PHẦN 1: PHẦN LÝ LỊCH
- Họ và tên tác giả: Bùi Đăng Thương
- Chức vụ: Hiệu trưởng
- Đơn vị công tác: Trường THCS Phù Cừ, huyện Phù Cừ, tỉnh Hưng Yên
- Tên đề tài: Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên
- 1 -
PHẦN 2: NỘI DUNG
A- MỞ ĐẦU
I- ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Theo phương pháp truyền thống, các bài tập ở nhà thường chỉ đơn thuần
khuyến khích học sinh ghi nhớ kiến thức. Làm thế nào để học sinh phát huy được
năng lực sáng tạo, khả năng nghiên cứu cũng như những đam mê của của mình về
một lĩnh vực khoa học nào đó? Thực tế có nhiều sách tham khảo viết cho học sinh
những tài liệu đó viết chung cho nhiều đối tượng học sinh. Các tài liệu thường viết
dưới dạng chuyên đề với cách viết là: đưa ra các ví dụ và lời giải sau đó là bài tập
áp dụng mà không trình bày được tài sao lại tư duy như thế ? Tại sao lại định
hướng được lời giải như thế ? Lối viết này đòi hỏi người học phải có một trình độ
nhất định về nghiên cứu, đây là vấn đề khó đối với học sinh trung học cơ sở. Để
khắc phục những hạn chế trên tôi đã viết các chuyên đề Toán theo hướng chuyên
đề. Cùng với việc phân dạng bài tập là các ví dụ điển hình. Với mỗi ví dụ điểm
hình tôi đều trình bày luận điểm “tại sao lại tư duy như thế?” để dẫn tới lời giải.
Trong những năm học trước tôi đã nghiên cứu và triển khai các đề tài về
hướng dẫn học sinh tự học một số chủ đề toán học. Tiếp tục hướng nghiên cứu này
tôi đăng ký nghiên cứu và viết về “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên
tập số nguyên”. Đề tài đã được triển khai tại trường THCS Phù Cừ và được Hội
đồng khoa học trường đánh giá cao trong năm học vừa qua.
2. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Tên đề tài: “Hướng dẫn học sinh tự học về phép chia trên tập số nguyên”
* Đề tài nghiên cứu về Phương pháp hướng dẫn học sinh tự học trong quá trình
học tập môn Toán.
* Nghiên cứu trong phạm vi hướng dẫn học sinh lớp 8,9 tự học chủ đề toán học

f. Dạy và học chú trọng đến sự quan tâm hứng thú của học sinh, nhu cầu và
lợi ích của xã hội.
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án
Việt-Bỉ- nhà xuất bản Sư phạm năm 2010)
Chúng ta đều biết cách học tích cực thì phong phú nhưng có chung một đặc
trưng là “Khám phá và Khai phá”, có thể hiểu: 4 cách học
1.Học bất kỳ lúc nào
- 3 -
2. Học bất kỳ nơi nào
3. Học bất kỳ người nào
4. Học bất kỳ nguồn nào
(Theo tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN trong
chương trình giáo dục phổ thông- Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010)
Trên cơ sở nghiên cứu dạy học tích cực qua lý luận về phương pháp và kĩ
thuật dạy học tích cực, đề tài tập trung giải pháp “làm thế nào đề thực hiện được
Dạy học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học, tự đọc và Dạy - Học coi trọng
hướng dẫn tìm tòi”.
2. Cơ sở thực tiễn
Bản thân tôi được giảng dạy tại trường THCS Phù Cừ- trường chất lượng
cao của huyện, hầu hết học sinh nhà trường có nhận thức khá trở lên về bộ môn
toán. Đây là điều kiện thuận lợi cho tôi triển khai nghiên cứu các đề tài về
ĐMPPDH. Trong những năm học gần đây tôi đã triển khai đề tài cấp trường, cấp
huyện về vấn đề ĐMPPDH , phương pháp và kỹ thuật dạy-học tích cực. Đối với bộ
môn Toán tôi tập trung nghiên cứu và triển khai các đề tài trong các tình huống
điển hình đó là “Phương pháp dạy học trong tình huống tổ chức hoạt động Dạy-
Học định lý, tính chất ở môn Toán” được xếp loại B cấp Tỉnh năm 2010, nghiên
cứu về “Dạy học tích cực trong tình huống tổ chức hoạt động Dạy-Học tiết ôn tập
ở môn Toán” được xếp loại C cấp Tỉnh năm 2011, Tong các năm học 2011-2012 và
2012-2013 tôi đã nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh tự học một số bất đẳng
thức quen thuộc” và “Hướng dẫn học sinh tự học bài toán cực trị hình học” đều

Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá
3.2 Kế hoạch nghiên cứu
1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề “Hướng dẫn học sinh tự học trong quá trình học
tập môn Toán” với trường THCS Phù Cừ từ đầu năm học 2010-2011.
2/ Thực hiện nhóm phương pháp thực tiễn tại trường THCS Phù Cừ trong các năm
học từ năm học 2010-2011 đến 2013-2014 bao gồm:
+ Điều tra thực tiễn qua học sinh trường THCS Phù Cừ
+ Tổ chức chuyên đề cấp Tổ đối với Tổ KHTN
+ Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đồng khoa học trường THCS Phù Cừ
- 5 -
B- NỘI DUNG
I- MỤC TIÊU ĐỀ TÀI
- Nghiên cứu các giải pháp thực hiện mục tiêu “Dạy học chú trọng rèn luyện
phương pháp tự học, tự đọc và Dạy và học coi trọng hướng dẫn tìm tòi” đối với bộ
môn Toán.
- Vận dụng vào trong các tình huống dạy- học điển hình khác theo hướng tích cực.
-Giúp cho học sinh phát triển tư duy Toán, phát huy tính sáng tạo đồng thời giúp
cho các em có điều kiện hoạt động độc lập và xây dựng con đường học tập cho
riêng mình.
II- GIẢI PHÁP
Chương I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN VỀ TỰ HỌC.
1. Quan điểm về tự học
Chất lượng và hiệu quả giáo dục được nâng cao khi và chỉ khi tạo ra được
năng lực sáng tạo của người học, khi biến được quá trình giáo dục thành quá trình
tự giáo dục. Giáo dục phải coi trọng việc bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên
cứu, tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo, rèn luyện kỹ năng thực
hành, tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng dụng. Như vậy, phương pháp dạy và
học cần thực hiện theo ba định hướng:
- Bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu;
- Tạo điều kiện cho người học phát triển tư duy sáng tạo;

giữa học tập và nghiên cứu khoa học của người học.
Hoạt động nghiên cứu khoa học của học sinh khá giỏi loại hình hoạt động
rất cơ bản do tính chất đặc thù của quá trình phát triển năng lực tư duy. Theo tôi,
khả năng nghiên cứu khoa học của học sinh là năng lực thực hiện có hiệu quả các
hoạt động nghiên cứu khoa học trên cơ sở lựa chọn, tiến hành hệ thống các thao tác
trí tuệ và thực hành nghiên cứu khoa học phù hợp với điều kiện và hoàn cảnh nhất
định nhằm đạt mục đích nghiên cứu khoa học đề ra. Hoạt động nghiên cứu khoa
học có thể diễn ra theo các giai đoạn sau:
- Định hướng nghiên cứu;
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu;
- Thực hiện kế hoạch nghiên cứu;
- 7 -
- Kiểm tra, đánh giá kết quả nghiên cứu;
- Báo cáo kết quả nghiên cứu.
4. Một số biện pháp cơ bản hướng dẫn học sinh tự học:
“ Trong hướng dẫn tự học giáo viên cần quan tâm đến các vấn đề sau:
1- Học sinh có được tạo điều kiện sáng tạo không?
2- Học sinh có thể hoạt động đọc lập không?
3- Học sinh có được khuyến khích đưa ra những giải pháp của mình không?
4- Học sinh có thể lựa chọn các chủ đề, bài tập/nhiệm vụ khác nhau không?
5- Học sinh có được tự chủ trong các hoạt động học tập không?
6- Học sinh có được tự đánh giá không ”
(Dạy và học tích cực. Một số phương pháp và kĩ thuật dạy học- BGD$ĐT dự án
Việt-Bỉ- nhà xuất bản Sư phạm năm 2010)
4.1 Một số kỹ năng cơ bản về tự học của học sinh
4.1.1- Lập kế hoạch học tập là điều cần thiết:
Trước khi làm bất cứ chuyện gì, nên lập kế hoạch. Nếu không có kế hoạch
thì không làm chủ được thời gian, nhất là khi có điều gì bất trắc xảy đến. Một kế
hoạch học tập tốt cũng giống như chiếc phao cứu hộ vậy. Mỗi người, tùy vào nhu
cầu của mình, sẽ lập một kế hoạch học tập riêng, kế hoạch đó có thể thay đổi khi

4.2 Một số biện pháp hướng dẫn học sinh tự học.
4.2.1 Tự học qua sách giáo khoa:
- SGK là nguồn tri thức quan trọng cho học sinh, nó là một hướng dẫn cụ thể
để đạt lượng liều lượng kiến thức cần thiêt của môn học, là phương tiện phục vụ
đắc lực cho giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua SGK là vô cùng quan trọng để
học sinh tham gia vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà.
- Để học sinh tự nghiên cứu trước SGK ở nhà thì giáo viên không nên chỉ
đơn giản là nhắc các em đọc trước bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc
xong bài mới các em có thể trả lời được. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học
sinh đọc sách giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng.
- SGK cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà
giáo viên truyền đạt trên lớp vì vậy những ví dụ mẫu giáo viên không nên thay đổi
để nếu học sinh đã đọc trước sẽ tham gia ngay được vào bài giảng, những học sinh
- 9 -
yếu có thêm 1 tài liệu để đọc lại khi chưa rõ cách giáo viên hướng dẫn.
- Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì không
nên ghi lên bảng cho hs chép mà cho các em về tự đọc trong SGK, cách làm này
vừa tiết kiệm thời gian vừa tạo thói quen đọc sgk cho học sinh và làm cho bài
giảng không bị nhàm chán
4.2.2 Tự học qua sách bài tập, sách và tài liệu tham khảo:
- Đối với học sinh trong trường, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận
dụng tài liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả.
- Việc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của SGK và SBT
để học sinh có 1 lượng bài tập tương tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết)
để có thể tự mình làm được các bài trong SGK. Khi cho bài theo cách này sẽ giúp
học sinh có 1 cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phương án
tương tự đã có để giải quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hướng dẫn.
4.2.3 Tự nghiên cứu:
Giáo viên nên hướng dẫn học sinh làm các BT lớn, có kiểm tra đánh giá để
hs có khả năng tự phân tích tổng hợp. Muốn hiệu quả cao, giáo viên phải biết viết

lớn trong thực tế đời sống và sản xuất. Khi dạy thường nặng về thông báo, không
tổ chức hoạt động học tập cho các em, không dự kiến được các biện pháp hoạt
động, không hướng dẫn được phương pháp tự học.
Mặt khác, phương pháp dạy học phổ biến hiện nay vẫn theo "lối mòn", giáo
viên truyền đạt kiến thức, học sinh thụ động lĩnh hội tri thức. Thậm chí có giáo
viên còn đọc hay ghi phần lớn nội dung lên bảng cho học sinh chép nội dung SGK.
Việc sử dụng các phương tiện dạy học: phiếu học tập, tranh ảnh, băng hình, bản
trong chỉ dùng khi thi giáo viên hay có đoàn thanh tra, kiểm tra đến dự, còn các
tiết học thông thường hầu như "dạy chay".
Do việc truyền đạt kiến thức của giáo viên theo lối thụ động nên rèn luyện
kỹ năng tự học cũng như việc hướng dẫn tự học của giáo viên cho học sinh không
được chú ý làm cho chất lượng giờ dạy không cao
- 11 -
II. Tổng hợp số liệu điều tra thưc tiễn.
1- Điều tra về việc tự học của học sinh
Kết quả qua phiếu điều tra:
Mức độ
Lớp
Tự đọc bài mới
SGK trước khi đến
lớp
Tự học STK sau
bài học trên lớp
Học theo tài
liệu của giáo
viên
9A (45hs) 1/45=2,2% 20/45=44,5% 24/45=53.3%
8A (44hs) 0/45=0% 23/44=52,3% 21/44=47,7%
8B (45hs) 1/45=2,2% 22/45=49% 22/45=48,8%
7A (48hs) 3/48=6,3% 31/48=64,6% 14/48=29,1%

a) Khoảng 5-10% b) Khoảng 10-15%
c) Khoảng 20-30% d) Khoảng 40-50%
e) Khoảng 60-80% f) Khoảng 85-100%
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
Phương án a b c d e f
Số lượng 9 14 20 34 53 22
ĐÁNH GIÁ CÁC KẾT QUẢ ĐIỀU TRA
*1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả
tài liệu gồm bài tập của thầy có hướng dẫn giải.
*2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời
giải, với loại tài liệu này số lượng học sinh học được từ 50% nội dung trở lên
chiếm phần lớn điều này có nghĩa là tài liệu này phù hợp với các em, được các em
đón nhận nhiều.
Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp “viết các
chuyên đề” trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những
suy nghĩ của mình dẫn tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học sinh.
2.3 Kết quả điều tra về một số chuyên đề Toán số học
2.3.1. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trường THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:
“Trong môn số học, một số dạng toán cơ bản dưới đây, dạng toán nào gây cho em
khó khăn khi học nhất?. Kết quả cụ thể:
Các cấp độ Dễ tìm
được
hướng
Đôi khi
gặp khó
khăn khi
Gặp rất
nhiều khó
khăn khi
Không

quan đến phép chia trên tập số nguyên có nhiều học sinh biết hướng giải quyết. Có
thể do dạng toán này gần gũi với các em. Nhiều HS qua phỏng vấn cho biết mặc dù
tìm được hướng đi nhưng khi trình bày lại rất khó khăn. Nhiều HS cho rằng mình
làm được chẳng qua là đã từng được biết trước (do đọc sách hay do thầy chữa rồi).
Đối với câu hỏi 2.3.2 thì thu thập được khá nhiều ý kiến. Ý kiến tập trung nhất là
ứng dụng của chia hết, chia có dư trên tập số nguyên ở hầu hết các bài tập số mà
các em đã gặp.
CHƯƠNG III
VÍ DỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHÉP CHIA
TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN.
AI- LÝ THUYẾT CHUNG.
I1- Phép chia trên tập số nguyên
- 14 -
1.1- nh ngha
Cho a,b là các số nguyên, b 0. Ta nói a chia cho b đ#ợc th#ơng là q và d# r khi a=bq+r
với q,r là các số nguyên và 0 r b . Khi r=0 ta nói a chia hết cho b.
Hệ quả: Khi chia a cho b 0 thì số d# có b 1 khả

<

{ }
năng nhận đ#ợc một trong các số của
tập hợp 0;1;2; ; b 1 .
Nh# vậy với mỗi số tự nhiên a thì tập số nguyên Z đ#ợc "phân hoạch" theo a "lớp".
Mỗi lớp gồm các số nguyên chia cho a có cùng số d#.

1.2- Mt s tớnh cht c bn vờ chia ht.
Cho a,b,c l cỏc s nguyờn. Ta cú mt s tớnh cht c bn sau:
n
TC 2.1 Nếu a b và b c thì a c

p (với m ,m , m là
các số tự nhiên và 0 m n ; 0 m n ; ;0 m n )
TC3.2 Số #ớc của a là n 1 n 1 n 1
TC3.3 Số a là một số lũy thừa bậc t khi t là #ớc chung của n ,n , n

+ + +
3- nh lý Fec-ma
p
p 1
Cho a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố thì a a p
Hệ quả: a là số tự nhiên và p là một số nguyên tố và (a,p)=1 thì a 1 p



M
M
4- Hng ng thc hiờu hai luy tha cung bõc
- 15 -
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
n n n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1
n n
m m
mn mn n n n n
2n 1
2n 1 2n 1 2n 1
Ta có a b a b a a b a b a b ab b
Hệ quả: với a,b nguyên và m,n là các số tự nhiên, a b thì

ta đ#a A(n) về tích nếu có thể. Ta có lời giải sau:
A(n)=n n 1 n 2 3n 5 A(n) 3 (tích 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3)
Lại có A(n)=n n 1 n 2 4 n n 1 n 2 n 3 3 8
vì n n

+
M
M
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 n n 1 n 2 4 8 và n n 1 n 2 n 3 8 do trong 4 số nguyên liên
tiếp có 2 số chẵn và có một số là bội 4 .
M M M

Vớ d 2:
3 2
Chứng minh A(n)=n 51n 481n 3 48 với mọi n lẻ + M
Ngh nh th no?
3 2
Ta thây so với ví dụ 1 thì biểu thức này cùng dạng. Tuy nhiên hệ số của đa thức A(n) lớn
Ta làm giảm hệ số bằng cách viết A(n)=B(48)+ F(n) và chứng minh F(n) 48
Ta có lời giải vắn tắt sau:
A(n)=n 51n
M
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 3 2
481n 3 n 3n n 3 48n 480 48 F(n) n 3n n 3 48
Ta có F(n)= n 3 n 1 n 1
Với n=2k+1 (k Z) ta có F(n)= 2k 2 2k 2k 2 8 k 1 k k 1

=6k+5 th× A(n)= 4n 1 6k 6 4n 1 k 1 6 6− + = − + M
Tiểu kết 1:
Qua 3 ví dụ trên, chúng ta đang xét phép chia của một biểu thức dạng đa thức khi
chia cho một số. Kỹ năng cơ bản để giải quyết bài toán “chứng minh A(n) chia hết
cho k” là
1) Viết k thành tích các số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau (cẳng hạn k=a.b.c
với a,b,c nguyên tố sánh đôi)
2) Chứng minh A(n) chia hết cho các thừa số của k trong phân tích trên
3) Để chứng minh A(n) chia hết cho số nguyên a ta phân hoạch n theo a rồi thay
vào A(n)
4) Để thuận lợi cho việc thay n ta thường viết A(n) về dạng tích (bởi khi đó bậc
của biến n sẽ được giảm đi trong mỗi biểu thức cần thay thế)
Ví dụ 4:
n 2 2n 1
Chøng minh B(n)=11 12 133 víi n N
+ +
+ ∈M
Nghĩ như thế nào? Ta Ta thấy dạng của biểu thức B(n) là tổng các lũy thừa. Chia
cho số 133 là quá lớn việc phân hoạch n theo 133 là không thể. Với phép chia một
lũy thừa cho một số ta có hai tính chất quan trọng (định lý Fec-ma và Hằng đẳng
thức) đã nêu ở trên. Để sử dụng hằng đẳng thức (HĐT) ta cần làm xuất hiện hiệu
hai lũy thừa cùng số mũ. Ta có lời giải sau:
- 17 -
( )
n 2 2n 1 2 n 2n n n n n n
n n n n
B(n)=11 12 11 .11 12.12 121.11 12.144 12.144 12.11 133.11
B(n) 133 với n N vì 12.144 12.11 12 144 11 144 11 133
+ +
+ = + = + = +

n 1 n 2 n 3
n 1 n 2 n 3
k
B(n)= n 1 1 n 1 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1
Ta có n 1 n 1 n 1 n 1 1 (biểu thức gồm n-1 ngoặc đơn)
n 1 1 n 1 1 n 1 1 n 1 1 n n
vì n 1 1 n 1 1 n với mọi k tự nhiê




+ = + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + =
= + + + + + + + + +
+ + =
M
M
2
n.
Vậy B(n) n với n NM

Vớ d 7:
2 n
2
Chứng minh B(n)=2 5 7 với n N.+ M
Ngh nh th no?
Ta cú th hiu
2 n
2

+
= = +
= = + =
= + = + = + =
M
M M

- 18 -
Tiu kt 2:
Qua 3 vớ d 4,5,6 trờn õy chỳng ta ang xột phộp chia ca mt biu thc dng
tng cỏc ly tha khi chia cho mt s. K nng c bn gii quyt bi toỏn
chng minh B(n) chia ht cho k trong dng ny.
1) Vit cỏc biu thc v dng hiu cỏc ly tha cựng s m
2) S dng HT vit biu thc v dng tớch nu cú th!
3) S dng nh lý Fec-ma chn bi nh nht ca mt s cú dng hiu hai ly
tha .
Vớ d 8:
n
Chứng minh S(n)=16 15n 1 225 với n N M
Ngh nh th no?
Biu thc S(n) cha c ly tha v a thc. Vic s dng cỏc k nng c bn
trờn s gp khú khn i vi dng ny. Nhn xột thy S(n+1) cú th truy hi v
S(n) c nờn ta s dng chng minh kiu qui np (ta cn chng minh S(n+1) v
S(n) chia cho 225 cú cựng s d, sau ú th vi n=0). Ta cú li gii sau:
( )
( ) ( )
( )
n n 1
n 1 n n n
n

3
3 3 3 2.3 3
k 1
Xét bài toán với n=k+1 ta có S 2 1 2 1 2 1 2 2 1
+
+
= + = + = + + =
( ) ( )
(
)
( )
( )
1
2
k k k k 2 k.2 k
k 2 k.2 1 k k 1
k k 1
k k 1
3 1 n
1 n
q.3 . q.3 1 q.3 1 1 q.3 q .3 3q.3 3
q.3 .3 q .3 q.3 1 3
Nh# vậy nếu S 3 thì S 3 .
Mặt khác ta có S 2 9 3 đúng nên S 3 với mọi n N *
+
+
+
= + = + =
= +
=

M
96 6.16 6 4
100
100 100
100
ì 3 1 3 1 3 1 7 và 3 81 chia 7
có d# 4 nên 3 chia cho 7 d# 4.
*) Để tìm d# của 3 khi chia cho 56 ta xuất phát từ việc tìm d# 3 khi chia cho 7 và 8
(vì 56=7.8 và (7,8)=1)
Giả sử 3 56k
= =
= +
M M
100
100
r với 0 r 56 (k,r là các số tự nhiên). Vì 3 chia cho 7 d# 4 và chia
cho 8 d# 1 nên r chia cho 7 d# 4 và chia cho 8 d# 1. Với 0 r 56 và n N ta có r=25.
Vậy 3 chia cho 56 có d# là 25.
<
<
( ) ( )
( )
100
100
100
100
Cách khác. Theo kết quả 3 chia cho 7 d# 4 và chia cho 8 d# 1 ta có
3 =7x+4=8y+1 (x,y nguyên) 7x 21 8y 24 7 x 3 8 y 3 .
x 3 8m
Vì (7,8)=1 nên với m Z x 8m 3 3 7 8m 3 4 56m 25

3 1 và 3 1 khi chia cho11. Ta đ#ợc 3 1 11 vì thế ta viết 3 theo 3 . muốn
thế ta phân hoạch 7 theo 5. T#ơng tự nh#


M M
M
trên ta có lời giải sau:
( ) ( )
102 2 100 4.25 4.25 4
Lời giải:
Ta có 7 7 .7 49 7 1 49 chia cho 5 d# 4 vì 7 1 7 1 5= = + M M
( ) ( )
102
102
102
7 5k 4 4 5k 4 5k 4 5k 5
4 7
7 5k 4 (k N).
Ta có 3 3 3 .3 3 3 1 3 chia cho 11 d# 4 vì 3 1 3 1 11
và 3 81 chia cho 11 d# 4. Vậy 124 khi chia cho 11 có d# 4.
+
= +
= = = +
=
M M
Tiu kt 4:
t
k
t
m

( )
2
2
hông chia hết cho 289 với n N
Nếu 3n+1không chia hết cho 17 thì 3n 1 170 không chia hết cho 17
3n 1 170 không chia hết cho 289 với n N

+
+
2
b) Vì (4,121)=1 nên n 3n 5 không chia hết cho 121với n N + +
( )
2
4 n 3n 5 không chia hết cho 121với n N + +
- 21 -
( )
( )
( )
2
2 2
2
Ta có 4 n 3n 5 4n 12n 20 2n 3 11
T#ơng tự câu a ta chứng minh đ#ợc 2n 3 11 không chia hết cho 121.
+ + = + + = + +
+ +
Tiu kt 5:
k
k k
Để chứng minh S không chia hết cho p (p là một số nguyên tố) ta viết S d#ới dạng
S=B Q trong đó Q p nh#ng Q không chia hết cho p . Nếu gặp khó khăn khi viết theo

=
=
=
=
=
n
n
n
ên tố 3

Ta thử một qui luật n chia 4 d# 0 hoặc 2 thì S 3
n chia cho 4 d# 1 thì S 13
n chia 4 d# 3 thì S 5
M
M
M
Ta cú li gii sau:
( )
n
n
k k k
n
n n
S 19.8 17
*) Với n=2k (k N) ta có S 19.64 17 19 64 1 36 3 vì 64 1 64 1 3
mà S 3 nên S là hợp số với mọi n=2k (k N)
= +
= + = +
>
M M M


theo mt s nguyờn no ú. Chng hn khụng cú s chớnh phng chia 3 d 2
vớ d s 4444 (cú 2003 ch s 4) khụng phi s chớnh phng vỡ s ny khi chia
cho 3 cú d 2 (tng cỏc ch s ca nú l 2003.4=3.2003+2003 chia 3 d 2). Thụng
thng tỡm c cn c phõn hoch ta chn phộp qui np khụng hon ton
qua cỏc vớ d c th tỡm ra qui lut.
Vớ d 14
n n
n
Chứng minh S 13 .2 7 .5 26 không thể là số chính ph#ơng với mọi n N= + +
Ngh nh th no?
S dng qui np khụng hon ton bng cỏch thay ln lt n=0, 1, 2, ta u thy S
n
chia ht cho 3 nhng khụng chia ht cho 9. Ta cú 13
3
-1 v 7
3
-1 u chia ht cho 9
nờn ta phõn hoch theo 3.
Li gii:
{ }
( ) ( )
( ) ( )
n n 3k r 3k r
n
r 3k r 3k r r
3k 3 3k 3
r r
Giả sử n chia cho 3 d# r ta có n=3k+r với r 0;1;2 và k N
S 13 .2 7 .5 26 =13 .2 7 .5 26

tich 3 sụ nguyờn dng se tng nhanh hn rõt nhiờu so vi tụng 3 sụ nờn ờ xay ra
bng nhau thi tõp cac sụ x,y,z se bi chn lai mụt thi iờm nao o!
Vớ d 15
n
Tìm n để A= n.2 1 chia hết cho 3+
Nghi nh thờ nao? Vi nhõn xet trờn ta thõy bai toan khụng thờ chn c bng
bõt ng thc. S dung qui nap khụng hoan toan ta se tim c qui luõt phõn
hoach n.
( )
( )
( )
k k k
2k 1 k
Lời giải:
*) Với n=2k (k N) ta có A=n.4 1 2k 4 1 2k 1 3 2k 1 3 (vì 4 1 4 1 3)
3k k 1 3 k 3q 1 n 6q 2 với q N.
*) Với n=2k+1 (k N) ta có A=n.2 1 2n 4 1 2n 1 3 2n 1 3
2 2k 1 1 3 4k 3 3 k 3 n 6q 1 với
+
+ = + + + =
+ = + = +
+ = + + +
+ + + = +
M M M
M
M M
M M M q N
Vậy n 6q 1 hoặc n 6q 2 với q N.

= + = +


x
*3) 5 1 chia hết cho 2? 4? 8? 16?

Tới đây bằng qui nạp không hoàn toàn thì ta tìm đ#ợc qui luật về chia hết. Đây là cơ
sở để ta chứng minh ph#ơng trình vô nghiệm

( )
x 2q q y
x 2k 1 k y
Lời giải:
Nếu x 2 thì 5 1 5 1 25 1 25 1 3 2 3 vô lý
Nếu x=2k+1 5 1 5 1 5. 25 1 4 chia 8 d# 4 2 chia 8 d# 4
+
= =
= =
M M M M
y x 2
y 2 vì nếu y>2 thì 2 8. Ta có 5 1 2 x 1
Vậy ph#ơng trình có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;2)
= = =M
Vớ d 18:
x y
Giải ph#ơng trình sau trên tập số tự nhiên: 2 3 1 =
Nghi nh thờ nao:
Thoat nhin vi du 17 va vi du 18 giụng nhau! Nhng nờu ta thc hiờn theo cac nghi
cua vi du 17 thi khụng c bi ta luụn tim c iờu co ly! Tim hiờu bng qui
nap khụng hoan toan ta thõy ngoai nghiờm c biờt ra thi x la sụ le ln hn 1 se
khụng phai la mụt gia tri nghiờm. (Ta cung co thờ hiờu
x y x y


( )
( ) ( )
n
n m n
m n
y
3 1
i (*) 3 3 1 2 (theo sự phân tích 2 ra thừa số nguyên tố)
3 1 2
n 0
x m n 1. Thay vào ph#ơng trình ta có 2=3 1 y 0
m 1
Vậy ph#ơng trình có nghiệm duy nhất x;y 1;0



=

=

=


=

= + = + =

=