hướng dẫn:
pt
⇔

)mmxx(log
22
2
4222 −+−
=
)mmxx(log
22
2
2−+
⇔



>−+
−+=−+−
02
2422
22
2222
mmxx

1
2
22
2
1
phương trình có 2 nghiệm
1
x
,
2
x
nên
1
x
,
2
x
điều kiện (2)
⇒
– 1 < 0
≠
m <
2
1
2
1
x
+
2
2





+=
≠+>+
>
2
55
1
1101
0
)x(log)ax(log
x;x
ax
⇔
2
x
+ (2 – a)x + 1 = 0 (2)
phương trình có nghiệm duy nhất khi (2) có nghiệm duy nhất thoả mãn:



≠<−
>
01
0
x
ax
4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29)

2
1
−
−
=
[ ]
3
2
18 )x(log −

⇔

[ ]
)x(log 14
2
−
.
)x(log 1
2
−
= 3 + 3
)x(log 1
2
−
⇔

[ ]
)x(log 12
2
−+

131
2
+
=t
.
2
131
1
−
=t

⇒

2
131
1
21
−
+=x
.
2
131
2
+
=t

⇒

2
131

2
−x
= y;
2≥y

⇒
x =
ylog
2
+ 1
⇒
Ta được hệ phương trình:



=
=
ylogx
xlogy
2
2
2
2

⇔



=
=

x = y
⇒

x
x
22 =
.
Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y =
x
2
tại 2 điểm:
1
x
= 1;
2
x
= 2.
từ
2≥x

⇒
x = 2 là nghiệm.
Ví dụ 3. Giải phương trình
9
2
log
x
=
2
x

xlog
2
3
–
xlog
2
3

⇔

xlog
2
3
=
2
x
– 1.
Đặt t =
xlog
2

⇒

t
3
+ 1 =
t
4

⇔

3
+
t






4
1
là hàm nghịch biến
⇒
(2) có nghiệm duy nhất t = 1
⇒
x = 2 là
nghiệm của (1)
Bài tập áp dụng:
1) Giải phương trình
a)
)xx(log 1
2
2
−−
)xx(l og 1
2
3
−+
=
1

3
=
3
x
log
+
xlog
3
+
2
1
2) Giải và biện luận theo a
a)
axlog
x
.
xlog
a
= –
2
b) (
xlog
a
2
+ 2).
alog
xa
2
=
alog

)xxlg( 6
2
−−
+ x =
)xlg( 2+
+ 4 (1)
Giải.
Đk:
06
2
>−− xx
, x + 2 > 0
⇒
x > 3.
(1)
⇔
)xxlg( 6
2
−−
–
)xlg( 2+
= 4 – x
⇔

2
6
2
+
−−
x



>−−
>−−
032
022
2
2
xx
xx
⇒



>
−<
3
1
x
x
(1)
⇔

)xx(log 22
2
348
−−
+
=
)xx(log 32



+=+
=
y
y
)a(t
at
11
⇔
1+
y
a
=
y
)a( 1+

⇔

y
a
a






+1
+

≤
0: phương trình vô nghiệm.
x > 0: Đặt
)x(log 3
5
+
= t
⇒




=
=+
x
t)x(log
t
2
3
5

⇔




=
=+
t
t

x = 2 là
nghiệm duy nhất.
Bái tập áp dụng:
1) Tìm m để phương trình:
)x10(lg
2
+ lgx = m
a) có nghiệm.
b) có nghiệm thoả mãn: 1 < x < 10.
2) Giải phương trình:
)3x(log
xlog
2
6
+
=
xlog
6
.