TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 48, 2008
VỀ CẤU TRÚC VÀ BIỂU DIỄN
XẠ ẢNH CỦA NHÓM LIE POINCARÉ
Trần Đạo Dõng, Đại học Huế
Lưu Thị Khánh Giang, Sở GD-ĐT Quảng Bình
Nguyễn Tân Quang, học viên cao học trường ĐHSP, Đại học Huế
TÓM TẮT
Một trong các bài toán cơ bản của lý thuyết biểu diễn nhóm Lie là mô tả và phân
lớp các biểu diễn unita bất khả qui của các nhóm Lie nửa đơn, đặc biệt là các biểu
diễn xạ ảnh bất khả qui cảm sinh từ biểu diễn unita bất khả qui của phủ phổ dụng
đơn liên tương ứng. Trong bài viết này, trước hết chúng tôi khảo sát cấu trúc của
nhóm Poincaré xét như tích nửa trực tiếp của các nhóm Lie. Tiếp đó, chúng tôi khảo
sát biểu diễn xạ ảnh của nhóm Lie Poincaré liên thông SO(3, 1)
◦
 R
4
cảm sinh từ
các biểu diễn unita bất khả quy của tích nửa trực tiếp SL(2, C)  R
4
, phủ phổ dụng
đơn liên 2-lá của SO(3, 1)
◦
 R
4
.
§1. Nhóm poincaré và phủ đơn liên tương ứng
1.1. Định nghĩa: Cho nhóm Lorentz H = O(3, 1) tác động một cách tự nhiên
lên R
4
qua ánh xạ τ : O(3, 1) × R
4

, g
−1
x + x

)
(g, x)
−1
= (g
−1
, τ (g, −x)) = (g
−1
, −gx), ∀(g, x), (g

, x

) ∈ G.
1.2. Mệnh đề: Đại số Lie của nhóm Lie Poincaré G = O(3, 1)  R
4
là tích nửa
trực tiếp của các đại số Lie so(3, 1) ⊕
π
R
4
, với π : so(3, 1) → DerR
4
là đồng cấu đại
số Lie xác định bởi π(X)x = Xx, ∀X ∈ so(3, 1), ∀x ∈ R
4
.
Chứng minh. Gọi τ (g) là vi phân của τ(g, .) tại phần tử đơn vị của R

g = so(3, 1) ⊕
dτ
R
4
. Ta sẽ chứng minh π = dτ . Thật vậy, với X là một phần tử bất
kì của so(3, 1), ta có
dτ(X)(x) =
d
dt


t=0
τ(I + tX)(x) =
d
dt


t=0
(I + tX)x =
d
dt


t=0
(x + tXx)
=
d
dt



) = (gg

, ν(g
−1
, x) + x

) = (gg

, ψ(g
−1
)x + x

)
= (gg

, (ψ(g

))
−1
x + x

).
(g, x)
−1
= (g
−1
, ν(g, −x)) = (g
−1
, −ψ(g)x), ∀g, x), (g


◦
= SO(3, 1)
◦
, với SL(2, C) là nhóm phủ đơn liên hai lá tương ứng. Khi đó, ta có
kết quả sau:
1.3. Mệnh đề:Phủ phổ dụng của nhóm Poincaré liên thông SO(3, 1)
◦
 R
4
là
tích nửa trực tiếp SL(2, C) ×
ν
R
4
với đồng cấu phủ
Ψ := ψ × I : SL(2, C) ×
ν
R
4
→ SO(3, 1)
◦
 R
4
, (g, x) → (ψ(g), x).
Chứng minh. Ta có SL(2, C) và R
4
là các nhóm Lie đơn liên nên SL(2, C) ×
ν
R
4

)
= (ψ(g)ψ(g

), (ψ(g

))
−1
x + x

)
16
Ψ(g, x)Ψ(g

, x

) = (ψ(g), x)(ψ(g

), x

) = (ψ(g)ψ(g

), (ψ(g

))
−1
x + x

).
Suy ra Ψ((g, x)(g


ν
R
4
→ SO(3, 1)
◦
 R
4
. Do
kerΨ
∼
=
Z
2
nên phủ phổ dụng này cũng là phủ hai lá.
Để đơn giản khi viết, ta sẽ kí hiệu SL(2, C)R
4
thay cho nhóm Lie SL(2, C)×
ν
R
4
và đại số Lie tương ứng là sl(2, C)  R
4
thay cho sl(2, C) ⊕
dν
R
4
.
§2. Biểu diễn xạ ảnh của nhóm Poincaré
Xét đại số Lie g = so(3, 1)  R
4

) sao cho ω(x, y) = β(T x, y), với mọi x, y ∈ R
4
. Khi đó,
với mọi X ∈ so(3, 1), x, y ∈ R
4
, ta có
0 = Xω(x, y) = ω(Xx, y) + ω(x, Xy) = β(T Xx, y) + β(T x, Xy).
Suy ra
β(T Xx, y) = −β(T x, Xy) = −

T x, JXy

= −

T x, (JXJ)Jy

= −

T x, −X
t
Jy

=

XT x, Jy

= β(XT x, y), ∀x, y ∈ R
4
,
trong đó <, > là kí hiệu tích vô hướng chính tắc trên R

2
(R
4
)
∗
)
so(3,1)
= 0. Suy ra H
2
(so(3, 1)  R
4
) = 0.
Biểu diễn xạ ảnh π : G → Aut(P(H)) của nhóm Lie G trong không gian Hilbert
phức H được gọi là bất khả quy nếu không tồn tại không gian con đóng thực sự
khác không π(G)-bất biến của P(H). Kết quả dưới đây cho thấy rằng, mỗi biểu diễn
unita bất khả quy của SL(2, C)  R
4
có thể được cảm sinh từ một biểu diễn xạ ảnh
bất khả quy của SL(2, C)  R
4
.
2.2. Định lý:Cho H là không gian Hilbert phức. Khi đó mỗi biểu diễn xạ ảnh
π : SL(2, C)  R
4
→ Aut(P(H)) nâng lên thành một biểu diễn unita duy nhất
∼
π của
SL(2, C)  R
4
trong H. Hơn nữa, π là bất khả quy nếu và chỉ nếu

4
, ta có q ◦
∼
π(x) = q ◦ ρ(x).
Suy ra q

∼
π(x)

.

q(ρ(x))

−1
= 1. Hay q

∼
π(x).(ρ(x))
−1

= q

∼
π(x)

.q

(ρ(x))
−1


ϕ(x
1
x
2
) =
∼
π(x
1
x
2
).(ρ(x
1
x
2
))
−1
=
∼
π(x
1
).
∼
π(x
2
).

ρ(x
1
).ρ(x
2

−1
=

∼
π(x
1
).(ρ(x
1
))
−1

.ϕ(x
2
) = ϕ(x
1
).ϕ(x
2
).
Như vậy, ϕ là một đồng cấu nhóm Lie. Gọi ϕ là thu hẹp của ϕ lên SL(2, C). Khi
đó, đạo hàm ϕ
∗
: sl(2, C) → R của ϕ là một đồng cấu đại số Lie. Xét như là một
đại số Lie thực, sl(2, C) là đại số Lie đơn, với ker ϕ
∗
là một ideal của sl(2, C). Do
đó ker ϕ
∗
= 0 hoặc ker ϕ
∗
= sl(2, C). Nếu ker ϕ

. Như vậy, ϕ
∗
= 0, do đó ϕ = 1 trên
SL(2, C)  R
4
. Suy ra
∼
π = ρ.
Bây giờ, xét V là một không gian con đóng của H. Kiểm tra trực tiếp theo định
nghĩa và áp dụng đẳng thức q ◦
∼
π = π ta suy ra V là
∼
π

SL(2, C)  R
4

-bất biến nếu
và chỉ nếu P(V ) là π

SL(2, C)  R
4

-bất biến. Do đó, π bất khả quy khi và chỉ khi
∼
π bất khả quy.
Một trong các áp dụng của định lý 2.2 là xác định mối liên hệ hai chiều giữa
tập hợp tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm Lie Poincaré liên thông
G

4
trong không gian Hilbert H. Ta đã biết toàn cấu nhóm
q : U
1
(H) → Aut(P(H)) có hạt nhân là T, đồng cấu phủ Ψ : SL(2, C)  R
4
→
SO(3, 1)
◦
 R
4
có hạt nhân là {(±I, 0)} và trùng với tâm của SL(2, C)  R
4
. Suy
ra
∼
π(KerΨ) ⊂ T. Khi đó, biểu diễn
∼
π cảm sinh một biểu diễn xạ ảnh π = q ◦
∼
π :
SL(2, C)  R
4
→ Aut(P(H)) tầm thường trên ker Ψ. Do vậy, π cảm sinh biểu
diễn xạ ảnh π : SO(3, 1)
◦
 R
4
→ Aut(P(H)) của nhóm Poincaré liên thông
G

(3, 1) R
4
trong H, ta suy ra π =
∼
π ◦Ψ
là một biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của SL(2, C)  R
4
. Theo định lí 2.2, biểu diễn
này nâng lên một biểu diễn unita bất khả quy duy nhất của SL(2, C)  R
4
. Vậy có
một song ánh g iữa tập tất cả các biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của nhóm Poincaré
19
liên thông G
◦
= SO(3, 1)
◦
 R
4
với tập tất cả các biểu diễn unita bất khả quy của
phủ phổ dụng tương ứng SL(2, C)  R
4
.
Theo Mệnh đề 2.3, các biểu diễn xạ ảnh bất khả quy của nhóm Lie liên thông
Poincaré SO(3, 1)  R
4
được cảm sinh từ các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm
phủ đơn liên SL(2, C)  R
4
tương ứng. Theo quan điểm của Mackey thể hiện trong

.
Do β bất biến qua nhóm Lorentz, đẳng cấu tuyến tính v −→ ξ
v
giao hoán với tác
động của nhóm SL(2, C) lên R
4
được xác định như trong phần trước. Chú ý rằng,
với mỗi đại diện ξ ta có thể xác định ξ
v
với v lấy mọi giá trị cúa các đại diện của
SO(3, 1)
0
-quỹ đạo trong R
4
.
Tương tự như trong trường hợp tác động của SO(3, 1) lên R
4
, ta cũng xác định
được tập hợp các đại diện nói trên là R = R
1
∪ R
2
∪ R
+
4
∪ R
−
4
∪ {0}, trong đó
R

H
v
. Mệnh đề sau cho ta các nhóm con ổn định tương ứng với các điểm v trên các
quĩ đạo đã xác định ở trên.
2.4. Mệnh đề:Nhóm con ổn định

H
v
của v ∈ R được xác định như sau
a)

H
v
= SU (2), với v ∈ R
+
4
họăc v ∈ R
−
4
,
b)

H
v
= U(1)  R
2
, với v ∈ R
2
,
c)

v
.
20
Tác động SL(2, C) lên R
4
cảm sinh một tác động của SL(2, C) lên

R
4
. Khi đó R
xác định một nhát cắt σ-compact của SL(2, C)-tác động lên

R
4
và R
4
là nhóm Lie
giao hoán liên thông nên các giả thiết của định lý Mackey được thỏa mãn. Từ đó ta
có mệnh đề sau ([2, Theorem 16.1]).
2.5. Mệnh đề:Biểu diễn unita bất khả qui của nhóm Lie SL(2, C)  R
4
được xác
định bởi
π
v,ρ
= Ind
SL(2,C)R
4
H
v

In this note, we would like to give the description of irreducible projective representaions
of Lie Poincaré based on the irreducible unitary representations of SL(2, C)  R
4
, the cor-
responding simply connected two-fold covering. By this way, they are the representations
naturally induced and classified by the irreducible unitary representations of SL(2, C) R
4
.
21