1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG
 & 
Mã số:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÉP BIẾN HÌNH DÀNH CHO HỌC SINH
LỚP 11 BAN CƠ BẢN
Người thực hiện: DƯƠNG THỊ YẾN
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
Phương pháp giáo dục 
Lĩnh vực khác: 
Có đính kèm:
 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác
Năm học: 2013-2014
BM 01-Bìa SKKN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG
 & 
Mã số:
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÉP BIẾN HÌNH DÀNH CHO HỌC SINH
LỚP 11 BAN CƠ BẢN
Người thực hiện: DƯƠNG THỊ YẾN
Lĩnh vực nghiên cứu:
Quản lý giáo dục 
Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
Phương pháp giáo dục 
Lĩnh vực khác: 

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất : Cử nhân
- Năm nhận bằng : 2010
- Chuyên ngành đào tạo : Sư Phạm Toán học
III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán
- Số năm có kinh nghiệm: 4 năm
2
BM02-LLKHSKKN
Tên sáng kiến kinh nghiệm:
PHÉP BIẾN HÌNH DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 11 BAN CƠ BẢN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Trong bốn năm được phân công dạy bộ môn Toán khối 11 tại trường THPT Xuân
Hưng tỉnh Đồng Nai. Khi giảng dạy chương “ Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt
phẳng” tôi thấy các em học sinh tiếp thu chậm và thấy mơ hồ khi học về các phép biến hình.
- Đa số các em không nắm được các định nghĩa, tính chất về các phép biến hình Chính
vì vậy nên thường không phân biệt được chúng, dẫn đến thấy lúng túng khi giải các bài toán:
dựng hình, tìm ảnh của một điểm , tìm ảnh của đường thẳng , đường tròn qua các phép phép
biến hình và bài toán quỹ tích.
- Để học sinh tự tin và hứng thú tiếp thu kiến thức khi học chương này.Tôi chọn đề tài
“ Phép biến hình dành cho học sinh lớp 11 ban cơ bản”
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
- Trong sách giáo khoa các nội dung đã trình bày rất kĩ lưỡng và có nhiều hoạt động
dành cho học sinh tạo hứng thú cho học sinh khi học tập.
- Sách bài tập có tóm tắt bài học , phân dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải
giúp học sinh tự học tập.
2. Khó khăn
- Đa số học sinh khi trước khi tới trường chỉ học bài cũ mà không xem trước nội dung
bài mới.

2.2 Phép tịnh tiến:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho vectơ
v
r
≠
0
r
, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm
M’ sao cho
'MM
uuuuur
=
v
r
, gọi là phép tịnh tiến theo vectơ
v
r
.
Kí hiệu:
v
T
r
.
Vậy:
v
T
r
(M) = M’
⇔
'MM


r
2.3 Phép quay:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác
α
, phép biến hình biến điểm O
thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM=OM’, góc lượng giác
(OM,OM’) =
α
gọi là phép quay tâm O, góc quay
α
.
Kí hiệu: Q
(O,
α
)
Vậy: Q
(O,
α
)
(M)=M’
⇔
'
( , ')
OM OM
OM OM
α
=



(O, 90 )
'
( ) '
'
x y
Q M M
y x
−
=

= ⇔

= −

2.4 Phép vị tự:
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho điểm O và số k
≠
0, phép biến hình biến mỗi điểm
M thành điểm M’ sao cho
'OM kOM=
uuuuur uuuur
, gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Kí hiệu: V
(O,k)
Vậy: V
(O,k)
(M)=M’
⇔
'OM kOM=
uuuuur uuuur

uuuuur uuuur
• V
(I,,k)
(M)=M’
⇔
' ( )
' ; ( ; )
' b ( )
x a k x a
IM k IM I a b
y k y b
− = −

= ⇔

− = −

uuuur uuur
2.5 Phép dời hình:
Định nghĩa: Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi là phép
dời hình.
b, Tính chất
-Phép dời hình:
+ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy
+ Biến đường thẳng thành đường thẳng , biến tia thành tia , biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
bằng nó
+ Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó
+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
c, Nhận xét
- Các phép đồng nhất, tịnh tiến và phép quay đều là phép dời hình

AB
uuur
;
b,Phép quay tâm O, góc quay
120
o
.
Giải
a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ
AB
uuur
;
Ta có:
( )
AB
T A B=
uuur
( )
( )
AB
AB
T O C
T F O
=
=
uuur
uuur
Vậy tam giác AOF biến thành tam giác BCO.
b) Qua phép
( )

( )
;120
o
O
Q
tam giác AOF biến thành tam giác EOD.
Bài 2 : Cho hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo Xác định ảnh của tam
giác OAD qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc
quay
0
90
và phép tịnh tiến theo vectơ
1
2
CB
uur
Giải
Ta có
0
0 0
0
( ,90 )
( ,90 ) ( ,90 )
( ,90 )
( )
( ) ( )
( )
O
O O
O

( ) ( )
( )
CB
CB CB
CB
T O M
T D P T ODC MPN
T C N
=
= ⇒ ∆ = ∆
=
uuur
uuur uuur
uuur
Vậy tam giác MPN là ảnh của tam giác OAD qua phép dời hình
Bài tập tương tự
1,Cho hình vuông ABCD
a/ Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc quay
0
90
b/ Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc quay
0
90
.
2, Cho hình vuông ABCD tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh
của tam giac AMN qua phép quay tâm O góc 90
0
3, Cho tam giác ABC có G là trọng tâm và M,N,P lần lượt là trung điểm của AB, AC,BC Hãy
xác định ảnh của tam giác MNP qua phép vị tự tâm G tỉ số,k =-2
4, Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Hãy tìm ảnh của tam giác AOB qua phép dời hình

.
7
b.
( )
o
B,60
Q
biến trung điểm N của EC thành trung điểm M của AF nên BN = BM và
( )
o
BN,BM 60=
, do đó tam giác BMN đều.
Bài tập tương tự
1, Cho tam giác ABC . Dựng phía ngoài tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN, ABEF và
các điểm O,P,Q lần lượt là tâm của chúng.
a, Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng DOP là tam giác vuông cân tại D.
b, Chứng minh rằng AO vuông góc với PQ và AO=PQ
2, Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng AA’ và BB’ . Chứng minh rằng OCD là tam giác đều .
3, Qua tâm G của tam giác đều ABC ,kẻ đường thẳng a cắt BC tại M và cắt AB tại N , kẻ
đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q , đồng thời góc giữa a và b bằng 60
0
. Chứng
minh rằng tứ giác MPNQ là một hình thang cân.
Dạng 3: Xác định ảnh của một điểm,đường thẳng, đường tròn qua qua các phép biến hình:
Phương pháp chung:
-Sử dụng định nghĩa.
-Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
-Sử dụng các tính chất của phép biến hình.
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( 1;3), d có phương trình 3x+5y-4=0. và

' '
v v
M x y d
M T M x y d T d
M d
∈
= = =
⇒ ∈
r r
8
Ta có
' 2 ' 2
' 1 ' 1
x x x x
y y y y
= + = −
 
⇔
 
= − = +
 
Khi
( ; ) 3 5 4 0M x y d x y∈ ⇔ + − =
3( ' 2) 5( ' 1) 4 0
3 ' 5 ' 5 0
x y
x y
⇔ − + + − =
⇔ + − =
Vậy d’: 3x+5y-5=0

Ta có
' 2 ' 2
' 1 ' 1
x x x x
y y y y
= + = −
 
⇔
 
= − = +
 
Khi
2 2
2 2
2 2
( ; ) ( ) ( 4) ( 1) 9
( ' 2 4) ( ' 1 1) 9
( ' 6) ' 9
M x y C x y
x y
x y
∈ ⇔ − + − =
⇔ − − + + − =
⇔ − + =
Vậy (C’) :
2 2
( 6) 9x y− + =
Cách 2 Ta có
(4;1)
( ):

. Khi đó đường thẳng (C’) là đi qua 3 điểm M’,N’,P’
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( 1;3), d có phương trình x+2y-1 =0. và
cho đường tròn (C) có phương trình
2 2
( 4) ( 1) 9x y− + − =
. Hãy tìm ảnh của A, d, ( C) qua
phép quay O góc 90
0

Giải
• Tìm ảnh của điểm A
gọi
0
(O,90 )
' ( ) ( '; ')A Q A x y= =
' 3
' 1
x y
y x
= − = −

⇒

= =

vậy A’(-3;1)
• Tìm ảnh của d: có 3 cách
Cách 1:Gọi
0 0
(O,90 ) (O,90 )

0
(O,90 )
Q
nên d’ vuông góc d
10
Suy ra d’ :-2x+y +c=0
Lấy M( (1;0) thuộc d , M’=
0
(O,90 )
Q
(M) =(0;1). M’ thuộc d’
Ta có -2.0+1+c=0 =>c=-1
Vậy d’:-2x+y -1=0
Cách 3:Lấy M,N bất kì thuộc d, tìm ảnh M’,N’ tương ứng của M và N qua phép quay O góc
90
0
. Khi đó đường thẳng d’ là đường thẳng M’N’
• Tìm ảnh của ( C)
Cách 1:Gọi
0 0
( ,90 ) ( ,90 )
( ; ) ( )
' ( ) ( '; '),( ') (( ))
' ( ')
O O
M x y C
M Q M x y C Q C
M C
∈
= = =

I
C
R


=

Gọi
0
( ,90 )
( ') (( ))
O
C Q C=
khi đó
0
( ,90 )
' ( ) ( 1;4)
' 3
O
I Q I
R R
= = −
= =
Vậy (C’) có tâm I’(-1;4) và R’=3 nên
2 2
( ') : ( 1) ( 4) 9C x y+ + − =
Cách 3:Lấy M,N,P bất kì thuộc (C), tìm ảnh M’,N’,P’ tương ứng của M ,N và P qua phép
quay tâm O góc 90
0
. Khi đó đường thẳng (C’) là đi qua 3 điểm M’,N’,P’

0 0
(O, 90 ) (O, 90 )
( ; )
' ( ) ( '; '), ' ( )
' '
M x y d
M Q M x y d Q d
M d
− −
∈
= = =
⇒ ∈
Ta có
' '
' '
x y x y
y x y x
= = −
 
⇔
 
= − =
 
Khi
( ; ) 2 1 0M x y d x y∈ ⇔ + − =
' 2 ' 1 0
2 ' ' 1 0
y x
x y
⇔ − + − =

M Q M x y C Q C
M C
− −
∈
= = =
⇒ ∈
12
Ta có
' '
' '
x y x y
y x y x
= = −
 
⇔
 
= − =
 
Khi
2 2
2 2
2 2
( ; ) ( ) ( 4) ( 1) 9
( ' 4) ( ' 1) 9
( ' 1) ( ' 4) 9
M x y C x y
y x
x y
∈ ⇔ − + − =
⇔ − − + − =

R R
−
= = −
= =
Vậy (C’) có tâm I’(1;-4) và R’=3 nên
2 2
( ') : ( 1) ( 4) 9C x y− + + =
Cách 3:Lấy M,N,P bất kì thuộc (C), tìm ảnh M’,N’,P’ tương ứng của M ,N và P qua phép
quay tâm O góc -90
0
. Khi đó đường thẳng (C’) là đi qua 3 điểm M’,N’,P’
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( 1;3), d có phương trình x+2y-1 =0. và
cho đường tròn (C) có phương trình
2 2
8 2 8 0x y x y+ − − + =
. Hãy tìm ảnh của A, d, ( C) qua
phép vị tự tâm O tỉ số k=2
Giải
• Tìm ảnh của điểm A
Gọi
(O,2)
' (A) ( '; ')A V x y
= =
' 2 2
' 2
' 2 6
x x
OA OA
y y
= =

'
2
'
2
x
x
y
y

=


⇔


=


Khi
( ; ) 2 1 0M x y d x y∈ ⇔ + − =
' '
2 1 0
2 2
' 2 y' 2 0
x y
x
+ − =
⇔ + − =
Vậy d’: x+2y-2=0
Cách 2: Gọi d’ là ảnh của d qua

=


=

'
2
'
2
x
x
y
y

=


⇔


=


Khi
( ; ) ( )M x y C∈
2 2
8 2 8 0x y x y⇔ + − − + =
2 2
2 2
' '

' ( ) (8;2)
' 2 6
O
I V I
R R
= =
= =
Vậy (C’) có tâm I’(8;2) và R’=6 nên
2 2
( ') : ( 8) ( 2) 36C x y− + − =
Cách 3:Lấy M,N,P bất kì thuộc (C), tìm ảnh M’,N’,P’ tương ứng của M ,N và P qua phép vị
tự tâm O tỉ số k=2. Khi đó đường thẳng (C’) là đi qua 3 điểm M’,N’,P’
Bài 5 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( 1;3), d có phương trình x+3y-1 =0. và
cho đường tròn (C) có phương trình
2 2
8 2 8 0x y x y+ − − + =
. Hãy tìm ảnh của A, d, ( C) qua
phép vị tự tâm I tỉ số k= 2 với I (-1;2)
Giải
• Tìm ảnh của điểm A
gọi
( ,2)
' (A) ( '; ')
I
A V x y= =
' 1 2( 1) ' 3
' 2
' 2 2( 2) y' 4
x x x
IA IA

− = −

' 1
2
' 2
2
x
x
y
y
−

=


⇔

+

=


Khi
( ; ) 3 1 0M x y d x y∈ ⇔ + − =
' 1 ' 2
3 1 0
2 2
' 3y' 1 0
x y
x

⇒ ∈
Ta có
' 1 2( 1)
' 2 2( 2)
x x
y y
+ = +


− = −

' 1
2
' 2
2
x
x
y
y
−

=


⇔

+

=


C
R


=

Gọi
(I,2)
( ') (( ))C V C=
khi đó
( ,2)
' (H) (9;0)
' 2 6
I
H V
R R
= =
= =
Vậy (C’) có tâm I’(9;0) và R’=6 nên
2 2
( ') : ( 9) 36C x y− + =
Cách 3:Lấy M,N,P bất kì thuộc (C), tìm ảnh M’,N’,P’ tương ứng của M ,N và P qua phép vị
tự tâm I tỉ số k=2. Khi đó đường thẳng (C’) là đi qua 3 điểm M’,N’,P’
16
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( 1;3), d có phương trình x+2y-1 =0. và cho
đường tròn (C) có phương trình
2 2
( 4) ( 1) 9x y− + − =
. Hãy tìm ảnh của A, d, ( C) qua phép
dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vec tơ

, d
2
,
(C
2
) với cách làm tương tự như bài 2
Khi đó thì ảnh của A, d, ( C) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
tịnh tiến theo vec tơ
(2; 1)v
−
r
và phép quay tâm O góc 90
0
chính là A
2
, d
2
, (C
2
)
Bài 7 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( 1;3), d có phương trình x+2y-1 =0. và cho
đường tròn (C) có phương trình
2 2
( 4) ( 1) 9x y− + − =
. Hãy tìm ảnh của A, d, ( C) qua phép
đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc -90
0
và phép vị tự tâm
O tỉ sô k=-2
Giải

, d
2
, (C
2
)
Bài tập tương tự:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A( -1;-3), d có phương trình 5x+y -2 =0. và cho
đường tròn (C) có phương trình
2 2
( 4) ( 5) 49x y+ + − =
và (C
1
) :
2 2
2x 6 6 0x y y+ + − + =
. Hãy
tìm ảnh của A, d, ( C),(C
1
) qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép
tịnh tiến theo vec tơ
(2; 1)v
−
r
và phép quay tâm O góc 90
0
1, Qua phép tịnh tiến theo véctơ
(2;3)v
r
2, Qua phép quay tâm O góc -90
0

hành ABNM. Tìm tập hợp điểm N khi M chạy trên ( O)
Giải
Ta có ABNM là hình bình hành khi và chỉ khi
(M)
AB
MN AB N T= ⇔ =
uuur
uuuur uuur
Khi M chạy trên đường tròn (O) thì N chạy trên đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh
tiến theo véc tơ
AB
uuur
Bài 2: Cho tam giác ABC trọng tâm G và I là trung điểm của cạnh
BC
a, Chứng minh G là ảnh của A trong phép vị tự tâm I tỉ số k=1/3
b, Cho B, C cố định . Tìm tập hợp điểm A khi G di động trên
( O,R) cho trước
Giải
a, Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có
1
3
IG IA=
uur uur
1
(I, )
3
(A)G V⇔ =
Vậy G ảnh của A qua phép vị tự tâm I tỉ số
1
3

a, Xác định ảnh của C của D trong phép tịnh tiến theo véc tơ
AB
uuur
b, Tìm tập hợp điểm D khi C di động trên một đường thẳng d
c, Tìm tập hợp điểm D khi C di động trên đường tròn tâm (O,R)
d, Tìm tập hợp các điểm ảnh của D trong
AB
T
uuur
khi D di động trên đường tròn (O,R)
2, Cho đường tròn (O,R) cố định và I là điểm cố định nằm trong (O)
a, Tìm tập hợp trung điểm của các dây cung BC của đường tròn (O) khi BC thay đổi quanh I.
b, Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác ABC khi BC quay quanh I
3,Cho đường tròn (O;R) và một điểm I cố định khác O . Một điểm M thay đổi trên đường
tròn . Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N . Tìm quỹ tích điểm N .
4, Cho hai điểm phân biệt B,C cố định (BC không phải là đường kính) trên đường tròn (O),
điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động trên (O) thì trực tâm tam giác ABC
di động trên một đường tròn.
5, Cho điểm A cố định nằm trên đường tròn (O) và điểm C thay đổi trên đường tròn đó. Dựng
hình vuông ABCD. Tìm quỹ tích điểm B và điểm D.
III.KẾT QUẢ
- Sau khi thực hiện chuyên đề này thì tôi thấy các bài kiểm tra liên quan tới chương thì
tỉ lệ điểm trên trung bình đạt khá cao.
- Có thể sử dụng làm tài liệu cho học sinh tự ôn tập trong chương “Phép dời hình và
phép đồng dạng trong mặt phẳng”
IV.BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Qua thời gian nghiên cứu đề tài và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra một số ý kiến như
sau.
- Ở chương trình toán lớp 11 rất mới lạ với học sinh vì vậy muốn học tốt thì học sinh
nên học kĩ bài cũ và chuẩn bị nội dung bài mới.

Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 
Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác: 
1. Tính mới
- Có giải pháp hoàn toàn mới 
- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 
2. Hiệu quả
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong toàn
ngành có hiệu quả cao 
- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có
hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách:
Tốt  Khá  Đạt 
- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào
cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 
- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong
phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
(Ký tên và ghi rõ họ tên)
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)
21
22