33
Chuyên đề 8: LƯNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vò đo góc và cung:
1. Độ:
bẹtgóc
0
1 Góc
180
1
=
2. Radian: (rad)

ra
d

0
180
π
= 3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 0
0
30
0
45

π

4
3
π

6
5
π

π

π
2

II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Đònh nghóa:

2. Đường tròn lượng giác
:


2k
2
2
B
2k

x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+=
π
α
kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α

.
y
x
o
180
O
+
−
x
y
O

Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y
'
Oy : trục sin ( trục tung )
• t
'
At : trục tang
• u
'
Bu : trục cotang

2. Đònh nghóa các hàm số lượng giác:
a. Đònh nghóa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=
α
.
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x
'
Ox vàø y
'
Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t
'
At và u
'
Bu
Ta đònh nghóa:


αα
−≤ ≤ ≤
•
tg xác đònh
2
k
π
α
απ
∀≠ +
•
cotg xác đònh k
α
απ
∀≠

c. Tính tuần hoàn
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
gk g
α
πα

1
−
'x
'u
u
t
't
'y
y
t
'u
't
t
x
u
'y
'xO
t
1−
Q
B
T
α
M
α
A
P
U
Trục cosin
Trục tang

-1
-1
-
π
/
2
π
5
π
/6
3
π
/
4
2
π
/3
-
π
/
6
-
π
/
4
-
π
/
3
-1/2

4
π
/6
3
/
3
3
B
π
/
2
3
/
3
1
3
O
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0

4
3
π

6
5
π

π

π
2
sin
α
0
2
1

2
2
2
3
1
2
3

2
2

2

3
3

1
3
kxđ
3−
-1
3
3
−

0 0
cotg
α
kxđ
3
1
3
3
0
3
3
−
-1
3−
kxđ kxđ +

6
π
π
,…)

3.
Cung phụ nhau : và
2
π
α
α
−
( tổng bằng
2
π
) (Vd:
3
&
6
π
π
,…)

4.
Cung hơn kém
2
π
: và
2
π


cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
α
α
α
α
αα
α
α
−=
−=−
−=−
−=−

cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
gg
π
αα
π
αα
πα α

α
α
π
α
α
π
α
α
−=
−=
−=
−=

cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
gg
π
α
α
π
α
α
π

+=−
+=
+=

Đối cos
Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π

sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém
π
tang , cotang

37
Ví dụ 1: Tính )
4
11
cos(
π
− ,
4
21
π
tg
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
)3cos()2cos()

1 tg =
cos
1
1 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α
α
α
α
αα
+
+ Ví dụ: Chứng minh rằng:
1.
44 22
cos sin 1 2sin cos
x
xxx+=−
2.
xxxx
2266
cossin31sincos −=+
2. Công thức cộng : cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin

−
+ Ví dụ: Chứng minh rằng:

π
αα α
π
αα α
+= −
−= +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4

3. Công thức nhân đôi: α
αα
α
α
α
α
α
αα
α
α

α
+
=
2
2cos1
sin
2
α
α
−
=

ααα
2sin
2
1
cossin =

38
4 Công thức nhân ba: 3
3
cos3 4cos 3cos
sin3 3sin 4sin
α
αα
α
αα

= tg

6.Công thức tính sin ,cos ,tg
α
αα
theo
2
ttg
α
= 2
222
21 2
sin ; cos ;
111
ttt
tg
ttt
ααα
−
===
+
+− 7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
sin
12
5
cos
π
π
=B
8. Công thức biến đổi tổng thành tích : cos cos 2cos .cos
22
cos cos 2sin .sin
22
sin sin 2sin .cos
22
sin sin 2cos .sin
22
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α
βαβ
αβ
α
βαβ
αβ

3
α
α
α
+
=
4
3sinsin3
sin
3
α
α
α
−
=39
Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức:
3xsin 2x sinsin
+
+
=
xA

9. Các công thức thường dùng khác: cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
44

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Đònh lý cơ bản: ( Quan trọng ) u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
ππ
π
π
π
π
π
ππ
⎡
⇔
⎢
⎣
⎡

1
sin cos (3 cos6 )
4
x
xx+=−
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m (
Rm
∈
∀
) * Gpt : sinx = m (1)

•
Nếu
1m >
thì pt(1) vô nghiệm
•
Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sin
α
và ta có

x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
απ
α
π

⎢
−
⎣

* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm
∈
∀
)

•
Đặt m = tg
γ
thì
(3) tgx = tg x = +k
γ
γπ
⇔⇔

* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm
∈
∀
)

•
Đặt m = cotg
δ
thì

(4) cotgx = cotg x = +k
δ

π
π
=− ⇔ − +
⇔
=⇔ +
=− ⇔ +
⇔
=⇔ Ví dụ:

1) Giải các phương trình :

a)
=
1
sin2
2
x
b)
2
cos( )
42
x
π
−=−

c)
03)

sin .cos cos .sin
4
xx xx
−
=
e)
4)
2
.1(sincot =++
x
tgtgxxgx

41
2. Dạng 2:

2
2
2
2
sin sin 0
cos cos 0
0
cot cot 0
axbxc
axbxc
atg x btgx c
agxbgxc
++=
++=
++=

2sin 4 5cos
x
x=+ d) 2cos cos2 1 cos2 cos3
x
xxx=+ +

e)
44
1
sin cos sin2
2
xxx
+=− f) 0)2
2
cos()cos(sin2
44
=−−+ xxx
π

g)
44
sin cos 1 2sin
22
x
x
x
+=− h) 0cos.sincossin
44
=++ xxxx
k)


22 22 22
(1) cos sin
abc
xx
ab ab ab
⇔+=
+++
(2)

• Đặt
22 22
b
cos và sin
a
a
ab b
α
α
==
++
với
[
)
0;2
α
π
∈ thì :

22

Ví dụ : Giải các phương trình :
a)
+=−cos 3sin 1xx b) 2sin3cos =+ xx
c)
44
4(sin cos ) 3sin4 2xx x++ = d)
x
tgx
cos
1
3
=−

e)
3
1sincos2
2sincos
2
=
−−
−
x
x
xxd. Dạng 4:

22
sin sin .cos cos 0 (a;c 0)axbxxc x++=≠ (1)

2
0atg x btgx c++=
Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem xk
2
π
=
+π có phải là nghiệm của (1) không?
Ví dụ : Giải phương trình:

031coscos.sin)31(sin3
22
=−+−−+ xxxx
d. Dạng 5:
(cos sin ) sin .cos 0ax xbxxc++ += (1)

Cách giải :
• Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2
4
txx x t
π
=+= − ≤≤
Do
2
2
t1
(cos sin ) 1 2sin .cos sinx.cosx=
2
xx xx

−
++=
Ví dụ : Giải phương trình : sin2 4(cos sin ) 4
x
xx+−=4. Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết
Ví dụ: Giải phương trình:

0
2
3
2sincossin
44
=−++ xxx
b. Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây: A=0
.0
B=0

4
sin(2cos222sin =++++
π
xxx

c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
01cos2cos3cos
=
−
−
+ xxx
b. 01cos42coscos4
3
=+−− xxx
c.
1
2cos2 8cos 7
cos
xx
x
−+=
d. 22cossin
24
=+ xx
* Phương trình có chứa (cos sin ) và sinx.cosx

2
5
cos
2
sin
2
3
cos
2
7
sin =++ xx
xxxx

3)
6
cos.3)
2
3(cos)
2
2(cos)
2
(cos
222
π
π
π
π
=−++++ xxx
4)
)

2sin cos2 cos 0xxx++= 8.
222
sin ( ). cos 0
24 2
x
x
tg x
π
−
−=
2.
22
7
sin .cos4 sin 2 4sin ( )
42 2
x
xx x
π
−= −− 9.
2
cos (cos 1)
2(1 sin )
sin cos
xx
x
xx
−
=+
+


(2 sin 2 )sin3
1
cos
x
x
tg x
x
−
+= 12.
2
cos2 1
cot 1 sin sin2
12
x
gx x x
tgx
−= + −
+

6. 3 ( 2sin ) 6cos 0tgx tgx x x−++= 13.
2
cot 4sin2
sin2
gx tgx x
x
−+ =
7.
2
cos2 cos .(2 1) 2xxtgx+−= 14.
2

1
1cossin

45
có nghiệm
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∈
2
;0
π
x
Bài 3: Cho hàm số:
1)cos
cos
2
()cos
cos
4
(2
2
2
=−++ x
x
mx
x

Bài 7: Tìm m để phương trình :
44 662
4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m
+
−+−= có nghiệm.
Bài 8: Cho phương trình cos4 6sin cos 0
x
xxm+−=
Đònh m để phương trình có nghiệm
0;
4
x
π
⎡
⎤
∈
⎢
⎥
⎣
⎦
.
Bài 9: Tìm m để phương trình :
0)cos)(sincos.(sin2cos2
=
+
−
+
xxmxxx

có nghiệm trên đoạn

ππ
∈−

Hết