6
CHƯƠNG 2
DẪN NHIỆT ỔN ĐỊNH
2.1. ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT
2.1.1. Thiết lập định luật Fourier về dẫn nhiệt
Định luật Fourier là định luật cơ bản của dẫn
nhiệt, nó xác lập quan hệ giữa 2 vectơ
q
và
dtagr
.
Để thiết lập định luật này ta sẽ tính nhiệt
lượng
Q
2
δ
dẫn qua mặt dS nằm giữa 2 lớp phân tử
khí có nhiệt độ T
1
> T
2
, cách dS một đoạn
x
bằng
quảng đường tự do trung bình các phân tử, trong
thời gian
τd
, như hình H2.
Vì T
1

2
1
1
2
và

τω== dSdn
6
1
kT
2
1
ndEEd
02
2
2
2
2
,
trong đó
K/J10.3806,1
02217,6
8314
N
R
k
23
A
−
µ

⎛
∂
∂
−=−
và
Hình 2. Để tìm dòng nhiệt
q

7
v
A
0
A
00
C
3
1
R
2
i
N
n
3
1
N
R
n
6
i
kn

⎜
⎝
⎛
ωρ−=δ dSd
x
T
xC
3
1
Q
v
2
, ddawtj
xC
3
1
v
ωρ=λ
thì có
x
T
q
Ss
Q
x
2
∂
∂
λ−==
τδ

λ−=

2.1.2. Phát biểu và hệ quả của định luật Fourier
Định luật Fourier phát biểu, rằng vectơ dòng nhiệt
q
tỷ lệ thuận với véc tơ
gradien nhiệt độ.
Biểu thức dạng vectơ là
dtagrq
λ−=
, dạng vô hướng là
)M(tgradtq
n
λ−=λ−=
. Dấu (-) vì 2 vectơ ngược chiều nhau.
Nhờ định luật Fourier, khi biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), có thể tính được
công suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m
2
] theo công thức
dS.gradtQ
S
∫∫
λ−=
và tìm
được lượng nhiệt Q
τ
[J] dẫn qua S sau thời gian τ[s] theo công thức
τλ−=
∫∫∫
τ

m
kT8
C
RT
p
3
1
xC
3
1
3
2
2
v
2
vv
π
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
π
π
⎟
⎠

Thép Cacbon
Yhép CrNi
419
390
313
209
45
17
Thuỷ tinh
Gạch khô
Nhựa PVC
Bông thuỷ tinh
Polyurethan
Không khí
0,74
0,70
0,13
0,055
0,035
0,026
Bảng 2. Hệ số dẫn nhiệt trung bình của các vật liệu thường dùng
2.2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT
2.2.1. Nội dung và ý nghĩa của PTVPDN
PTVPDN là phương trình cân bằng nhiệt
cho 1 vi phân thể tích dV nằm hoàn toàn bên
trong vật V dẫn nhiệt.
PTVPDN là phương trình cơ bản để tìm
trường nhiệt độ t(M, τ) trong V, bằng cách tính
phương trình này.


hay

)qdivq(
C
1t
v
p


=



Theo nh lut Fourier
dtagrq =
, khi = const ta cú
t
z
t
zy
t
yx
t
x
)dtagr(divqdiv
2
=











==

vi

),(r, cỏửu õọỹ toaỷ trong,
z),(r, truỷõọỹ toaỷTrong
(xyz) goùc vuọngõọỹ taỷo
2












+




=
222
2
222
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
sinr
tt
sinr
cos
r
t
r
t
r
2

+

=






+


=


t
q
at
q
C
t
2
v
2
v
p
, vi
p
C
a



=



2) Vi = const, M(x,y,z) V, thỡ
ta
t
2
=

10
3) Nếu nhiệt độ ổn định trong V,
0
t
=
τ∂
∂
∀M∈V, thì
0t
2
=∇

4) Khi trường t(M) là ổn định 1 chiều thì :
t(x) trong toạ độ vuông góc tìm theo
0

2
2
=+

2.3. CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ
Phương trình vi phân dẫn nhiệt là phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn
là hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ). Nghiệm tổng quát thu được bằng cách tích phân
phương trình này luôn chứa một số hằng số tuỳ ý chọn. Để xác định duy nhất
nghiệm riêng của PTVPDN, cần cho trước một số điều kiện, được gọi chung là các
điều kiện đơn trị
. Điều kiện đơn trị là tập hợp các điều kiện cho trước , đủ để xác
định duy nhất nghiệm của một hệ phương trình.
2.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị
Theo nội dung, các điều kiện đơn trị được phân ra 4 loại sau
1) Điều kiện hình học: Cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định hình
dạng, kích thước vị trí c
ủa hệ vật V.
2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định các thông số vật lý tại mọi điểm M
∈V, tức là cho biết (ρ, λ, a, q
v
, …)= f(M∈V, t).
3) Điều kiện đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm đầu τ = 0 tại
mọi điểm M∈V, tức là cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z).
4) Điều kiện biên: cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc luật cân bằng nhiệt tại
mọi điểm M trên biên W của vật V tại mọi thời điểm kh
ảo sát. Nếu ký hiệu dòng
nhiệt dẫn trong vật V đến M ∈ W là
)M(t
n
t

trong mọi bài toán. Riêng điều kiện đầu chỉ cần cho trong bài toán không ổn định, có
chứa biến thời gian τ.
2.3.2. Các loại điều kiện biên.
Trên các biên W
i
của vật V, tuỳ theo phương thức trao đổi nhiệt với các môi
trường mà V tiếp xúc, người ta có thể cho trước 7 loại điều kiện biên khác nhau.
Bảng 3 sau đây sẽ tóm tắt ý nghĩa vật lý và toán học, minh hoạ hình học và các
trường hợp đặc biệt của 7 loại điều kiện biên quanh vật V bất kỳ.
Bảng 3. Các loại điều kiện biên.
Loại
ĐKB
Ý nghĩa v
ật lý
hay thông số
cho trước
Mô tả toán học
hay pt CBN
mô tả hình học hay
đồ thị (t-x)
Trường hợp
đặc biệt
1
Cho nhiệt độ
t
W1
tại
∀M
1
∈W

) = q(M
2
,
τ)
q = const
↔γ=const
q=0 ↔W
2
là
mặt đối xứng
hoặc cách
nhiệt

12
3
Cho mặt W
3

toả nhiệt ra
chất lỏng nhiệt
độ t
f
với hệ số
α
-λt
n
(M
3
)=
α(t(M


đứng yên, có
λ
2
, t
2

=λ− )M(t
4n
-
λ
2
t
2n
(M
4
)

t
2
= const↔W
4
biến thành W
1
(λ
1
, λ
2

)=const↔gó c

di động với
tốc độ hoá rắn
bằng
τ∂
∂
5
x

6
cho W
6
tiếp
xúc chân
không
-λT
n
(M
6
)=
εδ
0
T
4
(M
6
)

Mặt bao chân
không có nhiệt
độ T

n
(M
7
)=

[T(M
7
)
-
T
k
]+

0
[T
4
(M
7
) - T
4
k
]
Quy ra trao i
nhit phc hp
-T
n
(M
7
)=
ph













+=
=


+=
=
=
=
=










VM,
q
ta
t
W1
t
VM cuớa lyù vỏỷt sọỳ thọngõởnh vaỡ xaùcMióửn
Gii bi toỏn dn nhit l tỡm hm phõn b nhit t(M(x,y,z),) tho món
mi phng trỡnh ca h (t) núi trờn. Vic ny gm cú 2 bc chớnh l tớch phõn
phng trỡnh vi phõn dn nhit tỡm nghim tng quỏt, sau ú xỏc nh cỏc hng
s theo cỏc phng trỡnh mụ t cỏc iu kin n tr.
Hỡnh 4. Mụ hỡnh tng quỏt
bi toỏn dn nhit t(x,y,z,)