Phép tính giải tích một biến số

Ch¬ng 1. SỐ THỰC VÀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC
1.1. Số thực
1.1.1. Một số khái niệm

•

Tập các số thực[1]: R = (–∞, +∞).

•

Tập các số tự nhiên[2]: N = {0, 1, 2, ...}.

•

Tập các số nguyên dương[3]: N* = {1, 2, ...}.

•

Tập các số nguyên[4]: Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}.

•

Tập các số hữu tỷ[5]: Q = { : 0 ≠ n, m ∈Z, m và n nguyên tố cùng nhau}
Hai số được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng chỉ có ước chung lớn nhất là 1.
Tất nhiên, mọi phân số

p
m
đều có thể đưa về dạng

hạn không tuần hoàn.
Chú ý rằng, N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

1.1.2. Một số tính chất

Số phần tử của tập A được gọi là lực lượng [8] của tập đó, và được ký hiệu là card(A), đôi
khi còn ký hiệu là n(A) hoặc |A|.
Về mặt lực lượng, các tập Z và Q đều tương đương [9] với tập N (tức là giữa chúng có
tương ứng 1 – 1), và được gọi là vô hạn đếm được. Tập các số vô tỷ R\Q cũng như tập các số
thực R đều không đếm được[10].
Trong R, ta xây dựng hai phép toán là phép cộng [11] và phép nhân[12], được ký hiệu tương
ứng bởi các dấu "+" và dấu "." (nếu không dẫn đến nhầm lẫn, ta có thể viết ab thay cho a.b).
Các phép toán này có các tính chất sau:
• Tính giao hoán[13]

a+b=b+a

ab = ba

• Tính kết hợp[14]:

(a + b) + c = a + (b + c)

(ab)c = a(bc)
1


Phép tính giải tích một biến số

• Tính phân bố[15] của phép nhân đối với phép cộng: a(b + c) = ab + ac

3. Với b ≠ 0,

a |a|
=
,
b |b|

4. |a + b| ≤ |a| + |b|,
5. |a – b| ≥ ||a| – |b||
Chứng minh:
1.
Hiển nhiên.
2.
Dễ dàng kiểm tra khi xét bốn khả năng về dấu của a và b.
3.
Tương tự 2.
4.

Ta có: –|a| ≤ a ≤ |a| và –|b| ≤ b ≤ |b|

Cộng vế với vế các bất đẳng thức kép trên ta có –(|a| + |b|) ≤ a + b ≤ (|a| + |b|), hay là
|a + b| ≤ ||a| + |b|| = |a| + |b|.
5.

Vì |a| = |a – b + b| ≤ |a – b| + |b| nên |a| – |b| ≤ |a – b|.

Hoán đổi vai trò a và b ta có |b| – |a| ≤ |b – a| = |a – b|.
Kết hợp lại ta có |a – b| ≥ ||a| – |b||.
Trục số thực
2

quan tâm a < b hay b < a.
Ta bổ sung thêm hai số đặc biệt, ký hiệu là –∞ và +∞, thoả mãn một số tính chất sau ∀ x ∈ R,
( –∞) + x = – ∞,

(+∞) + x = +∞,

(+∞) + (+∞) = +∞,

(+∞).(–∞) = –∞.

( –∞) + (–∞) = –∞,

Các trường hợp sau không xác định: (+∞) + ( – ∞), (+∞) – (+∞), (±∞)/(±∞), 1±∞.
Khi đó, tập các số thực R được mô tả bởi (–∞, +∞) và
(–∞, a) = {x ∈ R | x < a}, (–∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
(a, +∞) = {x ∈ R | x > a}, [a, +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}
Tiên đề[33] về cận trên và cận dưới đúng :
•

Mọi tập A ⊂ R không rỗng và bị chặn trên đều có cận trên đúng thuộc R.

•

Mọi tập A ⊂ R không rỗng và bị chặn dưới đều có cận dưới đúng thuộc R.

Nguyên lý[34] Archimede. Cho trước x > 0 và y > 0, tồn tại k ∈ N* sao cho ky > x.
Chứng minh: Giả sử ngược lại, ∀n∈N*, n.y ≤ x.
Xét tập E = {n.y : n∈N*} thuộc R, khác rỗng và bị chặn trên bởi x. Theo tiên đề trên, tồn
tại số thực b sao cho b = sup E, tức là n.y ≤ b với mọi n ∈ N*.
Vì b là cận trên nhỏ nhất và b – y < b nên b – y không phải là cận trên của E, do đó tồn tại

(1.1.0)
(1.1.0)

Vì q ∈ N* nên từ ( 1.1 .0) ta có a < < b. Vậy chính là số hữu tỷ cần được chỉ ra.♦
Hệ quả 1.1.2. Giữa hai số thực bất kỳ luôn tồn tại vô số số hữu tỷ.
Chứng minh: Giả sử a < b là hai số thực bất kỳ. Theo Định lý 1.1 .1, tồn tại số hữu tỷ b 1 sao
cho a < b1 < b. Lại áp dụng Định lý 1.1 .1 cho hai số thực a và b1, tồn tại số hữu tỷ b2 sao cho
a < b2 < b1. Cứ như thế ta nhận được vô hạn các số hữu tỷ b1, b2, ..., bn, ... thuộc (a, b).♦
Định lý 1.1.2.
1.
Tổng và tích hai số hữu tỷ là một số hữu tỷ.
2.
Tổng của một số hữu tỷ với một số vô tỷ là một số vô tỷ.
3.
Tích của một số hữu tỷ khác 0 với một số vô tỷ là một số vô tỷ.
Chứng minh:
p
p m
pn + qm
m
1.
Giả sử a =
và b =
là hai số hữu tỷ. Khi đó a + b = +
=
∈
q
q n
qn
n

4


Phép tính giải tích một biến số

Cho a < b là hai số hữu tỷ. Khi đó với mọi số tự nhiên n > 0, theo Định lý 1.1 .2, ta có các
b−a
b−a
là số hữu tỷ và các số a + 2
là số vô tỷ, và chúng đều thuộc khoảng (a, b).
2n
2n
Vì vậy giữa hai số hữu tỷ khác nhau, luôn tồn tại vô hạn số hữu tỷ và vô hạn số vô tỷ.
Cho a < b là hai số vô tỷ. Theo Hệ quả 1.1 .2 tồn tại hai số hữu tỷ là c và d.
Theo chứng minh trên, giữa hai số hữu tỷ c và d (và cũng có nghĩa là giữa hai số vô tỷ a

số a +

và b) tồn tại vô hạn số hữu tỷ và vô hạn số vô tỷ.♦
1.2. Dãy số thực
1.2.1. Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.2.3. Một dãy số thực[36] (hay dãy số) là một ánh xạ từ N* vào R: N* ∋ n → xn ∈ R.
Để biểu thị một dãy, ta có thể dùng ký hiệu {xn}, n = 1, 2, ...
Ví dụ: {xn} = {1,

1 1
1
, , ...} hay xn = , n = 1, 2, ...
2 3

Ta còn nói a là giới hạn[39] của dãy xn và viết xn → a khi n → +∞, hoặc nlim
→+∞ n
Nhận xét: mệnh đề ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N* : xn ∈ Uε(a)∀n > n0 có thể phát biểu như sau
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N* : ∀n > n0 ⇒ |xn – a| < ε.
Về trực giác, dãy {xn} hội tụ tới a nếu mọi ε–lân cận của a đều chứa mọi phần tử của dãy,
có thể loại trừ một số hữu hạn phần tử phía đầu dãy.
Ta nói dãy {xn} → +∞ nếu
∀K > 0, ∃n0 = n0(K) > 0 sao cho với mọi n > n0 thì xn ∈ UK(+∞).
Ta nói dãy {xn} → –∞ nếu
∀K > 0, ∃n0 = n0(K) > 0 sao cho với mọi n > n0 thì xn ∈ UK(–∞).
Ta nói dãy {xn} là phân kỳ[40] nếu nó không hội tụ.
Định nghĩa 1.2.6. Số hữu hạn a được gọi là điểm giới hạn của dãy {x n} nếu nó là giới hạn
của dãy con nào đấy của dãy {xn}.
Rõ ràng nếu a là giới hạn thì nó cũng là điểm giới hạn của dãy.
Như vậy, nếu dãy {xn} không hội tụ thì có thể xảy ra một trong các khả năng sau
5


Phép tính giải tích một biến số

•

Dãy {xn} không bị chặn, ví dụ xn = n.

•

Dãy {xn} có nhiều hơn một điểm giới hạn: ví dụ x n = sin n

π
có ba điểm giới

Với ε đã cho và n0 như vậy thì |xn – 1| < ε ∀n > n0, vậy

n
→ 1 khi n → +∞.
n +1

Định nghĩa 1.2.7.
•

Dãy {xn} tương ứng được gọi là đơn điệu tăng[41] nếu xn ≤ xn+1 ∀n.

•

Dãy {xn} tương ứng được gọi là đơn điệu giảm[42] nếu xn ≥ xn+1 ∀n.

Định nghĩa 1.2.8. Cho hai dãy {xn} và {yn}, ta gọi dãy {zn} là
•

tổng của {xn} với {yn}, ký hiệu {xn + yn}, nếu zn = xn + yn với mọi n,

•

hiệu của {xn} với {yn}, ký hiệu {xn – yn}, nếu zn = xn – yn với mọi n,

•

tích của {xn} với {yn}, ký hiệu {xnyn}, nếu zn = xnyn với mọi n,

•


c là các hằng số. Khi đó:
1) axn + byn + c → ax + by + c
3)
6

1
1
→ với y ≠ 0
yn
y

2) xnyn → xy
4)

xn
yn

→

x
với y ≠ 0
y


Phép tính giải tích một biến số

(Xem chứng minh tại trang 16)
Định lý này còn được gọi là các phép tính số học về giới hạn.
Ví dụ 1.2.3. Cho {xn} = {1 +


1
→ 1 = y khi n → + ∞.
n

Ta thấy xn + yn = 2, nên xn + yn hội tụ về 2 = x + y.
Đặt zn = xnyn thì zn = 1 –
zn −1 < ε ⇔

1
, ta chứng minh zn hội tụ về 1. Thật vậy, với ε > 0,
n2

1
1
 1 
< ε ⇔ n2 > ⇐ n ≥   +1.
2
n
ε
 ε

 1 
Với ε > 0 đã cho, lấy n0 =   + 1, khi đó |zn – 1| < ε. Vậy zn hay xnyn hội tụ về 1 = xy.
 ε
Đặt tn =

xn
yn

= thì zn =

1
– cosnπ và yn = cosnπ. Dễ thấy cả xn và yn đều không hội tụ,
n

1
hội tụ về 0.
n
Định lý 1.2.4. (định lý so sánh)
trong khi đó dãy xn + yn =

1. Nếu xn ≤ yn ∀n > n0 ∈ N và xn → a, yn → b thì a ≤ b.
2. Nếu xn ≤ yn ≤ zn ∀n > n0 ∈N và xn → a, zn → a thì yn → a.
(Xem chứng minh tại trang 17)
Chú ý: Trong trường hợp xn < yn ta cũng chỉ có thể kết luận a ≤ b, mà không thể kết luận a < b.
7


Phép tính giải tích một biến số

1
1
và yn = , rõ ràng xn < yn ∀n. Nhưng cả xn và yn đều hội tụ về 0.
n +1
n

Ví dụ, xét xn =

Ví dụ 1.2.5. Xét sự hội tụ của dãy xn =
Giải: Với n > 1 ta có 0

=
=
= (1 − )(1 − )...(1 −
)

C kn +1
= x n +1
∑
k
n + 1 k =2
(n + 1)
(n + 1) k
k =0

Vậy {xn} là dãy đơn điệu tăng.
k

Mặt khác, C n

1
1
1
2
k −1
1
1
= (1 − )(1 − )...(1 −
) < < k −1 nên
k
n
k!
n
n
n
k! 2

Định lý 1.2.6 (Cantor(1)). Cho hai dãy {an} và {bn} thoả mãn
•

∀n ∈ N, an ≤ bn và [an+1, bn+1] ⊂ [an, bn]

•

(bn – an) → 0 khi n → +∞

Khi đó ∀n∈ N, tồn tại duy nhất c ∈ [an, bn].
(Xem chứng minh tại trang 17)
Định lý 1.2.7. Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi nó giới nội và có duy nhất điểm giới hạn.
(Xem chứng minh tại trang 17)
Định lý 1.2.8. Dãy {xn} hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung giới hạn.
(Xem chứng minh tại trang 18)
Cách chứng minh dãy không hội tụ
1()

8

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (03/03/1845 – 06/01/1918), nhà Toán học Đức, sinh ở Nga.


Phép tính giải tích một biến số

Để chứng minh dãy xn không hội tụ, ta phải chỉ ra: hoặc dãy không giới nội, hoặc có hai
dãy con dần đến hai điểm giới hạn khác nhau.
Ví dụ 1.2.6. Chứng minh dãy xn = cosnπ không hội tụ.
Giải: Xét dãy con ym = x2m+1. Vì ym = cos(2m + 1)π = –1 nên ym → –1.
Xét dãy con zm = x2m. Vì zm = cos(2m)π = 1 nên zm → 1.


dx

∫ ex

Ví dụ 1.2.9. Chứng minh rằng dãy có số hạng tổng quát xn =

2

hội tụ.

0

Giải: Cho ε > 0 bất kỳ, khi đó với m ≥ n,
xm − xn < ε ⇔

m

dx

∫ ex

0
m

⇐∫
n

2




Augustin Louis Cauchy (21/08/1789 – 23/05/1857), nhà Toán học Pháp.
2()

9


Phép tính giải tích một biến số
+∞

Sau này ta sẽ thấy rằng dãy xn hội tụ về

dx

∫ ex

2

=

0

π
.
2

Quả thực ta không thể dùng định nghĩa để chứng minh cho dù biết trước giới hạn đó.
Ta có thể sử dụng Định lý 1.2 .5 để chứng minh sự hội tụ của dãy này.
n +1

Thật vậy, xn+1 =

e

x2

+∞

n +1

dx

∫e
n

dx

∫e
0

+

x

2



 x1 = 2

x 2n − 2

x
=
x
−
∀n ≥ 1
n
 n +1
2x

n
Để tính xn, ta phải tính lần lượt x2, x3, ..., xn–1.
Trong trường hợp này, việc tính giới hạn của {xn} có thể được thực hiện như sau.
Ta có x n +1 − x n = −
Đồng thời

x 2n − 2
2x n

x 2n − 2
2x n

⇔ x n +1 =

> 0 với xn ≥

x 2n + 2

 k1λ1 + k 2 λ 2 = c1
b) Nghiệm thực kép λ1 = λ2 = λ: khi đó nghiệm của ( 1.2 .0) có dạng xn = (k1 + k2n)λn.
Các hằng số k1, k2 được xác định từ các điều kiện đầu ứng với n = 0 và n = 1.
10


Phép tính giải tích một biến số

 k1 = c 0

(k1 + k 2 )λ = c1
c) Nghiệm phức λ1 = α – iβ, λ2 = α + iβ: nghiệm của ( 1.2 .0) có dạng xn = k1λ1n + k2λ2n.
Các hằng số k1, k2 được xác định từ các điều kiện đầu ứng với n = 0 và n = 1.
 k1 + k 2 = c 0
 k1 + k 2 = c 0

⇒ α(k1 + k 2 ) = c1

 k1 (α − iβ) + k 2 (α + iβ) = c1 β(k − k ) = 0
 2 1
Nếu αc0 = c1 thì hệ có nghiệm k1 = k2 = k =

c0
2

. Biểu diễn λ1, λ2 dưới dạng lượng giác,

λ1 = α – iβ = ρ(cosϕ – isinϕ), λ2 = α + iβ = ρ(cosϕ + isinϕ),
ở đây ρ =


 k1 + k 2 = 1
5 −1
5 +1

⇒ k1 =
, k2 =
. Thay vào ta có
 1− 5
1+ 5
2
5
2
5
k
+
k
=
1
 1
2

2
2
n
n
n +1
n +1

5 −1  1 − 5 
5 +1 1+ 5 

=
4
 1
2
Ví dụ 1.2.12. Xác định xn từ công thức xn+2 = 2xn+1 – 4xn, với x0 = 2, x1 = 2.
Phương trình λ2 – 2λ + 4 = 0 có nghiệm λ1 = 1 – i 3 , λ2 = 1 + i 3 ⇒ α = 1, β =
Vì αc0 = c1 và ρ = 2, ϕ = arctg 3 =

3.

π
π
π
, nên ta có xn = 2.2ncosn = 2n+1cosn .
3
3
3

1.3. Định nghĩa hàm số một biến số thực
Cho các tập A ⊆ R, B ⊆ R. Một hàm f: A → B là luật gán mỗi x trong A với duy nhất f(x)
trong B. Khi đó A được gọi là miền xác định của f, ký hiệu là Df.
Tập {f(x) | x ∈ A} được gọi là miền giá trị hoặc ảnh của A qua f , ký hiệu là Rf hoặc f(A).
Ta thường viết y = f(x) để biểu thị rõ luật gán x ∈ A với y ∈ B.
11


Phép tính giải tích một biến số

Ta nói hàm f: A → B là toàn ánh[45] hoặc ánh xạ lên nếu f(A) = B, nghĩa là với mọi y ∈ B
có ít nhất một x ∈ A sao cho f(x) = y.



không tăng trên A nếu f (x) ≥ f (y) với mọi x < y thuộc A.

1.5. Hàm hợp
Cho A, B và C là các tập trong R cùng các hàm f: A → B và g: B → C.
Khi đó hàm h: A → C được xác định bởi h(x) = g(f(x)) được gọi là hàm hợp của g với f và
được ký hiệu là gof, ta viết h(x) = (gof)(x) hay h = gof.
Ví dụ, f(x) = x2 + 1, g(x) = 2x + 2, thì (gof)(x) = 2(x2 + 1) + 2 = 2x2 + 4.
1.6. Hàm ngược
Cho A ⊆ R và hàm f: A → R. Đặt B = f (A) = {f (x) : x ∈ A}. Hàm g: B → A được gọi là
hàm ngược[51] của f nếu g(f(x)) = x với mọi x ∈ A, ký hiệu là f–1.
Theo thói quen, ta thường dùng chữ x để chỉ biến độc lập và chữ y để
chỉ biến phụ thuộc, nên hàm ngược của f được viết là y = f–1(x).
Ký hiệu Gf và Gf–1 tương ứng là đồ thị của các hàm y = f(x) và y = f–1(x).
Nếu điểm (x, y) ∈ Gf thì x = f–1(y), nghĩa là điểm (y, x) ∈Gf–1.
Do hai điểm (x, y) và (y, x) đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất, nên đồ thị của
các hàm f và f–1 đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất.
Nếu tồn tại g = f–1 thì f là 1–1, bởi nếu f(x1) = f(x2) thì g(f(x1)) = g(f(x2)) tức là x1 = x2.
Dễ thấy rằng, f–1 tồn tại khi và chỉ khi f: A → B là song ánh.
12


Phép tính giải tích một biến số

Ví dụ: Ký hiệu R+ = {x ∈ R : x ≥ 0}. Xét các hàm số:

• f: R ∋ x → x2 = y ∈ R. Với y < 0, phương trình x 2 = y vô nghiệm nên f không là toàn
ánh. Với y > 0, phương trình x2 = y có hai nghiệm nên f không là đơn ánh.
Vậy không tồn tại hàm ngược f –1.


R\{0}.
Nếu α =

o


1

(p ∈ N*)

y = x–1

với p chẵn thì Df =

O

R+,



y=x

x

1

với p lẻ thì Df = R,
với p nguyên âm thì Df cũng phụ thuộc tính chẵn lẻ của p.
Nếu α là số vô tỷ thì Df = {x : x ≥ 0 } khi α > 0 và Df = {x : x > 0 } khi α

y = logax, a > 1
x
O

1
y = logax, a < 1
13


Phép tính giải tích một biến số

Với x > 0 thì x = a loga x .
Với b > 0, b ≠ 1, a > 0, a ≠ 1 và x > 0 thì logbx = logba logax.

• Các hàm lượng giác: sinx, cosx, tgx và cotgx.
– Các hàm sinx, cosx tuần hoàn với chu kỳ 2π.
– Các hàm tgx, cotgx tuần hoàn chu kỳ π.
– Các hàm sinx, tgx và cotgx là hàm lẻ, còn cosx là hàm chẵn.
Trên hình vẽ ta có:
y

cosx = OP , sinx = OQ ,
tgx = AD , cotgx = BC .
Các giá trị 0,

1 2 3
và 1, còn được viết dưới dạng
,
,
2 2 2


y
y = tgx

–π/2

y

–π/2

y

–π

x

π π π π
, , , và 0 (radian).
2 3 4 6
y

–π

D

Q

0 1 2 3
4
và

Do sinx tuần hoàn chu kỳ 2π và là song ánh từ [ −

π
π
± kπ, ± kπ ] sang [–1, 1] nên trên
2
2

π
π
± kπ, ± kπ ], xác định một hàm ngược y = arcsinx.
2
2
Ta ký hiệu Arcsinx là họ tất cả các hàm ngược của y = sinx, còn ký hiệu arcsinx là hàm

mỗi đoạn [ −

π π
ngược xác định trên [–1, 1], nhận giá trị trên đoạn [ − , ].
2 2
o
y = arccosx: là hàm ngược của y = cosx.
14

A

x


Phép tính giải tích một biến số


o

Do cotgx tuần hoàn chu kỳ π và là song ánh từ (0 ± kπ, π ± kπ) sang (–∞, +∞) nên trên mỗi
khoảng (0 ± kπ, π ± kπ), xác định một hàm ngược y = arccotgx.
Ta ký hiệu Arccotgx là họ tất cả các hàm ngược của y = cotgx, còn ký hiệu arccotgx là hàm
ngược xác định trên (–∞, +∞), nhận giá trị trong khoảng (0, π).
π/2

y

y
π
y = arccosx

–1
O

π/2

1 x

y = arcsinx
–π/2

O

–1

y y = arctgx


a+b
arctg 1 − ab + π sgn a ab > 1
15


Phép tính giải tích một biến số

1.8. Các hàm số sơ cấp
Các hàm sơ cấp là những hàm được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học [53]
và phép lấy hàm hợp từ các hàm sơ cấp cơ bản.
Cho hai hàm f(x) và g(x) có cùng miền xác định, các phép toán số học đối với f và g là:
• Tổng: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

•Hiệu: (f – g)(x) = f(x) – g(x)

•Tích: (f.g)(x) = f(x).g(x)

•Thương: ()(x) = , với g(x) ≠ 0.

Trong số các hàm sơ cấp, người ta quan tâm đến các đa thức[54] và các hàm hữu tỷ.
 Đa thức:

Pn(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 +... + an – 1x + an,
ở đây các ak là các hằng số và a0 ≠ 0.

Ta có thể biểu diễn đa thức dưới dạng:
Pn(x) = ( ... (((0.x) +a0)x + a1)x + a2)x +... + an – 1)x + an
Để tính giá trị của Pn(x) tại x = c, ta thực hiện n + 1 lần cho mỗi phép nhân, phép cộng và
phép gán[55] theo lược đồ Horner(1) như sau:


ε
∀n > nx
2
ε
Do yn → y, nên với εy, ∃ny ∈N* : |yn – y| < εy ∀n > ny, ⇒ |b||yn – y| < ∀n > ny
2
Lấy no = max(nx, ny). Khi đó,
Do xn → x, nên với εx, ∃nx ∈N* : |xn – x| < εx ∀n > nx, ⇒ |a||xn – x|

− =
≤
< 2
= ε.
y n y | y n || y |
| y |2
y 2

1
1
→ khi n → +∞.
yn
y

4) Là hệ quả của 2) và 3).♦
1.9.2. Chứng minh Định lý 1.2 .4

1. Giả sử ngược lại, a > b. Với ε =

a−b
,
2

∃nx > 0 : xn ∈ Uε(a) ∀ n > nx, ∃ny > 0 : yn ∈ Uε(b) ∀ n > ny.
Lấy N = max(nx, ny, n0), khi đó, ∀n > N, ta có yn < b + ε < a – ε < xn.
Mâu thuẫn, vậy a ≤ b.
2. ∀ε > 0, ∃nx > 0 : ∀n > nx ⇒ xn ∈ Uε(a). ∃nz > 0 : ∀n > nz ⇒ zn ∈ Uε(a).
Lấy ny = max(nx, nz, n0), khi đó ∀n > ny, a – ε < xn ≤ yn ≤ zn < a + ε ⇒ yn ∈ Uε(a).
Vậy yn → a khi n → +∞.♦
1.9.3. Chứng minh Định lý 1.2 .5

17


Phép tính giải tích một biến số

do a là giới hạn của dãy nên ∃na > 0 : xn ∈ Uε(a) ∀ n > na,
do b là giới hạn của dãy {ym} nên ∃nb > 0 : ym ∈ Uε(b) ∀ m > nb.
Lấy n0 = max(na, nb), khi đó ym ∈Uε(a)∩Uε(b) ∀ n > n0, mâu thuẫn vì Uε(a)∩Uε(b) = ∅.
Vậy dãy {xn} hội tụ thì nó chỉ có duy nhất điểm giới hạn, ta chứng minh nó giới nội.
Với ε = 1, ∃n0 > 0 : xn ∈ Uε(a), tức là a – 1 < xn < a + 1, ∀ n > n0.
max
Đặt m = min(a – 1, min
k ≤ n 0 {xk}) và M = max(a + 1, k ≤ n 0 {xk}) ⇒ m ≤ xn ≤ M ∀n.
Vậy dãy {xn} giới nội.
b) Chứng minh điều kiện đủ: Giả sử dãy {xn} giới nội và có duy nhất điểm giới hạn là a.
Do {xn} giới nội nên tồn tại M > 0 sao cho |xn| < M với mọi n.
Với ε > 0 đủ nhỏ bất kỳ, ta chứng minh rằng bên ngoài Uε(a) chỉ có hữu hạn các phần tử của dãy.
Giả sử ngược lại, bên ngoài Uε(a) có vô hạn các phần tử của dãy. Khi đó một trong các
đoạn [–M, a – ε] và [a + ε, M] sẽ chứa vô hạn các phần tử của dãy. Không giảm tổng quát ta
xem đó là đoạn [a + ε, M], để tiện trình bày, ta gọi đoạn đó là [α, β].
Rõ ràng, trên một trong hai nửa của đoạn [α, β] sẽ chứa vô hạn phần tử của dãy, giả sử đó
là [α1, β1]. Một trong hai nửa của đoạn [α1, β1] lại cũng chứa vô hạn phần tử của dãy, giả sử
đó là [α2, β2], ... Cứ thế ta được vô hạn đoạn con [αm+1, βm+1] ⊂ [αm, βm] luôn chứa vô hạn các
phần tử của dãy {xn}. Trên đoạn [αm, βm], ta lấy phần tử x n m của dãy {xn}, dễ thấy rằng
αm ≤ x n m ≤ βm và βm – αm → 0.
Theo định lý Cantor, tồn tại c ∈[αm, βm] và rõ ràng x n m → c, vậy c là điểm giới hạn của
dãy {xn} và hiển nhiên là c ≠ a.
Mẫu thuẫn với giả thiết dãy {xn} chỉ có duy nhất một điểm giới hạn.♦
1.9.6. Chứng minh Định lý 1.2 .8


2

Do đó với ε nói trên và m ≥ n0, n ≥ n0 thì |xm – xn| ≤ |xm – a| + |xn – a|
0,
vì { x n k } hội tụ về a nên ∃m1 ∈ N* sao cho | x n k – a|
m1,
2

vì {xn} là dãy Cauchy nên ∃m2 ∈ N* sao cho |xn – x n k |
m2 và ∀nk > m2.
2

Đặt n0 = max{m1, m2}, khi đó với ε nói trên và n > n0 ta có
|xn – a| ≤ |xn – x n k | + | x n k – a|

+ ... +
1.2 2.3
n(n + 1)

f) s n =

a) xn = n –
e) s n =

n2 − n

Bài 1.3. Xét dãy xn = xn–1 +

1
x n −1

c) xn = n + 3 1 − n 3

d) xn =

n
nπ
sin
2
2

1
1
1
+


x n −1 y n −1 và yn =

1
(x + y n −1 ) , với y0 > x0 > 0, cùng
2 n −1

hội tụ và có chung giới hạn.
Bài 1.7. Xét sự hội tụ của dãy xn = 1 + x n −1 với x0 =

3.

Bài 1.8. Xác định xn nếu biết xn+2 = 2 3 xn+1 – 4xn, x0 = 2, x1 = 2 3 .
Bài 1.9. Số nguyên dương n được gọi là số nguyên tố (prime) nếu nó chỉ chia hết cho 1 và
chính nó.
Chứng minh rằng, nếu p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 – q2 chia hết cho 3.
Bài 1.10. Cho trước số nguyên dương m, hãy chỉ ra m số nguyên dương liên tiếp nhưng
không số nào trong chúng là số nguyên tố.
Bài 1.11.Chứng minh rằng

2 là số vô tỷ.

Bài 1.12.Chứng minh rằng, mọi hàm f(x) xác định trong miền đối xứng luôn biểu diễn được
dưới dạng tổng của một hàm chẵn với một hàm lẻ.
1.11. Lời giải bài tập chương 1
Bài 1 .1.
a) xn = (–1)n
Vì dãy

n +1

n +1
1
= 1 + hội tụ về 1.
n
n

c) xn =

1
1
1
< → 0 nên dãy hội tụ về 0.
2 . Vì 0

3 3
3
b) xn = n + 1 − n = n − n − 1 =

1
n

→

1
2 khi n →+∞.

a
a
→
2 khi n →+∞.
a
(1 + ) + 1
n
1

n 2 + n 3 n 3 − 1 + 3 (n 3 − 1) 2

→ 0 khi n →+∞.

n
nπ
4m + 1 (4m + 1)π 4m + 1
sin
sin

a) Do a0 > 0, b0 > 0 và an = 2an–1 + 3bn–1, bn = an–1 + 2bn–1 nên ta có an > 0 và bn > 0 ∀n.
a
2 n +3
a
2a + 3b n
bn
2x + 3
=
= n
b) xn+1 = n +1 = n
.
an
b n +1 a n + 2b n
xn + 2
+2
bn
c) x n +1 =

2x n + 3
xn + 2

= 2−

1
1
1
⇒ x n +1 +
= 2 ⇒ xn +
= 2.
xn + 2

3 . Trong cả hai trường hợp ta đều có x n hội tụ.

1
= 2 ⇒ x2 – 3 = 0 ⇒ x = 3 (do xn > 0).
x+2

3 không phụ thuộc vào a0 và b0.
2
x n −1

+ 1 và x0 = 1 nên xn > 1 ∀n. Ta lại có

21


Phép tính giải tích một biến số

xn+1 – xn =

(1 − x n )(2 + x n )
2
+1− xn =
< 0 nên xn+1 < xn, tức xn là dãy đơn điệu giảm, bị
xn
xn

chặn dưới, do đó tồn tại giới hạn, giả sử là x. Khi đó, x =

2
+ 1 ⇒ x = 2.

Phương trình λ2 – 2 3 + 4 = 0 có nghiệm λ1 =

3 – i, λ2 =

3+i⇒α=

3 , β = 1.

π
π
⇒ xn = 2n+1cosn .
6
6
Bài 1 .9. Trước hết ta chứng minh rằng tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3.
Thật vậy, số dư của n chia cho 3 chỉ có thể là
0: khi đó n chia hết cho 3,
1: khi đó n + 2 chia hết cho 3,
2: khi đó n + 1chia hết cho 3.
Vậy n(n + 1)(n + 2) luôn chia hết cho 3.
Giả sử p là số nguyên tố, khi đó p(p 2 – 1) = (p – 1)p(p + 1) chia hết cho 3. Nhưng p > 3 và
là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3, vậy (p – 1)(p + 1) = p2 – 1 chia hết cho 3.
Vì p2 – q2 = (p2 – 1) – (q2 – 1), vậy p2 – q2 chia hết cho 3.
Bài 1 .10. Xét dãy gồm m số: (m + 1)! + 2, (m + 1)! + 3, ..., (m + 1)! + (m + 1).
Rõ ràng, (m + 1)! + k chia hết cho k, với k = 2, 3, ..., m + 1.
Điều kiện αc0 = c1 được thoả mãn, đồng thời ρ = 2, ϕ =

22


Phép tính giải tích một biến số

trị hữu hạn hoặc vô hạn.
Định nghĩa phi hình thức: Ta nói rằng hàm f(x) có giới hạn là L khi x dần đến a, và ta viết
lim f ( x ) = L, nếu với mọi lân cận của L, tồn tại lân cận của a sao cho khi x thuộc lân cận
x →a
của a thì f(x) thuộc lân cận của L.
Hoặc phát biểu dưới dạng ký hiệu:
∀U(L), ∃U(a) : x ∈ U(a) ⇒ f(x) ∈ U(L).
Ví dụ với f(x) = x 2. Khi x đủ gần 0 thì x 2, tức là f(x), cũng đủ
gần 0. Khi x đủ gần 2 thì f(x) đủ gần 4.

y
4

x 2 = 0 và lim x 2 = 4.
Trong trường hợp này ta viết lim
x →0
x →2
Sau đây ta phát biểu hình thức cho từng trường hợp cụ thể.
Cho f(x) xác định trong khoảng [a, +∞) và số hữu hạn L ∈ R.
Định nghĩa 2.1.10. Ta nói hàm f(x) có giới hạn hữu hạn L khi
• x → +∞ nếu∀ε > 0, ∃A = A(ε) > 0 : ∀ x∈UA(+∞) ⇒ f(x)∈ Uε(L).
• x → –∞ nếu ∀ε > 0, ∃A = A(ε) > 0 : ∀ x∈UA(–∞) thì f(x)∈ Uε(L).
Trong trường hợp này ta viết lim f (x) = L, lim f (x) = L .
x →+∞

x
O

2



23


Phép tính giải tích một biến số

1
> 0 thì với mọi x < –A ta có
ε
1
x +1
f (x) = 1.
− 1 < ε ⇔ f(x) ∈ Uε(1). Vậy xlim
x < –A ⇔ x < – x < −A ⇔ x < − ⇔
→−∞
ε
x
Vậy với ε đã cho, nếu lấy A =

Xét quá trình x → +∞. Với ε > 0 bất kỳ,
x +1
1
1
−1 < ε ⇔ < ε ⇔ x > .
f(x) ∈ Uε(1) ⇔
x
x
ε
1
> 0 thì với mọi x > A ta có

x2
Giải: Xét quá trình x → +∞. Với M > 0 bất kỳ, khi đó với mọi x > 0,
f(x)∈UM(+∞) ⇔ f(x) > M ⇔

1
x4 +1
> M ⇔ x2 + 2 > M ⇐ x2 > M ⇔ x > M .
2
x
x

Vậy với M > 0 đã cho, lấy A =

M , khi đó

∀x > A ⇒ f(x)∈UM(+∞) ⇒ xlim
→+∞ f(x) = +∞.
Xét quá trình x → –∞. Với M > 0 bất kỳ, khi đó với mọi x < 0,
f(x)∈UM(+∞) ⇔ f(x) > M ⇔
Vậy với M > 0 đã cho, lấy A =

x4 +1
1
> M ⇔ x2 + 2 > M ⇐ x2 > M ⇔ x < − M .
2
x
x
f(x) = +∞.
M , khi đó ∀x < –A ⇒ f(x)∈UM(+∞) ⇒ xlim
→−∞

24


Phép tính giải tích một biến số

•

f ( x ) = +∞, nếu
từ bên phải, và viết xlim
→a + 0

∀M>0, ∃δ = δ(M) > 0 : ∀x∈ Uδ(a + 0) ⇒ f(x)∈UM(+∞)
1
Ví dụ 2.1.15. Chứng minh f(x) =
→ +∞ khi x → 1–0.
1− x2
1
1
> M ⇔ 1− x2 < 2
∀M > 1, f(x)∈UM(+∞) ⇔
M
1− x2
⇔ (1 – x)(1 + x)

∀M>0, ∃δ = δ(M) > 0 : ∀x∈ Uδ(a + 0) ⇒ f(x)∈UM( –∞).
f (x) và lim f (x) .
Ta còn dùng các ký hiệu f(a – 0) và f(a + 0) thay thế cho xlim
→a − 0
x →a +0

Định nghĩa 2.1.15. Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần đến a
•
từ bên trái, và viết lim f ( x ) = L, nếu
x →a − 0

•

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 :∀x∈ Uδ(a–0) ⇒ f(x) ∈ Uε(L).
từ bên phải, và viết lim f ( x ) = L, nếu
x →a + 0

∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) > 0 :∀x∈ Uδ(a+0) ⇒ f(x) ∈ Uε(L).
b) Giới hạn hai phía[57]

y
L
O

a

x

f ( x ) = L , nếu cả
Định nghĩa 2.1.16. Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới a, ký hiệu lim