Đề 1:
Câu 1: Tìm khai triển Taylor của
2
( , )
x y
f x y
x y
+
=
+
tại điểm (2,1) đến cấp 3.
X=x-2, Y=y-1
f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)
2
-(X/3 +Y/3)
3
+ o(ρ
3
)]
= + X - Y - X
2
+ Y
2
+ XY + X
3
- Y
3
- XY
2
+ o(ρ
3

∞
=1n
n
n
v
u
với u
n
=
n
n






+
2
1
2
và v
n
=
2
2
1
n
n


−
−
∑
ρ= = =1/4
=> -4<x
2
<4 => -2<x<2
x= 2 : = hội tụ theo tc Leibnitz
Miền hội tụ: [-2;2]
Câu 5: Tính tích phân kép
2 2
1
D
I dxdy
x y
=
∫∫
+
, trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi
2 2
2 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥
x=rcosφ, y=rsinφ
2 2
1
D
I dxdy
x y
=
∫∫
+

, với C là giao của
2 2
1+ =x y
và
1z y= +
, chiều kim đồng hồ theo hướng
dương trục 0z.
Công thức Stokes
I = = =
= = =
Câu 8: Tính tích phân mặt loại một
( )
2 2
= +
∫∫
S
I x y dS
, trong đó S là phần mặt nón
2 2 2
z x y= +
, nằm giữa hai mặt
phẳng
0, 1z z= =
.
D=pr
xOy
S là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x
2
+y
2

xx
(2,1)= 4e
2
f’’
xy
= 4xy + 2x
2
y
3
=> f’’
xy
(2,1)=16e
2
f’
y
=2x
2
y
f’’
yy
= 2x
2
+4x
3
y
2
=> f’’
yy
(2,1)=40e
2

5
v x= ,y=0, λ=-3e
-3
f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1
f(0,2)= f(0,-2)=4e
5
f(2,0)= f(-2,0)=-4e
-3
Maxf=4e
5
x
2
+y
2
4
Minf=-1
x
2
+y
2
4
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/
)2(
2
2
1
+
∞
=
∑


)2(
2
2
1
+
∞
=
∑






+
−
nn
n
n
n
hội tụ theo tc Cauchy
b) = = 6>1

1
1
3.
)2 (6.4.2
)12 (5.3.1
+

x y
D
I e dxdy
− −
=
∫∫
, trong đó D là miền phẳng giới hạn
bởi
2 2
1 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤
2 2
x y
D
I e dxdy
− −
=
∫∫
= = (e
-4
-e
-1
)
Câu 6. Tính tích phân
( ) ( )
C
I x y dx x y dy= + + −
∫
, với C là phần đường cong
siny x x= +
, từ

2
Rx}
S= dxdy = rdr =2R(
Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai
3 3 3
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
, với S là biên vật thể giới hạn bởi
2 2 2 2 2
4,+ + ≤ ≥ +x y z z x y
, phía trong.
Các đk công thức Gauss thỏa
3 3 3
= + +
∫∫
S
I x dydz y dxdz z dxdy
= -
=-3 = (
Đề 3:
Câu 1. Cho hàm
( , ) (2 )ln
x
f x y x y
y
= +
. Tính
2

xy
= 1 C=z’’
yy
=18/y
3
Δ=AC-B
2
= -1
x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3
Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
1
1 4 7 (3 2)
(2 1)!!
n
n
n
∞
=
× × −
∑
−
L
Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa
1
!( 4)
n
n
n
n x
n

2 3 2
C
I x y dx x y dy= + + +
∫Ñ
, trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi
2
2 ,y x y x= − = −
, chiều kim đồng hồ.
S là biên của miền phẳng giới hạn bởi
2
2 ,y x y x= − = −
Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước
( ) ( )
2 3 2
C
I x y dx x y dy= + + +
∫Ñ
= = -2 = -9
Câu 7. Tìm diện tích phần mặt
2 2
z x y= +
nằm trong hình cầu
2 2 2
2x y z z+ + =
.
S là phần mặt
2 2
z x y= +
nằm trong hình cầu
2 2 2

I xdS
= + = 2 dydz + 2 dydz =0