SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
DẠY CÁC TỔNG DẠNG
0
n
k
n
k
k
a C
CHO
HỌC SINH LỚP 11 A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Bối cảnh của đề tài
Trước đây chương Đại số tổ hợp là chương cuối cùng của chương trình Giải
tích lớp 12. Khi đó học sinh đã được học qua các công cụ mạnh như đạo hàm,
dạng
.
k
k n
a C
.
3. Phạm vi và đối tượng đề tài
Đề tài này tập trung vào việc xử lý các tổng chứa các số hạng dạng
.
k
k n
a C
bằng
các công cụ phù hợp với học sinh đang học học kỳ I lớp 11 như : Khai triển nhị
thức Newton, tính chất của các biểu thức dạng
.
k
k n
a C
và ứng dụng của bài toán
đếm.
4. Mục đích của đề tài
Mục đích của đề tài này là đưa ra các hướng giải tự nhiên, khác truyền thống
và phù hợp với kiến thức được học của học sinh lớp 11 hiện nay ; đáp ứng tinh
thần ham học của học sinh trong việc tiếp cận các bài toán ở mức độ nâng cao
trong các sách tham khảo và trong các đề thi Đại học, Cao đẳng về dạng toán
liên quan đến các tổng dạng
.
k
k
a C
, như lâu nay, có nhiều điều không tự nhiên và không phù
hợp với bố cục chương trình hiện tại. Phương pháp giải quyết các bài toán dạng
này của chúng tôi đáp ứng được những bất cập này cho chương trình hiện tại và
cung cấp một cách nhìn tự nhiên, sáng tạo mà lâu nay bị “bỏ qua”.
Áp dụng các phương pháp trong đề tài này vào việc giải toán sẽ giúp học sinh
không bị mặc cảm về kiến thức mà tự tin trong việc giải quyết vấn đề bằng kiến
thức mình nắm được trong tay.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP XỬ LÝ CÁC TỔNG DẠNG
0
n
k
k n
k
a C
1. Khai triển nhị thức Newton.
Với hai số thực
,
a b
n
k
n n n k k n k k n n n
n n n n n
a b C a b
C a C a b C a b C a b C b
2. Tính chất của
k
n
C
i)
, 0,
k n k
n n
C C k n
.
ii)
1
1
2
n
n n
C C
ûchaün le
)
Đẳng thức 3.
1
1
. , 1,
k k
n n
k C nC k n
.
Chứng minh. Ta có
1
1
! ( 1)!
. . . .
!( )! ( 1)! ( 1) ( 1) !
k k
n n
k k
n n
n n
k k C k k n n C
k n k k n k
■
Đẳng thức 5.
1
1
1 1
. . , 0,
( 1) ( 1)
k k
n n
C C k n
k n
Chứng minh. Ta có
1
1
1 1 ! 1 ( 1)! 1
1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 (2 1)2 2005
n n
n n n n n
C C C C n C
Lời giải truyền thống.
Ta có
2 1 0 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(1 )
n n n
n n n n n n
x C C x C x C x C x C x
.
Lấy đạo hàm hai vế ta được :
2 1 2 3 2 4 3 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
(2 1)(1 ) 2 3 4 (2 1)
n n n
n n n n n
n x C C x C x C x n C x
■
Bài toán 2. (Đề thi Đại học khối A năm 2007)
Chứng minh rằng
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1
.
2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
Lời giải truyền thống.
Ta có
2 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
(1 )
n n n n n
n n n n n n n n
x C C x C x C x C x C x C x C x
Và
n n n
n
n n n n
x x x x x x
C C C C
n n
2
1 3 5 2 1
2 2 2 2
2 1 1 1 1 1
2 1 2 4 6 2
n
n
n n n n
C C C C
n n
1 2 3 1
0 2 1 2 2 2 2
1 1 1 1
1
(1 )
| | | |
1 2 3 1
n n
n
n n n n
x x x x
C x C C C
n n
2 3 1 1 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1 3 2
2 3 1 1
n n n
n
n n n n
a C
về dạng
. .
r m r r
n m
A C a b
.
Chúng tôi sẽ trình bày các phép biến đổi này thông qua các bài toán từ đơn giản
đến phức tạp.
Bài toán 1. Chứng minh rằng
1
0 1
1 1 2 1
.
2 1 1
n
n
n n n
C C C
n n
Phân tích hướng giải.
Kiến thức cơ bản đã cung cấp cho chúng ta kết quả của tổng
1
( 1)
k
n
C
k
ra và thử biến đổi
xem sao.
Ta có
1
1
1 1 ! 1 ( 1)! 1
. . .
1 ( 1) !( )! ( 1) ( 1)![( 1) ( 1)! ( 1)
k k
n n
n n
C C
k k k n k n k n k n
Đến đây ta có thể vui sướng là đã đạt được điều mong ước !
Chứng minh. Với
0,
k n
ta có
n
n n n
C
VT C C C
n n n
■
Bài toán 2. Chứng minh rằng
1 2 1
2 2
n n
n n n
C C nC n
.
Cũng suy nghĩ theo hướng bài 1, ở đây ta cần biến đổi số hạng
k
n
kC
.
Chứng minh. Với
Sau đây chúng ta sẽ trải nghiệm thêm sự thành công đó.
Bài toán 3. Chứng minh rằng
1
1 2
2 1 0
n
n
n n n
C C nC
.
Chứng minh. Số hạng tổng quát của vế trái là
1
( 1)
k k
n
kC
, với
1,
k n
. Ta có
1 1 1 1 1
1
! !
( 1) ( 1) . ( 1) .( 1)
n n
n n n n
C C C n n C n n
Chứng minh. Số hạng tổng quát của vế trái là
( 1)
k
n
k k C
, với
1,
k n
. Ta có
2
2
! !
( 1) ( 1). ( 1).
!( )! ( 2)![( 2) ( 2)!
k k
n n
n n
k k C k k n n C
k n k k n k
k k k
n
T k C k n
. Ta có
1 1
1 1 1 1 1
2
(2 1)!
( 1) . . 2
!(2 1 )!
(2 )!
( 1) .(2 1). 2 (2 1).( 1) . 2
( 1)! 2 ( 1) !
k k
k k k k k
n
n
T k
k n k
n
n n C
k n k
n
n n n n
C C C C
n n
Chứng minh.
Số hạng tổng quát của vế trái là
2 1
2
1
, 1,
2
k
n
T C k n
k
. Ta có
2
2 1
1 (2 )! 1 (2 1)! 1
. . .
2 (2 1)!(2 2 1)! (2 1) (2 )! (2 1) (2 ) ! (2 1)
k
n
(Tổng các
m
C
chaün
)
nên
2
2 1
2 1
n
VT
n
■
Bài toán 7. (Đề thi Đại học khối B năm 2003)
Cho
n
là số nguyên dương. Tính tổng
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
2 3 1
n
n
n n n n
C C C C
n
n n
n n
T C C
k k n k n k n k n
Do đó,
1 2 2 1 1 1 2 1
1 1 1 1 1 1
1
( 2 2 2 ) ( )
( 1)
n n n
n n n n n n
VT C C C C C C
n
0 1 2 2 1 1 0 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2
C C C C
Chứng minh. Để đơn giản hóa bài toán, trước hết ta chia hai vế cho
99
1
2
.
Ta cần chứng minh đẳng thức tương đương :
99 100
0 1 99 100
100 100 100 100
1 1 1
100 101 199 200 0 (*)
2 2 2
C C C C
Số hạng tổng quát của vế trái là
Ta có
0
1 1
. ( 1) . ( ) (1 )
2 2 2
n
k k k n
n
n
k
n
n C n
.
Với
1,
k n
ta có
1 1
1
! ( 1)!
( 1) . ( 1) . .( 1) ( 1)
!( )! ( 1)! ( 1) ( 1) !
k k k k k k
n n
Vì vậy
(*) 0
VT
■
Bài toán 9. (Dự bị 1 ĐH khối B
2008) Tính tổng :
2 2 2 3 2 4 2
2 3 4 1 , 2.
n
n
n n n n
S C C C n C n
Lời giải 1. (dùng công cụ đạo hàm)
Ta có
0
(1 ) ( 1)
n
n k k k
n
k
x C x
. Lấy đạo hàm hai vế ta được
1 2 2 1
0
(1 ) ( 1) .(1 ) ( 1) . .
n
n n k k k
n
k
n x n n x x k C x
Thay
1
x
vào đẳng thức này ta được
2
0
0 ( 1) . .
n
k k
n
k
k C
k k k k
nên
( 1) . ( 1). ( 1) .
k k k k
n n
T k k C k C
.
Vì
2
2
! ( 2)! ( 1)
( 1). ( 1). ( 1)
!( )! ( 2)! ( 2) ( 2) !
k k
n n
n n n n
k k C k k n n C
k n k k n k
nên
2
2 2
nên
1
1 1 0
1 1 1
2 2 0
( 1) . . ( 1) . ( 1) .
n n n
k k k k m m
n n n n
k k m
k C n C n C C n
■
Bài toán 10. Rút gọn tổng
0 1 1 2 2 3 1 1 0
1 2 1
n n n k n k n
n n n n n n n n k n
n nC
k n k k n k
.
Do đó,
0 1 1 1
1 1 1 1
.2
k n n
n n n n
S n C C C C n
■
2. Phương pháp sử dụng các tính chất cơ bản của số tổ hợp
k
n
C
.
Bài toán 11. Chứng minh rằng :
0 1 2 1 2 1
2 2 2 2 2
1 2 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2
S C C C C
Nói một cách ngắn gọn :
1
1
2
2 2
2 ,
1
2 ,
2
n
k k
n
n n
n
n n
n
k k
C C
C
Mặt khác, ta có
2
2
2
n n
TC n PC
S C S
nên
2 1
2
1
2
2
n n
TC PC n
S S C
.
1 1 0
2 1 2 1 2 1 2 1
.
n n
PL n n n n TL
S C C C C S
Chứng minh. Áp dụng công thức
1 1 1 1
1 1
r r r r r r
n n n n n n
C C C C C C
và
1
1
1
k k
k k
C C
ta được
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 3 2 1
( ) ( ) ( )
k k k k k k k k
k k k k k k m k m k m
C C C C C C C C
.
Áp dụng công thức
0 1
1 1
m m
k k k m k m
C C C C
■
Bài toán 13. Chứng minh rằng
0 1 2 3
1
( 1) ( 1)
k k k k
T n n n n n n
S C C C C C C
Và
1 1 2 2 1
1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
k k k k n n k k
P n n n n
S C C C C
Chứng minh. Áp dụng tính chất
1
1 1
Mặt khác,
Ta có
0
( 1) 0
n
k k
T P n
k
S S C
nên
1
1
( 1)
k k
P T n
S S C
■
3. Phương pháp sử dụng hai cách giải khác nhau của bài toán đếm.
Bài toán 14. Cho
, ,
m n k
là các số nguyên dương, ,
k m k n
cách.
Chọn ra
( 1)
k
người nam và
1
người nữ : số cách chọn là
1 1
.
k
n m
C C
cách.
Chọn ra
0
người nam và
k
người nữ : số cách chọn là
0
.
k
n m
C C
cách.
Do đó, số cách chọn ra
k
người từ
■
Đặc biệt,
1) Cho
m n
ta được
0 1 1 2 2 0
2
. . .
k k k k k
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
2) Cho
k m n
ta được
0 1 1 2 2 0
2
. . .
n n n n n
n n n n n n n n n
C C C C C C C C C
Vì
.
Chứng minh. Xét công việc chọn ra
k
người từ
n
nam và
m
người nữ mà trong
đó có một người nam là đội trưởng của nhóm
k
người được chọn ra.
Cách đếm 1.
Chọn
k
nam và
0
nữ, rồi chọn
1
nam làm đội trưởng : có
0
. .
k
n m
C C k
cách.
n m
C C
cách.
Theo quy tắc cộng, ta có số cách chọn là
1 1 2 2 1 1
. ( 1). . ( 2) . .
k k k k
n n m n m n m
k C k C C k C C C C
Cách đếm 2. Chọn
1
nam làm đội trưởng và
( 1)
k
người trong số
( 1)
n m
người còn lại. Ta có số cách chọn là
1
1
( 1)! ( )!
. . .
( 1)!( )! !( )!
k k
.
Ta có
1
1
! ( 1)!
( )
( )!( )! ( 1)! ( 1) ( 1) !
i i k i i
m m n m
n n
T k i C n C nC C
k i n k i k i n k i
Do đó,
1
( 1) 1
( 1) 1
0
.
n
k i i k k
n m n m n m
S C C C C C
.
5) Rút gọn
0 1 2 28 29 30
30 30 30 30 30 30
30 29 28 2
S C C C C C C
.
6) Rút gọn
0 1 2
1.2 2.3 3.4 ( 1).( 2)
n
n n n n
C C C C
S
n n
.
7) Tìm
n
nguyên dương thỏa
2 3
1
1 2 1 1
2 3 5050
k n
n n n n n n n
n n n n n
S C C C n C nC
.
11) Rút gọn
2 3 4
2 2.3 3.4 ( 1)
n
n n n n
S C C C n nC
.
12) Rút gọn
2 3 4 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2.3 2 3.4 2 (2 1)2 2
n n
n n n n
S C C C n nC
.
13) Rút gọn
0 2 4 2 3 2
( 1) 2 3.4 2 2.3 2 2
n n n n
n n n n
S n nC C C C
17) Rút gọn
1 2 2 2 2
( ) 2( ) ( )
n
n n n
S C C n C .
18) Rút gọn
1 2 2 2 2
( ) (2 ) ( )
n
n n n
S C C nC .
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Chúng tôi đã áp dụng rất thành công các phương pháp trong đề tài này để giải
các bài tập trong các tài liệu, trên các diễn đàn toán và các đề thi chính thức, dự
bị Đại học, Cao đẳng.
Trong các lớp ôn thi Đại học, chúng tôi cũng nhận thấy các em học sinh thích
các phương pháp này hơn các phương pháp truyền thống.
Trong năm học 20112012 này, chúng tôi được phân công dạy lớp 11A1, là
một trong các lớp học tốt của trường THPT Nguyễn Trung Trực. Sau khi dạy
chuyên đề nâng cao này cho học sinh lớp 11A1, năm học 20112012, chúng tôi
đã ra bài test cho phương pháp này như sau :
ĐỀ BÀI
Thời gian : 30 phút
Bài 1 (3đ). Chứng minh rằng
1 2 1 1 *
4 .2 .3 ,
n n n
n n n
.
Kết quả làm bài test này của học sinh lớp 11A1, năm học 2011-2012, như sau:
Từ 3đ đến 5đ Từ 6đ đến 7đ Từ 8đ đến 9đ 10đ Tổng
6
20
14
5
45
C. PHẦN KẾT LUẬN
1. Những bài học kinh nghiệm
Kinh nghiệm mà chúng tôi rút ra sau khi thực hiện dạy chuyên đề này là :
Phương pháp biến đổi số hạng tổng quát để đưa tổng cần xử lý về các tổng
cơ bản là phù hợp với nhận thức của học sinh khá, giỏi lớp 11.
Việc dạy học sinh dùng phương pháp (chứ không phải dùng công cụ) đáp
ứng và kích thích được sự hứng thú, ham tìm hiểu của học sinh khá, giỏi. Phản
ứng tích cực mà tôi nhận được từ các em học sinh đã làm cho tôi cảm nhận được
niềm vui nghề nghiệp và làm cho quan hệ thầy trò của chúng tôi gắn bó hơn.
Phòng Giáo dục Trung học Phổ thông và Hội đồng bộ môn toán của Sở phổ biến
sáng kiến kinh nghiệp này đến các tổ bộ môn toán trong Tỉnh.
Chúng tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này được quý thầy cô đồng nghiệp
phát triển và dạy cho học sinh khá, giỏi lớp 11, lớp 12 trong Tỉnh ta.
Chúng tôi cũng rất mong nhận được sự trao đổi của các em học sinh và đồng
nghiệp trong Tỉnh về đề tài này.
Địa chỉ liên hệ của chúng tôi :
[email protected] hoặc diễn đàn www.nguyentrungtruc.edu.vn.
Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn những góp ý quý báu của quý
Thầy Cô trong Tổ Toán Trường Trung học Phổ thông Nguyễn Trung Trực và
những nhận xét đánh giá của ban thi đua Trường THPT Nguyễn Trung Trực.
Kiên Giang, ngày 08/05/2012.
Tác giả,
Trương Văn Đại.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa Đại số 11 Cơ bản, Nhà xuất bản Giáo dục, năm 2006.
[2] Các đề thi chính thức và dự bị Đại học.
[3] Những trao đổi, thảo luận của chúng tôi trên maths.vn và một số trang khác.
MỤC LỤC
Trang
A. Phần mở đầu 1
2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm 16
3. Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm 17
4. Kiến nghị 17
Tài liệu tham khảo 19
Copyright: Tài liệu đại học ©