Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang

103

CHỈÅNG 18
QUẠ TRÇNH QUẠ ÂÄÜ ÅÍ MẢCH PHI TUÚN

§1. Âàûc âiãøm ca quạ trçnh quạ âäü trong mảch phi tuún.
- Viãûc âọng ngưn hçnh sin vo mảch tuún tênh cọ chỉïa dung, cm v tråí cọ
thãø tảo dng, ạp quạ âäü cỉûc âải khäng vỉåüt quạ 2 láưn biãn âäü åí trảng thại xạc láûp.
Nhỉng khi âọng vo mảch khạng phi tuún thç cọ thãø xút hiãûn âiãûn ạp hay dng âiãûn
quạ âäü låïn hån trë säú xạc láûp nhiãưu láưn, trảng thại ny ráút dãù âỉa âãún sỉû cäú.
- Quạ trçnh quạ âäü åí mảch phi tuún ngoi sỉû thay âäøi âàûc biãût vãư
lỉåüng nhỉ
trãn nọ cn thay âäøi vãư cháút : QTQÂ trong mảch phi tuún cọ thãø phạt sinh nhỉỵng hiãûn
tỉåüng måïi nhỉ quạ trçnh tỉû dao âäüng cọ táưn säú ω ≠ ω
ngưn

- Quạ trçnh quạ âäü mảch phi tuún âỉåüc miãu t bàòng nhỉỵng phỉång trçnh vi
phán phi tuún viãút theo lût K1, K2. Bi toạn quạ trçnh quạ âäü l bi toạn gii hãû
phỉång trçnh vi phán phi tuún cho tha mn så kiãûn nãn khäng cọ phỉång phạp no
chung m chè cọ nhỉỵng phỉång phạp gáưn âụng dng cho nhỉỵng mảch củ thãø.
Ta xẹt mäüt säú phỉång phạp gáưn âụng gii quạ trçnh quạ âäü mảch phi tuún.
§2. Phỉång phạp tuún tênh họa säú hảng phi tuún nh.
I. Tinh tháưn phỉång phạp :
1. Trong trỉåìng håüp quạ trçnh ca mảch âi âãún äøn âënh thç nãúu cọ thay âäøi êt
no âọ cạc säú hảng hay hãû säú ca phỉång trçnh thç nghiãû
m cng thay âäøi nh tỉång
ỉïng, lục âọ ta cọ thãø coi säú hảng phi tuún l nh trong hãû phỉång trçnh mảch nãn cọ
thãø gáưn âụng cho nọ bàòng 0 m khäng nh hỉåíng nhiãưu âãún nghiãûm ca quạ trçnh.
Vê dủ : Khi phi tuún nh cọ thãø coi gáưn âụng nhỉ sau :

++=ψ
Phỉång trçnh vi phán mä t QTQÂ ca mảch l :

)t(e
d
t
d
i.r =
ψ
+

h.18-1
Trỉåìng Âải Hc K Thût - Khoa Âiãûn - Bäü män Thiãút bë âiãûn

Giạo trçnh Cåí såí K thût âiãûn II Trang

104
Âáy l phỉång trçnh vi phán cáúp 1 liãn hãû hai biãún trảng thại ψ, I nãn r rng
mún gii phỉång trçnh ta phi chuøn tỉì biãún ny sang biãún kia âãø âỉåüc phỉång trçnh
vi phán cáúp 1 theo mäüt biãún. Hai biãún ψ, I liãn hãû våïi nhau trong hm âàûc tênh phi
tuún nãn nãúu dng quan hãû ny âỉa vo phỉång trçnh thç hãû phỉång trçnh s phỉïc tảp
khọ gii. Khi mảch cọ tênh phi tuún nh b qua säú hảng phi tuún trong quan hãû hm
ψ(i) thay vo hãû phỉång trçnh s âỉåüc phỉång trçnh vi phán cáúp mäüt tuún tênh theo
mäüt biãún thç gii âỉåüc dãù dng. Ta chuøn âäøi cạc biãún trong trỉåìng håüp củ thãø nhỉ
sau :
a. Khi quạ trçnh trong mảch cọ tiãu tạn êt nãn cọ
dt
d
i.r
ψ

.i nãn cọ :
'i.L
d
t
di
.
id
t
d
0
≈
∂
ψ∂
=
ψ
v phỉång trçnh mä t QTQÂ
l :
)t(e
d
t
di
Li.r
0
=+
l phỉång trçnh tuún tênh. Gii phỉång trçnh cho tha mn så
kiãûn i(0) âỉåüc dng âiãûn quạ âäü i(t) v dỉûa vo quan hãû ψ(i) xạc âënh âỉåüc ψ(t).
II. Cạc bỉåïc ca phỉång phạp tuún tênh họa säú hảng phi tuún nh :
Tỉì vê dủ trãn ta rụt ra cạc bỉåïc thỉûc hiãûn nhỉ sau :
1. Viãút phỉång trçnh ca mảch dỉåïi dảng phỉång trçnh vi phán cáúp 1 theo hai
biãún trảng thại - Ty theo âàûc âiãøm ca mảch âãø qua hm âàûc tênh, tênh gáưn âụng biãún

H(x, µ, t) = H
1
(x, t) + µ.H
2
(x, µ, t) = 0 (18-1)
Trong âọ : H
1
(x, t) l táûp håüp táút c cạc säú hảng tuún tênh trong hãû, cn H
2
(x,
µ, t) l táûp håüp táút c cạc säú hảng phi tuún trong hãû. Trong âọ tham säú µ quút âënh
tênh cháút, mỉïc âäü phi tuún ca quạ trçnh phi tuún trong mảch. Khi µ = 0 säú hảng phi
tuún khäng cn.
Lục ny phỉång trçnh mảch chè cn H
1
(x, t) = 0 gi l phỉång trçnh tuún tênh
suy biãún. Nghiãûm ca H
1
(x, t) = 0 kê hiãûu l x
0
(t) gi l nghiãûm tuún tênh suy biãún.
Nghiãûm ca H(x, µ , t) = 0 kê hiãûu l x(t), nọi chung x(t) ≠ x
0
(t) såí dé cọ sai khạc âọ l
do cọ sỉû tham gia ca säú hảng phi tuún. Tỉïc l mỉïc sai khạc ty thüc µ.
Âäúi våïi cạc quạ trçnh âi âãún äøn âënh, khi µ bẹ cọ thãø coi nghiãûm x(t) cọ quan hãû
gii têch våïi tham säú µ, nãn cọ thãø khai triãøn x(t, µ) theo chùi ly thỉìa våïi tham säú µ .
Ta cọ nghiãûm dỉåïi dảng khai triãøn l :
k
kk

1
(t), x
2
(t),..., x
k
(t) gi l cạc hm hiãûu chènh sỉû sai khạc giỉỵa x(t) v
x
0
(t) âãø x
0
(t) tiãún dáưn âãún x(t). Nãn ta cn gi âáy l phỉång phạp nhiãùu loản.
Tỉì âọ dáùn âãún tinh tháưn ca phỉång phạp l :
Tçm âỉåüc nghiãûm quạ trçnh phi tuún x(t) bàòng cạch gii tçm nghiãûm phỉång
trçnh tuún tênh suy biãún x
0
(t), sau âọ tçm cạc hm hiãûu chènh âãø x
0
(t) tiãún âãún x(t), ta
tháúy cng nhiãưu hm hiãûu chènh thç x
0
(t) cng tiãûm cáûn âãún nghiãûm phi tuún x(t).
II. Vê dủ :
Nảp tủ âiãûn C âãún u
C
(-0) = U
0
räưi cho phọng âiãûn qua âiãûn tråí phi tuún r(i) cọ
hm âàûc tênh i(u) = a.u + b.u
2
nhỉ hçnh (h.18-2). Xạc âënh âiãûn ạp trãn tủ âiãûn sau khi

2
uuu2uu µ+µ+=
. Vç u = u
0
+ µ.u
1
l nghiãûm nãn thay vo
phỉång trçnh mảch phi nghiãûm âụng nãn cọ : 0
0
)uu2uu(b)uu(a)'u'u(C
01
2
1
22
01010
=µ+µ+µ+µ++µ+
ubu2bubuuaau'uC'C
u
01
22
1
32
01010
=µ+µ+µ+µ++µ+
Sàõp xãúp cạc säú hảng theo báûc ca µ ta âỉåüc :
0buubu2)buau'C
u(au'Cu

Giaới phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn õóứ xaùc õởnh nghióỷm tuyóỳn tờnh suy
bióỳn u
0
(t). Tổỡ phổồng trỗnh vi phỏn theo thồỡi gian : C.u'
0
+ a.u
0
= 0 vồùi sồ kióỷn u
C
(0) =
u
C
(-0) = U
0
. Duỡng phổồng phaùp toaùn tổớ giaới phổồng trỗnh vi phỏn tuyóỳn tờnh vồùi bióỳn
u
0
(t) ta õổồỹc nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn.
Vồùi u
0
(t) U
0
(p) chuyóứn sang phổồng trỗnh õaỷi sọỳ aớnh toaùn tổớ :
[]
0)p(aU)0(u)p(pUC
0C0
=+

[]
Cap

a
00
eU)t(ueU)t(u

==
chuyóứn sang
daỷng aớnh
Ca2p
U
)t(u
2
0
2
0
+


2.

Giaới phổồng trỗnh bỏỷc à õóứ xaùc õởnh haỡm hióỷu chốnh u
1
(t).
Phổồng trỗnh cỏn bũng vồùi bỏỷc cuớa à laỡ :0
tổỡ phổồng trỗnh naỡy ta
thỏỳy roợ à laỡ tham sọỳ, chuyóứn phổồng trỗnh naỡy sang daỷng aớnh toaùn tổớ õổồỹc phổồng
trỗnh :
)buau'Cu(
2
011
=++à

bCU
)p(U
2
1
2
0
1
=
++
=

giaới F
2
(p) = (pC+a)(pC+2a) = 0 õổồỹc :
C
a2
p,
C
a
p
21
==
(hai nghióỷm õồn)
Coù :

aC3pC2)p('F
2
2
+=
suy ra nghióỷm gọỳc coù daỷng :

2
0
22
21
2
2
0
2
0
12
11
1
=

=====

Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn

Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang

107
Nón haỡm hióỷu chốnh :
t
C
a2
2
0
t
C
a

C
a
010
e.U
a
b
e.U
a
b
eU)t(u)t(u)t(u

+=+=

III. Caùc bổồùc thổỷc hióỷn theo phổồng phaùp nhióựu loaỷn :
Tổỡ vờ duỷ minh hoỹa trón ta ruùt ra caùc bổồùc thổỷc hióỷn phổồng phaùp nhióựu loaỷn nhổ
sau :
1.

ỷt nghióỷm dổồùi daỷng khai trióứn vồùi sọỳ haỡm hióỷu chốnh tuỡy õọỹ chờnh xaùc cỏửn
thióỳt.
2.

Thay nghióỷm vaỡo hóỷ phổồng trỗnh cuớa maỷch, ta ruùt ra õổồỹc nhổợng phổồng
trỗnh cỏn bũng rióng reợ theo tổỡng bỏỷc cuớa tham sọỳ à.
3.

Giaới phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn cho thoớa maợn sồ kióỷn baỡi toaùn õổồỹc
nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn x
0
(t).

quaù trỗnh, coỡn H
1
(x,t) = 0 laỡ phổồng trỗnh tuyóỳn tờnh suy bióỳn dóự daỡng tỗm õổồỹc nghióỷm
tọứng quaùt x(t,c) vồùi c laỡ hóỷ sọỳ tờch phỏn.
Vỗ maỷch coù phỏửn tổớ phi tuyóỳn nón nghióỷm tuyóỳn tờnh suy bióỳn x(t,c) khaùc
nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn nón coù thóứ coi nghióỷm cuớa quaù trỗnh phi tuyóỳn cuợng dổồùi
daỷng x(t,c) nhổng c(t) bióỳn thión theo thồỡi gian õóứ õióửu chốnh nghióỷm tuyóỳn tờnh suy
bióỳn õóỳn nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn. Tổùc laỡ nghióỷm quaù trỗnh phi tuyóỳn coù daỷng
x[t,c(t)]. Nóỳu noù laỡ nghióỷm cuớa quaù trỗnh thỗ ta thay vaỡo phổồng trỗnh maỷch, phổồng
trỗnh maỷch phaới õổồỹc nghióỷm õuùng vaỡ tổỡ phổồng trỗnh nghióỷm õuùng õoù ta ruùt ra
phổồng trỗnh vồùi ỏứn sọỳ c(t) laỡ K(c,t) = 0.
Giaới phổồng trỗnh K(c,t) = 0 naỡy ta õổồỹc c(t). (18-3b)
Lổu yù : thuớ thuỏỷt naỡy chố coù lồỹi khi giaới K(c,t) 0 dóự hồn giaới H(x,t) = 0.
II. Phổồng phaùp bión, pha bióỳn thión chỏỷm :

Vồùi caùc baỡi toaùn QTQ coù sinh ra caùc dao õọỹng trong maỷch dỏửn tióỳn õóỳn ọứn
õởnh (dao õọỹng õióửu hoỡa). Trong quaù trỗnh naỡy thọng sọỳ cuớa maỷch phi tuyóỳn coỡn thay
õọứi nhổng bión õọỹ vaỡ goùc pha õỏửu cuớa dao õọỹng thay õọứi rỏỳt ờt so vồùi baớn thỏn dao
Trổồỡng aỷi Hoỹc Kyợ Thuỏỷt - Khoa ióỷn - Bọỹ mọn Thióỳt bở õióỷn

Giaùo trỗnh Cồớ sồớ Kyợ thuỏỷt õióỷn II Trang

108
õọỹng, do õoù coù thóứ boớ qua caùc õaỷo haỡm theo bión õọỹ vaỡ goùc pha õỏửu dỏựn õóỳn coù thóứ
giaớm bỏỷc phổồng trỗnh vi phỏn cuớa maỷch vaỡ vióỷc giaới maỷch seợ dóự daỡng hồn. Ta vỏỷn
duỷng tinh thỏửn õoù phỏn tờch baỡi toaùn dao õọỹng phi tuyóỳn cỏỳp 2 nhổ sau :
Tổỡ phổồng trỗnh mọ taớ maỷch laỡ :

)x,x(fxx
2

cao nổợa song chuớ yóỳu laỡ õióửu hoỡa cồ baớn coỡn caùc õióửu hoỡa bỏỷc cao laỡ nhoớ, nón coù thóứ
õỷt vỏỳn õóử bióứu dióựn nghióỷm QTQ phi tuyóỳn dổồùi daỷng õióửu hoỡa cồ baớn nhổng coù
bión õọỹ vaỡ goùc pha thay õọứi theo thồỡi gian. Tổùc laỡ dao õọỹng coù bión õọỹ A(t), vaỡ goùc
pha (t).
Luùc naỡy nghióỷm QTQ coù daỷng :
[ ]
)t(tcos)t(A)t(x
0
+=
(18-4)
nón chố cỏửn xaùc õởnh A(t) vaỡ (t) lừp vaỡo daỷng (18-4) laỡ õổồỹc nghióỷm quaù õọỹ phi tuyóỳn.
Khi hóỷ phi tuyóỳn ờt nón theo phỏn tờch ồớ trón seợ coù A, bióỳn thión õuớ chỏỷm.
óứ cho goỹn ta õỷt :
=+ )t(t
0
thỗ coù
= cosA)t(x
nón coù :
+






+=

cosAsin)t()t(Ax
0


0
2
00
2
00
(18-6)
Tổỡ phổồng trỗnh cỏn bũng chung naỡy ruùt ra phổồng trỗnh cỏn bũng cuớa caùc sọỳ haỷng õọỹc
lỏỷp tuyóỳn tờnh õổồỹ bióứu thổùc cuớa
laỡ :

vaỡA
[]
[]


à
=


à
=


sinA,cosAf
sinA,cosAfA
0
0
0
0
(18-7)