Cơ sở hóa học tinh thể
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006.
Tr 22 – 40.Từ khoá: Hình thái tinh thể, hình dạng tinh thể, nhóm điểm đối xứng.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục

Chương 2 HÌNH THÁI TINH THỂ 2
2.1 Yếu tố đối xứng và sự liên giữa chúng. 2
2.1.1 Yếu tố đối xứng 2
2.1.2 2.1.2. Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng 6
2.2 Nhóm điểm đối xứng và hình đơn của chúng 8
2.2.1 Suy đoán nhóm điểm đối xứng 8
2.2.2 Hạng, hệ tinh thể 12
2.2.3 Kí hiệu nhóm điểm 12
2.2.4 Khái lược về hình thái tinh thể 15


t
ưởng tượng đi qua trọng tâm của đa diện.
Tương ứng với hai thao tác ấy là hai yếu tố đối xứng
đặc trưng cho hình thái tinh thể là mặt đối xứng hay mặt
gương và trục đối xứng hay trục xoay.
Ngoài hai yếu tố đối xứng này còn có tâm đối xứng hay
tâm nghịch đảo. Đây là phép phản chiếu qua điểm trọng
tâm. Đa di
ện có tâm nghịch đảo thì từng đôi mặt đối của nó
phải bằng nhau và song song ngược nhau (hình 2.1). Trong
trường hợp này, các đôi mặt đối này phải lặp lại nhau sau khi phản chiếu qua một điểm tưởng
tượng nằm trùng với trọng tâm của đa diện.
Mặt đối xứng hay mặt gương: Hãy bổ đôi tinh thể muối ăn dạng khối lập phương, nó sẽ
v
ỡ ra thành hai nửa bằng nhau. Đa diện lập phương bất kì luôn có ba mặt gương trực giao,
song song với các mặt vuông của đa diện (hình 2.2,a). Ngoài ra, mặt phẳng chia đôi khối đa
diện có thể đi qua đôi đường chéo song song của đôi mặt đối (hình 2.2,b). Khối lập phương có
6 mặt gương loại này và cả thảy nó có 9 mặt gương. Tinh thể các chất có một, hai, ba, bốn,
Hình 2.1. Đa diện chứa yếu tố
đối xứng duy nhất: tâm đối xứng
3
năm, bảy, chín mặt gương. Ví dụ, tinh thể thạch cao CaSO
4
.4H
2
O chỉ có một mặt gương (hình
2.3 và 2.4).

Hình 2.2
Khối lập phương với ba mặt gương dọc các cạnh (a) và sáu mặt gương dọc các đường chéo (b)


với
α
là góc quay cơ sở, tức là góc quay nhỏ nhất cho phép hình trùng với nó một lần khi
xoay quanh trục.
Khi α = 180
o
, n = 2, ta có trục xoay bậc hai; khi α = 120
o
, n = 3, trục xoay bậc ba; khi α
= 90
o
, n = 4, trục xoay bậc bốn; khi α = 60
o
, n = 6, trục xoay bậc sáu.

Hình 2.3
Tinh thể thạch cao với mặt gương và trục bậc
hai vuông góc Trục bậc hai song song mặt hình
(a) và vuông góc mặt hình (b)
4

Hình 2.4
Các yếu tố đối xứng của tinh thể thạch cao thể
hiện trên biểu đồ hình chiếu nổi (chưa kể tâm
nghịch đảo tại giao điểm, xem sau)
Hình 2.5

quanh trục thì tới a’, rồi nghịch đảo qua tâm của tinh thể thì tới a
1
. Đó là
tác dụng của trục nghịch đảo bậc hai. Bây giờ cho a’

phản chiếu qua mặt gương vuông góc thì
nó sẽ về vị trí
'
1
a
. Như vậy, nhờ tác dụng của trục gương bậc hai, điểm a tới trùng với
'
1
a
.

Trục nghịch đảo bậc hai tương đương trục gương bậc một hay mặt gương (hình b: từ
điểm a sang a
1
), còn trục gương bậc hai tương đương trục nghịch đảo bậc một hay tâm đối
xứng (hình a: từ điểm a sang a
1
).
5
Những thao tác thực hiện bằng trục nghịch đảo bậc ba thể hiện trên hình 2.7,a. Mỗi điểm
a
1
, a
2
hay a

rồi tới a
6.
Đây là tác dụng của
trục nghịch đảo bậc ba.

Hình 2.7
Trục nghịch đảo bậc ba (a) và bậc sáu (b)
Nếu các điểm phần trên tinh thể sau khi xoay quanh trục, không nghịch đảo qua tâm mà
phản chiếu qua mặt gương vuông góc, thì chúng sẽ lần lượt tới trùng với các điểm phần dưới
(xem hình 2.7,b). Đây là tác dụng của trục gương bậc ba. Trong trường hợp này, mỗi điểm ở
phần trên nằm ngay bên trên điểm phần dưới. Bây giờ, nếu cho mỗi điểm phần trên xoay 60°
quanh trục (a
1
tới
'
1
a
, a
2
tới
'
1
a
v.v ) và lần lượt nghịch đảo qua tâm tinh thể thì chúng sẽ tới
các điểm phần dưới. Đây là trường hợp của trục nghịch đảo bậc sáu.
Quay lại sơ đồ hình 2.7,a, có thể đưa các điểm phần trên tới trùng các điểm phần dưới
bằng phép xoay 60
o
và phép phản chiếu tiếp theo qua mặt gương vuông góc: thao tác của trục
gương bậc sáu.

- Tinh thể không chứa trục bậc năm và trục bậc cao hơn sáu [13].
Tuy vậy, trong thực tế chỉ một dạng trục phức được sử dụng: trục nghịch đảo. Hơn nữa
trong đối xứng hình thái chúng hầu hết được thay bằng các yếu tố đối xứng đơn: trục nghịch
đảo bậc một thay bằng tâm đối xứng, trục nghị
ch đảo bậc hai thay bằng mặt gương, trục
nghịch đảo bậc ba thay bằng trục xoay bậc ba cộng tâm đối xứng và cuối cùng trục nghịch
đảo bậc sáu thay bằng trục xoay bậc ba cộng mặt gương vuông góc.
Duy trục nghịch đảo bậc bốn hay trục gương bậc bốn là không thể thay thế bằng bất kì yếu
tố đối xứng nào. Vì vậy, tinh thể học hình thái có bảy yếu t
ố đối xứng thông dụng:
1) Tâm đối xứng, hay tâm nghịch đảo, hay trục (đối xứng) nghịch đảo bậc một, kí
hiệu
1
, hay C.
2) Trục xoay (đối xứng) bậc hai hay trục hai, kí hiệu 2, hay L2.
3) Trục xoay (đối xứng) bậc ba hay trục ba, kí hiệu 3, hay L3.
4) Trục xoay (đối xứng) bậc bốn hay trục bốn, kí hiệu 4, hay L4.
5) Trục (đối xứng) nghịch đảo bậc bốn, kí hiệu
4
, hay Li4.
6) Trục xoay (đối xứng) bậc sáu hay trục sáu, kí hiệu 6, hay L6.
7) Mặt đối xứng hay mặt gương, kí hiệu m, hay P.
2.1.2 Sự liên quan giữa các yếu tố đối xứng
Mỗi đa diện tinh thể chỉ có một tổ hợp yếu tố đối xứng để biểu thị tính đối xứng của nó.
Nhiều tinh thể, tuy khác nhau về hình dạng, nhưng lại có chung những yếu tố đối xứng.
Chẳng hạn, khối lập phương là đa diện tinh thể của muối ăn/halit NaCl và khối bát diện đều là
đa diện tinh thể của khoáng vật magnetit Fe
3
O
4

nghịch đảo làm giao tuyến. Trên
hình 2.9,b là sơ đồ của ví dụ thứ
ba, các trục hai khác tên cắt nhau
dưới góc 30°. Trục đối xứng sinh
ra là trục nghịch đảo bậc sáu; nó
biểu thị bằng trục xoay bậc ba cộng
mặt gương vuông góc.
9 Quy tắc hai
Mặt đối xứng phân bố trong đa
diệ
n tinh thể theo những cách sau :
- Vuông góc với trục đối xứng;
- Đi qua trục đối xứng, cắt nhau dưới góc bằng một nửa góc quay cơ sở của trục xoay,
hay bằng góc quay cơ sở của trục nghịch đảo và nhận trục làm giao tuyến;
- Phân đôi góc giữa 2 trục cùng tên (xem hình 2.9).
9 Quy tắc ba
Trục cùng tên có thể cắt nhau dưới những góc hoàn toàn xác định:
- Trục bậc hai cắt nhau dướ
i góc 60°, 90°, 120° và 180°;
- Trục bậc ba cắt nhau dưới góc 70°31′44″ và 180°;
- Trục bậc bốn cắt nhau dưới góc 90° và 180°;
- Trục bậc sáu cắt nhau dưới góc 180°.

Hình 2.9
Các trục hai khác tên (trục xoay và trục nghịch đảo) cắt nhau
sinh trục bậc n nghịch đảo vuông góc a) dưới 45
o
cho trục
bốn và b) dưới 30
o

mặt trên đa diện tinh thể đều khác nhau, nên không trùng lặp nhau. Mỗi mặt cho
một hình đơn. Đó là hình đơn một mặt (hình 2.10,a).

9
b) Tinh thể chứa tâm đối xứng. Mỗi mặt trên đa diện đều có một mặt đối bằng nó,
song song ngược chiều với nó. Hai mặt đối này tạo hình đơn gọi là đôi mặt (hình
2.10,b).
c) Đối xứng của tinh thể thể hiện bằng trục bậc hai (phân cực). Mỗi mặt đều có thể
trùng với mặt khác bằng phép xoay 180° quanh trục. Hai mặt ở vị trí tổng quát
này kéo dài s
ẽ cắt nhau như hai mái nhà (hình 2.10,c) tạo nên hình đơn hai mặt
(trục).
d) Từng cặp mặt dạng mái nhà đối xứng nhau qua mặt gương duy nhất, cho hình đơn
hai mặt (hình 2.10,d). Hình đơn hai mặt này sinh ra do tác động của mặt gương,
khác với hai mặt (trục) do trục hai sinh ra. Nhiều tác giả phân biệt hai hình đơn:
hai mặt và hai mặt trục, nên số hình đơn sẽ là 48 thay cho 47.
e) Đối xứng của đa diện biểu thị bằng t
ổ hợp 2 yếu tố đối xứng trực giao: trục xoay
bậc hai và mặt gương. Nhờ những thao tác đối xứng này, mặt ở vị trí tổng quát
này (hình 2.10,e) sẽ sinh ra hình đơn lăng trụ (trực thoi).
Dưới tác dụng của mỗi trục đối xứng bậc cao, 5 dạng đối xứng đơn giản kèm hình đơn
này sẽ cho 5 dạng đối xứng/hình đơn cao hơn.
Hình 2.11 giới thiệu 5 dạng đối x
ứng/hình đơn khác nhau, hình thành nhờ tác dụng của
trục bậc ba đối với 5 dạng đối xứng/hình đơn chính đã kể trên. Chẳng hạn, hình đơn một mặt
xoay quanh trục bậc ba phân cực cho hình đơn tháp ba phương (hình 2.11,a). Sau ba lần quay
quanh trục bậc ba này, hình đơn đôi mặt tạo hình đơn mặt thoi với các yếu tố đối xứng là trục
bậc ba, ba mặt gương nhận nó làm giao tuyến, ba trục bậ
c hai vuông góc với nó (mỗi trục hai
còn vuông góc với một mặt gương) và tâm nghịch đảo (hình 2.11,b). Bằng cách tương tự,

góc.
11) Nhóm điểm tám mặt ba (ngũ giác) với bốn trục bậc ba định hướng dọc 4 đường chéo
của khối lập phương, ba trục xoay bậc bốn dọc các cạnh và 6 trục xoay bậc hai nối
trung điểm các cạnh đối của nó.
Chỉ có trục nghịch đảo:
12) Nhóm điểm đôi mặt với trục nghịch đả
o bậc một (tâm đối xứng).
13) Nhóm điểm hai mặt với trục nghịch đảo bậc hai (mặt gương).
14) Nhóm điểm mặt thoi với trục bậc ba nghịch đảo (trục xoay bậc ba cộng tâm nghịch
đảo).
15) Nhóm điểm bốn mặt bốn phương với trục nghịch đảo bậc bốn.
Có trục và mặt gương vuông góc (trường hợp trụ
c chính mang bậc chẵn sẽ có thêm tâm
đối xứng):
16) Nhóm điểm lăng trụ (trực thoi) với trục xoay bậc hai, mặt gương vuông góc và tâm
đối xứng.
17) Nhóm điểm tháp đôi ba phương với trục xoay bậc ba và mặt gương vuông góc. Tổ
hợp này tương ứng trục nghịch đảo bậc sáu.
18) Nhóm điểm tháp đôi bốn phương với trục xoay bậc bốn, mặt gương vuông góc.
19) Nhóm điểm tháp đôi sáu phương với trục xoay bậc sáu, mặt gương vuông góc.
11
20) Nhóm điểm mười hai mặt kép với 3 trục bậc hai song song với các cạnh của khối lập
phương, 3 mặt gương vuông góc với chúng, và 4 trục bậc ba dọc 4 chéo của khối lập
phương.
Có trục và các mặt gương đi qua (song song):
21) Nhóm điểm tháp trực thoi với trục xoay đối xứng bậc hai và hai mặt đối xứng gương
trực giao nhận nó làm giao tuyến.
22) Nhóm điểm tháp ba ph
ương kép với trục xoay đối xứng bậc ba và ba mặt gương giao
nhau dưới góc 120°.

ương, ba trục xoay bậc bốn chạy dọc các cạnh của nó, sáu trục
xoay bậc hai phân đôi góc giữa các trục bậc bốn, chín mặt gương vuông góc với các
trục bậc chẵn và tâm đối xứng.
Trên đây là tất cả các tổ hợp có thể có của các yếu tố đối xứng.
Thời gian đầu từ khi được chứng minh, không phải hết thảy 32 dạng đối xứng đều có ví
dụ thực t
ế như hiện tại. Cho tới nay, trong số hàng vạn chất bao gồm các tinh thể tự nhiên
(khoáng vật) và nhân tạo chưa có trường hợp nào nằm ngoài 32 lớp tinh thể.
12
2.2.2 Hạng, hệ tinh thể
Căn cứ trên đặc điểm các tổ hợp yếu tố đối xứng có thể chia 32 dạng đối xứng thành ba
hạng:
- Hạng thấp; tinh thể hạng này không chứa trục bậc ba, bậc bốn, bậc sáu.
- Hạng trung; tinh thể chứa trục chính thẳng đứng; trục bậc ba, trục bậc bốn và trục
bậc sáu.
- Hạng cao; tinh thể chứa 3 trục tr
ực giao: bậc bốn (xoay hay nghịch đảo) hoặc bậc
hai và luôn chứa bốn trục bậc ba.
Hạng thấp có 8 lớp, hạng trung 19 lớp, hạng cao 5 lớp. Các lớp tinh thể còn phân chia
thành các hệ sau:
a) Hệ ba nghiêng không có mặt và trục đối xứng, có thể có tâm đối xứng.
b) Hệ một nghiêng chỉ chứa một trục hai và (hay) một mặt gương.
c) Hệ trực thoi chỉ chứa trục hai và m
ặt gương; có thể có đến ba trục hai hay ba mặt
gương trong hệ.
d) Hệ bốn phương nhận trục bậc bậc bốn (trục xoay hoặc trục nghịch đảo) làm trục
chính.
e) Hệ sáu phương với hai phụ hệ đều nhận các trục đối xứng (trục xoay hay trục
nghịch đảo) làm trục chính: trục bậc ba của phụ hệ ba phương và trục bậc sáu của
phụ hệ sáu phương.

1
C
2
C
3
C
4
C
6
là những nhóm với một trục duy nhất cho mỗi
lớp. Những nhóm chứa thêm mặt gương (nằm ngang) vuông góc có thêm kí hiệu dưới h ngay
sau chỉ số chỉ bậc của trục. Do đó, kí hiệu C
2h
C
3h
C
4h
và C
6h
đặc trưng lần lượt cho các nhóm
lăng trụ (trực thoi), tháp đôi ba phương, tháp đôi bốn phương và tháp đôi sáu phương. Trục
chứa thêm mặt gương (thẳng đứng) thì sẽ có kí hiệu dưới v đặt ngay sau chỉ số, chỉ số này
cũng cho thấy số mặt gương thẳng đứng tương ứng: C
2v
C
3v
C
4v
và C
6v

2d
(hay V
d
) và D
3d
. Chữ d cho thấy mặt gương nằm chéo, ở vị trí phân đôi góc của các trục
bậc hai. Những lớp chứa trục gương duy nhất, bậc bốn và bậc sáu, có kí hiệu S
4
và S
6.
Như đã
biết, trục gương bậc sáu tương đương trục nghịch đảo bậc ba, nên S
6
có thể viết thành C
3i
.
Cũng vì vậy, lớp đôi mặt kí hiệu C
i
.
Các lớp của hệ lập phương thường bắt đầu bằng T và O (tetrahedral: thuộc tứ diện và
octahedral: thuộc bát diện); T là nhóm điểm bốn mặt ba (ngũ giác), O tám mặt ba (ngũ giác),
điền thêm kí hiệu dưới h và d tuỳ trường hợp:
T
h
mười hai mặt kép,
O
h
tám mặt sáu (tam giác),
T
d

2
C
S

C
2h
2
m
2/m
Trực thoi Bốn mặt trực thoi
Tháp trực thoi
Tháp đôi trực thoi
3L
2
L
2
2P
3L
2
3PC
D
2

C
2v
D
2h
222
mm2
Mmm

2P
C
4

C
4h

D
4

C
4v
D
4h

S
4

D
2d
4
4/m
422
4mm
4/mmm
4

4
2m
Ba phương Tháp ba phương

C
3
C
3i

D
3
C
3v
D
3d
3
3

32
3m
Sáu phương Tháp sáu phương
Tháp đôi sáu phương
Mặt thang sáu phương
Tháp sáu phương kép
Tháp đôi sáu phương kép
Tháp đôi ba phương
Thá
p
đôi ba
p
hươn
g
ké
p

C
6h

D
6

C
6v
D
6h

C
3h

D
3h
6
6/m
622
6mm
6/mmm
6

6
14
Lập phương Bốn mặt ba (ngũ giác)
Mười hai mặt kép
Tám mặt ba (ngũ giác)
Bốn mặt sáu (tam giác)
Tám mặt sáu (tam giác)


O
T
d

O
h

23
m3
432
4
3m
m3m
Chú thích: * kí hiệu theo 1) Bravais, 2) Schoenflies, 3) Hermann-Mauguin
Kí hiệu Hermann-Mauguin
Trục đối xứng kí hiệu bằng số chỉ bậc của nó, mặt gương bằng chữ m. Trục xoay bậc hai,
ba, bốn và sáu kí hiệu lần lượt 2, 3, 4 và 6. Vạch ngang đặt phía trên chữ số là trục nghịch
đảo;
4
là trục nghịch đảo bậc bốn (xem 2.1.1).
Các nhóm điểm khác kí hiệu bằng những kết hợp khác nhau của các chữ số và chữ m.
Mặt gương vuông góc với trục đối xứng thì giữa nó và trục có gạch ngang hay chéo dạng
phân số. Ví dụ : 2/m là nhóm với trục bậc hai vuông góc với mặt gương (tâm nghịch đảo là
kết quả đương nhiên). Nếu 2 kí tự này viết liền nhau thì đó là vì chúng song song nhau (mặt
chứa trục). 222 là nhóm đ
iểm có 3 trục xoay bậc hai trực giao;
222
mmm
là nhóm tháp đôi trực

OY. Còn 2 trục kia, cũng như cả 3 trục của tinh thể 3 nghiêng, đều đặt theo các cạnh thường
gặp nhất (theo trục của đới phát triển nhất), ưu tiên OZ hơn.
Tinh thể trực thoi có hệ trục toạ độ trực giao, chạy dọc các tr
ục bậc hai hay/và pháp tuyến
của mặt gương và không tương đương, giống 2 hệ trên: a, b, c khác nhau.
Tinh thể 4 phương cũng có hệ trục vuông góc và a và b bằng nhau. Trục thứ 3 là c thẳng
đứng luôn trùng với trục đối xứng bậc 4 (trục xoay hay trục nghịch đảo). Các trục ngang đặt
dọc trục bậc 2, hoặc dọc tia pháp mặt gương, hoặc dọc theo các đới phát triển nhất. Đặc số
củ
a hệ 4 phương là tỉ số a : c.
Tinh thể hệ sáu phương có góc
γ
giữa OX và OY bằng 120° và hai góc vuông, a =
b. Trục OZ đứng trùng với trục bậc ba và trục bậc sáu. Riêng phụ hệ ba phương có mạng mặt
15
thoi với a = b = c và góc giữa các trục tinh thể học bằng
α
(khi góc này 90° mạng chuyển
sang hệ lập phương). Thực ra, mạng này chỉ là trường hợp đặc biệt của hệ sáu phương [14].
Tinh thể hệ lập phương có các trục toạ độ vuông góc và tương đương do tác động của 4
trục bậc 3. Chúng song song với 3 trục bậc 4 (trục xoay hoặc trục nghịch đảo) hoặc 3 trục
xoay bậc 2. Như vậy thông số a là đặc số duy nh
ất của tinh thể hệ này.
Đối xứng toàn mặt, phân nửa mặt, phân tư mặt.
Mỗi hệ tinh thể đều có một lớp đối xứng cao nhất và với hình đơn nhiều mặt nhất; đó là
số mặt của hình đơn tổng quát của nhóm điểm và là đặc số của đối xứng cao nhất ấy. Đó là
lớp đối xứng toàn mặt:
 Hệ ba nghiêng có lớ
p đôi mặt.
 Hệ một nghiêng có lớp lăng trụ (trực thoi).

hoàn chỉnh.
Vậy, hình đơn gắn liền với đa diện tinh thể thông qua nhóm điểm của nó. Về mặt lí
thuyết, mỗi nhóm điểm có thể có một số hữu hạn các hình đơn. Trong số đó có các hình đơn
đặc biệt và một hình đơn tổ
ng quát duy nhất với số mặt lớn nhất. Mặt của hình đơn đặc biệt
thì hoặc vuông góc với yếu tố đối xứng hoặc song song với chúng, hoặc cắt xiên các yếu tố
đối xứng tương đương dưới cùng một góc (các yếu tố đối xứng cùng tên của nhóm điểm có
thể không tương đương nếu chúng không trùng nhau nhờ các yếu tố đối xứng khác trong
16
nhóm điểm). Hình đơn gọi là tổng quát nếu mặt của nó nằm tại vị trí bất kì so với các yếu tố
đối xứng của đa diện tinh thể. Nó đóng vai trò tinh thể học rất quan trọng; tên của nó được lấy
để đặt cho nhóm điểm (tham khảo bảng 2.1), còn số mặt lớn nhất của nó là đại lượng đối
xứng của nhóm điểm, định l
ượng cho mức độ đối xứng của tinh thể (bảng 2.2).
Tất cả có 47 hình đơn [13,14] và chúng phân bổ trên các hệ như trên bảng 2.3. Ngoài
hình đơn hai mặt, nhiều tác giả còn kể thêm hai mặt trục, nâng số hình đơn lên 48; tên của
chúng cũng là tên của các nhóm điểm m (P) và 2 (L
2
).
Bảng 2.3
Sự phân bổ hình đơn tại các hạng, hệ
Hạng tinh thể Hệ Số hình đơn
Thấp 7 (hoặc 8)
Trung Bốn phương
Sáu phương
9
16
Cao Lập phương 15
Một số hình đơn của hạng thấp cũng có mặt ở hạng trung. Hình đơn đặc biệt của một lớp
có thể là tổng quát của lớp khác; chẳng hạn, lăng trụ trực thoi là hình đơn đặc biệt thuộc hệ

tháp đôi bốn phương kép {hkl}với mặt cắt ngang tứ giác kép đều
đặn (đường đứt, hàng giữa, hình 2.12).

17

Hình 2.12
Hình đơn đôi mặt và tháp đôi phát triển trong tinh thể thuộc các hệ với ba trục toạ độ
Trong hệ lập phương 4 trục bậc ba đã làm xuất hiện hình tám mặt sáu {hkl}, tổng quát
với 48 mặt, mặt cắt ngang của nó (đường đứt) giống hình trên. Cùng lớp đối xứng còn có hình
đơn đặc biệt {111} tám mặt, với đối xứng cao hơn tháp đôi bốn phương. Ngoài ra, có thể còn
2 hình trung gian gồm 24 mặt {hhl}: tám mặt ba tứ giác với h < l và tám mặt ba tam giác v
ới
h > l (xem thêm ở cuối mục).
Hình 2.12 (hàng dưới) giới thiệu loạt hình đơn sinh ra từ mặt cho trước, chỉ cắt một trong
ba trục toạ độ. Tinh thể hạng thấp có ba hình đôi mặt {100}, {010} và {001}. Hình đơn {100}
của hệ bốn phương là lăng trụ, trong hệ lập phương là hình lập phương (sáu mặt).
Những hình đơn hệ lập ph
ương và những tháp đôi vừa kể đều là những hình đơn kín và
có thể một mình làm nên đa diện tinh thể. Hình đôi mặt, lăng trụ trực thoi là những hình đơn
mở, chỉ bắt gặp chúng trong hình ghép.
Bây giờ, thay vào các mặt ở vị trí tổng quát là các mặt chỉ cắt 2 trục tinh thể học và song
song với trục thứ ba, thực hiện cách như trên cũng có thể thu được hàng loạt hình đơn từ
đối
xứng thấp, ít mặt đến hình đơn đối xứng cao với số mặt nhiều hơn (hình 2.13).

18
Chẳng hạn, mặt song song với trục c trong lớp toàn mặt hệ ba nghiêng cũng sẽ cho hình
đơn đôi mặt, nhưng với kí hiệu {
hk0
} và {hk0}. Hình đơn {hk0} là lăng trụ trực thoi, tổng

} với trục ba đơn cực.
Dựa vào đối xứng riêng của mặt các hình này, ta cho xuất hiện cạnh “nóc nhà” hoặc đỉnh
“mũi tháp” tại trung điểm của chúng [14].

Hình 2.14. Một số hình đơn phân nửa mặt phát triển từ hình 2.12 (hàng
19
a) Hình đơn hk0 dẫn
xuất từ hình lập phương/sáu
mặt:
Hình mười hai mặt ngũ
giác có thể gọi là “sáu mặt
hai ngũ giác” nếu cho xuất
hiện cạnh trên mặt hình sáu
mặt.
Hình sáu mặt bốn (tam
giác) nếu cho xuất hiện
đỉnh trên mặt hình lập
phương.
Hình mười hai mặt thoi
{110} suy từ hình lập
phương qua hình trung gian
sáu mặt bốn tam giác.
b) Hình đơn {hhl} với
h > l. Trong các nhóm điểm
m3m, 432, m3 mặt tam giác
đều của bát diện thay bằng
“tháp ba mái”: hình đơn
nhận được là tám mặt ba tam giác. Trong trường hợp tứ diện (43m và 23) sẽ là bốn mặt ba tứ
giác. Khi độ dốc các mặt này tăng tới hạn, tức là h→0 thì (hhl) → (011), các hình dẫn xuất
này cũng thành mười hai mặt thoi.