1

PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
•
2 ,
sin sin
2 .
u v k
u v
u v k
π
π π

= +

= ⇔

= − +



• .
•
•
Bài 1
. Giải các phương trình sau:
1)
4

 
 
x
π
; 6) cotg3x = cotg5x;
7)
; 8) 2cos(x
2

– 2x) – 1 = 0;
9)
3 3
2 2
3
sin x cos x 4
+ = ;
10)

11)

12)
;
13)
;
14)

Đáp số. .
15)
;


π
= ± ;
4) x =
2
k
π
+ π
; 5)
2 ,
4
5
2 ;
4
x k
x k
π

= − + π


π

= + π


6) x =
2
k
π
+ π

2
9 3
x k
k
x
π
π
π π

= +



= − +


11)
5
2
6
5 2
18 3
x k
k
x
π
π
π π

= − +

 
−
 
 

Bài 3
. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình:
sin(
π
x
2
) = sin[
π
(x
2
+ 2x)].
Đáp số :

3 1
2
−
. 1
Trong cách viết các nghiệm của phương trình lượng giác, nếu không có thêm
điều kiện gì khác thì k, l, m, u , n


60. (Dự bò 2002)

61.
(Dự bò 2002) Cho phương trình
1)
Giải phương trình khi

2)
Tìm a để phương trình đã cho có nghiệm.

62.
(Dự bò 2002) Giải phương trình 30
42.
43.
44. (D
ự
b
ị
A, 2006)
Đáp số.

45. (D
ự
b
ị
A, 2006)

52. (D
ự
b
ị
2005)

53. (D
ự
b
ị
2004)

3PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC

Bài 1
: Giải các phương trình sau:
a)
4 2
cos sin 1
5 5
x x
+ =
; b)
2
6 sin 7cos sin 0
x x x
− − + =

g) tg5x + 2sin10x = 5sin5x; h)
3
2cos2 2
1 4cos2
x
x
+ =
+
;
i) 2cosx(cosx –
8
tgx) = 5; j)
tg2x tgx 5
tgx tg2x 2
+ =
;
k) sin
2
x + cos2x – 2
2
sin
8
π
cosx =
1
2
với –
π
< x <
5



b) sinx = –
1
3
; c)
2 ,
6
5
2 ;
6
x k
x k
π

= ± + π


π

= ± + π



d)
,
2 ;
6
x k
x k

x k4

g)
,
5
2 1 1
arccos ;
5 5 4
k
x
k
x
π

=


π

= ±


h) x =
6
k
π
± + π

x ,
x arctg2;
= π


= π +

m)
1 1 3
6 2 6 2
5 4 5 4
k k
 
π π
   
− + π ∪ − + π
 
   
   
 
.
Bài 2
. Cho phương trình (*) (m là tham số).
Với
. Tìm điều kiện của m để cho phương trình (*)
có nghiệm.
Đáp số :
0
≤
m

Đáp số :
a) sin2x =
2
3
; b)
a

≥

1
4
.
Bài 4
. (ĐH Y dược HCM, 2001) Xác đònh các giá trò của tham số a sao
cho phương trình sau có nghiệm sin
6
x + cos
6
x = a.
sin2x

Đáp số :
a
≥

1
4
.
Bài 5
. (ĐH Huế, 2001) Cho phương trình


30. (D
ự bị 2, A, 2007) Đáp số.

31. (D
ự bị B, 2007) 32. (D
ự bị B, 2007)

Đáp số.

33. (D
ự bị 1, D, 2007)

Đáp số.

34. (D
ự bị 2, D, 2007)
.
Đáp số.

35. (D
ự
b
ị

Đáp số.
17.
(A, 2008)

Đáp s
ố.
18.
(B, 2008)
Đáp số.
19. (D, 2008)
Đáp số.

20. (Cao
đẳng A, B, D, 2008)

Đáp số.

21. (D
ự bị 1, A, 2008)

22. (D
ự bị 2, A, 2008)

23. (D
ự bị 1, B, 2008)

24. (D
ự bị 2, B, 2008)

25. (D

3
π
+ k
π
; b) m
≥
0.
Bài 7
. (ĐHQGHCM, đợt 3, 1998)
Cho phương trình cos4x + 6sinxcosx = m.
a)

Giải phương trình khi m = 1;
b)

Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
∈
;
4 4
π π
 
−
 
 
.
Đáp số:
b)
17
2
8

∈
;
4 4
π π
 
−
 
 
.
Đáp số:
b) Þ. Bài 10
. (Hàng không Việt Nam, 1997)
Cho phương trình sin
4
x + cos
4
x – cos2x +
1
4
sin
2
2x + m = 0.
a)

Giải phương trình khi m = – 2;
b)


m
=


= −

: phương trình có nghiệm x =
2
k
π
.
v
– 2 < m < 0 : x =
±
( )
1
arccos 2 1 4
2
m
− − .
Bài 11) Giải các phương trình sau:
1)

Đáp s
ố. .
2)
.
Đáp s
ố. .
3)

2
1 tgx
+
=
−

7) cotgx + cotg15
o
+ cotg(x + 25
o
) = cotgxcotg15
o
cotg(x + 25
o
);
8) tg
x tg x 2cot gx
4 4
π π
   
+ + − =
   
   
;
9) (ĐH Dược, Hà Nội, 2001)
tg
2
x.cotg
2
2x.cotg3x = tg

x + 2cos
2
x + 3 = 0.
Đáp số.

10.
(Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối B, 2003, dự bò 2)
2
2 3 2
2 4
1
2 1
x
( )cosx sin
cosx
π
 
− − −
 
 
=
−
.
Đ
áp s
ố
. .
11.
(Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối D, 2003, dự bò 1)
2

áp s
ố
.
14. (B, 2009)
Đ
áp s
ố
.

15. (D, 2009)

Đ
áp s
ố
.

16. (Cao
đẳ
ng A, B, D, 2009)

26

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC GẦN ĐÂY

1.
(Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối A, 2002)
Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2
π
) của phương trình :
.

(Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối A, 2003)
cotgx – 1 =
2
2 1
2
1 2
cos x
sin x sin x
tgx
+ −
+
.
Đ
áp s
ố
.

5.
(Đại học, Cao đẳng toàn quốc, Khối B, 2003)
cotgx – tgx + 4sin2x =
2
2
sin x
.
Đ
áp s
ố
.

6.

 
 
;
Đáp số :
1)
*
,
,
11
π

=

∈ ∈

= π

ℕ ℕ
n
x
m n
x m
; 2)
,
12
(2 1)
,
12
(1 2 )
;



≠ +

k
x
k m
4) Þ ;
5) x = k
π
; 6) x = arctg(2
±
3
) + k
π
;
7) x = 25
o
+ k90
o
; 8 )
;
6 3
k
x
π π
= +
9)
,
4

π
. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

Giải các phương trình sau:
1)2)

Trong khoảng (0;
π
/12), tìm các nghiệm của phương trình :
.
3)

sinx
1
3 3 8
sin sinx x
π π
   
− + =
   
   
;
4)


=
;
9)

(ĐH Giao thông Vận tải HN, 1996) cos3x.tg5x = sin7x;
10)

(ĐH Y khoa HN, 1997)
cosx
3 3 1
cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x
− =
;
11)
;
12)
;
Đ
áp s
ố
.
13) ;
Đ
áp s
ố
.



= +



4)
,
3
2
;
9
k
x
k
x
π

=


π

=


5) x =
2
(2 1)
k
n n
13)14)15)16)17)

;
18)

;
19)20)21)

;
22)

3
8 2
k
π π
− + ;
5) Þ ; 6) x =
±
1 ; 7)
1
2
;
8) x = k
π
; 9)
,
2 ;
2
x k
x k
= π


π

= + π

10)
2
2
k


π

=


π π

= − +

4) 1;
2
k
π
 
± + π
 
 
;
5) x = 2k
π
; 6)
8
x k
π
= + π
; 7) x = 0;
8) ;
2 2
k k

sin
2
x + 2tg
2
x +
4 11
tgx sin x 0
12
3
− + =
;
2)

8cosx + 6sinx – cos2x – 7 = 0;
3)

x x
cos 2sin x sin x 1 sin 2cosx cosx 0;
4 4
   
− + + − =
   
   

4)

sin4x.cos16x = 1;
5)

sin

x – sin
120
x = 1;
9)

cos
68
x + sin
69
x = 1;
10)

4(sin3xsinx)
2
– sin3x = 5;
11)

.

9

8)
,
4 2
;
20 10
k
x
k
x

2 ,
6
7
2 .
6
x k
x k
x k
x k
π

= − + π


π

= − + π


π

= − + π


π

= + π

sin sin2 sin4
x x x
= + ;
7)

sina + sin(x – a) + sin(2x + a) = sin(x + a) + sin(2x – a);
8)

(ĐH Hàng hải, HN, 2001, Khối A)
cos 2 cos 2 4sin 2 2(1 sin )
4 4
x x x x
π π
   
+ + − + = + −
   
   
;
9) (ĐH Ngoại thương, HN, 2000, Khối A)
1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x;
10) (ĐHSP, HCM, 2000, Khối D, E)
2cos
2
x + 2cos
2
2x + 2cos
2
3x – 3 = cos4x(2sin2x + 1);
11)


2
,
18 3
7 2
;
18 3
k
x
k
x
k
x
π π

= +


π π

= +


π π

= +


3)
,
16 4


π π

= +


4)
,
2
2 ,
6
5
2 ,
6
2
2 ;
3
x k
x k
x k
x k
π

= + π


π

= + π


(2 1) ,
7
7 4;
x k
k l
π

= + π



≠ −


7) (–
∞
; +
∞
) với a
∈
{k
π
},
1 5
arccos 2
4
x k
±
= ± + π
với a

2 ,
3
;
x k
x k
x k
x k
π

= − + π


π

= + π


π

= ± + π


= π

10) x =
8 4
k
π π
+ .


π π
 
−
 
 
.
Đáp số
: a)
2 ,
2 .
2
x k
x k
= −π + π


π

= + π

b)
2
1
2
m
− ≤ <

Bài 5.
(ĐH Tài chính Kế toán HCM, 1993)
Cho phương trình

;
3)

( )
2 2
2
1
cos x 1 tg 2y (3 sin3z) 4
cos x
 
+ + + =
 
 
;
4)

(CĐSP Kó thuật, 2001) Tìm x, y thỏa
x
2
– 2xsinxy + 1 = 0;
5)

(Ngân hàng, HCM, 2001)
2 2
cos3x 2 cos 3x 2(1 sin 2x)
+ − = + ;
6)

(
Kó thuật Công nghệ, 2001, Khối D


tg
2
2x + 2
3
tg2x + 3 = – cotg
2
4y
6
π
 
−
 
 
;
10)

1 – 2x – x
2
= tg
2
(x + y) + cotg
2
(x + y).

22
7)
2 ,
4
2 ,

x k
x k
9)
,
4
2 ,
2
2 ;
x k
x k
x k
π

= + π


π

= + π


= π + π




10)
2 ,
2 ;
2

 


π
 

= + π ∈ ∈
 

 

π
 

= − + π
 

 

ℕ ℕ

Bài 2
. (
ĐH Thái Nguyên, 2000
)
Cho phương trình sin2x + 4(cosx – sinx) =
m
.
a)


)
Cho phương trình 2cos2x + sin
2
xcosx + sinxcos
2
x =
m
(sinx + cosx)
a)

Giải phương trình khi
m
= 2;
b)

Tìm
m
để phương trình có ít nhất một nghiệm x
∈
0;
2
π
 
 
 
.
Đáp số :
a)
2 ,
,

Cho phương trình cos
3
x – sin
3
x =
m
(1)

11

2)

(
Khối B, 2002
) sin
2
3x – cos
2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x;
3)

sin
2
4x – cos
2
6x = sin(10,5

1
cos 2 cos 0
2 2 4
x x
+ =
; 7)
cos 8 cos 0
4 8
x x
− =
;
8) sin
8
x + cos
8
x =
17
16
cos
2
2x; 9) sin
8
x + cos
8
x =
17
32
;
10) sin
4

3
x = 2(sin
5
x + cos
5
x );
13) (
ĐH Ngoại thương, HN, 2000
)
sin
8
x + cos
8
x = 2(sin
10
x + cos
10
x ) +
5
4
cos2x;
Bài 2
) (
ĐH Mở, HN, 2000
)
Cho phương trình sin
8
x + cos
8
x – 2(sin

;
k
x
x k
π π

= +


π

= ± + π


3)
20 10
2
,
;
k
x
x k
π π

= +


π

= + π

12
2)
9
,
;
x k
k
x
= π


π

=


4)x =
1 3
2 4
arccos
k
± + π
;
6) x =
2 2
4arccos 8
2

− − − − −
 
 
;
12) x =
4 2
k
π π
+ ; 13) x =
4 2
k
π π
+ ;
Bài 2
) a) x =
4 2
k
π π
+ ; b)
[
]
{
}
1;1 \ 0
− .

CÔNG THỨC TÍNH sinx, cosx, tgx THEO tg
2
x
.

Hàng hải, 2000
)
x
tg
2
cosx + sin2x = 0;
7)

+ =
x 53 x
15cot g 130sin x tg
2 5 2
;
8)

+ =
59 x x
cosx 6sinx.tg 4tgx.cot g
4 2 2
;
9)

π
 
− = −
 
 
2 2
2sin x 2sin x tgx
4


(
ĐH Cảnh sát 2000
) cos
3
x + sin
3
x = sin2x + sinx + cosx;
4)

(
ĐH Đà Lạt, 2001
) cos
3
x – sin
3
x = cos
2
x – sin
2
x;
5)

(
ĐH An ninh, 1999
) cos
3
x + sin
3
x = 1;

 
+ −
 
 
= 1;
8)

(
ĐHQGHCM, 2000)
cos
3
x – sin
3
x = –1;
9)

(
ĐH Nông nghiệp, HN, 2000
) 1 + cos
3
x – sin
3
x = sin2x;
10)

1
sin (1 sin cos )
4
2
x x x


π

= + π


π

= − + π


2)
2 ,
2 ;
2
= π


π

= + π

x k
x k
3) x =
2
k
π
;
4)

5
;
8
x k
x k
x k
π

= − + π


π

= − + π


π

= + π

20

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PHƯƠNG TRÌNH PHẢN XỨNG

I.
Phương trình đối xứng theo sinx và cosx
1)

2
= (
sinx + cosx)
2
= sin
2
x + cos
2
x + 2sinxcosx

⇒

sinxcosx =
2
t 1
2
−
(hay sin2x = t
2
– 1).

Thay vào phương trình đã cho ta được một phương trình bậc hai
theo t. Giải phương trình này và nhận nghiệm t thỏa
t

≤

2
.
Sau đó trở về ẩn x.

Nếu phương trình có dạng a(cosx – sinx) + bsinxcosx + c = 0 (2)
thì ta viết (2)
⇔
– a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 và đưa về
dạng phương trình (1).
F Chú ý
:
˜
sinx + cosx =
2
sin x
4
π
 
+
 
 
=
2
cos x
4
π
 
−
 
 
.
˜
sinx – cosx =
2

4
π
 
+
 
 
. 13

Đáp số :
1)
π

= ± + π


π

= + π


,
3
;
2
x m
x k
2) x =




= ± + π


x 2arctg3 2n ,
3
x 2arctg 2n ;
11

9) x =
±

π
+ π
4
k
; 10)
π

= + π


π

= ± + π


,

ĐH Kinh tế quốc dân Hà Nội, 1997
)
Tìm các nghiệm x






ππ
∈
7
6
;
5
2
của phương trình
cos7x –
3
sin7x = –
2
;
e)

3sin
0
6
x5sin5
6
xsin4

Cao đẳng Hải quan HCM, 1998
)
4sin
3
x –1 = 3sinx –
3
cos3x;
g)

(
Học viện Bưu chính Viễn thông , 2001)

4sin
3
x. cos3x + 4cos
3
x. sin3x + 3
3
cos4x = 3;

14
h)

2 –
3
cos2x + sinx = 4cos
2
3x;

i)

cosx +
xcos3xsin +
= 2;
m
) 2 – sinxcos2x – sin2xcosx =
2
3 3
cos sin
4 2 4 2
x x
 
π π
   
− − −
   
 
   
 
.

n
) sin3x +
3
cos3x = 2sin5x;
p) 2cos3x +
3
sinx + cosx = 0;
q) sin9x +
3
cos7x = sin7x +


π π

= +


2
,
18 9
7 2
;
54 9
k
x
k
x
c)
π

= − + π


= π


,
3
;
x k
x k

α
=
4
5
, cos
α
=
3
5
;
f)
π π

= − +


π π

= +


2
,
6 3
2
;
18 3
k
x
k


,
12 2
;
24 4
k
x
k
x19

5)

(
ĐH Luật, Hà Nội, 1999
) 4(sin3x – cos2x) = 5(sinx – 1);
6)

(
Thuỷ Lợi HN, 2001
)
3 1 3
sin sin
10 2 2 10 2
x x
π π
   
− = +

Đònh
a
để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;
12
π
 
 
 
.
9)

(
ĐHQGHN
, 1998) 8cos
3
3
x
π
 
+
 
 
= cos3x;
Đáp số :
1)
π π

= +



2
,
12
7
;
12
k
x
x m
x l
3)
π

= + π


π

= − + π


π

= − + π


2 ,
2
5
2 ,

= + π


π

= − + π


π

= + π


2 ,
2
2 ,
6
7
2 ;
6
x k
x k
x k
6)
π

= − π


π


π

= ± + π


8) a) x =
2
k
π
; b) 0 <
a
< 1.
18
4)
π

= − + π


π

= ± + π


( 2) ;
x k
x arctg k7)

 
= + π
 

 


π
= ± + π


1
,
2
;
4
x arctg k
x k
8)
π π

= +


. (
ĐH Thủy sản, 2000
)
Cho phương trình cos
2
x – sinxcosx – 2sin
2
x –
m
= 0 (1).
a)

Giải phương trình khi
m
= 1;
b)

Giải và biện luận phương trình theo tham số
m
.
Bài 3
) Cho phương trình
(4 – 6
m
)sin
3
x + 3(2
m
– 1)sinx + 2(
m

≥



<
CÔNG THỨC NHÂN BA

Bài 1.

Giải các phương trình sau :
1)

cos9x – 2cos6x = 2;
2)

sin6x + 2 = 2cos4x;
3)

sin
3 3
2sin
4 2 4 2
x x
π π
   
+ = +
   

x
k
x
j) x
∈
π π
 
− + π + π
 
 
2
2 ; 2
3 3
k k

k) x =
π
+ π
2 ;
2
k
l)
π

= − + π


π

= + π

x*) (A, 2009)

Đ
áp s
ố
.
*) (B, 2009)
Đ
áp s
ố
.*) (D, 2009)
Đ
áp s
ố
.
*
(B, 2008)
Đ
áp s
ố
.
* (D, 2007)

* (D

– 1)sinx +
m
cosx = 2 ;
b)

.cos 2sin 2 2
m x x m
− = + −
;
c)

2
4sin cos 3 sin 2 cos 2
3 6
x x m x x
π π
   
+ − = + −
   
   
.
Đáp số
a)
1 7
2
1 7
2
m
m


3 )
b)

Giải và biện luận phương trình đã cho.
Bài 4
) (ĐH Kiến trúc HN, 2001)
Giải và biện luận phương trình
2m(cosx + sinx) = 2m
2
+ cosx – sinx +
2
3
.
Đáp số
:
v
m =
1
2
: x =
2 ;
2
π
+ π
k
v
1
: 2 ;
2
m x k

v
Với m = 1, hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số.
v
Tìm m để Maxy
m
đạt GTLN.
ĐS. * GTLN = 2, GTNN = 0; * m =
3
1
)

PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

Bài 1
:
Giải các phương trình sau :
1)

sin
2
x + 3sinxcosx + 2cos
2
x = 0;
2)

3sin
2
x – sin2x + 5cos
2
x = 3;

3
x – sin
2
xcosx – 2sinxcos
2
x + cos
3
x = 0;
8)

(ĐHQGHCM, đợt 1, 1998) 3cos
4
x – 4 sin
2
x cos
2
x + sin
4
x = 0.
9) sin
4
x + sin
3
xcosx + sin
2
x cos
2
x + sinxcos
3
x + cos

= + π
2
x k
3)
π

= − + π


π

= − + π


,
4
;
6
x k
x k